線、面的動點最值專項練習(xí)

數(shù)軸上運動的線段

【方法技巧】數(shù)形結(jié)合，設(shè)未知數(shù)，看清楚動點的速度和方向，表示出線段的點表示的數(shù)（注意比較上節(jié)內(nèi)容:

數(shù)軸上運動的點）,再根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程求解.

［題1］★★★如圖，數(shù)軸上線段AB=2（單位長度）,CD=4（單位長度）點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10，點C在數(shù)

軸上表示的數(shù)是16.若線段AB以6個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段CD以2個單位長度/秒的速度

向左勻速運動.

III11,

AB0CD

（1）問運動多少秒時BC=8（單位長度）；

（2）當運動到BC=8（單位長度）時，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是；

（3）P是線段AB上一點，當B點運動到線段CD上時，是否存在關(guān)系式胃=3,若存在，求線段PC的長；

若不存在，請說明理由.

［題2］如圖，P是定長線段AB上一點，C、D兩點同時從P、B出發(fā)分別以lcm/s和2cm/s的速度沿直線

AB向左運動（C在線段AP±,D在線段BP上）.已知C、D運動到任一時刻時，總有PD=2AC.

IIIII

ACPDB

（1）線段AP與線段AB的數(shù)量關(guān)系是________________；

⑵若Q是線段AB上一點，且AQ-BQ=PQ,求證:AP=PQ;

（3）若C、D運動5s后.恰好有CD=1AB此時C點停止運動Q點在線段PB上繼續(xù)運動,M、N分別是CD、

PD的中點，問器的值是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出答的值.

ADAD

勻速運動的點形成全等三角形

【方法技巧】數(shù)形結(jié)合，設(shè)未知數(shù)，看清楚動點的速度和方向，表示出三角形的邊長；根據(jù)題中的等量關(guān)系列

方程求解.分段討論是重點.

[題1]★★★如圖,AABC中,NACB=9(T,AC=6,BC=8點P從A點出發(fā)沿A-C-B路徑向終點運動，終點為B

點點Q從B點出發(fā)沿B-C-A路徑向終點運動終點為A點.點P和Q分別以1和3的運動速度同時開始運動，

兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻,分別過P和Q作PEL1于E,QF，1于F.問:點P運動多少時

間時,APEC與AQFC全等？請說明理由.

【題2】★★★如圖①,AB=4cm,AC，AB,BD，AB,AC=BD=3cmj^P在線段AB上以lcm/s的速度由點A向

點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動.它們運動的時間為t(s).

⑴若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t=l時,AACP與ABPQ是否全等，請說明理由，并判斷此

時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；

(2)如圖②，將圖①中的“AC，AB,BDJ_AB”改為“NCAB=/DBA=60?！?其他條件不變.設(shè)點Q的運動速度為x

cm/s,是否存在實數(shù)x,使得AACP與ABPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請說明理由.

圖①圖②

【題3】★★★★如圖.在四邊形AB-CD中,AD=BC=8,AB=CD,BD=12,點E從D點出發(fā),以每秒1個單位的速

度沿DA向點A勻速移動，點F從點C出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿C-B-C，作勻速移動，點G從點B出

發(fā)沿BD向點D勻速移動，三個點同時出發(fā)，當有一個點到達終點時，其余兩點也隨之停止運動，假設(shè)移動時間

為t秒.

⑴試證明:AD〃BC;

(2)在移動過程中，小明發(fā)現(xiàn)有ADEG與ABFG全等的情況出現(xiàn)，請你探究這樣的情況會出現(xiàn)幾次？并分別求出

此時的移動時間和G點的移動距離.

[題4]如圖，已知AABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm點D為AB的中點.如果點P在線段BC上以

3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動.

(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后,ABPD與ACQP是否全等，請說明理由；

(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使ABPD與ACQP全等?

若點Q以⑵中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿AABC三邊

運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在AABC的哪條邊上相遇？

四邊形中勻速運動的點

【方法技巧】平行四邊形中勻速運動的點，可以設(shè)運動時間為t,然后用t表示各個變量求解；線段的最值常用

兩邊之和大于第三邊或垂線段最短求解.

【題1】★★★如圖在四邊形ABCD中,AD〃BC,AD=24cm,BC=30cm,點P從點A向點D以lcm/s的速度

運動，到點D即停止。同時點Q從點C向點B以2cm/s的速度運動，到點B即停止.直線PQ將四邊形ABCD

截成兩個四邊形，分別為四邊形ABQP和四邊形PQCD，則當P、Q兩點同時出發(fā)幾秒時所截得兩個四邊形中，

其中一個四邊形為平行四邊形？

AP——?D

B--QC

【題2】★★★如圖矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點P是線段AD上一動點(不與點D重合),

P0的延長線交BC于點Q

⑴求證：四邊形PBQD為平行四邊形；

(2)若AB=3cm,AD=4cm,點P從點A出發(fā)，以lcm/s的速度向點D勻速運動，設(shè)點P運動時間為ts，問四邊

形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.

[題3]★★★如圖①，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A,C的坐標分別為A(12,0),C(0,4),點D為

OA邊的中點，連接BD.

⑴直接寫出點D的坐標:,BD=;

⑵如圖②，若點M從點D出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿D-A-B-C運動，同時點N從點0出發(fā)，

以每秒1個單位長度的速度沿O-C-B運動，當點M,N相遇時運動即停止，設(shè)運動時間為t（秒），求使得AMON

為直角三角形時所有t值和取值范圍.

條用圖

【題4】★★★已知:矩形ABCD中,AD>AB,0是對角線的交點，過0任作一直線分別交BC、AD于點M、

N（如圖①）.

圖①

⑴如圖②,四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN,求證:四邊形AMCN是菱形;

圖②

⑵在⑴的條件下,如圖③，若AB=4cm,BC=8cm動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿AAMB和ACDN各

邊勻速運動一周.即點P自A-M—B-A停止，點Q自C-DTN—C停止.在運動過程中,已知點P的速度為每

秒5cm，點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t

的值.

AND

【題5】★★★★如圖，在平面直角坐標系中八8〃0(2人(0,12)2(4(；),(2(00),并且2,13滿足/>=V^21+

標1+16動點P從點A出發(fā).在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向點B運動動點Q從點0出發(fā),

在線段0C上以每秒1個單位長度的速度向點C運動，點P,Q分別從點A,0同時出發(fā)，當點P運動到點B時,

點Q隨之停止運動.設(shè)運動時間為t(秒).

(1)求B,C兩點的坐標；

(2)當t為何值時，四邊形PQCB是平行四邊形？并求出此時P,Q兩點的坐標；

(3)當t為何值時,APQC是以PQ為腰的等腰三角形？并求出P,Q兩點的坐標.

動態(tài)路徑問題

【方法技巧】動點的運動路徑問題解題方法：

⑴選取多個特殊點探索多個特殊位置，一般選取起點，終點，和另外的特殊點探索.

(2)根據(jù)這些特殊點的位置猜想運動路徑，然后驗證.現(xiàn)階段多用全等轉(zhuǎn)換求值.

(3)設(shè)點的坐標一證全等一根據(jù)題目條件列式求解.

題1】★★如圖.A(l,0),B(0,l),點P在線段OA上運動,BP，PM,BP=PM,C為x軸負半軸上一定點，連接CM,

N為CM的中點，當點P從點O運動至點A時，點N運動的路徑長為.

【題2狀★★如圖在平面直角坐標系中，正方形ABCO的頂點C,A分別在x,y軸上,A(0,6),點Q為對角線BO

上一動點,D為邊0A上一點,DQLCQ,點Q從點B出發(fā)，沿B0方向移動，若移動的路徑長為3,直接寫出CD的

中點M移動的路徑長為.

2.【思路分析】點Q和點B重合時,D在A點才符合題意，連AC交BO于點N,這時M點即為N點.即M

移動的路徑長為MN.

【題3】★★如圖，直線AB:y=2x+4交x軸于點A,交y軸于點B,C(1,O),P為直線AB上一點將線段PC繞點C

順時針旋轉(zhuǎn)90。得CQ.

(1)當P從點A運動到點B時，點Q的運動路徑長為；

⑵線段OQ的最小值為.

【題4】★★★如圖,A(4,0),B(0,4),點P在線段AB上運動,PQLPO且PQ=PO.

(1)試說明點Q在某一確定的直線上；

(2)點M是OQ的中點，當點P從點A運動到點B時，求點M運動的路徑長.

【思路分析】(l)yAB=-x+4,設(shè)P(a,-a+4),過點P作EF〃x軸交y軸于點E,過點Q作QF，PE于點F,可證

APOE絲ZXQPF,貝!|FQ=PE=a,PF=OE=-a+4./.Q(4,4-2a),貝！J點Q在直線x=4上；

(2)由M為OQ中點得xM=2,當點P與起點A重合時,Mi(2,-2),當點P與終點B重合時,乂2(2,2),故點M的路徑

長為M1M2=4.

【題5】★★★如圖，在AABC中,/B=90o,/BAC=6(F,AB=1若點E為BC上一動點以AE為邊在AE右側(cè)

作等邊AAEF,連接CF,點G為線段CF的中點，若點E從點B出發(fā)，沿著BC方向運動到點C,則在此過程中，

點G運動的路徑長為.

【題6】在平面直角坐標系中.點A(0,8)、C(8,0),四邊形AOCB是正方形，點D是x軸正半軸上的一動點，Z

ADE=90°,DE交正方形AOCB的外角的平分線CE于點E.

⑴當點D是OC的中點時，求證AD=DE;

(2)連接AE點F是AE的中點，當點D在x軸正半軸上運動時，點F到CE的距離是否為定值？若為定值,

求出這個值；若不是定值，請說明理由.

1.【答案解析】

(1)點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10+2=-8,點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是16+4=20,運動t時后:A表示的數(shù)為-10

+6t,B表示的數(shù)為-8+6t,C表示的數(shù)為16-2t,D表示的數(shù)為20-2t.

由BC=8得到卜8+6t-16+2t|=85=4或t=2.故運動2秒或4秒后,BC=8.

(2)當運動2秒時，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是4；

當運動4秒時，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是16.

設(shè)運動時間為t秒，設(shè)P原來表示的數(shù)為x,運動t時后:A表示的數(shù)為6t-10,B表示的數(shù)為6t-8,C表示的數(shù)為

16-2t,D表示的數(shù)為20-2t,P表示的數(shù)為x+6t,BD=28-8t,

AP=x+10,PC=|8t+x-16|.

代入*=3,解得x=15-8t或者x=B—8t.

所以.PC=|8t+x-16|=l或|

2.【答案解析】

⑴根據(jù)C、D的運動速度知:BD=2PC,

PD=2AC,BD+PD=2(PC+AC),即PB=2AP,

???點P在線段AB上的拂，即AB=3AP.

(2)證明:如下圖，由題意得AQ>BQ,

APQB

???AQ=AP+PQ,

又AQ-BQ=PQ,AQ=BQ+PQ,

AAP=BQ.

由(1)彳導(dǎo)，AP=

21

JPQ=AB-AP-BQ=AB-2AP=AB-^AB=^AB.

，AP=PQ.

⑶如下圖:

ACPMNDB

運動5s時,PC=5cm,BD=10cm.由(1)可知AP=

設(shè)AP=x^(JAC=AP-PC=x-5,

.*.PD=2AC=2X-10,PB=PD+DB=2X,CD=2X-5,AB=AP+PB=3X.

CD=-AB,2%—5=!x3%=%=10.

22

則D仍為動點.設(shè)A為原點AB=3AP=30AB表示的數(shù)為30,設(shè)運動了t秒(t>5)則D表示的數(shù)為30-2t,

???C表示的數(shù)是10-5=5,M為CD的中點，.?.M表示的數(shù)為世?

???N為PD的中點,???N表示的數(shù)為絲詈.

..10+30—2t5+30—215

???MNn7=------------------------

2’

5

絲=且=工為定值

AB3012為^且.

1.【思路分析】數(shù)形結(jié)合，設(shè)未知數(shù)，看清楚動點的速度和方向，表示出APEC和AQFC的邊長.

根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程求解.需分段討論.

【答案解析】

解設(shè)運動時間為t分三種情況①0<t（用寸.P在AC上,Q在BC上，此時/CPE+NPCE=90o,/QCF+/CQF=90。.

ZACB=90°,.\ZACE+ZQCF=90°,AZQCF=ZCPE,AAPCE^ACQF.

It匕時要得△PCE^ZkCQF,則PC=CQ即6-t=8-3t,t=l,滿足.

②[<t<g時，HQ都在AC上，此時兩個三角形如果全等，則它們必須是重合的,

PC=CQ即6—t=3t—8,t=最滿足.

③t>當時，Q已經(jīng)在A點停止運動，此時P不可能在AC上，即t>6,和①一樣的原因可知，此時PC=CQ即

滿足PC=AC=6,

t=6+6=12,

綜上t=l或t=g或t=12.

2.【思路分析】（2）設(shè)未知數(shù)，表示出AACP和BPQ的邊長，根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程求解.需分“AC=BP,AP=

BQ”和“AC=BQ,AP=BP”兩種情況進行討論.

【答案解析】解:⑴當t=l時,AP=BQ=1,BP=AC=3,

VZA=ZB=90°,.,.AACP^ABPQ.

止匕時/ACP=ZBPQ,ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90°,

/CPQ=90。.即線段PC,線段PQ.

(2)①若AACPgzXBPQ,則AC=BP,AP=BQ,

有解得P=1

lt=xt=1

②若4ACP之△BQP,貝?。軦C二BQ,AP=BP,

有｛七。解得(x=l

綜上，存在『=；或吏得AACP與ABPQ全等.

3.【答案解析】⑴證明:在AABD和ACDB中，

AD=BC,AB=CD,BD=DB,

/.AABD^ACDB,

ZCBD=ZADB,.*.AD//BC.

(2)設(shè)G點的移動距離為y,當F由C—B移動，即0<t</

"?ADEG^ABFG,?.ZEDG=ZFBG,

；.DE=BF,DG=BG或

DE=BG,DG=BF,即::

解得［/或18-3：二；2.y

解得［；二］%舍去).

當F由B—C移動,SP|<t<y,

有I;二U解得二

或L.MLy,解得CM

綜上所述，這種情況會出現(xiàn)3次.

4.【分析】由⑵可得出點Q的速度大于點P的速度，點Q追上點P,要比點P多運動AC+AB的距離.點Q

的路程-點P的路程=10cmx2.

【答案解析】⑴①?；t=ls,，BP=CQ=3xl=3cm,：AB=10cm,點D為AB的中點,...BD=5cm.又：

PC=BC-BP,BC=8cm,；.PC=8-3=5cm,，PC=BD.又：AB=AC,.\ZB=ZC,AABPDACQP.

②?..vp￥vp,，BP￥CQ，又：ABPD^ACQP,ZB=ZC,KUBP=PC=4,CQ=BD=5,：.^P、點Q運動的時間t=

BP4CQ515,

y=-s,■■VQ=—=^=—cm/s.

3

⑵設(shè)經(jīng)過X秒后點P與點Q第一次相遇，由題意，得-3久=2X10,

4

解得X=？s.

...點P共運動了三義3=80cm.

V80=2x28+24,.'.點P、點Q在AB邊上相遇,

經(jīng)過8白，點P與點Q第一次在邊AB上相遇.

1.【思路分析】設(shè)未知數(shù)，看清楚動點的速度和方向，表示線段長度；根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程；其中要注

意因為動點引起的分類討論，這是許多同學(xué)容易遺漏的，也是這類題目的難點.

本題分兩種情況，當四邊形ABQP為平行四邊形時，AP=BQ；當四邊形PQCD為平行四邊形時,PD=QC.

【答案解析】解：設(shè)當P、Q兩點同時出發(fā)t(s)時,四邊形ABQP或四邊形PQCD是平行四邊形，根據(jù)題意彳導(dǎo)

AP=tcm,PD=(24-t)cm,CQ=2tcm,BQ=(30-2t)cm(0<t<15);

①若四邊形ABQP是平行四邊形，

,/AD//BC,：.還需滿足AP=BQ,t=30-2t,解得t=10,

?*.10s時四邊形ABQP是平行四邊形；

②若四邊形PQCD是平行四邊形，

?；AD〃BC,...還需滿足PD=CQ,

24-t=2t.解得t=8,8s時四邊形PQCD是平行四邊形.

綜上所述，當P、Q兩點同時出發(fā)8s或10s時，截得兩個四邊形中，其中一個四邊形為平行四邊形.

2.【思路分析】⑴證APOD也△QOB.

⑵當PB=PD時，口PBQD為菱彩設(shè)AP=t，則PD=PB=(4-t),由勾股定理列方程求解.

【答案解析】(1)證明：：四邊形ABCD是矩形,.?.AD〃BC,OD=OB,/PDO=/QBO,

在APOD和AQOB中,/PDO=NQBO,OD=OB,NPOD=NQOB,

△POD^AQOB(ASA),.\PD=QB.又：PD〃QB,

四邊形PBQD為平行四邊形.

⑵點P從點A出發(fā)運動Is時,AP=tcm,PD=(4-t)cm.

當四邊形PBQD是菱形時,PB=PD=(4-t)cm.

,四邊形ABCD是矩形,ZBAP=90°.

在RtAABP中，AB=3cm,AP2+AB2=PB2,gp.t2+32=(4-t)2；

解得t.點P運動時間為《時，四邊形PBQD為菱形.

oob

3【答案解析】(1)(6,0),2V13

⑵①如圖①所示

y

c------------------?

N

]____________L

o]D-MAX

圖①

：OC=4,DA=6,

.??點N從。到C需要4s,點M從D到A需要2s.

/.0<t<2時，點N在OC上，點M在DA上.

/?當0<飪2時,ANOM為直角三角形.

②如圖②所示：

y

c-B

N-

ODAx

圖②

當MNXOC時,AMON是直角三角形.

VMN±OC,.\ZMNO=90°.

ZMNO=ZNOA=ZOAM.

.,?四邊形OAMN為矩形.

?,.ON=AM..\t=3t-6.

解得:t=3.

.?.當t=3s時,ANOM為直角三角形.

③如圖③所示：

當點N與點C重合時,ANOM為直角三角形.

VON=OC=4,3t=4.??t=*4

綜上所述，當0<t<2時或t=3時或t=軻，ANOM為直角三角形.

4.【答案解析】(1)證法一：??.四邊形ABCD是矩形，

???AD〃BC,AD=BC,

VBM=DN(ABOM^ADCN),

/.AD-DN=BC-BM,

即AN=CM,

四邊形AMCN是平行四邊形，

由翻折得,AM=CM,

..?四邊形AMCN是菱形；

證法二:由翻折得,AN=NC,AM=MC,ZAMN=ZCMN,

：AD〃BC,

/.ZANM=ZCMN,

ZAMN=ZANM,

.*.AM=AN,

；.AM=MC=CN=NA,

四邊形AMCN是菱形；

⑵設(shè)菱形AMCN的邊長為xcm廁BM=8-x,

在RtAABM中，AB2+BM2=AM2,

即42+(8—x)2=x2,

解得x=5,r.AM=5cm,

顯然，當點P在AM上時點Q在CD上.此時A、C、P、Q四點不可能構(gòu)成平行四邊形洞理點P在AB上

時，點Q在DN或CN上，此時A、C、P、Q四點也不可能構(gòu)成平行四邊形，因此，只有點P在BM上，點Q在DN

上時，才能構(gòu)成平行四邊形，此時PC=QA.

?，點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t,

PC=PM+MC=PM+AM=5t,

QA=AD+CD-CQ=8+4-4t=12-4t,

5t=12-4t,解得t==-

..?以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=[s.

5.【思路分析】⑵PB=QC時,四邊形PQCB為平行四邊形；

(3)設(shè)未知數(shù)，建立方程求解.需分PQ=CQ和PQ=PC兩種情況討論.

【答案解析】解：(1)"b-7a—21+V21-a+16,a=21,b=16.

AB//OC,A(0,12),Ac=12,/.B(21,l2),C(16,0);

(2)由題意，得AP=2t,QO=t，則PB=21-2t,QC=16-t,

:當PB=QC時,四邊形PQCB是平行四邊形,，21-2t=16-t,解得t=5,；.P(10,12),Q(5,0);

⑶當PQ=CQ時,如下圖，過Q作QN±AB于點N,

由題意，得PN=t,則122+t2=(16-t)2,解得t=3.5,

，P(7,12),Q(3.5,0).

當PQ=PC時，過P作PMLx軸于點M,

由題意，得QM=t,CM=162,則t=162,解得t=二P償，12),Q得,0).

綜上所述:Pi(7,12),Q式3.5,0出(.2),(?2(印01

1.【思路分析】點P在OA上運動，分別標出點P在點O和P在點A時M的位置.當點P在點。時，N

在CA的中點位置，當點P在點A時，N在CM的中點位置，即N運動的路徑長=\AM.

【答案解析】設(shè)CA的中點為E，連接EN.當點P在點O時，點N位置時點E的位置，當點P在點A時,

N在如下圖位置,點N運動的路徑長為EN的長度.

：BP_LPM,BP=PM,，BAJ_AM,且BA=AM.BA=VXEN=1AM=|xV2=y.

2.【答案解析】作Q