專題05線段的數(shù)量和位置關(guān)系的探究題

I題型概述

線段的數(shù)量關(guān)系一般是指線段的相等、和差關(guān)系、乘積關(guān)系和比例關(guān)系，線段的位置關(guān)系

一般是指平行關(guān)系、垂直關(guān)系和夾角問題。

線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的探究題，一般通過以下方式求解：

(1)通過證明三角形全等或者三角形相似，再根據(jù)全等三角形或相似三角形的性質(zhì)，得到

線段的數(shù)量關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化可以求解。

(2)通過利用勾股定理和直角三角形的性質(zhì)，得到線段的數(shù)量與位置關(guān)系。

(3)通過證明或者構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)和三線合一的性質(zhì)，得到線段

的數(shù)量與位置關(guān)系。

(4)通過證明或構(gòu)造平行四邊形或特殊的平行四邊形，利用平行四邊形或特殊的平行四邊

形的性質(zhì)，得到線段的數(shù)量與位置關(guān)系。

真題精析

例早1

(2022?遼寧朝陽?統(tǒng)考中考真題)【思維探究】如圖1,在四邊形A2CZ)中，ZBAD=60°,

ZBCZ)=120°,AB=AD,連接AC.求證：BC+CD=AC.

(1)小明的思路是：延長8到點E,使DE=BC,連接AE.根據(jù)/區(qū)4。+/2。。=180。，推

得/3+/4。。=180。，從而得到然后證明一.ABC,從而可證8C+CD

=AC,請你幫助小明寫出完整的證明過程.

(2)【思維延伸】如圖2,四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD^90°,AB^AD,連接AC,猜

想BC,CD,AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，/BAD=NBCD=90。,AB=AD=^6,AC與8。相

交于點O.若四邊形A3。中有一個內(nèi)角是75。，請直接寫出線段的長.

(1)如圖1中，延長CZ＞到點E,ftDE=BC,連接AE.證明△AOE之△ABC(SAS),推

出NZME=N5AC,AE=AC,推出△ACE的等邊三角形，可得結(jié)論；

(2)結(jié)論：CB+CD=42AC.如圖2中，過點A作于點M,ANLC8交CB的延

長線于點N.證明AAMOg/XANB(AAS),推出。M=RV,AM=AN,證明

Z?ZAACM^RtAACN(HL),推出CM=CN,可得結(jié)論；

(3)分兩種情形：如圖3-1中，當NCZM=75。時，過點。作OPLCB于點P,CQLC。于

點Q.如圖3-2中，當/。3。=75。時，分別求解即可.

［答案與解析】

【答案】(1)AC=5C+CD；理由見詳解；

⑵CB+CD=6AC；理由見詳解；

(3)3百-3或3-百

【詳解】(1)證明：如圖1中，延長CD到點￡,使?！?5C,連接

VZBAD+ZBCD=180°,

：.ZB+ZADC=1SO°9

VZADE+ZAI>C=180o

:.NB=NADE,

在乙ADE和4ABC中，

DA=BA

<ZADE=ZB,

DE=BC

：./\ADE^AABC(SAS),

/.ZDAE=ZBACfAE=AC9

：.ZCAE=ZBAD=6Q09

???△ACE的等邊三角形，

：.CE=AC,

?:CE=DE+CD,

：.AC=BC+CD；

(2)解：結(jié)論：CB+CD=^AC.

理由：如圖2中，過點A作AMJ_CD于點4N_LCb交。5的延長線于點N.

圖2

VZDAB=ZDCB=9Q09

：.ZCZ)A+ZCBA=180°,

VZABN+ZABC=lSO°f

:./D=NABN,

VZAM￡>=Z^=90°,AD=AB9

:?4AMD絲AANB(AAS),

:,DM=BN,AM=ANf

VAM±CZ),AMLCM

:.ZACD=ZACB=45°9

：.AC=42CM,

VAC=AC.AM=ANf

：.RtAACM^RtAACN(HL),

：.CM=CN,

：.CB+CD=CN-BN+CM+DM=2CM=&AC；

(3)解：如圖3?1中，當NCZM=75。時，過點。作。尸，C5于點P,C0LCD于點。

:.ZCDB=3Q09

,:ZDCB=9Q09

：.CD=y/3CB9

VZDCO=ZBCO=4509OP上CB,OQA.CD,

:.OP=OQ9

Q—CD?OQ八八

?S^OBC_2_CD

SACDOABC.OPBC

2

.ODCDr-

??-----=-----=75,

OBCB

VAB=AD=76,ZZ)AB=90°,

：?BD=72AD-273,

：.OD=^-=x2y/3=3^3-3.

1+V3

如圖3?2中，當NC5D=75。時,

圖3—2

同法可證器=!,°D=-^^X2A/3=3->/3,

1+73

綜上所述，滿足條件的0。的長為36-3或3-6.

總結(jié)與點撥

本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的

判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等

三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

例題2

米

（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考中考真題）在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,AD是△ABC

的角平分線.

則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

(2)如圖2,點E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE=DF,EA的延長線交CF于點M.

①(1)中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；

②連接DM,求NEMO的度數(shù)；

③若。M=60,￡￡>=12,求EM的長.

哪轉(zhuǎn)

(1)證明△AOE/ZkCOF(S4S),由全等三角形的性質(zhì)得出AE=C尸，ZDAE=ZDCF,

由直角三角形的性質(zhì)證出NEMC=90。，則可得出結(jié)論；

(2)①同(1)可證△ADEgZXC。尸(S4S),由全等三角形的性質(zhì)得出AE=C尸，NE

=ZF,則可得出結(jié)論；

②過點。作。G_LAE于點G,于點H,證明△OEG絲△!>尸H(44S),由全等三

角形的性質(zhì)得出DG=DH,由角平分線的性質(zhì)可得出答案；

③由等腰直角三角形的性質(zhì)求出GM的長，由勾股定理求出EG的長，則可得出答案.

［答案與解析】

【答案】(1)AE=CF,AE±CF

⑵①成立，理由見解析；②45。；③6+66

【詳解】(1)：AB=AC,NBAC=9(F,A。是△ABC的角平分線，...AO=3Z>=C。,AO_L3C,

ZADE=ZCZ>F=90°,又；。E=0F,：.AADE^/\CDF(SAS),：.AE^CF,ZDAE

=NZ)CF,?.?NZME+NOEA=90°,二/0叱+/0后4=90°,.?.NEMC=90°,.,.AE"!"。/.故

答案為：AE^CF,AE±CF；

(2)①(1)中的結(jié)論還成立，理由：同(1)可證AAOE也△CZJb(SAS),J.AE^CF,

NE=NF,VZF+ZECF=90°,；.NE+NECF=90°,AZEMC=90°,：.AE±CF；②過

點。作OGJ_AE于點G,OHJ_C尸于點H,

?；NE=NF,ZDGE=ZDHF=90°,DE=DF,:.4DEG學(xué)4DFH(AAS),：.DG=DH,

又；DGLAE,DH±CF,平分NEMC,又；NEMC=90。，/.ZEMD=|ZEMC=

45°；③?.,NEM0=45°,N￡)GM=90°,AZDMG=ZGDM,：.DG=GM,又：DM=6逝

：.DG=GM=6,"：DE=12,：.EG=yjElf+DG2=7122+62=6-43：.EM=GM+EG=

6+66

總結(jié)與血

本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判

定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例學(xué)3

(2022?遼寧錦州?中考真題)在.ABC中，AC=3C,點。在線段上，連接8并延長至

點、E,使DE=CD,過點E作交直線48于點?

⑴如圖1,若NACB=120。，請用等式表示AC與所的數(shù)量關(guān)系：.

(2)如圖2.若NACB=90。，完成以下問題：

①當點。，點P位于點A的異側(cè)時，請用等式表示AC,AD,。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由；

②當點。，點/位于點A的同側(cè)時，若DF=1,A￡>=3,請直接寫出AC的長.

郵轉(zhuǎn)

(1)過點C作CG_LA5于G,先證明△EOF絲△CZ>G,得到跖=CG,然后等腰三角形

的性質(zhì)和含30度直角三角形的性質(zhì)，即可求出答案;

（2）①過點C作SLAB于H,與（1）同理，證明AEOF絲然后證明一AS是

等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；

②過點C作CGLA5于G,與（1）同理，得AEDF冬ACDG,然后得到ACG是等腰直

角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案.

［答案與解析】

【答案】⑴斯=gAC

萬

（2）@AD+DF=-ACi②40或2雙;

2

【詳解】（1）解：過點C作CGLAB于G,如圖，

VEFVAB,

:.NEFD=NCGD=9。。,

VZEDF=ZCDG,DE=CD,

二△EO尸絲△COG,

:.EF=CG；

?.?在ABC中，AC=BC,ZACB=120。，

ZA=ZB=^-x(180°-120°)=30°,

ACG=-AC,

2

:.EF=-ACi

2

故答案為：EF=^AC；

(2)解：①過點C作于H,如圖,

E圖2

與（1）同理，可證

/.DF=DH,

：.AD+DF=AD+DH=AH,

在ABC中，AC^BC,ZACB=90。,

.ABC是等腰直角三角形，

ZC4H=45°,

.LACH是等腰直角三角形，

/.AH=—AC,

2

Ji

：.AD+DF=—AC;

2

②如圖，過點C作CGLA3于G,

與（1）同理可證，AEDF妾ACDG,

:.DF=DG=1,

'：AD=3,

當點廠在點4、。之間時，有

AG=l+3=4,

與①同理，可證ACG是等腰直角三角形,

:.AC=應(yīng)AG=40;

當點。在點A、尸之間時，如圖：

二AG=AD-DG=3-1=2,

與①同理，可證ACG是等腰直角三角形，

AAC=A/2AG=2A/2;

綜合上述，線段AC的長為4夜或2夜.

總結(jié)與四

本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三

角形，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的作出輔助線，正

確得到三角形全等.

精(題

1.(2022?遼寧大連?校考模擬)在ABC中，￡)在AC上，且ZABD=NC=45。.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若AD=4,CD=2,求A3的長度.

(2)如圖2,作DEIAB于E,過點E作所〃3c交AC于點尸，作尸于G,探究尸G

與2C的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3汝口圖3,作于E,BH//AC,DH//BC,探究EB與E”的數(shù)量關(guān)系，并證明.

2.(2022?四川南充?南充市實驗中學(xué)校考模擬)如圖，已知點E是射線2C上的一點，以BC、

CE為邊作正方形ABCO和正方形CEFG,連接AF,取AF的中點連接DM、MG.

(1)如圖1,判斷線段DM和MG的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

(2)如圖2,在圖中的正方形CEFG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，其他條件不變，(1)中的結(jié)

論是否成立？說明理由；

(3)已知3c=10,CE=2,正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)的過程中，當A、F、E共線時，直接寫

出.。WG的面積.

3.(2022.河南洛陽?統(tǒng)考一模)在ABC中，點G是射線CB上一個動點，延長CA到，

使得AD=CG,過點D作DE〃BC,交BA的延長線于點E,連接交于點?

圖1圖2

(1)①如圖1,當AB=AC=3C時，EF與尸G之間的數(shù)量關(guān)系是

②如圖2,當AB=AC=3,BC=4,點G在射線CB上移動時，EF與尸G之間的數(shù)量關(guān)系

是否與①中的數(shù)量關(guān)系相同，若相同，請說明理由；若不相同，請求出新的數(shù)量關(guān)系;

(2)設(shè)一ABC三邊的長分別為3C=a,AC=b,AB=c,其中當點G在射線C8

上移動時，請直接寫出E尸與FG之間的數(shù)量關(guān)系.

4.(2022?浙江嘉興?一模)如圖1,已知正方形ABC。和正方形CEFG,點、B、C、￡在同一

直線上,

圖1圖2圖3

⑴求圖1中反、BG的長(用含機的代數(shù)式表示).

(2)如圖2,正方形ABC。固定不動，將圖1中的正方形CEFG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a度

(00<a<90°),試探究AT、3G之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,在(2)條件下，當點A,F,E在同一直線上時，連接C/并延長交AD于點H,

若FH=冊