專題4.1平面向量的概念及線性運算【六大題型】

【新高考專用】

1、平面向量的概念及線性運算

平面向量是高考的熱點內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，平面向量的概念、平面

向量的線性運算是高考的熱點內(nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；有時也會與三角函數(shù)、

解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等.

?知識梳理

【知識點1平行向量有關(guān)概念的歸納】

1.平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.

->-?

(4)非零向量。與符的關(guān)系：得是與。同方向的單位向量.

【知識點2平面向量線性運算問題的解題策略】

1.平面向量線性運算問題的求解思路：

（1）解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加

減法相互轉(zhuǎn)化；

（2）在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中

位線定理、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.

2.向量線性運算的含參問題的解題策略：

與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法

運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.

3.利用共線向量定理解題的策略：

（l）aIIboa=2b（b中0）是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.

（2）當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即三點共線O石，就共線.

->—>->->

（3）若。與b不共線且癡=岫,貝IJX=〃=0.

（4）d=%蘇+q,〃為實數(shù)），若A,B,c三點共線，貝iU+〃=i.

【方法技巧與總結(jié)】

1.中點公式的向量形式：若尸為線段AB的中點，。為平面內(nèi)任一點，則蘇=：（畝十方）.

2.51=2萬+水記〃為實數(shù)），若C三點共線，貝度+M=L

3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是

要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.

?舉一反三

【題型1平面向量的基本概念】

【例1】（24-25高二上?黑龍江佳木斯?階段練習）下列量中是向量的為（）

A.體積B.距離

C.拉力D.質(zhì)量

【解題思路】由向量的定義即可判斷

【解答過程】A,B,D只有大小，C既有大小又有方向

故選:C.

【變式1-1]（23-24高一下.黑龍江大慶.階段練習）下列命題中，正確的是（）

A.若忻?=|同，則a=BB.若|例>同，貝皈>3

C.若江=3,貝展||bD.若N||b,b||c,則N||c

【解題思路】根據(jù)向量的概念逐一判斷.

【解答過程】對于A：若㈤=同，貝皈是只是大小相同，并不能說方向相同，A錯誤;

對于B：向量不能比較大小，B錯誤；

對于c：若a=3,貝底,3方向相同，c正確；

對于D：若日||b,b||c,如果另為零向量，則不能推出2,3平行，D錯誤.

故選：C.

【變式1-2]（23-24高一下?黑龍江綏化?階段練習）關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（）

A,向量可以比較大小B.向量的?？梢员容^大小

C,速度是向量，位移是數(shù)量D.零向量是沒有方向的

【解題思路】根據(jù)向量的相關(guān)概念直接判斷即可.

【解答過程】向量不可以比較大小，但向量的模是數(shù)量，可以比較大小，A錯誤，B正確；

速度和位移都有方向和大小，是向量，C錯誤；

零向量方向任意，D錯誤.

故選：B.

【變式1-3]（23-24高一?全國?假期作業(yè)）已知向量江如圖所示，下列說法不正確的是（）

.__________________>

MN

A.也可以用而表示B.方向是由M指向N

C.起點是MD.終點是M

【解題思路】根據(jù)向量的幾何表示，直接進行判斷即可.

【解答過程】由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確.

故選D.

【題型2向量的幾何表示與向量的?！?/p>

[例2]（2024?福建南平?模擬預測）已知正方形ABC。的邊長為1,點M滿足荏+正=2AM,則|說|=

（）

A-1B.1C.fD.V2

【解題思路】根據(jù)幾何關(guān)系求解.

【解答過程】

如圖，AB+BC=AC=2AM,所以A/是AC的中點，|說|=匏。=爭

故選：C.

【變式2-1]（23-24高一下?山東荷澤?階段練習）如果一架飛機向西飛行150km,再向南飛行350km,記飛

機飛行的路程為s,位移為2,則（）

A.s>\d\B.s=|a|C.s<|a|D.s與|N|不能比較大小

【解題思路】根據(jù)題意，作圖，結(jié)合向量的幾何意義，可得答案.

【解答過程】由題意，作圖如下：

則該飛機由4先飛到8,再飛到C,貝SB=150km,BC=350km,a=AC,

則飛機飛行的路程為s=500km,|a|=V1502+3502—50,58km,

所以s>|a|.

故選：A.

【變式2-2]（23-24高一下.安徽合肥.階段練習）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點。為圓心，C為半

圓上一點，S.AOCB=30°,|荏|=2,則|尼|等于（）

A.1B.V2C.V3D.2

【解題思路】根據(jù)|方|=[OB\,可得以BC=乙OCB=30°,進一步得出答案.

【解答過程】如圖，連接AC,

由I西=\OB\,得乙4BC=4OCB=30°.

因為C為半圓上的點，所以N4CB=90°,

所以國|=（畫=1.

故選：A.

【變式2-3］（23-24高一下?上海?課后作業(yè)）若江是任一非零向量，3是單位向量，下列各式：①同＞|瓦；

②五〃B；③向＞0；@\b\=1；⑤高=丸其中正確的有（）

A.③④⑤B.②③⑤C.①③④D.③④

【解題思路】根據(jù)向量模的概念可判斷①；利用向量共線的定義可判斷②；利用向量模的概念可判斷③、

④；根據(jù)單位向量的概念可判斷⑤.

【解答過程】①IaI＞IBI不正確，a是任一非零向量，模長是任意的，故不正確；

②，〃人則R與3為共線向量，故不正確；

③同＞o,向量的模長是非負數(shù)，故正確；

@IKI=1,故正確；

⑤工是單位向量，3是單位向量，兩向量方向不一定相同，故不正確.

故選：D.

【題型3向量加、減法的幾何意義】

【例3】（2024?湖南岳陽?模擬預測）在AOMN中，而一而+而=（）

A.0B.2M0C.20MD.0

【解題思路】根據(jù)平面向量的加減法運算計算即可.

【解答過程】W-MW+MO=OW+W+MO=OM+MO=0.

故選：A.

【變式3-1X2024?寧夏石嘴山?二模）如圖，已知△4BC中，。是4B邊上一點，若麗=3CD=瓦+mCB,

則m=（）

A.-2B.2C.-1D.3

【解題思路】根據(jù)平面向量加減法運算求解即可.

【解答過程】連接CD,如圖所示：

A

D.

BC

因為麗=

所以而=市+而=不+|屈=方+|(9-5)=:方+|方，

所以3麗=刀+2方，所以m=2.

故選：B.

【變式3-2](2024?浙江?二模)設M是平行四邊形ABC。的對角線的交點，則加+2通+2流+麗=()

—>>>1—>

A.B.C.D.

ABCD2AB-2CD

【解題思路】根據(jù)平行四邊形對角線平分及向量加減法計算可得.

【解答過程】M是平行四邊形4BCD的對角線的交點，則加=-MC,MD=-MB,

所以加+2麗+2MC+MO=MX+MC+MC+MS+W+MO=MC+MB=MB-AM=^S.

故選：A.

【變式3-3](2024?全國?模擬預測)在正方形A2C￡>中，〃是3C的中點.若尼=萬，AM=n,則麗=()

A.4m—3nB.4m+3n

C.3m—4nD.3m+4n

【解題思路】作圖，根據(jù)圖像和向量的關(guān)系，得到麗=2(尼-而)=2沅-2元和荏=前-麗=萬-

2m+2n=2n-m,進而利用前=說+方=就一荏，可得答案.

【解答過程】

如圖，AC^m,AM^n,且在正方形48co中，AB^DC

VAC-AM=MC=：BC,???BC=2(AC-AM)=2m-2n,

vAC=AB+BC,AB=AC-BC=m—2m+2n=2n—m,

.?.=BC+CO=BC-AB=2m—2n-2n+m=3m—4n

故選：C.

【題型4向量的線性運算】

【例4】(2024.湖南岳陽.模擬預測)已知向量匕丸貝吃0+3)-(五-3)=()

A.a+bB.a—b

C.3a+bD.a+3b

【解題思路】直接由向量的線性運算即可求解.

【解答過程】由題意2伍+b')—(^a.—=2d+2b—d+b=a+3b.

故選：D.

【變式4-1](2024.全國.模擬預測)在△ABC中，AM+1VC=0,W=2MC,則()

A.NM=--AB--ACB.NM=-AB--AC

3636

------->i----->i----->------->i----->1----->

C.W=--AB+-ACD.NM=-AB+-AC

3636

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合向量的線性運算法則，準確化簡、運算，即可求解.

【解答過程】在A4BC中，因為福+配=6,所以N為4C的中點，

又因為麗=2所乙所以M為線段的靠近C的三等分點，

所以麗=CM-~CN=^CB-^CA=^(AB-AC")+^AC=^AB+^AC.

故選：D.

【變式4-2](24-25高二上?北京朝陽?階段練習)*2+23一3弓一3(2-23—,)=()

A.--a—4cB.--a+4b—2c

22

c5Tz3fc5f19f

C.—a+7bH—cD.—CLH-Sb—c

2222

【解題思路】根據(jù)向量的加減法即可得到答案.

【解答過程】|(a+2h-3c)-3(a-2d-c)=-ja+7b+|c.

故選：C.

【變式4-3](2024?四川德陽?模擬預測)在AABC中，點。在邊BC上，且BD=抑,E為AD的中

點，則就=()

A.2AB+6AEB.6AB+2AEC.-2AB+6AED.6AB-2AE

【解題思路】由前=3而及向量的加減運算即可解.

【解答過程】如圖所示：

因為前=3而，所以就一而=3(而一屈),

得前=3AD-2AB,

得前=3x2AE-2AB,

得尼=-2AB+6荏，

故選：C.

【題型5根據(jù)向量線性運算求參數(shù)】

【例5】(2024.山東.模擬預測)在正六邊形4BCDEF中，CH=2HD,若麗=久樂+;/而，則x+y=()

A.-B.3C.-D.-

333

【解題思路】根據(jù)向量的線性運算法則和運算律求解即可.

【解答過程】AH=AB+BC+CH=AB+BC+^CD=AB+^AD+^AF

-->-->-->2-->-->c-->

=AB+AB+AF-AF=2AB4--AF,

33

所以x=2,y=|,所以x+y=3

故選：D.

【變式5-1](2024.貴州銅仁?模擬預測)如圖，在△ABC中，M是邊8c的中點，P是AM上一點，且前=|瓦？+

mBC,則m=()

【解題思路】設而=%前，根據(jù)圖形由向量的加法法則運算即可.

【解答過程】設而=4而，因為M是邊BC的中點，所以前=之前，

所以前=^M-BA=^BC-BA,

BP=BA+AP=BA+XAM=BA+|ZBC-ABA=(1-A)BA+|ABC,

fl-A=-

又巨？=2瓦？+小正，所以413,解得加,=1

36

I2

故選：A.

【變式5-2](2024.廣西.模擬預測)在△ABC中，AB=4AD,CE=2ED.^BC=AAE+11CD,貝!j()

1

A.4+〃=5B.A-/z=1C.A/z=6D.—=3

【解題思路】將向量麗，而看作基底，利用向量的加減法法則以及數(shù)乘的運算法則，得到前=-3AE-

2而即可.

【解答過程】依題意，AB=4AD,

所以阮=~DC-~DB=-CD-3AD=-CD-3（AE+前），

又因為麗=2ED,

所以麗=-CD-3AE-3前=-CD-3AE-CD=-3AE-2CD,

所以2———3,林———2,

所以4+〃=—5,A—//=—1,2〃=6,只有選項C正確；

故選：C.

【變式5-3］（2024?山西晉中?模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，M為BC的靠近點C的三等分點，力C與

MD相交于點P,若布=%祐+丫而，貝｝y=（）

【解題思路】利用平行分線段成比例得到低=3,進而利用向量加法的平行四邊形法則即可得解.

【解答過程】因為平行四邊形48CD中，M為的靠近點C的三等分點，4C與MD相交于點P,

所以一=一=3,

PCCM

所以標=:左=|（荏+而）=1荏+;而，又族=久而+丫同，

所以％=y=?,xy=—.

/4/16

故選：B.

【題型6向量共線定理及其應用】

【例6】（2024?浙江?模擬預測）已知向量瓦，詼是平面上兩個不共線的單位向量，且說=瓦+2備，BC=

-3e1+Ze2,DA=3e1—6e2,貝U（）

A.4、B、C三點共線B.4、B、。三點共線

C.力、C、。三點共線D.B、C、。三點共線

【解題思路】根據(jù)向量a石共線則a=wGR）判斷即可.

【解答過程】對A,因為荏=瓦+2&，前=-3Z+2&,不存在實數(shù)；I使得四=4阮，故2、B、C三點

不共線，故A錯誤；

對B,因為荏=瓦+2各，DA=3ei-6e2,不存在實數(shù)4使得荏=4瓦?，故2、8、。三點不共線，故B

錯誤；

對C,因為前=同+就=-2瓦+4備，瓦？=3瓦一6備，則前=-|瓦?，故4、C、D三點共線，故C正

確；

對D,因為阮=-3瓦+2e2,BD=-DA-AB=DA=-3瓦+6e2—瓦一2e2=-4瓦+4e2,不存在實數(shù)

2使得前=2而，故B、C、。三點不共線，故D錯誤.

故選：C.

【變式6-1］（2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模）已知出3是兩個不共線的向量，命題甲：向量出+另與2-2反共線；

命題乙：1=一］則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】利用向量共線定理即可判斷.

【解答過程】對于命題甲，可設京+3=2（2—2?,^ta+bXa-2Xb,

則｛：=_以，所以t=2=/

對于命題乙，t=時，ta+fa=—|（a—2b）,則有向量4+3與2-2坂共線.

故甲是乙的充要條件.

故選：C.

【變式6-2］（2024?河北?模擬預測）已知點A,B,C是直線1上相異的三點，。為直線砂卜一點，5.20A=3OF+

MC,貝奴的值是（）

11

A.TB.1C,--D.-

【解題思路】化簡得m=I礪+（泥，再利用三點共線系數(shù)和為1的結(jié)論即可得到方程，解出即可.

【解答過程】2瓦？=30F+AOC,即瓦？=+|0C,

因為點4是直線Z上相異的三點，則點4,B,C三點共線，

則1+2=1,解得2=-1.

故選：A.

【變式6-3］（2024?陜西咸陽?模擬預測）已知向量2萬不共線，AB^Aa+b,AC^a+iib,其中2〉0,〃>0,

若4B,C三點共線，貝U+4H的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【解題思路】根據(jù)向量共線定理和基本不等式即可求解.

【解答過程】因為三點共線，

所以存在實數(shù)左，使易=k兄，即42+3=+〃另），

又向量1萬不共線，所以［，二］今加=1,

由4>0,〃>0,所以2+4〃>2J44〃=4,

當且僅當/I=44=2時，取等號，

即％+4〃的最小值為4.

故選：B.

1.（2022?全國?高考真題）已知向量五萬滿足⑷=1,|山=百,|五一2同=3,則針3=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【解題思路】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.

【解答過程】解：；伺一2瓦2=|叫2_曲不+4同2,

又：同=l,\b\=y［3,\a-2b\=3,

,9=l-4a-fo+4x3=13-4a-fo,

/.a-6=1

故選：C.

2.（2023?全國?高考真題）已知向量必江,滿足同=\b\=1,同=VL且,+3+m=6,則cos〈五一/花一。=

（）

【解題思路】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【解答過程】因為益+3+3=1所以a+3=—您

即江2+12+22-一=*,即1+14-2a-K=2,所以2-6=0.

如圖，設。/=a,OB=b,OC=c,

由題知,04=0B=lf0C=V2,A04B是等腰直角三角形，

AB邊上的高。D=亨,40=今

所以CD=C。+。。=&+'=與，

An1Q

tan^ACD=—=-fcos^ACD=三，

CD3V10

cos（a—c,b—c）=cosZ-ACB=cos2z.ACD=2cos2Z-ACD-1

=2x（割-1=J

故選:D.

3.（2023?全國?高考真題）已知。。的半徑為1,直線必與。。相切于點A,直線尸8與。。交于8,C兩

點，。為2C的中點，若出。|=夜，則萬?麗的最大值為（）

A1+V2nI+2V2

A.--------D.-------

22

C.1+V2D.2+V2

【解題思路】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得福?麗=1~

ysin（2?-^），或瓦？?麗="日sin（2a+?）然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定西.麗的最大值.

【解答過程】如圖所示，|。*=1,|OP|=/，則由題意可知之4P。

4

由勾股定理可得|P2|=VOP2-OA2=1

B

當點4。位于直線P。異側(cè)時或總為直徑時，設“PC=afO<a<^9

則：PA-PD=\PA\-|PD|cos(a+J)

1xV2cosacos(a+

V-2

=V2coscr2

9.

=cos￡a—sinacosa

1+cos2a1

=------------sin2a

22

1V2/7T\

---Tsin(2a--)

0<a<=則一牌2T<?

4444

當點4。位于直線P。同側(cè)時，^OPCa,0<a<f,

則：RA-RD=PA-PDcos-a)

=1xV2cosacos6—a)

r-/V2V2.\

=V2cosaI—cosa4-—sinaI

=cos2a+sinacosa

1+cos2a1

=----2-----F2sin2a

_1,V2..n\

=—IsinI2aH—),

22V4/

0<a<^,貝書2a+E<￥

二當2a+?=］時，西?而有最大值萼.

綜上可得，P4?PD的最大值為

故選：A.

4.(2024?北京?高考真題)設a,另是向量，貝廣R+另)?但一另)=0"是*=一反或日=亦的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知伍+h)-(a-b)=0等價于⑷=\b\,結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【解答過程】因為(五+司?(2—3)=產(chǎn)—92=0,可得彥=b2,即同=\b\,

可知(2+h)-(a-h)=0等價于|田=同，

若d=3或五=—可得悶=同,即Q+■('-3)=0,可知必要性成立；

^(d+&)-(a—h