專題3-3二次函數(shù)定(動(dòng))軸與定(動(dòng))區(qū)間六大題型匯總

。常考題型目錄

題型1定軸定區(qū)間問(wèn)題...............................................................2

題型2定軸動(dòng)區(qū)間問(wèn)題...............................................................9

題型3動(dòng)軸定區(qū)間..................................................................14

題型4動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間問(wèn)題..............................................................19

題型5求參數(shù)問(wèn)題..................................................................25

題型6含有絕對(duì)值的二次函數(shù)最值問(wèn)題...............................................32

Q知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一.二次函數(shù)的三種形式

1、一般式:f(x)=ax2+bx+c(a/0)

2、頂點(diǎn)式：若二次函數(shù)的頂點(diǎn)為(h,k)廁其解析式為f(x)=a(x-h)2+k(a，0)

3、兩根式：若相應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為XiM,則其解析式為

f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a/0)

知識(shí)點(diǎn)二.二次函數(shù)最值問(wèn)題

求二次函數(shù)/(%)=ax2+bx+c［a>0)在區(qū)間［%上的最值分為以下三種情況；

h

(1)對(duì)稱軸在區(qū)間的左側(cè)：若%=-二〈根，則/(X)在區(qū)間［九向上是增函數(shù)，最大值

2a

為/⑻,最小值為了(根)；

2

(2)對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)：若根S-丁b少，則/(%)的最小值為/(-=b=\Act:e-Z?，最大

2a\2a)4〃

b

值為/(m)、f(n)中的較大者(或區(qū)間端點(diǎn)m,n中與直線x=—-的距離較大的那一個(gè)端

2。

點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)；即最小值為小白=4知*,最大值為

I2a)4a

/(x)1mx=max{/(7?),/(n)}.

b

(3)對(duì)稱軸在區(qū)間的右側(cè)：若x=----->n,則/(X)在區(qū)間［加,向上是減函數(shù)，最大值為

2a

于(m),最小值為了(").

但題型分類

題型1定軸定區(qū)間問(wèn)題

【方法總結(jié)】

二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱這種情況是“定

二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值"。

【例題II2023春?廣東清遠(yuǎn)?高一陽(yáng)山縣南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)周數(shù)/(%)=-/+2%-3

在區(qū)間［0,+8)上()

A.有最大值-2B.有最大值-3

C.有最小值-2D.有最小值-3

【答案】A

【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得函數(shù)在［0,+8)上的單調(diào)性，從而即可得函數(shù)在

［0,+8)上的最值.

【詳解】解:因?yàn)?(%)=-x2+2x-3,

所以函婁好(久)的圖象是開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為久=1,如圖所示：

由此可得函數(shù)y=f(x)在［0,1)上單調(diào)遞增，在［1,+8)上單調(diào)遞減，

所以/'(X)max=/(I)=-1+2-3=-2,無(wú)最小值.

故選：A.

【變式1-1】1.(2022秋?江西贛州?高一興國(guó)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知二次函數(shù)

y=-4x2+8x-3.

(1)寫出這個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)該函數(shù)的圖像可以由函數(shù)y=-4%2的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到？

(3)求函數(shù)在xW卜2,2］上的最大值和最小值

【答案】⑴,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(L1);

(2)答案見解析

⑶最大值1,最小值-35.

【分析】(1)將二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式分析即可；

(2)描點(diǎn)法作圖，再根據(jù)頂點(diǎn)的平移位置分析即可；

(3)根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間xW［-2,2］的位置關(guān)系求解即可；

【詳解】(1)y=-4x2+8x-3=-4(x-l)2+l,對(duì)稱軸為直線x=l，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(LD；

(2)用描點(diǎn)法作圖，圖像經(jīng)過(guò)(1,1),(［0),(|,0),(0,-3),(2,-3),

圖像如圖所示：

其圖像由y=-4壯的圖像向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到；

(3)由丫=-4/+8/3的圖像可得，當(dāng)％曰-2,2］,函數(shù)在x=l時(shí)取得最大值y=-4x12+8x

1-3=1,在x=-2時(shí)取得最小值y=-4x(-2)2+8x(-2)-3=-35.

故最大值為1,最小值為-35.

【變式1-1］2.(2021秋?海南三亞?高一校考期中)已知函數(shù)f(x)=仁—1,久e［2,6］,

(1)求函數(shù)單調(diào)性；

(2)求函數(shù)最大值和最小值.

【答案】(1)函數(shù)/(久)在區(qū)間［2,6］上為增函數(shù)；

(2)最大值為35,最小值為3.

【分析】(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)利用函數(shù)在區(qū)間［2,6］上為增函數(shù)，由此求得函數(shù)的最值.

(1)

二次函婁妤O)=/_1,對(duì)稱軸為y軸，開口向上，

函數(shù)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故函數(shù)/(久)在區(qū)間［2,6］上為增函數(shù),

⑵

由函數(shù)八支)在區(qū)間［2,6］上為增函數(shù)，

/COmax=/(6)=35,/(X)min=/(2)=3.

因此，函婁好(X)=/-1在區(qū)間［2,6］上的最大值為35,最小值為3.

【變式1-1］3.(2022春?陜西咸陽(yáng)?高二?？计谀?已知二次函數(shù)y=-4%2+8x-3.

(1)指出圖像的開口方向、對(duì)稱軸方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)畫出它的圖像，并說(shuō)明其圖像在y=-4/的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移得來(lái)；

(3)求函數(shù)在xe［-2,2］上的最大值和最小值；

(4)分析函數(shù)的單調(diào)性,

【答案】⑴開口向下，對(duì)稱軸為直線久=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)

(2)作圖見解析；說(shuō)明見解析

(3)最大值為1,最小值為-35

(4)函數(shù)在(-8,1)上是單調(diào)遞增的，在(1,+8)上是單調(diào)遞減的

【分析】(1)將二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式分析即可；

(2)描點(diǎn)法作圖，再根據(jù)頂點(diǎn)的平移位置分析即可；

(3)根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間xe［-2,2］的位置關(guān)系求解即可；

(4)根據(jù)對(duì)稱軸分析函數(shù)的單調(diào)性即可

【詳解】(1)y=—+8%-3=-4(x-I)2+1,故二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為

直線x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)；

(2)用描點(diǎn)法作圖，圖象經(jīng)過(guò)(1,1),(|,0),(|,0),(0,-3),(2,-3),

圖象如圖所示，其圖像由y=-4/的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)

度得到；

(3)由丫=-4x2+8x-3的圖象可得，當(dāng)x6［-2,2］,函數(shù)在比=1時(shí)取得最大值y=-4x

12+8乂1一3=1,在％=-2時(shí)取得最小值y=-4x(-2)2+8x(-2)-3=-35；

(4)由丫=-4/+8%-3的圖象可得，函數(shù)在(-叫1)上是單調(diào)遞增的，在(1,+8)上是單

調(diào)遞減的.

【變式1-U4.(2022?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知函數(shù)"x)=ax2-2ax+b(a>0)的定義

域?yàn)镽,且在區(qū)間［0,3］上有最大值5,最小值1.

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；

(2)若函數(shù)式久)=/(x)-mx+2m-2,求gQ)>0的解集.

【答案】(l)a=l,b=2

(2)答案見解析

【分析】(1)由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在［0,1］上單調(diào)遞減，在［1,3］上單調(diào)遞增，則

｛雋二5從而可求出a,b的值,

(2)由(1)得9(“)—x2—(2+m)x+2m-(x—2)(%—m)，然后分m-2,m>2和m<2

三種情況解不等式

(1)

=ax2-2ax+b=a(x-I)2+b-a(a>0),在［0,1］上單調(diào)遞減，在［1,3］上單調(diào)遞

增，

-1⑴=1，即！a-2a+b=1,解得fa=1,

,1/(3)=5,即19a-6a+b=5,蝌守5=2.

(2)

由(1)知g(x)—x2—(2+m)x+2m—(x—2)(尤—m),

①m=2時(shí),g(x)>0的解集為｛x|x豐2｝；

②m>2時(shí)，g(x)>0,貝！］x>m或m<2,

故m>2時(shí)，g(x)>。的解集為｛x|久>ni或久<2｝；

③m<2時(shí)，g(x')>0,貝?。輝>2或久<m,

故m<2時(shí),g(x)>0的解集為｛x|x>2或久<m］.

綜上,當(dāng)爪=2時(shí),解集為｛x|x豐2｝；當(dāng)m>2時(shí)，解集為>爪或x<2｝；當(dāng)m<2時(shí)，

解集為｛幻刀>2或x<m］.

【變式1-1］5.(2023春?安徽蚌埠?高二統(tǒng)考期末)已知函婁妤O)=ax2-2ax+1+b(a>

0,bGR)在區(qū)間［2,4］上的最小值為1,最大值為9.

(1)求a,6的值；

(2)設(shè)g(x)=號(hào),求g(x)的值域.

【答案】(l)a=1,b=0

(2)(—oo,—4］u［0,+oo)

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)在［2,4］上單調(diào)遞增，即可得到函數(shù)的最值，從

而求出參數(shù)的取值范圍；

(2)首先求出gO)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的值域.

【詳解】(1)因?yàn)?(%)=ax2-2ax+l+b(a>O,bER)圖象開口向上，對(duì)稱軸x=1,

故函數(shù)久久)在［2,4］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最小值/(2)=1+b=1,

當(dāng)％=4時(shí)，函數(shù)取最大值/(4)=16a—8a+l+b=9,

所以a=1,6=0.

(2)由(1)得/(%)=%2—2%4-1,則g(X)=%+：—2(%W0),

易知9口)=1-弓=(x+l"f,

當(dāng)x<-1或x>1,g(x)>0,當(dāng)—1<x<0或0<x<1,g'(x)<0,

即g(x)在(―8,-1),(1,+8)單調(diào)遞增,在(—1,0),(0,1)單調(diào)遞減.

又。(一1)=-4,g(l)=0,且當(dāng)x<。時(shí)g(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)g(x)>0,

故g(x)的值域?yàn)?-8,-4］u［0,+8).

【變式1-1］6.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知函數(shù)/'(%)=ax2-4ax+b(a>0)在［0,3］上

的最大值為3,最小值為-1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若三久e(1,+8),使得/"(久)<mx,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(l)f(x)=x2-4x+3

(2)m>2V3-4

【分析】(1)根據(jù)/(%)的最值列方程組，解方程組求得a,b,進(jìn)而求得/(%).

(2)利用分離常數(shù)法，結(jié)合基本不等式求得m的取值范圍.

【詳解】(1)的開口向上,對(duì)稱軸為x=2,

所以在區(qū)間［0,3］上有：/(x)min=/(2),/0)max=/(。)，

即8f+g=T

Ib=33=3

所以/(汽)=%2-4%+3.

(2)依題意G(1,+oo)，使得/(%)<mx,

即/—4%+3<mx,m>%+1—4,

由于x>l,x+-X-4>2ylX-X--4^2V3-4,

當(dāng)且僅當(dāng)％=X-=>%=時(shí)等號(hào)成立.

所以m>2A/3-4.

題型2定軸動(dòng)區(qū)間問(wèn)題

【方法總結(jié)】

二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱這種情

況是"定函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值"。

【例題2］(2022秋?山西陽(yáng)泉?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)"%)=-#+%在區(qū)間［a,加上的

最小值為3a,最大值為3b,貝?。輆+b=()

A.-4B.iC.2D.-

66

【答案】A

【分析】首先求出函數(shù)的最大值及單調(diào)區(qū)間，依題意可得“X)在區(qū)間［a,切上單調(diào)遞增，即

可得到匕黑=::,從而得到a、b為方程/+2x=0的兩根，再利用韋達(dá)定理計(jì)算可得.

【詳解】解：因?yàn)?(X)=—［/+X=-4久一1)2+Tw］對(duì)稱軸為X=1,開口向下，

函數(shù)在(-8,1］上單調(diào)遞增，在［1,+8)上單調(diào)遞減，

依題意3b<I,所以b<i,所以/(#)在區(qū)間［a,切上單調(diào)遞增，

Zo

J_12I_Q

所以朦廣;〉即「針2”所以a、b為方程#+2x=0的兩根，

(f(b)=3b_/2+匕=3》2

v2

所以a+b=-y=-4.

2

故選：A

【變式(2022秋?上海寶山?高一上海交大附中?？茧A段練習(xí))已知二次函數(shù)y=/-

2x+4,xe［0,詞的最小值是3,最大值是4，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

【答案】[1,2]

【分析】結(jié)合二次函數(shù)y=/-2x+4(x>0)的圖象求得正確答案.

【詳解】二次函數(shù)y=x2-2x+4=(x-I)2+3>3,

由/-2x+4=4解得久=0或x=2,

畫出二次函數(shù)y=/-2x+4(x>0)的圖象如下圖所示，

由圖可知，山的取值范圍是口2].

故答案為：[1,2]

【變式2-1]2.(2022秋?上海青浦?高一上海市朱家角中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=

x2+2x+3,x6[m,0]的最大值為3,最小值為2,則實(shí)數(shù)小的取值范圍是.

【答案】[-2,-1]

【分析】畫出函數(shù)的圖像，對(duì)稱軸為x=-1,函數(shù)在對(duì)稱軸的位置取得最小值2,令/(*)=

%2+2%+3=3,可求得久=0,或x=—2,進(jìn)而得到參數(shù)范圍.

函數(shù)f0)=/+2比+3的圖象是開口朝上，且以直線x=-1為對(duì)稱的拋物線,

當(dāng)X=-1時(shí)，函數(shù)取最小值2,

令f(%)=/+2x+3=3,貝?。輝=0,或無(wú)=-2,

若函數(shù)/⑶=/+2x+3在［m,0］上的最大值為3,最小值為2,

則7716［-2,-1］,

故答案為:［—2,—1］.

【變式2-1］3.(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))已知函婁好0)為二次函數(shù)，不等式“乃〉。的解

集是(1,5),且/'(%)在區(qū)間上的最小值為-12.

⑴求“X)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)/(*)在［t,t+1］上的最大值為g(t),求g(t)的表達(dá)式.

【答案】(1)/0)=-/+6X-5

'-t2+4t,t<2

⑵g⑴={4,2<t<3

、—力2+6t—5,t23

【分析】(1)根據(jù)題意,設(shè)/(")=a(x-1)(%-5),可得函數(shù)的對(duì)稱軸x=3,再根據(jù)函數(shù)

在［-1,4］上的最小值，求出a,可得函數(shù)八%)數(shù)的表達(dá)式；

(2)分t+1<3時(shí)、t>3時(shí)和2<t<3時(shí)三種情況,分別討論函數(shù)的單調(diào)性,可得相應(yīng)情

況下函數(shù)的最大值，最后綜合可得g(t)的表達(dá)式.

【詳解】(1)解：因?yàn)椴坏仁?0)>0的解集是(L5),所以/(%)=。的兩根為1和5,且函

數(shù)開口向下,故可設(shè)f0)=a(x-1)(%-5)(a<0),所以函數(shù)的對(duì)稱軸為x=*=3,所

以當(dāng)%G時(shí)f(x)min=/(-I)=12a=-12解得a=-1，故/(%)=-(%一1)(%一5),

即/(%)=+6%—5

(2)解：因?yàn)?(%)=—X2+6%—5=—(%—3尸+4,

當(dāng)t+1工3時(shí)，即t<2時(shí)，/(%)在匕t+1］上單調(diào)遞增，所以

g(t)=/(t+1)=-t2+4t,

當(dāng)t<3<t+1時(shí)，即2<t<3時(shí)，/⑺在比3］上單調(diào)遞增,在(3,t+1］上單調(diào)遞減,所以

g(t)=/⑶=4；

當(dāng)t>3時(shí)，/(%)在［t,t+1］上單調(diào)遞減，所以g(t)=/(t)=—/+6t—5;

—產(chǎn)+4t,tW2

綜合以上得g(t)=,4,2<t<3

t2+6t-5,t>3

【變式2-1J4.(2021秋?浙江金華?高一?？计谥?已知“乃是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0

時(shí),/W=-X2+2x.

(1)求函婁妤0)的解析式；

⑵求函婁好0)在區(qū)間［0,3］上的最大值和最小值；

(3)若函數(shù)/O)在［-1,a-2］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

—X2+2x,x>0

【答案】(1)/0)=,0,%=0

、x2+2x,x<0

(2)最大值1；最小值-3；

(3)1<a<3

【分析】(1)令“<0,則有-刀>0，代入給定的解析式求出f(-璜，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求

出x<。時(shí);'(>)的解析式，從而求出定義域?yàn)镽的解析式；

(2)利用x>。的解析式，結(jié)合二次函數(shù)區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系求出最大值和最小值；

(3)由第一問(wèn)求出的解析式，分析函數(shù)的單調(diào)性，使［-l,a-2］在單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，列出不

等式求解.

(1)

解：令久<0,貝！］有一x>0，代入可得：y(-x)=-(-%)2+2(-x)=-x2-2x--/(x),

所以/(%)=產(chǎn)+2x.又/⑺是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以有/(0)=0.所以函數(shù)/0)的解析式

—x2+2x,x>0

為/(x)=-0,x=0.

、x2+2x,x<0

⑵

解：由(1)可知，當(dāng)X>。時(shí)，/(X)=-X2+2x.對(duì)稱軸為x=1,所以當(dāng)x=1時(shí)，/(久)有

最大值/⑴=1；當(dāng)"=3時(shí)，距離軸最遠(yuǎn)，/(x)有最小值八3)=-3；

⑶

解：由(1)可知，,0)在［-1,1］上單調(diào)遞增，所以若函數(shù)f0)在［-l,a-2］上單調(diào)遞增,則

有a—2<1,且a-2>—1,解得：1<aW3.

【變式2-1］5.(2021秋?廣東梅州?高一大埔縣虎山中學(xué)校考階段練習(xí))若二次函婁好(嗎=

ax2+bx+c滿足/'(2)=/(-I)=-1,且函數(shù)fO)的最大值為8.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式

(2)當(dāng)xe［2,m］時(shí)，函婁好(X)的最小值為-8,求實(shí)數(shù)m的值.

【答案】(l)/(x)=—4/+4x+7

(2)m=|

【分析】(1)根據(jù)題意，設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，結(jié)合對(duì)稱軸與最值，以及"2)=-1,即可

求解；

(2)根據(jù)題意，易得函數(shù)/在［2,刈上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)/(?的最小值為-8,即可求

解.

(1)

由"2)=/(—1),得尤=與1=3為二次函數(shù)的對(duì)稱軸,

因函數(shù)f(x)的最大值為8,所以可設(shè)f(x)=a-()2+8,

又因/(2)=+8=—1,所以a=—4,因此/(久)=—4x2+4x+7.

⑵

由(1)可知，函數(shù)人乃在［2,爪］上單調(diào)遞減，

因此f(x)min=f(.m)=~4m2+4m+7=-8,解得m=-1或m=|,

又因血>2,所以爪=|.

題型3動(dòng)軸定區(qū)間

【方法總結(jié)】

二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運(yùn)動(dòng)的，但定義域區(qū)間是固

定的，我們稱這種情況是"動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值"。

【例題3］(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)f(x)=/-2bx+3a在區(qū)間［0,1］上的最大值

是M,最小值m,則M-m()

A.與a無(wú)關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，且與b無(wú)關(guān)

C.與a有關(guān)，且與b有關(guān)D.與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)

【答案】A

【分析】討論b>Kb<0.0<b<l利用二次函數(shù)的性質(zhì)求［0,1］的最值結(jié)合已知求M-m,

即可判斷與參數(shù)a、b是否有關(guān).

【詳解】函數(shù)/(x)=/—2bx+3a的圖象開口朝上，且對(duì)稱軸為直線％=b,

①當(dāng)b>1時(shí),在［0,1］上單調(diào)遞減,則M=/(0)=3a,m=/(I)=l-2b+3a,

此時(shí)"-m=2b-1,故M-7n的值與a無(wú)關(guān)，與b有關(guān),

②當(dāng)b<0時(shí)②⑶在［0,1］上單調(diào)遞增,則M=/(I)=l-2b+3a,m=/(0)=3a,

此時(shí)M-m=l-2b,故M-m的值與a無(wú)關(guān)，與b有關(guān),

③當(dāng)0<b<1時(shí)，m=f(b)=3a-b2,

若046W次寸，/(l)>/(O),有M=/(I)=1-26+3a,

M-m=b2-2b+1,故M-TH的值與a無(wú)關(guān)，與b有關(guān)，

若b>|時(shí)，/"⑴<f(0),有M=f(0)=3a,

：.M-m^b2,故M-m的值與a無(wú)關(guān)，與b有關(guān)，

綜上：M-爪的值與a無(wú)關(guān)，與b有關(guān).

故選：A.

【變式3-1］1.(多選)(2022秋?廣東廣州?高一廣州六中?？茧A段練習(xí))已知函婁好。)=

%2-2ax+a在區(qū)間(-8,1)上有最小值，則函數(shù)g(x)=竽在區(qū)間［1,+8)上一定()

A.是奇函數(shù)B.是增函數(shù)C.有最小值D.有最大值

【答案】BC

【分析】由已知求出a的取值范圍，應(yīng)用a的范圍對(duì)g(￡)的單調(diào)性、最值作出判斷

【詳解】函數(shù)〃久)=/-2ax+a在區(qū)間(-8,1)上有最小值，二函數(shù)圖像拋物線的對(duì)稱軸應(yīng)

當(dāng)位于區(qū)間(—8,1)內(nèi)，，有a<l,

g(?=竽=刀+?-2a,

在區(qū)間［1,+8)上,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，g。)不是奇函數(shù).

1

任取1<久1<犯,g(久1)一g(%2)=-I+.X—「一￡x=勺一萬(wàn)2+“7：)=a】一

12xlx2

X)%%2-a)

2Xi%2'

xxxxx

由a<1r1W%］<%2，有(%i—2)<0i2>0，i2—a>o,貝!Jg(%i)—g(%2)<0/

即g%)<g(x2),

所以g(x)=x+7-2a在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù)，g⑴=1-a為函數(shù)最小值.

故選：BC

【變式3-112.(多選)(2022秋浙江?高一校聯(lián)考期中)已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c

(6,ceR),N分別是函數(shù)在區(qū)間［-1,1］上的最大值和最小值，則M-N的可能取值是()

A.2B.1C.4D.-

2

【答案】ABC

【分析】討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸位置，分別判斷二次函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最大值

與最小值，分別求出M-N的范圍，綜合四種情況可得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)—-1,即b22時(shí)，M-N=/(l)—1)=2624；

當(dāng)—g>1,即6<—2時(shí),M—N=/(—1)—f(1)=—2b>4；

當(dāng)一1<一即0Wb<2時(shí)，M—N=f(1)—f(一§=1+6+彳21；

當(dāng)0<——<1,即—2<b<0時(shí)，M—N—f(—1)—f(———1—￡>+—>1,

綜上所述，M-N21

故選：ABC

【變式3-1］3.(2022秋?寧夏石嘴山?高一石嘴山市第三中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)f。)=

x2—2ax+3(aeR).

Q)若函數(shù)/(x)在(-8,2］上是減函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)久e［-1,1］時(shí)，設(shè)函婁好(無(wú))的最小值為g(a),最大值為h(a),求函數(shù)g(a)與h(a)的表達(dá)

式.

【答案】(l)a>2

4+2a,a<-1

(4—2a,aW0,

(2)g(a)=3-a2,-l<a<1h(a)=

14+2a,a>0

、4—2.ci,CL>1

【分析】(1)根據(jù)單調(diào)區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系求解;

(2)分對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系求函數(shù)最小值，根據(jù)對(duì)稱軸與0的大小關(guān)系分類求最大值即可.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(-叫2］上是減函數(shù)，且其對(duì)稱軸為x=a,

所以a>2.

(2)①當(dāng)a<一1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，g(a)=/(x)min=/(-I)=4+2a；

2

②當(dāng)一1<a<1時(shí),函數(shù)先減后增g(a)=/(x)max=/(a)=3-a；

③當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減g(a)=/(x)min=/(I)=4-2a.

4+2a,a<-1

故g(a)=3-a2,-l<a<1；

、4—2a,a>1

當(dāng)a<。時(shí)，/i(a)=/(l)=4—2a；當(dāng)a>。時(shí)，/i(a)=/(—I)=4+2a

故八⑷={:;宵梵

【變式3-1］4.(2021春?陜西榆林?高二陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函婁好(x)=

x2—(2m+l)x+m2+m,mGR.

(1)若m=1,求f(x)在區(qū)間［-1,3］上的最大值與最小值；

(2)若/(x)在區(qū)間［-2,1］上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍.

【答案】(l)/(X)max=6，/'(X)min=-：

(2)(-oo,-|］u［i,+oo)

【分析】(1)確定f(%)=(久-|)2-1根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.

(2)函數(shù)對(duì)稱軸為x=等，根據(jù)單調(diào)性得到等<-2或等>1,解得答案.

【詳解】(1)當(dāng)巾=1時(shí)，f0)=*2一3x+2=(x-|),-1<%<3,

函數(shù)在卜1,|)上單調(diào)遞減，在［|,3］上單調(diào)遞增，

fCOmax=/(-I)=1+3+2=6,/(X)min=/(|)=

(2)/(x)=x2-(2m+l)x+m2+zn圖像的對(duì)稱軸方程為x=2聶,

/0)在區(qū)間［-2,1］上是單調(diào)函數(shù),

故誓<-2或等21,得小4一|或小>

m的取值范圍是(一8,—3u+8).

【變式3-1］5.(2022秋?重慶?高一校聯(lián)考期中)已知f0)=x2-4ax+2.

(1)若函數(shù)gO)=/(%)-2x在(-8,3)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)VxeR,用M(久)表示/(x),g(x)中的最小者，記為M(x)=min{/(x),g(x)}.若xG[0,2],

記f0)的最小值八(a),M(a)=min{a2,/i(a)},求M(a)的最大值.

【答案】⑴[1,+8)

⑵2

【分析】(1)根據(jù)已知得出g。)解析式，根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性列出不等式，得出

答案；

-2,a<0

(2日艮據(jù)已知函數(shù)新定義結(jié)合二次函數(shù)最值得出h(a)=2-4a2,0<a<1,即可根據(jù)h(a)

6—Set,a21

與y=a?的草圖得出答案.

【詳解】(1)g(x)=/(x)—2x=x2—4ax+2—2x=x2—(4a+2)x+2在(—8,3)上單調(diào)

遞減，

則對(duì)稱軸x=等23,解得a>1,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+8);

2

(2)/(x)=x-4ax+2的對(duì)稱軸為％=y=2ar

當(dāng)2a>2,即a>1時(shí)，h(a)=/⑵=6-8a,

當(dāng)2a<0,即。<。時(shí)，/i(a)=/(O)=2,

當(dāng)0V2aV2,即0VaV1時(shí)，/i(a)=/(2a)=2—4a2,

2,a<0

故/i(a)=2—4a2,0<a<1,

、6—SCL,1

2

而M(a)=min{a//i(a)},

令h(a)=a2,

當(dāng)a<。時(shí),a2-2,解得a=—V2,a=&(舍)，

當(dāng)0<a<1時(shí)，2—4a2=a2,解得a=,a——(舍)，

當(dāng)a>1時(shí)，6—8a=a?,解得a=-4±V22(舍)，

即/i(a)=a?解得：a=一夜或a=~,

當(dāng)a<—夜時(shí)，M(a)=h(a)-2,

當(dāng)一衣<a<0時(shí)，M(a)=a2,

當(dāng)0<aW誓時(shí),M(a)=a2,

當(dāng)W<a<2時(shí)，M(a)=h(a)—2—4a2,

當(dāng)a>2時(shí)，M(a)=h(a)=6—8a,

故M(a)的最大值為2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在研究含參二次函數(shù)最值問(wèn)題上，一般分為：

定軸定區(qū)間：根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性直接得出答案；

動(dòng)軸定區(qū)間：分對(duì)稱軸在區(qū)間左邊，中間，右邊三種情況討論，得出其在區(qū)間上的單調(diào)性,

再求最大最小值，注意對(duì)于中間情形，又可具體分為偏左，偏右討論；

定軸動(dòng)區(qū)間：分區(qū)間在對(duì)稱軸左邊，對(duì)稱軸在區(qū)間中間，區(qū)間在對(duì)稱軸右邊三種情況進(jìn)行討

論，得出其在區(qū)間上的單調(diào)性，再求最大最小值；

動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間：分對(duì)稱軸在區(qū)間左邊，中間，右邊三種情況討論，一般會(huì)通過(guò)范圍約掉部分進(jìn)

行討論；

對(duì)于函數(shù)的新定義，根據(jù)定義將其解析式轉(zhuǎn)化出來(lái)，再根據(jù)具體情況分類討論即可.

題型4動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間問(wèn)題

【方法總結(jié)】

二次函數(shù)是含參數(shù)的函數(shù)，而定義域區(qū)間也是變化的，我們稱這種情況是

"動(dòng)二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值"。

【例題4】(2021秋?江蘇淮安?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/=/-2ax(a>0)

(1)當(dāng)a=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式-3</(%)<5

(2)函數(shù)y=/(%)在［t,t+2］的最大值為0,最小值是-4,求實(shí)數(shù)a和珀勺值.

【答案】⑴(-1,1)u(3,5)；

(2)t=0,a=2或t=2,a=2.

【分析】(1)當(dāng)a=2時(shí)，分別求解兩個(gè)一元二次不等式，再求交集即可；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的最值，以t=0或t+2=2a進(jìn)行分類討論，即可求得結(jié)果.

(1)

不等式為-3<%2-4x<5,即￡一底］,

xz—4%+3>0

由％2—4%—5<0可得—1<久V5；由%2—4%+3>0可得％<1或%>3,

故原不等式解集為(-1,1)U(3,5).

⑵

因?yàn)?(x)=X2—2ax=(x—a)2—a2

由于/(0)=/(2a)=0,由題意t=?；騮+2=2a,

若t=0時(shí),則a2t+1,fi/(x)min=f(a)=-4aE/(x)min=/(2)=-4,

當(dāng)/'(a)=-a2=-4時(shí)，a=±2,a=-2不滿足題意，舍去；

當(dāng)/'(2)=4—4a=—4時(shí),a=2；

若t+2=2a,則aWt+1,且/'(x)min=f(a)=-4或/'(x)min=/(2a-2)=-4

當(dāng)/'(a)=—a2--4時(shí)，a=±2,

當(dāng)a=2,t=2,符合題意；

當(dāng)a=-2,與題設(shè)矛盾，故舍去；

當(dāng)/(2a—2)=(2a-2)2-2a(2a—2)=—4時(shí)，a=2,t=2；

綜上所述：a=2,t=0或a-2,t-2,符合題意.

【變式4-1】1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函豺(x)=/—2ax(a>0).

(1)當(dāng)a=3時(shí)，解關(guān)于X的不等式—5</(%)<7；

(2)函數(shù)y=/(比)在［t,t+2］上的最大值為0,最小值是-4,求實(shí)數(shù)a和t的值.

【答案】⑴U(5,7)

(2)t—0,a—2或t=2,a=2

【分析】(1)代入a=3解不等式組卜;一6：可得答案；

1—5<xz—6x

(2)由題意/(0)=/(2a)=0,結(jié)合最大值為0最小值是-4分t=0、t+2=2a數(shù)形結(jié)合

可得答案.

【詳解】(1)當(dāng)a=3時(shí),不等式-5<f(x)<7,

即為一5<x2—6x<7,

即官丈〉所以｛二;

所以-1<x<1或5<x<7,

所以原不等式的解集為(-1,1)U(5,7).

(2)/(0)=/(2a)=0,

由題意t=?；騮+2-2a,這時(shí)一a?<一4解得a>2,

若t=0,則t+2Wa,所以/(t+2)=/(2)=-4今a=2；

若t+2=2a,即t=2a—2>a,

所以/(t)=-4=f(2a-2),則a=2,

綜上，t=0,a=2或t=2,a=2.

【變式4-1】2.(2020?浙江?高一期末)若函數(shù)/(%)=/+-+租在[Q㈤上的值域?yàn)?/p>

[n,n+1],貝!Ja-b()

A.既有最大值，也有最小值B.有最大值但無(wú)最小值

C.無(wú)最大值但有最小值D.既無(wú)最大值，也無(wú)最小值

【答案】C

【分析】取/(%)=X2,判斷b-a無(wú)最小值；由于"=/(a)+-2fdl與，故結(jié)合

題意得b—ci<2,進(jìn)而得答案.

【詳解】解：取k=m=0,貝(J/O)=x2,

不妨設(shè)0<a<b,則f(%)=工在設(shè)句上的值域?yàn)閇。2*2],

由于函數(shù)/(%)=%2+々％+TH在口句上的值域?yàn)閇弭71+1]

所以匕2-a?=1,故b-a=白無(wú)最小值；

a+b

因?yàn)閒(a)=a2+ka+m,f(b)=b2+kb+m,+m,

由于拋物線開口向上，

故f(a)<n+1/(6)Wn+1,f(等)>n

所以=f(a)+/⑸-2/(等)<n+l+n+l-2n=2,

所以b-a<2,當(dāng)且僅當(dāng)b=三,a=-等時(shí)取得最大值2.

所以a-b有最小值，無(wú)最大值.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與最值.解題的關(guān)鍵在于"函數(shù)/(%)在口加上的值域?yàn)?/p>

[n,n+ir可以理解為"函數(shù)/(?在[a,6]上的圖象夾在兩條距離為1的水平線之間"，此

外還需要注意到關(guān)系式厘=/(a)+汽b)—2/(等).

【變式4-1]3.(2023春?湖北十堰?高一校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)/(久)=a/-2020%+

2021(a>0),在區(qū)間[t-1,t+l](teR)上函數(shù)〃久)的最大值為M,最小值為N.當(dāng)t取任

意實(shí)數(shù)時(shí)，M-N的最小值為2,則a=

【答案】2

【解析】求得對(duì)稱軸，要使M-N最小,t-1與t+1必關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱從而最大值為/(t+1),

最小值為/(t),由/'?+1)-/(t)=2及對(duì)稱軸可求得a.

【詳解】f(x)=ax2-2020x+2021(a>0)

對(duì)稱軸x=

a

要使M-N最小，t-1與t+1必關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

所以1=等①

/(t+l)-/(t)=2

a(t+l)2-2020(t+1)+2021-at2+2020t-2021

=2at+a—2020=2②

聯(lián)立①②得2x1010+。-2020=2

/.a=2.

故答案為：2.

【變式4-114.(2022秋福建福州?高一?？计谥?已知函數(shù)f(%)=/—4mx+3m20n>

0)的圖象與久軸交于4B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn),且△力8c的面積為3.

(1)求機(jī)的值；

(2)若/(X)在［a,a+l］上的最大值與最小值之差為g(a),求g(a)的最小值.

【答案】(1)1

⑵］

【分析】(1)求出48,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)ANBC的面積即可求出山的值.

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論得到函數(shù)/(切的解析式與對(duì)稱軸，通過(guò)討論對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)

系得到函數(shù)久比)的最值，進(jìn)而可求9(a)的最小值.

22

【詳角軍】(1)令/(%)=x—4mx+3m=(%—3m)(%—m)=0z

得％=TH或％=3m,又/(0)=3m2,

所以SAABC=I(3m-m)-3m2=3m3=3,

故：m=1.

(2)由(1)得/(x)=/—4尤+3,/(無(wú))圖象的對(duì)稱軸為直線x=2.

當(dāng)a+1<2，即a<1時(shí),/0)在［<1,61+1］上單調(diào)遞減，所以/(x)max=/(?)=a2-4a+3,

/Wmin=/(a+1)=a2—2a,所以g(a)=/(a)—/(a+1)=—2a+3>1.

2

當(dāng)I-f>f+1-2,即14a<用寸，f(%)max=/(a)=a-4a+3,/(x)min=/'⑵=-1,

所以g(a)=f(a)-/■⑵=a?-4a+4=(a-2>>(I-2)=［.

a2

當(dāng)1-f<f+1-2,--2時(shí)/O)max=+1)=a-2a,/(x)min=/⑵=-1,

所以g(a)=f(a+1)-f(2)=a?-2a+1=(a-2(|-1)=i

當(dāng)a>2時(shí),/(x)在[a,a+1]上單調(diào)遞增,所以f(x)max=f3+1)=a2-2a,=

/(a)=M_4Q+3,所以g(a)=/(a+1)—/(a)=2a—3>1.

綜上：g(a)的最小值為今

故：g(a)的最小值為土

題型5求參數(shù)問(wèn)題

【方法總結(jié)】

是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。

【例題5](2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高一統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)f(%)=-x2+2mx+l-m2,

其中meR.

(1)若不等式f(x)W爪2+22對(duì)于一切實(shí)數(shù)比均成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍；

(2)當(dāng)久6[1,3]時(shí)，若函數(shù)f(x)的最大值為-8,求實(shí)數(shù)小的值.

【答案】(1)(-8,-3]U[1,+8)

(2)m=—2或m=6

【分析】(1)將不等式“X)<m2+2m-2化簡(jiǎn)為一一+2mx-2m2-2m+3<0,再結(jié)

合一元二次不等式在R恒成立問(wèn)題，可聯(lián)系一元二次函數(shù)圖象，即可解決.

(2)討論給定區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，找出在不同情況下f(x)的最大值，再與題干最大值為

-8建立等式，解出符合題意的小即可.

【詳解】(1)?.不等式/(x)W/+2m-2對(duì)于一切實(shí)數(shù)x均成立，

.1.—%2+2mx+1—m2<m2+2m—2§P—x2+2mx—2m2—2m+3<0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x

均成立,

<。即(2m)2-4x(-l)(-2m2-2m+3)<0,

m2—2m+3<。解得m<—3或m>1,

.F的取值范圍為(一8,-3］U［1,+oo).

2

(2)y=—x+2mx+1—zn?對(duì)稱軸為％—m,

①當(dāng)山<1時(shí)，/(x)在［1,3］單調(diào)遞減，

?'?/Wmax=/(I)=-m2+2m,

又?.當(dāng)XG［1,3］時(shí)，函數(shù);'(x)的最大值為—8,

m2+2m——8解得m=4或m=-2,

「.771=—2；

②當(dāng)1<TH<3時(shí)，f(X)在(1,爪)單調(diào)遞增，在(犯3)單調(diào)遞減，

222

.'./(x)max-/(m)=—m+2m+1—m—1,

顯然，不符合題意；

③當(dāng)巾>3時(shí)，/(%)在［1,3］單調(diào)遞增，

?"(x)max—/(3)=-9+6m+1—m2——m2+6m-8,

又?當(dāng)”e［1,3］時(shí)，函數(shù)/'(x)的最大值為—8,

.'.—m2+6m—8——8,解得m=6或zn=0,

.'.m—6；

綜上所述，m=-2或m=6.

【變式5-1］1.(2023秋?江西?高一江西師大附中校考階段練習(xí))已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)

過(guò)點(diǎn)(0,-5)和(6,-5),且函數(shù)在xeR上的最大值為4.

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)t<x<t+2時(shí)，函數(shù)的最大值為m,最小值為幾,且血-n=2,求珀勺值.

【答案】(1)/0)=—O—3)2+4

(2)t=3-&或t=1+V2

【分析】(1)首先得到函數(shù)的對(duì)稱軸，從而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)y=/(%)=a(x-3尸+4(a<

0)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出a的值，即可得解；

(2)首先得到函數(shù)的單調(diào)性，再分t+2W3、｛；署三、『；號(hào)3、123四種情況討

論，分別得到函數(shù)在區(qū)間［t,t+2］上的最大值與最小值，從而得到關(guān)于珀勺方程，解得即可.

【詳解】(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-5)和(6,-5),所以函數(shù)