專題10填空壓軸題

一、填空題

1.（2024.廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，AB^BC,tanZB=—,D為BC上一點(diǎn),且

12

RDQ

滿足一=—,過。作DESAD交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則——=

CD5AC

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理，平行線分線段成比例，先設(shè)A6=5C=13x,根據(jù)

tanZB=—,AH±CB,得出AH=5x,5〃=12劉再分別用勾股定理AD=歷的AC=4x，

故3〃叱=器=等'再運(yùn)用解直角三角形得出呼X,代入

CE

~AC加，化簡(jiǎn)即可作答.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AHLCfi垂足為

..BD|,AB=BC,

.DC

設(shè)AB=BC=13x,

BD-8x,DC=5x，

tanNB=—,AH_LCB，

12

?AH_5

??而一五’

AB=BC=13x，

，AH-+BH2=AB2=169x2，

解得AH=5x,BH=12x,

=12x-8x=4x,HC=5x-4x=x,

；?AD=yjAH2+DH2=Ex,AC=y/AH2+CH2=>j26x，

過點(diǎn)C作CM，AD垂足為M,

-?DM=CD-cosNADC=--------x，AM=AD-DM=---------x，

,/DE,AD,CM工AD,

：.MC^DE,

20A/41

CE_DM__4i<_20

AC-21^-21

--------X

3

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在一A5c中，AB=AC,tan5=：,點(diǎn)。為上一動(dòng)點(diǎn),

連接AO,將△ABD沿AO翻折得到VAD￡,交AC于點(diǎn)G,GE<DG,且AG:CG=3:1,則

S三角形AGE

S三角形ADG

A

【解析】

【分析】于點(diǎn)M,AN_L￡）E于點(diǎn)N,則40=AN,過點(diǎn)G作GPLNC于點(diǎn)P,設(shè)40=12a,

根據(jù)taiLB=20=3得出=16〃，繼而求得AB二JAM?+BM?=20〃,CG=5a,AG=15a?

BM4

22

再利用tanC=tan3=旅=：,求得GP=3a,CP=4a,利用勾股定理求得GN=yjAG-AN=9a，

EN=y/AE2-AN2=16a-故EG=EN-GN=1a,

【詳解】由折疊的性質(zhì)可知，DA是N3DE的角平分線，AB=AE,用HL證明△ADM之△ADN，

從而得到DM=DN,設(shè)DM=DN=x,則DG=x+9a,DP=12a-x,利用勾股定理得到

,°91275

。尸+Gp2=OG2即（12a—龍）+（3a）=（%+9。）一，化簡(jiǎn)得x=5~a,從而得出。G=3a,利用三

c-EG,AN口一寫Ad

角形的面積公式得到：三角形AGE=[-------==*_=

175

S三角形AQG-DGANDG1a

27

作AM,皮）于點(diǎn)〃，AN上DE于點(diǎn)、N,則A"=AN,

過點(diǎn)G作GPLNC于點(diǎn)P,

：AM_L5r）于點(diǎn)跖

AM3

tanB=

BM—4

設(shè)AM=12。，則5Af=16a，AB=>JAM2+BM2=20a>

又=AM±BD,

CM=AM=12a,AB=AC=20a,=Z.C,

??,AG:CG=3:1,即CG=』AC,

4

:.CG=5a,AG=15Q,

RtZ\_PCG中，CG=5〃，tanC=tanB=二—，

CP4

設(shè)GP=3m，則CP=4m,CG=1GP。+CP°=5m

:.m=a

:.GP=3a,CP=4Q,

VAG=15a,AM=AN=12a,ANIDE,

?*-GN=《AG2-AN。=9。，

VAB=AE=20a,AN=12a,AN±DE

EN=y/AE"-AN2=16。，

EG=EN—GN=7a,

VAD=AD,AM^AN,AM±BD,ANIDE,

：.AADM^AACW(HL),

DM=DN,

設(shè)DM=DN=x,則DG=D/V+G/V=x+9a,DP=CM-CP-DM=16a-4a-x=12a-x,

在RtAPDG中，DP2+GP2=DG2，即(12a—x7+(3aJ=(x+9a)2,

化簡(jiǎn)得：x——Cl,

7

75

DG—x-\-9〃——a,

7

EGAN

ASMAGE_2__EG_la_49

DG75

S三角形ADGLDGAN—a

27

49

故答案是：.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等

知識(shí)，正確作出輔助線并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題)已知一ABC是直角三角形，ZB=90°,A3=3,BC=5,AE=2J5,連

接CE以CE為底作直角三角形COE且尸是AE邊上的一點(diǎn)，連接3。和且

NFBD=45°,則AF長(zhǎng)為.

A

F

/

【答案】~45

4

【解析】

［分析】將線段BD繞點(diǎn)、D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段HD，連接BH，HE,利用SAS證明AED77=ACDB,

得EH=CB=5,ZHED=ZBCD=90°,從而得出HE//DC//AB,則人4/?4s人切尸,即可解決問題.

【詳解】解：將線段5。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段HD,連接HE,

是等腰直角三角形，

又?AEDC是等腰直角三角形，

:.HD=BD,ZEDH=ZCDB,ED=CD,

NEDH=ACDB(SAS),

：.EH=CB=5,ZHED=ZBCD=90°,

NEDC=90°,ZABC=90°,

:.HE!IDCI/AB,

ZABF=ZEHF,ZBAF=ZHEF,

:.MBFSMHF,

,AB_AF_AF

"~EH~~EF~AE-AF

AE=2底

3AF

"5~2y/5-AF'

3A/5

AF=----，

4

故答案為：:?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形.

4.（2024?廣東深圳?鹽田區(qū)一模）如圖，在4ABe中，AB=AC,點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作邊A3

的垂線，交AB于點(diǎn)、E,連接CE,若DE=2,AE=4，則CE=.

【答案】V17

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，合理的作出輔助線是解決

問題的關(guān)鍵.連接AD，作跖，CB于點(diǎn)歹，證得石Ds一0石4,可得鹿=i,BD=5AB=5,

進(jìn)而可得所=撞，同理可得BEFs_EDF，求得DF=隹,CE=2叵，根據(jù)勾股定理可得結(jié)

555

果.

【詳解】解：連接AZ）,作EFLCB于點(diǎn)廠，

AB=AC,點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作邊A5的垂線,

AD1BC,DE±AB,

ZBDE+ZADE=90°,ZDAE+ZADE=90°,

ZBDE=ZDAE,ZBED=ZDEA，

△BEDs」DEA，

.DE_BE

~\E~~DE9

DE=2,AE=4，

BE=1,

BD=^DE2+BE2=V5-AB=AE+BE=5,

S=—BExDE=—BDxEF,

BREFDn22

.s2加

一EF------

5

同理可得八班歹s二功獷，

BE_EF

■cu4行

…Dr------,

5

9.J5

?CF=CD+DF=^—,

5

CE=YIEF2+CF2=V17?

故答案為：717.

5.（2024?廣東深圳?福田區(qū)三模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,尸為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)JB戶，

A。交于點(diǎn)E,若BFBE=24,則CR=.

I答案】三

【解析】

【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)及判定，勾股定理.根據(jù)題意利用勾股定理得到AC的長(zhǎng)，再證明

r.AFEs；CFB,再設(shè)=繼而得到AE=4+x,再利用相似三角形性質(zhì)即可得到本題答案.

【詳解】解：：正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,尸為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，

?*,AC=/不+4、=4-\/2，A石〃BC,

：.ZEAC=ZACB,ZE=ZEBC,

???AFE^CFB,

設(shè)DE=x,則AE=4+%,

.CF_BF_CB_4

AFEFAE4+x

"-'AF=AC-CF=4y/2-CF，EF=BE-BF=^x2+Sx+32-BF-

CFBF4

"4A/2-CFVX2+8X+32-BF4+X'

整理得：(8+x)CF=1672,即：5=電2,

8+x

(8+x)3E=4jx2+8x+32，即：=4—+8%+32，

8+x

?：BF?BE=24,

...4jx+8x+32.&+8升32=24，整理得：x2+2x-16=0，

8+x

解得：石二萬一1,X2=-1-V17(舍)，

：?x=5-\，

檢驗(yàn)：當(dāng)犬=，17-1時(shí)，8+xwO,

%2+8x+32=(4+%)2+16>0成立,

x=JI7—1是4，廣+8》+3乙?JY+8X+32=24的根，

8+x

.?16016727后-國(guó)

8+屈-17+V172

故答案為：7—.

2

6.（2024?廣東深圳?33校聯(lián)考二模）在ABC中，ZABC=90°,AB=3,6C=4,點(diǎn)。在邊AC上,

Q

CD=—,連接3￡），過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,且AE的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)凡則3尸=________

3

A

【解析】

【分析】由AG3C得到」LGD一CBD算出AG的長(zhǎng)度，利用_54尸_AGB得到3戶的長(zhǎng)度.

【詳解】作AG交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)G

AGBC,

ZAGB=ZDBC,ZGAC^ZC,

AGDCBD,

AGAD

~BC~~CD'

ZA6c=90，AB=3,BC=4,

AC=7AB2+BC2=A/32+42=5'

Q7

:.AD=AC-CD=5——=-,

33

，心改任二”」，

CD82

3

AGBC,ABC=90，

ZG4B=180—ZABC=90，

■■-ZBAE+ZGAE=90，

AE±BD,

???ZAEG=90，

ZGAE+ZG=90，

ZBAE=ZG,

在△BAE和-AGB中，ZBAE=ZG,ZABF=ZGAB=9Q>

BAF_AGB,

,BA_BF

,,一,

AGAB

3_BF

??z=v>

2

BF=—.

7

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，同角的余角相等，正確

的作出輔助線構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵.

7.(2024?廣東深圳-33校聯(lián)考一模)如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知A(4,0),點(diǎn)B為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，

連接AB,以AB為一邊向下作等邊△ABC,連接OC,則OC的最小值為.

【答案】2

【解析】

【分析】以0A為對(duì)稱軸，構(gòu)造等邊三角形4。尸，作直線DC,交x軸于點(diǎn)E,先確定點(diǎn)C在直線?！晟线\(yùn)

動(dòng)，根據(jù)垂線段最短計(jì)算即可.

【詳解】如圖，以O(shè)A為對(duì)稱軸，構(gòu)造等邊三角形ADF,作直線QC,交x軸于點(diǎn)E,

,?'△ABC,△AZ）尸者B等邊三角形，

：.AB=AC,AF=AD,ZFAC+ZBAF=ZFAC+ZCAD=60°,

：.ZBFA=ZCDA=120°,

：.ZODE=ZODA=60°,

：.ZOED=30°,

：.OE=OA=4,

.?.點(diǎn)C在直線。E上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)OCJ_QE時(shí)，0c最小,

此時(shí)OC=L（9E=2,

2

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判斷，三角形的全等判定和性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握三角形

全等和垂線段最短原理是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?廣東深圳?南山區(qū)一模）如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=242>AC=6,點(diǎn)E

在線段AC上，且AE=1，。是線段5C上的一點(diǎn)，連接。E,將四邊形A3DE沿直線OE翻折，得到

四邊形RGDE,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時(shí)，AF=.

【答案】一

3

【解析】

【分析】過點(diǎn)尸作FM，AC于點(diǎn)M,由折疊的性質(zhì)得/G=AB=20，ZEFG=ABAC=90°,EF=AE=1,

再證明J/MsGEE,得應(yīng)0=MF=-y/2f進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作FMLAC于點(diǎn)M,

???將四邊形ABDE沿直線OE翻折，得到四邊形FGDE,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上,

:.FG=AB=26,^EFG=ZBAC^90°,EF=AE=\,

???EG=JF+(20『=3，

,/ZFEM=ZGEF,ZFME=ZGFE=90°,

A二FMEs一GFE,

.EM_EFMF\

"EF~EG^FG~3

：.EM=-EF=-,MF=-FG=-yf2,

3333

4

：.AM=AE+EM=-,

【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造”母子相似三

角形“是解題的關(guān)鍵.

9.（2024.廣東深圳?寶安區(qū)二模）如圖，矩形ABCZ）的對(duì)角線AC和3。交于點(diǎn)。，AB=3,BC=4.將

△ADC沿著AC折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)E處，連接OE交于點(diǎn)口，AE交BC于點(diǎn)、G,則石尸=

【答案】—

39

【解析】

【分析】連接DE,BE,設(shè)DE交AC于點(diǎn)H,勾股定理得出AC=5,等面積法求得CH,然后求得OH,

根據(jù)中位線的性質(zhì)得出OC//BE,證明.OFCsEFB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接設(shè)DE交AC于點(diǎn)

n

;矩形ABCD中，AB=3,BC=4.

AC^BD=y/AB2+BC2

;矩形ABC。的對(duì)角線AC和交于點(diǎn)。，將ZW）。沿著AC折疊，使點(diǎn)O落在點(diǎn)E處

DE1AC

?：S=-ADxDC=-ACxDH,

ADnCr22

.ADxDC12

..L)rL=-----------=—,

AC5

；?CH=y]DC2-DH2=1

597

：.OH=OC-HC=——,

2510

DH=HE,OD=OB,

：.OH=-BE,OH//BE,

7

BE=-,NOCF=NFBE,

5

又：ZOFC=ZBFE,

_OFCS_EFB,

.EFBE

"''OF~'OC'

7

._5_14

*'OF-J_25)

2

,/OE=OF+FE=-,

2

25395

即EF+——EF=—EF=—,

14142

故答案為：—.

39

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的折疊問題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)

與判定是解題的關(guān)鍵.

【答案】一

3

【解析】

【分析】過點(diǎn)尸作于點(diǎn)M,由折疊的性質(zhì)得BG=AB=2jLZEFG=ABAC=90°,EF=AE=1,

12/-

再證明二E0Es_GEE,得EM=:，MF=-y/2,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作FMLAC于點(diǎn)

???將四邊形ABDE沿直線OE翻折，得到四邊形FGDE,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上,

：.FG=AB=242^ZEFG=ZBAC=90°,EF=AE=1,

???EG=J12+(2行『=3,

VZFEM=ZGEF,ZFME=ZGFE=90°,

_FMEs_GFE,

EM_EFMF_1

EF~EG~FG~3

：.EM=-EF=-,MF=-FG=-^2,

3333

4

：.AM=AE+EM=-,

3

?*.AF=S]AM2+MF2=二心

3

故答案是：-V6.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造”母子相似三

角形“是解題的關(guān)鍵.

10.（2024?廣東深圳?寶安區(qū)三模）如圖，已知A3=10,點(diǎn)C,。在線段A5上，&AC=DB=2.尸是

線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以"，PB為邊在線段A3的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△尸EB，連接EF,

設(shè)所的中點(diǎn)為G,則CG+GD的最小值是

【答案】VTTT

【解析】

【分析】分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H，易證四邊形EPm為平行四邊形，得出6為叨中點(diǎn)，則G的

運(yùn)行軌跡為二HCD的中位線MN.作點(diǎn)、C關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)/,連接D7交于點(diǎn)G',連接,C7,

則四邊形C7HK是矩形，此時(shí)CG+DG的值最小，最小值為線段OJ的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H,過點(diǎn)"作于點(diǎn)K.

ZA=ZEPB=60°,

/.AH//PF,

'：ZB=ZEPA=60°,

BH//PE,

四邊形EPEH為平行四邊形，

.?.EF與HP互相平分.

：G為防的中點(diǎn)，

，G也正好為PH中點(diǎn)，

即在P的運(yùn)動(dòng)過程中，G始終為PH的中點(diǎn)，

G的運(yùn)行軌跡為_HCD的中位線.

作點(diǎn)C關(guān)于"N的對(duì)稱點(diǎn)/,連接ZV交于點(diǎn)G',連接HJ,CJ,則四邊形C7S次是矩形，此時(shí)

CG+ZX7的值最小，最小值為線段。J的長(zhǎng).

,/是等邊三角形，AB=10,HK±AB,

.-.AK=KB=5,

cj=KH=7102-52=5/，

,/AC=DB=2,

:.CD^AB-AC-DB=6,

DJ=VcZ+DC2=7（5A/3）2+62=-Jin,

:.CG+DG的最小值為JHT.

故答案為：JTTT.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的

AcPKDB

性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)問題，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱

解決問題.

11.（2024廣東深圳?福田區(qū)二模）如圖，矩形ABC。，AB=4,BC=8,E為A5中點(diǎn)，尸為直線

上動(dòng)點(diǎn)，B、G關(guān)于所對(duì)稱，連接AG,點(diǎn)P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足NAPB=LNAGB,則OP的最小

值

【答案】2M-2拒

【解析】

【分析】由題意可知，NAG8=90°,可得NAPB=，NAGB=45。，可知點(diǎn)P在以A3為弦，圓周角

2

Z4PB=45。的圓上,（要使0P最小，則點(diǎn)尸要靠近蒂點(diǎn)。，即點(diǎn)尸在AB的右側(cè)），設(shè)圓心為。，連接。4,

OB,OE,OP,0D,過點(diǎn)。作OQLAD,可知_A0S為等腰直角三角形，求得

0A=[AB=2近=0P，AQ=0Q=104=2，QD=AD-AQ=6,

OD=J。。?+QD2=2M,再由三角形三邊關(guān)系可得：DP>OD-OP=2y/lQ-2y/2，當(dāng)點(diǎn)P在線

段OD上時(shí)去等號(hào)，即可求得。。的最小值.

【詳解】解：：夙G關(guān)于EF對(duì)稱，

ABH=GH,且EFLBG

為AB中點(diǎn)，則EH為―/1SG的中位線，

：.EH//AG,

：.ZAGB=90°,

,/ZAPB=-ZAGB,即ZAPB=-ZAGB=45°,

22

點(diǎn)P在以AB為弦，圓周角NAPB=45。的圓上，（要使。尸最小，則點(diǎn)P要靠近蒂點(diǎn)￡>,即點(diǎn)尸在AB

的右側(cè)）

設(shè)圓心為。，連接Q4,OB,OE,OP,0D,過點(diǎn)。作OQJ_AD,

則Q4=05=0尸，

,/ZAP3=45°,

ZAOB=9Q°,貝UAOB為等腰直角三角形,

?*.OA=—AB=272=OP，

2

又為AB中點(diǎn)，

/.OE_LAB,OE=—AB=AE=BE,

2

又?.?四邊形ABC。是矩形，

：.ZBAD^9Q°,AD=BC=8,

四邊形AEOQ是正方形，

/.AQ=OQ=^OA=2,QD^AD-AQ=6,

???OD=y/OQ2+QD2=2V10，

由三角形三邊關(guān)系可得：DPNOD-OP=2M-2屈,當(dāng)點(diǎn)尸線段OD上時(shí)去等號(hào)，

；?DP的最小值為2屈-2J5，

故答案為：2M-2版.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，隱形圓，三角形三邊關(guān)系，正方形的判定及性質(zhì)，等腰直

角三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)NAPB=LNAGB=45。得知點(diǎn)P在以A3為弦，圓周角Z4PB=45。的圓

2

上是解決問題的關(guān)鍵.

12.（2024.廣東深圳?光明區(qū)二模）在_帥。中，tan5=5，NACB+2N3=90，線段CD平分/ACS.己

知。。=4后，則線段的長(zhǎng)為.

【答案】475

【解析】

【分析】本題考查解直角三角形.過點(diǎn)C作CELB4交5A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,根據(jù)角平分線得到

ZEDC=45°,根據(jù)三角函數(shù)得到CE=4,進(jìn)而求出5E=8,然后利用勾股定理求出5C長(zhǎng).

【詳解】過點(diǎn)C作CE，BA交物的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

'：CD平分ZACB,

ZBCD=-ZACB,

2

；.ZEDC=ZB+ZDCB=1(2NB+ZACB)=1x90°=45°,

/.CE=CDtanZEDC=4A/2x—=4，

2

..nCE1

?tanB----——,

BE2

BE=8,

BC=y/CE2+BE2=V42+82=475?

13.(2024?廣東深圳33校三模)如圖Rtz\A3C,NAC5=90。，A。垂直/ABC外角角平分線于。點(diǎn),

過。作5C的垂線，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接。C交A3于點(diǎn)R^=|,DE=75,那么破的長(zhǎng)為

【解析】

【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，延長(zhǎng)A。交CB于

點(diǎn)、H,延長(zhǎng)AB,OE相交于點(diǎn)G,證明，A3Z運(yùn)一HBD(ASA),則AT>=DH,AB=BH，證明

一DESACH,求出AC=2逐，證明DGF^CAF,求出。G=—AC=—義2君=—君，則

442

石6=。6-。石=!逐，證明，8石匕BC4,得到3E=LCB,則3石=工。石=，￡“，BC=4BE,

2455

得到則AB=65E,在Rt^ACfi中，AB2=BC2+AC2,則

66

（6BE）2=（4BE）2+（2^）\即可求出班的長(zhǎng).

【詳解】解：延長(zhǎng)A。交CB于點(diǎn)打，延長(zhǎng)AB,OE相交于點(diǎn)G,

A。垂直/ABC外角角平分線于。點(diǎn)，

ZABD=ZHBD,ZADB=ZHDB=90°

BD=BD

ABD^^HBD(ASA),

AD=DH，AB=BH

RtAABC,ZACB=90°,DELCH,

DEAC

DEHs.ACH

DEDH_EH__1

AC-A"-C"-5'

AC=2DE=275，EH=CE

DEAC

DGFS.CAF

DGDF_3

AC-CF-4'

DG=-AC=-x245=-45,

442

Q1

EG=DG-DE=-45-45=-45,

22

DEAC

，BEGsBCA

.BEEG_1

"BC-AC-4'

：.BE=-CB,

4

：.BE=-CE=-EH,BC=4BE

55

：.BE=-BH=-AB,

66

?*.AB=6BE,

在RtAACB中，AB2=BC2+AC2

即（65E）2=（45E『+（2君『，

解得BE=1（負(fù)值已舍去），

故答案為：1

14.（2024?廣東深圳?龍華區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,P是邊上一點(diǎn)，將，PCD沿CP

折疊，若點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好是的重心，則的長(zhǎng)為.

【答案】3c

【解析】

【分析】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形的重心，圖形的折疊變換及其性質(zhì)，勾股定理，延長(zhǎng)CE交A3

于F,在所的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)"，使FH=FE,連接AH,BH,PF,連接AE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)T,

連接BE,由折疊的性質(zhì)得PPD=PE,CE=CD=6,根據(jù)點(diǎn)E是的重心，得AT是邊上

的中線，Cb是A3邊上的中線，則==CT=BT,先證四邊形是平行四邊

2

形得BH〃AE,進(jìn)而得ET是ACBH的中位線，則EH=CE=6,進(jìn)而得EH=EE=3,在Rt_5CF

中，由勾股定理得BC=dCF「BF2=6及，再判定Rt一尸”ZRt—P跖（HL）,得PA=PE,進(jìn)而

得尸。=24=工4。=3應(yīng)，據(jù)此可得出答案.

2

【詳解】解：延長(zhǎng)CE交AB于凡在所的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H,使FH=FE,連接AH,BH,PF,

連接AE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)T,連接班，如下圖所示：

?..四邊形ABC。為矩形，48=6,

AZBAD^ZD=90°,CD=AB=6,AD=BC,

由折疊的性質(zhì)得：PD=PE,CE=CD=6,ZPEC=ND=9。。,

:點(diǎn)后是_45。的重心，

???AT是5C邊上的中線，Cb是A3邊上的中線，

即AE=3F=^AB=3,CT=BT,

2

又：FH=FE,

四邊形AEBH是平行四邊形，

/.BH//AE,

即BH〃ET,

.CTCE

,,BT—EH'

'：CT=BT,

：.CE=EH,

:.ET是,CBH的中位線，

：.EH=CE=6,

：.FH=FE=3,

：.CF=CE+FE=6+3=9,

在Rt_BCF中，由勾股定理得：BC=\ICF2-BF2=6、/1，

?>-AD=BC=672，

FE=3,AF=3,

:.AF=FE,

???NF￡C=90°,ZBAD=9Q°,

；.ZBAD=NPEF=90°,

在RtAB4F和RtAPEF中,

AF=FE

PF=PF'

RtPAF^RtPEF(HL),

：.PA=PE,

：.PD=PA=-AD=342,

2

故答案為：3后.

4

15.(2024廣東深圳?羅湖區(qū)二模)如圖，直線丁=-x+a與反比例函數(shù)y=—(X>0)只有唯一的公共點(diǎn)A,

k

與反比例函數(shù)y=—(x>0)交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)8,如果A5=25C,則A的值為

X

【答案】-5

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，求一次函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組根據(jù)只有一個(gè)交

點(diǎn)求出。值得到交點(diǎn)坐標(biāo)4(2,2),根據(jù)直線解析式求出8點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別求出點(diǎn)。和點(diǎn)C

坐標(biāo)，即可得到左值，求出點(diǎn)C坐標(biāo)是關(guān)鍵.

y=-x+a

【詳解】解：聯(lián)立方程組得4

尸一

Ix

整理得：X2-ax+4=0,

???只有一個(gè)交點(diǎn),

△=a?—16=0,

〃=±4,舍去負(fù)值,

.,.(2=4,

國(guó)一次函數(shù)解析式為y=-x+4,

y=一犬+4

團(tuán)聯(lián)立方程組得，4,

y=-

IX

解得：％=2,x2=-2(舍去),

回點(diǎn)4(2,2),

?.?當(dāng)y=0時(shí)，x=4,

5(4,0),

2+42+0

線段A5的中點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為:——=3,縱坐標(biāo)為：二^二1,

22

.?.0(3,1),

AB=2BC,

BD=BC,

=1

0-^,yc=-1,

2

AC（5,-l）,

工圖象上,

。（5,—1）在反比例函數(shù)y

X

k=—5,

故答案為：-5.

16.（2024?廣東深圳.羅湖區(qū)三模）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=9,cotA=2,點(diǎn)。在

邊A3上，點(diǎn)E在邊AC上，將沿著折痕OE翻折后，點(diǎn)A恰好落在線段5C的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)P處，

如果NB?D=NA,那么折痕OE的長(zhǎng)為.

【答案】20

【解析】

【分析】過點(diǎn)。作￡）/工4。于點(diǎn)F,首先根據(jù)題意可證得，ZBDP=90°,

tanA=tanZBPD=-=—=根據(jù)勾股定理即可求得3。=2叵，人。=竺心，再由折疊的性

ACPD255

質(zhì)可知：AE=PE，AD=PD，即可求得BD—3,AD=PD=6,再根據(jù)勾股定理即可求得BP=3A/5，

。。=述，由。尸〃5。，可證得八位見口八鉆。，t=竺=迫=2,據(jù)此即可求得。歹=述,

5BCACAB35

AF=^H,FC二處,再根據(jù)勾股定理即可求得EC=8叵，EF=^,據(jù)此根據(jù)勾股定理即可

5555

求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖：過點(diǎn)。作￡R_ZAC于點(diǎn)R

DF//BC,ZA+ZB=90%

ZBPD=ZA，

ZBPD+ZB=90°,

.\ZBDP=90°,

在中，ZACB=90°,cotA=2,

..tanA,—1—1,

cotA2

,/neBCBD1

..tunA—tanNBPD--——

ACPD2

在RtzXABC中，AC~+BC~=AB2,

:.4BC2+BC2=92,

解得BC=%叵，

5

.-.AC=^l，

5

由折疊的性質(zhì)可知：AE=PE，AD=PD，

9-PD1

tanZBPD=--------=

PD2

解得PD—6，

:.BD=3,AD=PD=6

在RtABPD中，BD2+PD2=BP?,

:.BP=^+e=375-

:.CP=BP—BC=3后—=，

55

DF〃BC，

；qADFs_ABC,

DF_AFAD_6_2

"BC-AC-AB-9-3)

DFAF_2

9^/5-1875~3

丁5

解得。歹=二一,AF=——，

55

FC=AC.AF=?L?i2

555

在RtAECP中，EC2+CP?=PE2，

\2

EC2+-EC

/

解得EC=85

5

在RtADEF中，DE2=DF-+EF2，

故答案為：2拒.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正切的定義，作出輔助線及準(zhǔn)確

找到各線段之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

17.（2024?廣東深圳?南山區(qū)三模）如圖，在矩形ABCD中，AD=3,AC=6,點(diǎn)E是A5中點(diǎn)，點(diǎn)

歹是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，尸與ZVIEF關(guān)于直線所對(duì)稱，EG交AC于點(diǎn)〃，當(dāng)_CGH中有一個(gè)

內(nèi)角為90。時(shí)，則CG的長(zhǎng)為

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、含30。角的直角三角形

的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是矩形，所以A3=CD,?B90?,BC=AD=3,因?yàn)锳C=6,所以

CD=AB=VAC^BCr=A/62-32=373>^BAC=3Q°,因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以

AE=BE=空，當(dāng).CGH中有一個(gè)內(nèi)角為90。時(shí)，分兩種情況:①當(dāng)ZCGH=90°時(shí)，則EGLCD,

2

四邊形5CGE是矩形，所以。6=5￡=工45=之叵；②當(dāng)NCHG=90°時(shí)，則NAHE=90°,所以

EH，AE=^

24

由折疊的性質(zhì)得：GE^AE^—,所以GH=GE—叵—型=3叵，

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形,

AAB=CD,?B90?,BC=AD=3,

：AC=6,

,?CD-AB=VAC2—BC2-A/62-32=3^3'^BAC=30°，

???點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),

；?AE=BE=越

2

當(dāng),CGH中有一個(gè)內(nèi)角為90。時(shí)，分兩種情況:

當(dāng)NCGH=90°時(shí)，如圖1所示：

則EGLCD,四邊形BCGE是矩形,

???CG=BE==AB=^~；

22

當(dāng)NCHG=90°時(shí)，如圖2所示:

貝UNAHE=90°,

：.EH，AE=^，AH=ylAE2-HE2

24

915

CH=AC-AH=6——=—,

44

由折疊的性質(zhì)得：GE=AE=正

2

GH=GE—EH=^—^=^，

綜上所述，CG的長(zhǎng)為士叵或上也;

22

故答案為乎或平.

18.（2024?廣東深圳?南山區(qū)二模）已知.ABC,AB=AC,AO工BC,點(diǎn)尸在AC上，作石戶，A3于

E,交延長(zhǎng)線于G,連接位），NGFC=2ZEDA,DH=CG=2,則"的長(zhǎng)為.

【解析】

【分析】可證得A、E、D、G四點(diǎn)共圓，推出/2=/3,推出AF=bG,證得△AFH0△GFC,得

到彼=FC,AH=CG=2,再證得八4。^40?0,從而得到AH=CG=CD==2,利用

2

三角形中位線定理以及△HRCs\GE4,可推出AF=—AC,利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，即可求解.

Z3

【詳解】解:連接HC,AG,如圖：

,/AD1BC,EF±AB,

：.ZAEG=ZADG=90°,

.”、E、D、G四點(diǎn)共圓,

AZ1=Z2，

NGFC=2/1

：.ZGFC=2Z2,

又；ZGFC=Z2+Z3,

：.N2=N3,

：.AF=FG,

'：AB=AC,ADIBC,

N4=N5,

VZ4+ZB=90°,Z6+ZB=90°,

AZ4=Z5=Z6,

在，AFH和.GFC中，

"Z5=Z6

<AF=FG,

ZAFH=ZGFC

：..AFH^GFC(ASA),

：.HF=FC,AH=CG=2,

?：AF=FG,

：.AF+FC=FG+HF,

：.AC=GH,

在,ACD和46印)中，

ZADC=ZGDH=90°

<Z5=Z6,

AC=GH

.ACD^GHD(AAS),

CD=DH=2,

：.AH=CG=CD=DH=2,

???點(diǎn)”為AD中點(diǎn)，點(diǎn)。為OG中點(diǎn),

：.HC=-AG,HC//AG,

2

AHFCs^GFA,

.FCCH1

?,瓦一花一3'

：.AF=2FC,

：.AF=-AC,

3

在Rt^AC。中，AD=AH+DH=4,DC=2,

AC=ylAD2+DC2=V42+22=245，

AF=-AC=-X2A/5=-75.

333

故答案為：—A/5.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，

四點(diǎn)