函數(shù)的零點(diǎn)(5大壓軸考法)

目錄

解題知識(shí)必備........................................................1

壓軸題型講練.......................................................3

題型一、零點(diǎn)存在定理.........................................................3

題型二、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)...........................................................5

題型三、比較零點(diǎn)的大小關(guān)系..................................................8

題型四、零點(diǎn)的和.............................................................11

題型五、與零點(diǎn)相關(guān)的參數(shù)問(wèn)題..............................................15

壓軸能力測(cè)評(píng)(13題)..............................................19

8解題知識(shí)必備X

一、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根

1、定義：如果函數(shù)y=/(x)在實(shí)數(shù)。處的值等于零，即/(。)=0,則。叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).

2、注意事項(xiàng)：

(1)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；

(2)函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程/(x)=0的實(shí)數(shù)根.

3、方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系

方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)=函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

二、零點(diǎn)存在定理及其推論

1、定理：如果函數(shù)/(x)在區(qū)間［凡句上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且

那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(ab)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，

即存在ce(ab),使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程/(x)=0的解。

【注意】(1)定義不能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)不滿足定理?xiàng)l件時(shí)依然可能有零點(diǎn);

(3)定理中的“連續(xù)不斷”是必不可少的條件;

(4)定理反之是不成立的.

2、重要推論：

⑴推論1：函數(shù)/(x)在區(qū)間［2可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，

且/(x)具有單調(diào)性，則函數(shù)/(x)在區(qū)間(a.b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).

(2)推論2：函數(shù)/(x)在區(qū)間［凡可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，

函數(shù)/(x)在區(qū)間(夕為)內(nèi)有零點(diǎn)，且函數(shù)〃x)具有單調(diào)性，則/(a)?/㈤<0

三、零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法

1、直接法：直接求零點(diǎn)，令y(x)=o,如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).

2、定理法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間［凡句上是連續(xù)不斷的曲線，且/(a>/(6)<0,

結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

3、圖象法：

(1)單個(gè)函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)/(X)的圖象，函數(shù)/(X)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

就是函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)“X)拆成兩個(gè)函數(shù)“(X)和g(x)的差，根據(jù)/(x)=0o%(x)=g(x),則

函數(shù)/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=/z(x)和〉=g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

4、性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；

若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

四、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的步驟

第一步：將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求函數(shù)的值；

第二步：將所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷；

第三步：若符號(hào)為正切在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；

若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個(gè)零點(diǎn)。

五、已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法

1、直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；

2、數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危押瘮?shù)的零點(diǎn)或方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟

悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；

3、分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.

X壓軸題型講練2

【題型一零點(diǎn)存在定理】

一、單選題

1.(23-24高一下?江蘇揚(yáng)州?期末)方程2x+lwr-5=0的解所在區(qū)間為()

A.(4,5)B.(3,4)C.(2,3)D.(1,2)

【答案】C

【分析】利用零點(diǎn)存在性定理分析判斷即可.

【詳解】令/(x)=2x+lnx_5,/(X)在(0,+⑼上連續(xù)，且單調(diào)遞增，

對(duì)于A,因?yàn)?(4)=8+ln4-5=3+ln4>0,/(5)=10+ln5-5=5+ln5>0,

所以/(x)的零點(diǎn)不在(4,5)內(nèi)，所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,因?yàn)椤?)>0,〃3)=6+ln3-5=l+ln3>0,

所以的零點(diǎn)不在(3,4)內(nèi)，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C因?yàn)椤?)>0,/(2)=4+ln2-5=ln2-l<0,

所以〃x)的零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)，所以方程2》+向-5=0的解所在區(qū)間為(2,3),所以C正確，

對(duì)于D,因?yàn)椤?)<0,/(l)=2+lnl-5=-3<0,

所以/(x)的零點(diǎn)不在(1,2)內(nèi)，所以D錯(cuò)誤，

故選：C

2.(23-24高一上?福建寧德?期末)已知函數(shù)V=/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)值表:

則下列結(jié)論正確的是()

X123456

y108-32-7-9

A.“X)在(L6)內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)B.AM在(L6)內(nèi)至少有3個(gè)零點(diǎn)

C.“X)在(1,6)內(nèi)最多有3個(gè)零點(diǎn)D.在(1,6)內(nèi)不可能有4個(gè)零點(diǎn)

【答案】B

【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理，判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

【詳解】依題意，/(2)>0,/(3)<0,/(4)>0,/(5)<0,

根據(jù)根的存在性定理可知，在區(qū)間(2,3)和(3,4)及(4,5)內(nèi)至少含有一個(gè)零點(diǎn)，

故函數(shù)在區(qū)間(1,6)上的零點(diǎn)至少有3個(gè)，

故選：B.

3.(23-24高一下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=x+2'的零點(diǎn)在區(qū)間⑺"+1)內(nèi)，〃eZ,則〃的值

為()

A.12B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由條件可得/(x)在R上單調(diào)遞增，且/'(oA/LDvo,即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x+2*定義域?yàn)镽,且/(x)在R上單調(diào)遞增，

且〃0)=1>0,/(-1)=-1+1=-1<0,BP/(O)./(-l)<O,

由零點(diǎn)存在定理可得，/(x)的零點(diǎn)區(qū)間為(-1,0),所以〃=-1.

故選：B

4.(23-24高一上?江西吉安?期末)下列區(qū)間內(nèi)存在方程,|=2、的根的是()

A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程的實(shí)根個(gè)數(shù)的關(guān)系，利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合圖形判斷即得.

【詳解】令尸(x)=V卜2工，顯然函數(shù)F(x)在R上連續(xù)，因尸(1*(2)=(-l)x4=-4<0,

故F(x)在區(qū)間(1,2)上存在零點(diǎn)，即方程-卜2*在區(qū)間(1,2)上有實(shí)數(shù)根.

如圖，作出函數(shù)y=M和了=2工的圖象，由圖可知了=,|和了=2‘有兩個(gè)交點(diǎn)，

因x=_l,—=]>2、=g,X=0,|X3|=0<2X=1,即/(一1)尸(0)<0,

所以F(x)在區(qū)間(-1,0)上存在零點(diǎn)，即方程尸卜2*在區(qū)間(-1,0)上有實(shí)數(shù)根，

由選項(xiàng)可知只有C項(xiàng)符合題意.

故選：C.

5.(23-24高一下?廣東茂名?階段練習(xí))已知/是函數(shù)y=e*與y=2-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的

是()

A.x0e（0,l）B.ln（2-x0）=x0

-x2-x

C.x0-e">0D.e0-e>0

【答案】C

【分析】對(duì)于A：構(gòu)建函數(shù)/(x)=e'+x-2,根據(jù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理判斷A；根據(jù)e'"+x°-2=0化

簡(jiǎn)整理即可；對(duì)于C：由題意可知即可得xo-e?>0；對(duì)于選項(xiàng)D：分析可知e?--。e(e,e?),即

可得結(jié)果.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：令/(x)=e，+x-2,可知/即為〃x)的零點(diǎn)

因?yàn)?gt;=e*,y=x-2均為定義在R上單調(diào)增函數(shù)，故/(x)為定義在R上單調(diào)增函數(shù)，

因?yàn)?(0)=-1<0,/(l)=e-l>0,

所以函數(shù)“X)存在唯一零點(diǎn)七故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閑'。+%-2=0,即e""=2-Xo>O,

兩邊取對(duì)數(shù)可得%=In(2-故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閑演=2-貝！l/e?=Xo(2-Xo)=-(Xo-iy+i<i,

可得看<尸。，所以<0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)樨悾?2-％e(l,2),

可得e2』e(e,e)所以e2』_e>0,故D正確.

故選：C.

【題型二零點(diǎn)的個(gè)數(shù)】

一、單選題

1.(23-24高一下?廣東韶關(guān)?階段練習(xí))函數(shù)〃x)=ln|x|+8-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】按X<0戶>0分段討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理及數(shù)形結(jié)合求解即得.

【詳解】函數(shù)解x)=In|x|+8T的定義域?yàn)?一*0)U(0,+◎,

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=ln(-x)+8-x,顯然函數(shù)片ln(-x),y=8-x在(-8,0)上都單調(diào)遞減,

因此函數(shù)“X)在(-%。)上單調(diào)遞減，而/(-e-9)=-1+e-9<0,/(-1)=9>0,

則函數(shù)“X)在(-應(yīng)0)上有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=lnx+8-x,SM/(e-9)=-1-e-9<0,/(I)=7>0,/(e3)=11-e3<0,

因此函數(shù)/(x)在區(qū)間(e-9,1),(1,T)上至少各有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)x>0時(shí)，由/(x)=0,得lnx=x-8,

則〃x)在(0,+S)上的零點(diǎn)即為函數(shù)V=Inx的圖象與直線y=x-8的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=lnx的圖象與直線j=x-8,如圖，

om~/%x

7y=x-8

觀察圖象知，函數(shù)了=lnx的圖象與直線y=x-8有兩個(gè)交點(diǎn)，即lnx=x-8有兩個(gè)解，

所以函數(shù)/(x)=In|x|+8-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

故選：D

2.(24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))方程[-bg|X=0的解的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.2或3或4

【答案】A

【分析】將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合作出函數(shù)圖象計(jì)算即可.

【詳解】方程-log！x=0的解的個(gè)數(shù)，

等價(jià)于函數(shù)y=和函數(shù)V=bg,x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示.

故方程-log,x=0的解的個(gè)數(shù)為2.

故選：A

fX2—21v|—3x>—4

3.(23-24高一上?新疆昌吉?期末)己知函數(shù)〃x)=.?1二-，則函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

[2x+13,x<-4

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】分兩種情況，解方程即可得解.

【詳解】當(dāng)壯-4時(shí)，由/(x)=0可得--2國(guó)-3=0,

所以(國(guó)一3乂國(guó)+1)=0,

所以兇=3,故-±3,

1Q

當(dāng)x<-4時(shí)，由/(x)=0可得2x+13=0,故x=-f，

1a

則/(X)的零點(diǎn)有-5，-3,3,共計(jì)3個(gè).

故選：C.

4.(23-24高一上?陜西西安?期末)關(guān)于函數(shù)〃X)=X3-2X+1的零點(diǎn)，下列選項(xiàng)說(shuō)法正確的是()

A.(1,0)是“X)的一個(gè)零點(diǎn)

B.“X)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)存在零點(diǎn)

C.“X)只有2個(gè)零點(diǎn)

D.“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與/-2x+l=0的解的個(gè)數(shù)不相等

【答案】B

【分析】由零點(diǎn)的定義及函數(shù)交點(diǎn)法，零點(diǎn)存在性判定判斷各項(xiàng)正誤.

【詳解】A：由函數(shù)零點(diǎn)是一個(gè)數(shù)值，而不是一個(gè)點(diǎn)，錯(cuò)；

B：令/0)=--2》+1=0,可得d=2x-l,即y=x3,y=2x-l交點(diǎn)橫坐標(biāo)為零點(diǎn)，

而y=/,j=2x-l在R上都遞增,且(-2><2x(-2)-1,(-1)3>2x(-1)-1,

所以/(x)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)存在零點(diǎn)，對(duì)；

C：在（。,+℃）上（gr>2xg-l,（1）3<2x|-l,p=2x1-1,結(jié)合B分析,

則區(qū)間(1J令?上存在一個(gè)零點(diǎn)，且x=l也是一個(gè)零點(diǎn)，綜上至少有3個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò);

D：由B分析知：AM的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與V—2x+1=0的解的個(gè)數(shù)相等，錯(cuò)；

故選：B

5.(23-24高三上?山東煙臺(tái)?期末)已知“X)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe(0,+oo)時(shí),

/、|lnx+l,O<x<l/、

〃X)=,則方程〃X)-1=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為()

12—X,X>1

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求出/(x)的解析式，進(jìn)而解方程即可.

【詳解】因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù)，所以"0)=0,

當(dāng)-l?x<0時(shí)，0<—X<1,f(x)=—f(—^)=—ln(—%)—1,

當(dāng)x<-1時(shí)，—x>1,/(X)=-/(-x)=-2-x,

2-x,x>1

lnx+l,0<x<l

綜上/(%)=<0,x=0

-ln(-x)-l,-l<x<0

—2—x,x<—1

當(dāng)x>l時(shí)，令〃力=1無(wú)解；當(dāng)0<x41時(shí)，令/(x)=l解得X=l；

當(dāng)x=0時(shí)，令/(x)=l無(wú)解；當(dāng)-1。<0時(shí)，令/(x)=l解得x=-e-2

當(dāng)x<-l時(shí)，令/(力=1,解得x=-3,

綜上/(x)-1=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為3個(gè)，

故選：C

【題型三比較零點(diǎn)的大小關(guān)系】

一、單選題

1.(22-23高一上?福建泉州?階段練習(xí))設(shè)正實(shí)數(shù)。也c分別滿足小2"=從log3b=c」og2c=1,則凡ac的大

小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

【答案】B

【分析】作出>=2\歹=1。8〃,了=1083工的圖像，利用圖像和y圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)比較大小即可.

【詳解】由已知可得工=2",7=log36,-=log,c,

abc

x

作出y=2,y=log2x,y=log?x的圖像如圖所示:

它們與y=’交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a,b,c,

X

由圖像可得6>c>a,

故選：B

2.(2024?廣東梅州?二模)三個(gè)函數(shù)/(x)=x，+x-3,g(x)=lnx+x-3,=e"+x-3的零點(diǎn)分別為

a,b,c,則。，"c之間的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】先判斷各函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理求出函數(shù)零點(diǎn)的范圍，即可得出答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)>=/,y=e\y=lnx,y=x-3都是增函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)=/+x-3,g(x)=lnx+x-3,〃(x)=e'+x-3均為增函數(shù)，

因?yàn)椤╨)=T(0J(2)=7)0,

所以函數(shù)〃x)的零點(diǎn)在(L2)上，即

因?yàn)間⑵=ln2-l(0,g(3)=ln3)0,

所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)在(2,3)上,即此(2,3),

因?yàn)镸0)=-2(0,〃(l)=e-2)0,

所以函數(shù)h(x)的零點(diǎn)在(0,1)上，即ce(O,l),

綜上，c<a<b.

故選：B.

3.(24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))設(shè)XI,x2,X3均為實(shí)數(shù)，且[[=唾2(%+1),=log3x2,

1=log2x3>則（）

A.玉<%3<%2B.x3<x2<

C.xx<x2<x3D.x3<xx<x2

【答案】A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)畫出圖象，即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意得分別是函數(shù)y=與y=bg2（x+D，=log3x,y=log?x圖象的交點(diǎn)橫坐

標(biāo).

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)了=11,J^=log2（x+1）,y=log3x,y=log2X的圖象，

如圖所示，由圖可得不<三<2.

故選：A.

4.（23-24圖一上?甘肅慶陽(yáng),期末）已知仇c均大于1,滿足----=loga,---=logb,=logc,則下

a—i2o-l3c-14

列不等式成立的是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】B

【分析】畫出圖象，結(jié)合圖象交點(diǎn)坐標(biāo)即可得.

【詳解］S-^―=log2a,-r—=log3b,-^—=log4c,

a-1p-1c-1

畫出函數(shù)>與y=log2x、y=log3x、y=logx,

x-14

則a為了=」：與夕=log?X交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

x-1

則6為y與V=log3X交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

x-1

則C為y與y=log4X交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

x-1

根據(jù)圖象可知a<b<c.

故選：B.

5.(23-24高一下?廣東揭陽(yáng)?期末)已知初+$=露〃+3〃=?,則()

A.1<H<m<eB.l<m<n<e

C.0<n<m<\D.0<m<n<l

【答案】c

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(X)=x+e"g(x)=x+3\由其單調(diào)性結(jié)合圖象得出大小關(guān)系.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/■(x)=x+e:g(x)=x+3l

所以f(m)=m+em=e,g(〃)=〃+3〃=e,

因?yàn)榇?x/=e"/=3”均為R上增函數(shù)，則函數(shù)/(x),g(x)為增函數(shù).

函數(shù)/(x),g(x)與函數(shù)V=e的圖象，如下圖所示：

由圖可知，0<n<m.

又/⑴=l+e>/?,g⑴=l+3>g(”),

所以m<1,“<1.

綜上，0<M<m<1.

故選：C

【題型四零點(diǎn)的和】

一、單選題

1.(23-24高一上?廣東?階段練習(xí))若M，%分別是方程e工+x-2023=0,lnx+x-2023=0的根，則五斗=

()

20232023

A.------B.2023D.4046

24

【答案】A

【分析】由于y=e"的圖像與歹=lnx圖像關(guān)于直線V=x對(duì)稱，而直線y=-x+2023也關(guān)于直線歹二1對(duì)稱,

利用對(duì)稱性，結(jié)合數(shù)形結(jié)合，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出玉的值.

由題意可得多是函數(shù)y=/的圖像與直線kf+2023交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，9是函數(shù)歹二仙x圖像與直線

廣r+2023交點(diǎn)5的橫坐標(biāo),

因?yàn)槭?的圖像與歹=Inx圖像關(guān)于直線片1對(duì)稱，而直線尸r+2023也關(guān)于直線片》對(duì)稱,

所以線段招的中點(diǎn)就是直線y=-x+2023與歹='的交點(diǎn)，

2023

x=------

y=x20232023

得2K3,即線段少的中點(diǎn)為

y=~x+20232'2

y=------

2

的1M+12_2023

所以2=2*

故選：A

2.(23-24高一上?遼寧沈陽(yáng)?期末)已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,且/(x+1)是奇函數(shù)，當(dāng)x>l時(shí),

.[2-xA<x<2i/、/、

〃zx)=2.°，函數(shù)g(x)=(x_lA則方程/(x)=g(x)的所有的根之和為()

IJCII*aJC>L

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】先判斷函數(shù)的對(duì)稱中心，再結(jié)合圖象及交點(diǎn)個(gè)數(shù)，最后結(jié)合對(duì)稱性得出所有根的和.

【詳解】由題知/(x+1)是奇函數(shù)，則有：/(x+l)+/(-x+l)=0,f(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，

(

且/⑴,.=°，x>l時(shí)，〃,X.)="2_-x4,lX<+x4<,X2>2,

g(x)恒過(guò)(1,0),且g(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱,

方程/(x)=g(x)的所有的根之和也即是兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和,

根據(jù)/(x),g(x)對(duì)稱性及解析式畫出圖象如下：

y=g(x)由圖像可知〃x),g(x)有5個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,

另外四個(gè)，兩兩分別關(guān)于(1,0)對(duì)稱，故五個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)和為2x2+1=5,即所有根之和5.

故選：C.

3.(23-24高一下?貴州畢節(jié)?期末)已知占是函數(shù)/(x)=e、+x-2的零點(diǎn),上是函數(shù)g(x)=e"*-x+2的零

點(diǎn)，則占+工2的值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由題意可得〃x)的零點(diǎn)為函數(shù)了=/與y=2-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，g(x)的零點(diǎn)為函數(shù)y=ei與

N=X-2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可得〃x)的零點(diǎn)為函數(shù)y=e，與y=2-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

因?yàn)椤?/和y=x-2在R上遞增，所以/(x)=e'+x-2在R上遞增，

所以X1為〃無(wú))唯一的零點(diǎn)，設(shè)函數(shù)y=e'與y=2-x交點(diǎn)為A,

g(x)的零點(diǎn)為函數(shù)尸ei與尸x-2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

因?yàn)閂=e"x和y=2-x在R上遞減，所以g(x)=e”"一X+2在R上遞減，

所以9為g(x)唯一的零點(diǎn),設(shè)函數(shù)＞=e"'與y=x-2交點(diǎn)為B,

因?yàn)榕cy=ei的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，y=2-x與y=x-2的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

所以4,2關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以西+超=4.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用^=/與了=e-的圖象關(guān)于直

線x=2對(duì)稱和y=2-x與y=x-2的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱進(jìn)行求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

x2+4x+3,x<0

4.（23-24高一上?江蘇蘇州?期中）已知/（%）=<2n若石且

3——,x>0

x

/（七）=/（%2）=/（演）=〃七），則一+—+—+—的取值范圍是（）

x\x2x3x4

A.［一叫"B.（-?,2）c-hl）D.

【答案】A

22

【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合對(duì)稱性,數(shù)形結(jié)合得到%+%=-4,%1￡（-4,-3）^2￡（-1,0）,一—3=3一一,

*3

求出」11「（…4丫下（一4>

13得到答案.

x2+4x+3,x<0

【詳解】畫出〃x）=L2

n的圖象，如下，

3-----,x>0

x

4一一

°jx

設(shè)/（再）=/（々）=/（%3）=/（匕）=。，則。?0,3）,

令x?+4x+3=3,解得*=-4或0,

因?yàn)閂=/+4x+3的對(duì)稱軸為x=-2,由對(duì)稱性可得再+x2=-4,

且演￡（―4,一3）,、2￡（T，0），

i

11x,+x7—4—___4

其中十一—一（、

八'$x2xxx2xxx2（一4一.丫2）%2（%2+2）-4'

因?yàn)轳R￡（-1,0）,所以（吃+2）2-4w：（-3,0）,

故x「x「（z+2）2-4,「叫一

又2-3=3-工，故J-+，=3,

x3x4x3x4

1111f51

——1-----1-------1-----G-00,—.

%x2x3x4I3J

故選：A

—212+4xx<2

5.(2023高一?江蘇?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)=二|一c，若關(guān)于x的方程,有四個(gè)實(shí)根

|log2(x-2)|,x>2

x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),貝!］網(wǎng)+彳2+29+3工4的最小值為()

1917

A.~B.-C.10D.9

【答案】D

【分析】畫出函數(shù)圖像，確定方程的根之間的聯(lián)系，然后結(jié)合基本不等式求解即可.

【詳解】如圖，作出函數(shù)“X)的大致圖象，如圖所示：

關(guān)于X的方程/("=/有四個(gè)實(shí)根占戶2戶3，七(玉</<退<%)

則玉+工2=2,-log2(x3-2)=log2(x4-2),貝?。?三-2)(4-2)=1,其中瑪>2,

一，1,

所以］—以一1)/二戶二

則2退+3工427,當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)3=g，Z=4時(shí)取等號(hào),

所以國(guó)+工2+2x3+g匕的最小值是9.

故選：D

【題型五與零點(diǎn)相關(guān)的參數(shù)問(wèn)題】

一、單選題

1.(22-23高三上?遼寧遼陽(yáng)?階段練習(xí))若函數(shù)/(x)="+x+lgx(l<x<10)有零點(diǎn)，則。的取值范圍為

()

A.(—10,—1)B.(1,10)C.(1,11)D.(—11，T

【答案】D

,、，、(7⑴<。

【分析】首先判斷〃x)="+x+lgx在(1,10)上單調(diào)遞增，則只需要即可，解出不等式即可得

到.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)、=x+a與y=lgx均在(1,10)上單調(diào)遞增,

所以〃X)=4+X+lgX在(1,10)上單調(diào)遞增.

要使函數(shù)/■(x)=a+x+lgx(l<x<10)有零點(diǎn)，則只需要1遍)>o即可，

fa+1<0心，

即《11八，解得—11<。<一1.

故選：D.

2.(23-24高一下?廣東廣州?期末)已知函數(shù)〃x)=H+統(tǒng)一'X"，，方程/(x)=左有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則左

[-2+lnx,x>0

的取值范圍是()

A.—4〈左W-3B.—4(人<-3

C.一3<斤<0D.k>0

【答案】A

【分析】根據(jù)題意畫出〃x)的圖象，方程/(可=上有3個(gè)實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為〃X)與^=左的圖象有3個(gè)不同

的交點(diǎn)，然后根據(jù)圖象求解即可.

因?yàn)榉匠?(x)=上有3個(gè)實(shí)數(shù)解，

所以/。)與'=斤的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，

由圖可知一4<后<-3.

故選:A

2"—q,x<l,__、

“c\恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)0的取值

)4(X-Q)(X-2Q),X21

不可能為()

A.0B.-C.2D.3

2

【答案】A

【詳解】根據(jù)零點(diǎn)定義，逐個(gè)帶入分析判斷即可得解.

【點(diǎn)睛】若。=0,可得

此時(shí)令/(x)=0可得x=0,只有一個(gè)零點(diǎn)，故A不符合;

2」,尤<1

什12

右4=一可得/(%)=

24(x-g)(x-l),xZl

此時(shí)令/(x)=0可得x=±l,恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故B符合;

2%-2,x<l

若Q=2,可得/(%)=

4(x-2)(x-4),x>1

此時(shí)令/(x)=0可得x=2,4,恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故C符合;

2x-3,x<l

若4=3,可得/(%)=

4(x-3)(x-6),x>l

此時(shí)令〃%)=0可得X=3,6,恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故D符合;

故選：A

4.(23-24高一上?北京大興?期末)已知函數(shù)/(x)=x+log2X-4的零點(diǎn)為X],g(x)=x+logff(x-l)-5(a>l)

的零點(diǎn)為%，若則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,V2)B.(V2,2)C.(1,2)D.(2,+a))

【答案】D

【分析】首先由函數(shù)零點(diǎn)的定義得到/(xJ=g(X2)=0,再結(jié)合條件進(jìn)行變形，log2項(xiàng)>1。亂(3-1),再根

據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解。取值范圍.

【詳解】由題意可知，

x1+log2x1-4=x2+loga(X2-1)-5=0,

玉+log2Xj-4=x2-1+loga(x2-1)-4,

即X[+log2xl=x2-l+loga(x2-1),

因?yàn)椋?占>1,所以再<尤2-1,

則logzX]>loga(x2-l),a>l,當(dāng)再-1時(shí),

解得：a>2.

故選：D

5.(23-24高一上?遼寧?期末)已知函數(shù)/(x)十：?3，xj°.若方程〃切=先有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)解%,馬,當(dāng)

l-2+lnx,x>0

且再<赴<X3，貝U()

A.kG(-4,-3)

C.XX+XX￡----,----z-D.X]%2<1

1323Lee；

【答案】BCD

【分析】畫出/(x)的大致圖象，根據(jù)圖象對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，結(jié)合基本不等式求得正確答案.

【詳解】畫出的大致圖象如圖所示.

若方程/(X)=左有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，根據(jù)圖象可得后e(-4,-3],且再+x?=-2.

令-2+lux=-3,得x=L令-2+lux=-4,得x=C,

ee

2

=(再+

貝！I—XxX3+X2X3=—2%3￡

e

=(-X1)(-X2)<f—網(wǎng)尸］=1,

當(dāng)且僅當(dāng)再=X2時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)槲髌?，所以西工2<1.

所以BCD選項(xiàng)正確，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】求解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根等問(wèn)題，可以考慮利用圖象法來(lái)進(jìn)行求解.分段函數(shù)的性質(zhì)的研究，可

以通過(guò)函數(shù)的圖象來(lái)進(jìn)行.畫出函數(shù)的圖象后，可以結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性、基本不等式等知識(shí)來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求

x2+(4a-3)x+3a,x<0,

6.(24-25高三上?北京?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=<k)g/x+l)+l,xN0,(a>0,且a*1)在(-oo,+co)上

單調(diào)遞減，且函數(shù)g(x)=|/(x)|+x-2恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

23

D.

314

【答案】A

【分析】利用函數(shù)/(x)是R上的減函數(shù)求出。的范圍，再在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=|/(x)|和函

數(shù)y=2-x的圖象，根據(jù)方程|/(x)|=2-x的根的個(gè)數(shù)數(shù)形結(jié)合，從而可得出答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是R上的減函數(shù),

3-4a

>0

2

13

貝（J?0<a<1解得*W；,

2

0+（4tz-3）-0+3tz>logfll+l

函數(shù)g（X）=|/（x）|+X-2恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程V（刈=2-X恰好有兩個(gè)根,

如圖，在［。,+8）上方程|/（x）|=2-x恰好有一解，

所以在（-嗎0）上，方程V（x）|=2-x有且僅有一解，

2

當(dāng)3a>2即時(shí)，由X2+（4Q—3）X+3Q=2—X,

即x?+（4Q—2）x+3Q—2=0,x<0,貝！］△=（4q—2）“一4（3a—2）=0,

3

解得〃=3或1（舍去），

4

3

當(dāng)。二二時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；

4

1?

當(dāng)即時(shí)，由圖象知符合題意.

綜上，a的取值范圍是1,|

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象得交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合解決.

X壓軸能力測(cè)評(píng)8

一、單選題

1.（23-24高一下?河南，累河?期末）函數(shù)/（x）=lnx+x2+a,則“a<-1”是“函數(shù)〃x）在（l,e）上存在零點(diǎn)”的

（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】首先得出“函數(shù)/(X)在(Le)上存在零點(diǎn)，，的充要條件是。的取值范圍是(-進(jìn)一步結(jié)合必

要不充分條件的定義即可得解.

【詳解】設(shè)方程〃力=1+必+°=0即方程0=_2_111》在(")上存在零點(diǎn)，

令g(x)=-x2-lnx,xe(l,e),顯然g(x)在(l,e)上單調(diào)遞減，

而g⑴=Tg(e)=-e2-l,所以g(x)=f2-lnx,xe(l,e)的值域?yàn)?一e?-1,一1),

所以函數(shù)“X)在(l,e)上存在零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)。的取值范圍是(^2-1,-1),

所以“a<-1”是“函數(shù)/(x)在(l,e)上存在零點(diǎn)，，的必要不充分條件.

故選：C.

x+2,x<0,

2.(23-24高一上?安徽?期末)已知數(shù)/(幻二1八)若加〈〃且/(〃)=/(加)，則〃+加的取值范圍是

-,0<x<4,

()

A.(1,2］B.0,|C."D.g,2)

【答案】B

【分析】設(shè)/⑺=/(")=，，則加，〃為直線V=f與函數(shù)7=/(x)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出圖形，結(jié)

合圖形求出"+加的取值范圍.

【詳解】設(shè)/(〃)=/(%)=，，則加，〃為直線，=/與函數(shù)y=/(x)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且

4

m+2=t

由/(〃)=/(加)，得〈1，則〃+相=￡+二2,

—=tt

、n

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知g(/)=/+；-2在耳,1)上單調(diào)遞減，

在(1,2］上單調(diào)遞增，且g(：)=：+4-2=|,g⑴=1+1-2=0,g(2)=1+2-2=1,

9

所以〃+加的取值范圍是［0,f.

4

故選：B.

3.(23-24高一上?山東德州?階段練習(xí))記國(guó)為不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[2.7]=2,[-1.3]=-2,則函數(shù)

/■(x)=ln(x+l)-[x]的所有零點(diǎn)之和為()

11一1,

A.e+-B.e+——2C.e-1D.——1

eee

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，得到x-l根令g(x)=ln(x+l意(x-l),xe[3,+8),得到g(x)在[3,+勾上為單調(diào)

遞減函數(shù)，且g(x)<0,得出函數(shù)在⑶+8)上無(wú)零點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出方程求得函數(shù)

的零點(diǎn)，即可求解.

【詳解】由卜]為不超過(guò)x的最大整數(shù)，可得

令g(X)=ln(x+1)-(x-1),xe[3,+co),可得g(x)在[3,+oo)上為單調(diào)遞減函數(shù)，

且g(x)<g⑶=也4-2<0,所以函數(shù)/(x)=ln(x+l)-國(guó)在以,+8)上無(wú)零點(diǎn),

-1<x<00<x<l1<x<2(2<x<3

只需考慮

ln(x+1)=-1'[ln(x+1)=0'ln(x+1)=1J[ln(x+1)=2，

可得函數(shù)〃X)的三個(gè)零點(diǎn)分別為--l,e-l,O,所以所有零點(diǎn)之和為-+e-2.

ee

故選：B.

4.(23-24高一下?安徽蕪湖?開(kāi)學(xué)考試)若函數(shù)〃x)=|1-l|+/-4x+僅存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃?

2

的取值范圍為()

A.(-<?,2)B.(-<?,3)C.(-℃,4)D.(一℃,6)

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的條件，探討函數(shù)“X)在x<2與x22的性質(zhì)，再利用函數(shù)零點(diǎn)的情況列出不等式求解

即可.

【詳解】在xe(-%2)上，V=白一1與y=d-4x都單調(diào)遞減，

函數(shù)/(x)=與T+/-4x+機(jī)在(-8,2)上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為(w-4,+oo)；

2

在x?2,+s)上，>=1一與與3；=/一4x都單調(diào)遞增，

函數(shù)/(X)=1-二7+/-4x+加在［2,+00)上單調(diào)遞增,函數(shù)值集合為［rn-4,+co),

由函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，得加-4<0,解得加<4,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-叫4).

故選：C

5.(24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))已知a,b,c,d都是常數(shù)，a>b,c>d,若/(x)=2024-(x-a)-(x-6)

的零點(diǎn)為c,d,則下列不等式正確的是()

A.a>c>b>dB.a>b>c>d

C.c>d>a>bD.c>a>b>d

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫出二次函數(shù)的圖象即可判斷〃、6、。、d的大小關(guān)系.

【詳解】/(X)=2024-(x-a).(x-6)=-x2+(a+b)x-ab+2024,

由解析式知/(?)=f⑹=2024>0,〃x)對(duì)稱軸為x=等，

因?yàn)閏”為函數(shù)"X)的零點(diǎn)，且od,

所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)/(x)的大致圖象，

二、多選題

y27Y—3Y<()

c,'"c，下列有關(guān)方程"x)=M上<°)

{-2+Iwc,x>0

的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為1時(shí)，k