重難題型?解題技巧攻略

J_____________________________________________________

專(zhuān)題01新增統(tǒng)計(jì)概率(根據(jù)教材精編)

*>----------題型歸納?定方向-----------?>

題型01伯努利分布、分布的表示.................................................................1

題型02等可能分布或均勻分布...................................................................3

題型03隨機(jī)變量及其分布.......................................................................4

題型04隨機(jī)變量的期望與方差...................................................................5

題型05二項(xiàng)分布...............................................................................8

題型06超幾何分布............................................................................11

題型07正態(tài)分布..............................................................................14

題型08成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析.........................................

題型09條件概率與全概率公式+獨(dú)立事件、互斥事件..............................................19

題型10判斷事件的類(lèi)型概率公式綜合辨析......................................................21

?>----------題型探析?明規(guī)律----------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

工一高蔽亂施機(jī)變最芬希利的住而函應(yīng)再

(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.

(2)利用“在某個(gè)范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.

2、求離散型隨機(jī)變量自的期望與方差的步驟

⑴理解自的意義，寫(xiě)出自可能的全部值.

(2)求自取每個(gè)值的概率.

(3)寫(xiě)出自的分布列.

(4)由期望、方差的定義求E(§,D&).

3、判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.

(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.

(3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.

4、(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：①

考察對(duì)象分兩類(lèi)；②已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類(lèi)個(gè)體數(shù)X的概率分布.

(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類(lèi)別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型.

5、解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱(chēng)軸x=〃；(2)標(biāo)準(zhǔn)差0；(3)分布區(qū)間.利用對(duì)稱(chēng)性可求指定范

圍內(nèi)的概率值；由〃，0,分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3。特殊區(qū)間，從而求出所求概

率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱(chēng)軸才為x=0.

題型01伯努利分布、分布的表示

【典例1-1】.拋擲1枚硬幣，正面朝上的次數(shù)為X,則X的期望是.

【答案】1/0.5

【分析】得到隨機(jī)變量X的分布，求出期望值.

"01]

【解析】隨機(jī)變量X的分布是11，則燈X]=0x!+lx===.

122)

故答案為：y

【典例1-2].以下分布中是伯努利分布的是().

A.擲一枚硬幣正面次數(shù)X的分布

B.擲兩枚硬幣正面次數(shù)X的分布

C.拋一顆骰子點(diǎn)數(shù)X的分布

D.從一個(gè)放有2個(gè)白球，和2個(gè)黑球的袋子中摸出兩個(gè)球，用x表示白球個(gè)數(shù)的分布

【答案】A

【分析】根據(jù)伯努利分布的概念即可判斷.

【解析】只取兩個(gè)值的隨機(jī)變量稱(chēng)為伯努利型，其分布稱(chēng)為伯努利分布.

則選項(xiàng)A符合，選項(xiàng)BCD不符合.

故選：A.

【變式1-1】.已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X=0)=2/,尸(X=l)=a,那么“=.

【答案】g/0.5

【分析】根據(jù)概率之和為1即可求解.

【解析】由題意可知尸(x=o)+尸(丫=1)=。+2/=1=。=；或。=一1,

由于＜2＞。，所以

故答案為：y

【變式1-21.已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，尸(X=l)=0.34,則P(X=0)=,E(X)=

【答案】0.660.34

【分析】由兩點(diǎn)分布的性質(zhì)及期望公式即可得出結(jié)論.

【解析】由兩點(diǎn)分布可知尸(X=0)=1-0.34=0.66,

E(X)=0x0.66+1x0.34=0.34.

故答案為:0.66;0.34.

【變式1-3】.已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，則尸(X=0)=；若Y=3X-2,則尸位=1)=

73

【答案】0.7/二0.3/—

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的基本性質(zhì)即可求解.

【解析】因?yàn)閄服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，

所以尸(X=l)=0.3,p(^=0)=l-0.3=0.7.

當(dāng)X=1時(shí)，y=3xi-2=i,所以p(y=i)=尸(x=i)=0.3.

故答案為:0.7,0.3

【變式1-4】.以下各項(xiàng)中是分布的為()

,10.20.380A)D,10.1-0.10.40.6)

【答案】B

【分析】分布列中各項(xiàng)概率大于0,且概率之和為1,從而得到正確答案.

【解析】由題意得，分布列中各項(xiàng)概率非負(fù)，且概率之和為1,

顯然AC選項(xiàng)不滿(mǎn)足概率之和為1,

D選項(xiàng)不滿(mǎn)足各項(xiàng)概率大于0,B選項(xiàng)滿(mǎn)足要求.

故選：B.

題型02等可能分布或均勻分布

【典例2-11.已知隨機(jī)變量X分布如下：*它是均勻分布，則4為_(kāi)______

PlP3Pn)

【答案】-

n

【分析】由均勻分布可知，p^=p2=-=p?,求解即可.

【解析】隨機(jī)變量X分布是均勻分布，所以P1=02，

,1

。1+。2…+H=1，P?=--

n

故答案為：-

n

(X,X.X.}

【變式2-11.已知某個(gè)隨機(jī)變量的分布3,該分布是等可能分布，則門(mén)的值為—

5P2P3)一

【答案】|

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)及等可能性即可求解.

【解析】由分布列的性質(zhì)得P1+P2+P3=1，且。1=。2二23,

即可解出=02=23=g.

故答案為：~.

題型03隨機(jī)變量及其分布

’-1or

【典例3-1】.已知隨機(jī)變量的分布1，則〃?+〃=.

m-n

\2J

【答案】1/0.5.

【分析】利用分布列的概率和為1求解即可.

【解析】由題意得隨機(jī)變量X的所有可能值得概率的和為1,

所以加+〃+工=1,解得加+〃=4.

22

故答案為：I

’0123、

【典例3-2】.分別拋擲3枚硬幣，正面次數(shù)X的分布如下131,其中c的值為.

——c—

1888J

3

【答案】-/0.375

O

【分析】利用分布列的概率和為1求解參數(shù)即可.

【解析】由題意得隨機(jī)變量X的所有可能值的概率的和為1,

3113

故有7+丁7+°=1，解得

OOOO

3

故答案為：—

O

'-101、

【變式3-1】?設(shè)J是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布為1,c2，則實(shí)數(shù)4=________.

T>2qq-

\27

【答案】1-也

2

【分析】由概率大于等于o小于等于1,可以得到鄉(xiāng)的范圍；根據(jù)概率之和為1,可以計(jì)算出鄉(xiāng)的值.

0<1-2^<1

0<^2<1,解得4=1一變

【解析】依題意：

12

-+(\-2q)+q-=1

故答案為：1-匹.

2

【變式3-2】.一袋中裝5個(gè)大小與質(zhì)地相同的球，編號(hào)為1、2、3、4、5,從袋中同時(shí)取出3個(gè)，以X表

示取出的三個(gè)球中的最大號(hào)碼，則隨機(jī)變量X的分布為（）

'345、（2345、

A.1J_1B.23\_1

533；<5To5io,

/345、z345、

C.133D.331

<10To5J5Toio,

【答案】C

【分析】由題意可知X可取的值為3,4,5,分別利用古典概型概率公式求相應(yīng)事件的概率，可得X的分布.

【解析】由題意可知隨機(jī)變量X表示摸出的3個(gè)球中的最大號(hào)碼數(shù)，X可取的值為3、4、5,

3個(gè)小球編號(hào)為1、2、3,尸（X=3）=*1

當(dāng)X=3時(shí),

10;

C23

當(dāng)X=4時(shí),3個(gè)小球一個(gè)編號(hào)為4,另外兩個(gè)為1、2、3中的兩個(gè)，P（X=4）=^=歷:

C23

當(dāng)X=5時(shí),3個(gè)小球一個(gè)編號(hào)為5,另外兩個(gè)為1、2、3、4中的兩個(gè)，P（X=5）=昌

故選：C.

（123456）

【變式?若隨機(jī)變量〃的分布為°」x0.350.10,150.2,則-，尸（〃<3）=

【答案】0.1/—0.55/——

1020

【分析】直接由分布列第二行概率之和為1即可求出X,再利用概率的可加性可得尸（〃w3）.

【解析】由題意x=l-0.1-0.35-0.1-0.15-0.2=0.1,尸.43)=0.1+0.1+0.35=0.55.

故答案為：0.1；0.55.

題型04隨機(jī)變量的期望與方差

（135、

【典例4-11.已知隨機(jī)變量X的分布為Ini,則X的方差為_(kāi)____.

10.40.1m）

【答案】3.56

【分析】先根據(jù)分布列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)期望公式求出期望值，再利用方差公式求解即可.

【解析】根據(jù)分布列的性質(zhì)得0.4+0.1+機(jī)=1,解得加=0.5,

所以E（X）=lx0.4+3x0.1+5x0.5=3.2,

所以X的方差為。（x）=（1-32）2x0.4+（3-3,2）2><0.1+（5-3.2）2x0.5=3.56.

故答案為：3.56

【典例4-2].已知一個(gè)隨機(jī)變量X的分布為人1，且譏X]=[,則仍=_______.

ab—3

I2J

【答案】A

【分析】利用隨機(jī)變量均值的性質(zhì)求解參數(shù)，再進(jìn)行乘法運(yùn)算即可.

【解析】E[X]=-lxa+lxi=i貝=由a+6+：=l,得6=:,則

2362318

故答案為：—~

1O

’123'

【變式4-1】.已知隨機(jī)變量X的分布是!工。，則第2X+”]等于（）

J3、

5一7-7-23

A.—B.-C.—D.—

3326

【答案】c

【分析】利用分布列求出。，求出期望即可.

【解析】由題意可得《+：+a=l,解得a=!，

23o

lx—+2x—+3x—=

2X+—

6

故選：C.

【變式4-21.己知隨機(jī)變量X的分布列為:,若E(x)=§,且y=3X-2,則。(y)

【答案】5

【分析】先由概率之和為1，求出。，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公式求出x,再由方差的公式求出。（X）,

最后根據(jù)方差的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

【解析】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得:+：+°=1，解得2=），

236

1155

：.D（X）=x—=——二—

6279

?.?y=3X-2,.,.D（y）=D（3X-2）=9D（X）=5.

故答案為：5

'-212、

【變式4-3】.隨機(jī)變量X的分布為口1，若E[3X+3]=6,則。[X]=_________.

ab—

I2J

【答案】2

【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可求得E[X],并結(jié)合概率和為1構(gòu)造方程組求得。力,利用方差計(jì)算公式可

求得結(jié)果.

【解析】；E[3X+3]=3￡[X]+3=6,:.E[X]=\,

即一2a+6+1=1,乂a+6H—=1,a=—,b=—,

263

222

...n[^]=（-2-l）x1+（l-l）x|+（2-l）x1=2.

故答案為：2.

/012、

【變式4?4】.已知一個(gè)隨機(jī)變量X的分布為1人，且￡[囤=1,則O[X]=____.

—ab

（5

2

【答案】0.4/：

【分析】根據(jù)E[X]=1和分布列的性質(zhì)求得a1的值，再利用方差的公式即可求解.

11

a+b7+—=\1

【解析】由題意得15，解得a=0.6,6=0.2,

0x—卜a+2b—1

I5

D[X]=0.2x（0-1）2+0.6x（1-1）2+0.2x（2-1）2=0.4

故答案為04

_「123、5

【變式4-5].隨機(jī)變量X的分布是入，其中a,6,c成等差數(shù)列.若￡[*=],則D[X]的值為_(kāi)______.

yabC）3

【答案】I

【分析】因?yàn)?。?,c成等差數(shù)列，所以a+c=26.結(jié)合分布列性質(zhì)，及E[X]=g,求解a,b,c,然后

利用方差的計(jì)算公式計(jì)算即可.

【解析】因?yàn)?。?,c成等差數(shù)列，所以a+c=2氏

又由分布歹U性質(zhì)知a+6+c=1,所以6=g.

5111

又因?yàn)镋[X]=a+2b+3c=—,所以Q=—,b=~,0=一，

15o15o15o5

所以。[X]=jx(l—；)2+；x(2—w)2+、x(3—w)2=x.

z33363y

故答案為：—.

6-ior

【變式4?6].已知隨機(jī)變量X的分布為12，當(dāng)。增大時(shí)().

I33J

A.E(X)增大，。(幻增大B.E(X)減小，D(X)增大

C.￡(x)增大，D(x)減小D.E(x)減小，D(x)減小

【答案】B

【分析】利用數(shù)學(xué)期望和方差公式得出關(guān)于。的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷￡(x)和。(X)的變化情況.

122

【解析】由題意得，=—lxdi+0x(——d!)+lxy=——tz,

所以當(dāng)〃增大時(shí)，頤X)減小，

D(X)=(—l—g+q)2XQ+(0—g+Q)2xfj+U-1-+(2jXj

]xl

=_/+”

39

(7、219

=%一式+五'

所以￡>(X)在(0。上隨。的增大而增大.

故選：B.

題型05二項(xiàng)分布

【典例5-1].已知隨機(jī)變量J服從二項(xiàng)分布則尸(J=2)=.

【答案喘

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公直接求解即可

【解析】??若~(yú)8、,；[表示做了4次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功概率為;,

Q

故答案為：~—

27

【典例5-2】.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(20,p),當(dāng)p=；且尸(X=斤)取得最大值時(shí)，則心.

【答案】10

【分析】根據(jù)變量符合二項(xiàng)分布，寫(xiě)出試驗(yàn)發(fā)生人次的概率的表示式，在表示式中，只有C：。是一個(gè)變量,

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)上=10時(shí)，概率取到最大值.

【解析】

?.?X?5(20,尸),

當(dāng)尸=g時(shí)，P(X=k)=砥。(J*(；)2/=(；嚴(yán).

顯然當(dāng)上=10時(shí)，P(X=Q取得最大值.

故答案為：10

【變式5-1】?下列說(shuō)法中正確的是

①設(shè)隨機(jī)變量服X從二項(xiàng)分布516t,則p(x=3)=±；

16

②已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,02)且P(X<4)=0.9，則尸(0<X<2)=0.4；

③小趙、小錢(qián)、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件/="4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”,

事件8="小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則尸(48)=§；

④EQX+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2O(X)+3.

【答案】①②③

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式判斷①；

根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷②；

根據(jù)條件概率判斷③；

根據(jù)期望與方差的性質(zhì)判斷④.

【解析】隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布“6,5，則尸(x=3)=C：g]&]=A，故①正確；

隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,〃)且P(X<4)=0.9,則P(0<X<2)=P(2<X<4)=0.9-0.5=0.4,故②正

確；

A4C4型

事件4=“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件5="小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則尸(/5)=祟，尸(5)=與二，所以

尸(如可=號(hào)需=|，故③正確;

EQX+3)=2E(X)+3,DQX+3)=4Z)(X),故④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

【變式5-2].如果隨機(jī)變量X?42024,j,K?42024,j,那么當(dāng)X、丫變化時(shí)，使尸(X=ki)=P(Y=k2)

成立的化的)的個(gè)數(shù)為.

【答案】2025

【分析】由二項(xiàng)分布的概率公式和組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

(1\^1(a、2024-公

【解析】由題意可得尸(x=左)=《向義：XI,

MV2門(mén)'2024-&

尸(Y=^)=C鼠x[J，

因?yàn)閜(x=a)=尸(y=網(wǎng))，

所以左+e=2024,

所以使尸(^=2=尸(丫=初成立的(后,右)的分別為(0,2024),(1,2023),(2,2022),…,(2024,0),共2025個(gè)，

故答案為：2025.

【變式5-31.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(2,0,隨機(jī)變量丫服從二項(xiàng)分布8(4,0,若P(X21)=；

貝I]尸(丫22)=.

【答案】詈

【分析】由隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(2,p),及尸(X21)=g,求出p=；,再由隨機(jī)變量丫服從二項(xiàng)分布

8(4,0,則P(y?2)=C；/(l-0)2+C)“l(fā)-p)+C：p4,計(jì)算可得.

【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(2,0,

.5

所以尸(XN1)=1—尸(X<1)=1-尸(X=0)=1—(1-2)2

解得0=(或p=;(舍去)，

又因?yàn)殡S機(jī)變量y服從二項(xiàng)分布3(4,p),

所以尸。才2)=/(y=2)+/(y=3)+p(x=4)

=cy(i-p￥+cy(i-rt+c：/=1l.

故答案為：詈.

【變式5-4】?已知隨機(jī)變量X?8(2,p),y?0-1,若尸(XNl)=0.64,P(Y=1)=。，則%丫=0)的值等

于

【答案】0.6

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率性質(zhì)計(jì)算求解.

［解析］P(X>1)=P(X=1)+P(X=2)=c*p(l-p)+c^p2=0.64,解得？=0.4(0=1.6舍去)，

p(y=0)=l-P(y=1)=1-/?=1-0.4=0.6.

故答案為：0.6.

【變式5-51.在一次新兵射擊能力檢測(cè)中，每人都可打5槍?zhuān)灰獡糁邪袠?biāo)就停止射擊，合格通過(guò)；5次

全不中，則不合格.新兵N參加射擊能力檢測(cè)，假設(shè)他每次射擊相互獨(dú)立,且擊中靶標(biāo)的概率均為<P<1)，

若當(dāng)。=0。時(shí)，他至少射擊4次合格通過(guò)的概率最大，則0。=.

【答案】1一姮/一姮+1

55

【分析】由題設(shè)至少射擊4次合格通過(guò)，即第4或5槍擊中靶標(biāo)，可得/(p)=(l-p)3(2p-/),利用導(dǎo)數(shù)

研究函數(shù)在(0,1)上的最值，根據(jù)最值成立的條件即得P。.

【解析】至少射擊4次合格通過(guò)的概率為f(p)=(l-p)3p+(l-p>p=(l-p)3(2p-p2),

所以■p)=(l-p)2(5p2Top+2),令/?'(p)=0,解得p=l-半，

故/5)在1o,l-干］上單調(diào)遞增，在(I-吁上單調(diào)遞減，

當(dāng)0=1-平時(shí)得最大值，故4=1-浮.

故答案為：1-巫

5

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：用。表示至少射擊4次合格通過(guò)的概率/⑺)，并利用導(dǎo)數(shù)研究在(0,1)上的最值即可.

題型06超幾何分布

【典例6-1】.某醫(yī)院派出16名護(hù)士、4名內(nèi)科醫(yī)生組成支援隊(duì)伍，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去A

城市支援，設(shè)X表示其中內(nèi)科醫(yī)生的人數(shù)，則尸(X=2)=

【答案】￡

【分析】根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布的概率公式求解.

【解析】由題意得尸(X=2)=曾=黑：=2.

故答案為：上

95

【典例6-2】.某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè).從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，已知恰全為黑

球的概率為L(zhǎng)，若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X,則〃[X]=

9

【答案】—/0.36

【分析】黑球的個(gè)數(shù)為“，通過(guò)從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為《，求出"，然后求解記取

出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X,的概率得到分布列，然后求解期望與方差即可.

【解析】解：設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為"，由。=口=，得〃=3,

記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X,X的取值可以為1,2,3；

C2cl3cxc263C°C31

尸(x=l)=匕導(dǎo)P(X=2)=-^P^X=3)=^^=—

C；元'105C110

則X分布列如下:

X123

P331

10510

3319

所以E[X]=—xl+—x2+—x3=—,

105105

則以Zx1-24x2-2+±x3-2=2

10I5)5(5j1015j25

9

故答案為：—.

【變式6-1】.在箱子中有10個(gè)小球，其中有4個(gè)紅球，6個(gè)白球.從這10個(gè)球中任取3個(gè)，記X表示白球的

個(gè)數(shù)，貝IJ尸(X=2)=.

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式直接計(jì)算.

【解析】由已知得X=2,表示2個(gè)白球，1個(gè)紅球,

l2

故尸(X=2)=*CC=；1,

Jo乙

故答案為：

【變式6-2】.學(xué)校要從5名男教師和2名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，設(shè)抽取的人中女教師的人數(shù)為

X,求P(X41)=.

【答案】|

【分析】本題主要考查了超幾何分步的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，X的取值為0或1,代入超幾何分布公式求出對(duì)應(yīng)概率，再相加即可.

【解析】解：由題意可得

__io_2

尸(x=o)=

c；~35-7

C阻_20_4

尸(X=l)=

c；-35-7

246

所以P（XW1）=尸（X=0）+尸（X=l）=,+7=,.

故答案為：y-

【變式6-3】.盒中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，以X表示取到白球的個(gè)數(shù)，〃表示取到黑球

的個(gè)數(shù).給出下列各項(xiàng)：

①E（X）=：,E（〃）=|；②E（T）=磯辦③E.）=E（X）；④。（幻=。（〃）￡.

其中正確的是.（填上所有正確項(xiàng)的序號(hào)）

【答案】①②④

【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望、方差和超幾何分布的概念運(yùn)算即可求解.

【解析】由題意可知X服從超幾何分布，〃也服從超幾何分布.

,人2x36,、3x39

?"⑶=丁=丁E^=-=-

又X的分布列

X012

133

P

105io

1339

???E(￥)=02x—+w—+22x—==,

105105

。（田=￡（r）—四種=|-（|）2=^.

〃的分布列為

i23

331

p

io5To

3311R

.?.￡(/)=12X—+22X—+32X—=一

105105

9

O(〃)=E(〃2)_[￡(〃)]2=

25

.?.風(fēng)相）=￡何），。（田=。何），...①②④正確.

故答案為：①②④.

題型07正態(tài)分布

【典例7-1].已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布若P（X4-則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

是.

【答案】（-叫1]

【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求解即可.

【解析】由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性知，|〃+1區(qū)|〃-3],解得〃W1,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（F,“.

故答案為：（一叫1].

1（xd

【典例7-2】.隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)/（x）=T=e2-2（XGR）,其圖象如圖所示，設(shè)

CTA/271

P（XZ2）=0.15,則圖中陰影部分的面積為

7

【答案】0.35/—

20

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可求解.

【解析】由題意可知?jiǎng)t尸(P<o)=P(X>2)=0.15,

故圖中陰影部分的面積為匕詈0=0.35.

故答案為：0.35.

【答案】-0.67

【分析】根據(jù)分位數(shù)的定義和正態(tài)分布的性質(zhì)，即可求解.

【解析】???P（X20.67）=0.25且對(duì)稱(chēng)軸為y軸，

P（X<-0.67）=0.25,

該分布的0.25分位數(shù)為-0.67.

故答案為：-0.67.

【變式7-2】.某地區(qū)高三年級(jí)2000名學(xué)生參加了地區(qū)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試，已知數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)X服從正態(tài)

分布"（100,〃）（試卷滿(mǎn)分150分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，有320名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)低于80分，則數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于

閉區(qū)間［80,120］的學(xué)生人數(shù)約為.

【答案】1360

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，求出尸（80VXW120）,即可求得結(jié)果.

【解析】根據(jù)已知條件有數(shù)學(xué)成績(jī)低于80分的概率為32第0=￡4,

417

又X~N（100,〃），所以數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于閉區(qū)間［80,120］的概率為1一2、石=石，

17

所以數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于閉區(qū)間［80,120］的學(xué)生人數(shù)約為2000義石=1360人.

故答案為：1360

【變式7-3】.若隨機(jī)變量X~N（6,1）,且尸（5<XV7）=a,尸（4<X48）=6,則尸（4<￡V7）等于（）

【答案】B

【分析】利用正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，即可求解.

【解析】隨機(jī)變量X~N（6,1）,且尸（5<XV7）=a,P（4<XV8）=6,

由正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，P（4<XW5）=牛，

所以尸（4<XW7）=++。=審.

故選：B

題型08成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

【典例8-11.在研究線(xiàn)性回歸模型時(shí)，樣本數(shù)據(jù)（4％）（/=1,2,3,…，力）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線(xiàn)y=-；x+3

上，用，,表示解釋變量對(duì)于反應(yīng)變量變化的線(xiàn)性相關(guān)度，則r=.

【答案】-1

【分析】根據(jù)線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)的定義直接得解.

【解析】由已知樣本數(shù)據(jù)(4乂)(/=1,2,3,…，〃)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線(xiàn)y=-gx+3上，

貝1］卜|=1,

又一g<0,

所以滿(mǎn)足負(fù)相關(guān)，

即r=-1,

故答案為：T.

【典例8-2】.從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高x(單位：cm)與體重了(單位：kg)的數(shù)據(jù)如

下表：

X165165157170175165155170

y4857505464614359

若已知V與x的線(xiàn)性回歸方程為j>=0.85x-85.71,那么選取的女大學(xué)生身高為175cm時(shí)，相應(yīng)的殘差

為.

【答案】0.96

【分析】由線(xiàn)性回歸方程先求x=175時(shí)》的值，再根據(jù)殘差的計(jì)算公式即可求解.

【解析】令x=175得攵=63.04,所以殘差為64-63.04=0.96

故答案為：0.96

【變式8-1】.已知一組成對(duì)數(shù)據(jù)。8,24),(13,34),(10,38),(T,⑹的回歸方程為y=-2x+595,則該組數(shù)據(jù)的

相關(guān)系數(shù)廠=(精確到0.001).

【答案】-0.998

【分析】一組成對(duì)數(shù)據(jù)的平均值丘,亍)一定在回歸方程上，可求得加，再利用相關(guān)系數(shù)〃的計(jì)算公式算出即

可.

【解析】由條件可得，

-18+13+10-1，八

x=------------------=10,

4

—24+34+38+加96+機(jī)

y=-------------=------，

44

丘,工)一定在回歸方程歹=-21+59.5上,代入解得加=62,

-96+6279

y=-----=一,

42

4

￡無(wú),％=18x24+13x34+10x38-1x62=1192,

1=1

4

^X,2=182+132+102+(-1)2=594,

Z=1

4

Jy,2=242+342+382+622=7020,

三1

工七%—4xy1192-4xl0x—

I汩=/2y-0.998

222

(^X,-4￡)((^Z)-4/)J(594-4X100)X(7020-4X(^))

i=li=lVZ

故答案為：-0.998

【變式8-2】?下列說(shuō)法中，正確的有(填序號(hào)).

①回歸直線(xiàn)S=云+3恒過(guò)點(diǎn)(x,刃，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)：

②根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出/26.635,而尸(力,26.635b0.01,則有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變

量有關(guān)系，即有1%的可能性使得“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；

③/是用來(lái)判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否相關(guān)的隨機(jī)變量，當(dāng)/的值很小時(shí)可以推斷兩類(lèi)變量不相關(guān)；

④某項(xiàng)測(cè)量結(jié)果4服從正態(tài)分布N0,/),則尸(畀5)=0.81,則尸(”-3)=0.19.

【答案】②④

【分析】根據(jù)回歸直線(xiàn)的特征即可判斷①，理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想即可判斷②，正確把握卡方值的含

義即可判斷③，利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可判斷④.

【解析】對(duì)于①，回歸直線(xiàn)$3恒過(guò)點(diǎn)仔，刃，但不一定過(guò)樣本點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，因獨(dú)立性檢驗(yàn)是選取一個(gè)零假設(shè)名條件下的小概率事件，故②正確；

對(duì)于③，當(dāng)/的值很小時(shí)推斷兩類(lèi)變量相關(guān)的把握小，但不能說(shuō)無(wú)關(guān)，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，因?yàn)镴服從正態(tài)分布N0,目注3=1,所以&V5與-3關(guān)于直線(xiàn)〃=1對(duì)稱(chēng)，

由尸(＜5)=0.81可得，尸化＞5)=0.19,則尸(JW-3)=尸歸＞5)=0.19,故④正確.

故答案為：②④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)，正態(tài)分布等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

解決此類(lèi)題的關(guān)鍵即是正確理解和把握以上概念和本質(zhì)特征，如回歸直線(xiàn)的圖象體征，獨(dú)立性檢驗(yàn)中“零假

設(shè)”的含義，正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性特征.

【變式8-3】.近五年來(lái)某草原羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)兩變量間的關(guān)系如表所示，繪制相應(yīng)的散點(diǎn)圖，如

圖所示：

年份12345

羊只數(shù)量/萬(wàn)只1.40.90.750.60.3

草地植被指數(shù)1.14.315.631.349.7

木草地植被指數(shù)

60-

50-?

40-

30-?

20-

10-?

_________?叫-----A

o0.51L5羊只數(shù)量/萬(wàn)只

若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為4,去掉第一年數(shù)據(jù)(141.1)后得到的相關(guān)系數(shù)為〃，則工

2(填2,<,<,>)

【答案】>

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖可知兩個(gè)量呈負(fù)相關(guān)，且去掉數(shù)據(jù)(14,1.1)后相關(guān)性變強(qiáng)，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的概念判斷即

可.

【解析】根據(jù)散點(diǎn)圖可知，羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)呈負(fù)相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)4<0,々<0,

當(dāng)去掉第一年數(shù)據(jù)(14,1.1)后，數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)性變強(qiáng)，所以同<問(wèn)，所以外>不

故答案為：>

【變式8-4】.為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下圖所示列聯(lián)表:

疾病

藥物合計(jì)

未患病患病

服用m50-m50

未服用80-mm-3050

合計(jì)8020100

取顯著性水平a=0.05,若本次考察結(jié)果支持“藥物對(duì)疾病預(yù)防有顯著效果”，則加(加240,加eN)的最小值

為.

n(ad-be)2

(參考公式：r=;參考值:P(^2>3.841)^0.05)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】44

【分析】由題意列出不等式，結(jié)合近似計(jì)算求出加的取值范圍，即可得答案.

【解析】由題意可知力2=10°[小-30)-(80-初50-切)]>3.841，

80x20x50x50

貝I」(100加―4000)2>502X42X3.841,

解得加243.92或加工36.08,ffijm>40,meN,

故m的最小值為44.

故答案為：44.

題型09條件概率與全概率公式

【典例9-1】.甲、乙兩氣象站同時(shí)作天氣預(yù)報(bào)，如果甲站、乙站各自預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7,且假定

甲、乙兩氣象站預(yù)報(bào)是否準(zhǔn)確相互之間沒(méi)有影響，那么在一次預(yù)報(bào)中，甲站、乙站預(yù)報(bào)都錯(cuò)誤的概率

為.

3

【答案】—/0.06

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法概率公式即可求解.

【解析】解：記/="甲預(yù)報(bào)準(zhǔn)確"，5="乙預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”，

則P(A)=0.8,P(A)=1-0.8=0.2,P(B)=0.7,P(B)=1-0.7=0.3

所以甲、乙都預(yù)報(bào)錯(cuò)誤的概率為P(Ac耳)=尸(團(tuán)尸(否)=0.3x0.2=0.06

故答案為：0.06

【變式9-1】.某科研型農(nóng)場(chǎng)試驗(yàn)了生態(tài)柳丁的種植，在種植基地從收獲的果實(shí)中隨機(jī)抽取100個(gè)，得到其

質(zhì)量(單位：g)的頻率分布直方圖及商品果率的頻率分布表如圖.已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起,

用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取1個(gè)柳丁，則該柳丁為商品果的概率為.

質(zhì)量/g[100,120)[120,140)[140,160)[160,180)[180,200]

商品果率0.70.80.80.90.7

【答案】0.79/—

100

【分析】

結(jié)合頻率分布直方圖及商品果率的頻率分布表，利用全概率公式可直接求得答案.

【解析】

記事件/="從柳丁中任取1個(gè)為商品果”，由全概率公式可得

P(A)=0.005x20x0.7+0.015x20x0.8+0.010x(20x0.8+20x09+20x0.7)=0.79,

故答案為：0.79.

【變式9-2】.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約30%的人近視，而該校大約有40%的學(xué)

生每天玩手機(jī)超過(guò)2h,這些人的近視率約為60%,現(xiàn)從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩

手機(jī)超過(guò)2h的概率為.

【答案】1/0.8

【分析】根據(jù)題意結(jié)合條件概率公式分析運(yùn)算.

【解析】用頻率估計(jì)概率，記“學(xué)生近視”為事件4"學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)2h”為事件8,

由題意可得:尸⑷=03尸(8)=0.4,尸(41B)=0.6,

因?yàn)槭?小8)=,則尸(/8)=尸(4B)P(B)=0.6x0.4=0.24,

所以尸(/為、")P=(A加B)=0.24=不4

4

故答案為：—.

【變式9?3】.研究人員開(kāi)展甲、乙兩種藥物的臨床抗藥性研究實(shí)驗(yàn)，事件A為“對(duì)藥物甲產(chǎn)生抗藥性”，事

49

件5為“對(duì)藥物乙產(chǎn)生抗藥性”，事件。為“對(duì)甲、乙兩種藥物均不產(chǎn)生抗藥性”.若尸(/)=],尸(5)=1,

P(c)=￡，則尸3/)=一.

3

【答案】-/0.375

O

【分析】求出尸(NU8),結(jié)合尸(NU3)=