2024-2025學(xué)年江西省南昌三中教育集團(tuán)九年級(jí)（上）第一次摸底數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列選項(xiàng)中，能使關(guān)于x的一元二次方程一定有實(shí)數(shù)根的是(

)A. B. C. D.2.把拋物線向左平移2個(gè)單位、向下平移1個(gè)單位后得到的拋物線是(

)A. B. C. D.3.已知一個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過，，，，其中，則，，中最值情況是(

)A.最小，最大 B.最小，最大 C.最小，最大 D.無法判斷4.若函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為(

)A.或3 B.或 C.1或或3 D.1或或5.一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(

)A. B.

C. D.6.拋物線的對(duì)稱軸為直線，其部分圖象交x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，如圖所示，則下列結(jié)論：

①；

②；

③為任意實(shí)數(shù)；

④點(diǎn)是該拋物線上的點(diǎn)，且

其中正確的有(

)A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。7.用配方法解方程，經(jīng)過配方，得到______.8.若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則______.9.若一元二次方程的兩根為，，則的值為______.10.若m，n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為______.11.二次函數(shù)的部分圖象如圖，圖象過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，若拋物線與y軸交于點(diǎn)A，則拋物線與x軸正半軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)為______.

12.定義為函數(shù)的“特征數(shù)”．如函數(shù)的特征數(shù)為，函數(shù)的特征數(shù)為，若特征數(shù)為的函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為______.三、計(jì)算題：本大題共2小題，共12分。13.解方程

14.解方程：

；

四、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題6分

已知關(guān)于x的一元二次方程

若是方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的值；

求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.16.本小題6分

新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費(fèi)者喜愛，我國新能源汽車近幾年出口量逐年增加，2020年出口量為20萬臺(tái)，2022年出口量增加到45萬臺(tái).

求2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是多少？

按照這個(gè)增長速度，預(yù)計(jì)2023年我國新能源汽車出口量為多少？17.本小題6分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)C，A分別在x軸，y軸上，經(jīng)過A，C兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)D，連接請(qǐng)僅用無刻度的直尺完成以下作圖．保留作圖痕跡

在圖1中的拋物線上找出點(diǎn)E，使；

在圖2中的拋物線上作出該拋物線的頂點(diǎn)

18.本小題8分

已知：二次函數(shù)中的x和y滿足下表：x…012345…y…300m8…可求得m的值為______；

求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

當(dāng)時(shí)，則y的取值范圍為______.19.本小題8分

某商家銷售一種成本為20元的商品，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，每天的銷量件與當(dāng)天的銷售單價(jià)元/件滿足一次函數(shù)關(guān)系，并且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)物價(jià)部門規(guī)定，該商品的銷售單價(jià)不能超過52元/件．

求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

問銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家銷售該商品每天獲得的利潤是8000元？

當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，并求出最大利潤．20.本小題8分

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)

求m的值和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

求直線AM的解析式；

根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)時(shí)x的取值范圍．

21.本小題9分

閱讀下列材料并解決問題

【問題】解方程：；

【提示】可以用“換元法”解方程．

解：設(shè)，則原方程為，解得，舍去

所以，，

【解決問題】

解方程

關(guān)于x的方程恰好有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿足此方程，求m的值．22.本小題9分

如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為，矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上，點(diǎn)D、E在x軸上，CF交y軸于點(diǎn)，且矩形的面積為

此拋物線的解析式.

點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，若為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo).23.本小題12分

如圖所示，已知拋物線與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上不與A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，求出面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

是否存在以P，Q，A，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案1.B

2.B

3.A

4.C

5.D

6.A

7.

8.

9.

10.2043

11.

12.0或

13.解：方程移項(xiàng)得：，

配方得：，即，

開方得：，

解得：，；

方程移項(xiàng)得：，

配方得：，即，

開方得：，

解得：，

14.解：，

，

，

，

，

，

，

，

或，

，

15.解：將代入原式，得；

解得；

證明：，

原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

16.解：設(shè)年平均增長率為x，

根據(jù)題意可列方程：，

解得：，不合題意舍去，

答：2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是；

由得，萬，

答：預(yù)計(jì)2023年我國新能源汽車出口量為萬輛．

17.解：如圖，點(diǎn)E即為所求．

如圖，點(diǎn)F即為所求．

18.解：根據(jù)題意得：，

解得：，

則函數(shù)的解析式是：，

當(dāng)時(shí)，；

函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：，

當(dāng)時(shí)，則y的取值范圍為：

故答案是：3；

19.解：設(shè)，

根據(jù)題意可得，

解得，

則；

根據(jù)題意，得，

整理，得，

解得，，

銷售單價(jià)最高不能超過52元/件，

，

答：銷售單價(jià)定為40元/件時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元；

利潤

，

當(dāng)時(shí)，w取最大值為：9000，

故當(dāng)銷售單價(jià)定為50元時(shí)，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，其最大利潤為9000元．

20.解：拋物線與x軸交于點(diǎn)，

，解得：，

拋物線解析式為，

，；

設(shè)直線AM的解析式，

過點(diǎn)和點(diǎn)，

，解得：，

直線AM的解析式；

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，或

21.解：，

設(shè)，則原方程為，

解得：，舍去，

當(dāng)時(shí)，，

，

，

，

所以，

解得：，，

經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的解．

設(shè)，，

因?yàn)樵匠逃腥齻€(gè)實(shí)數(shù)解，

所以與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，

由圖知，

22.解：拋物線的頂點(diǎn)為，

拋物線的對(duì)稱軸為y軸，

四邊形CDEF為矩形，

、F點(diǎn)為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，

矩形其面積為32，，

，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)拋物線解析式為，

把代入得，解得，

拋物線解析式為；

設(shè)

①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段CF的垂直平分線上，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，其坐標(biāo)是；

②當(dāng)時(shí)，，解得，所以此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是或；

③當(dāng)時(shí)，，解得，所以此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是或；

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是：或或或