11.1排列、組合【考點(diǎn)梳理】1．排列(1)排列的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m,n)表示．(3)排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).這里n，m∈N*，并且m≤n．(4)全排列：n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列．Aeq\o\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！，因此，排列數(shù)公式寫(xiě)成階乘的形式為Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！)，這里規(guī)定0！＝1.2．組合(1)組合的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示．(3)組合數(shù)公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)．這里n∈N*，m∈N，并且m≤n.(4)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).考點(diǎn)一排列【例題】（1）下列問(wèn)題是排列問(wèn)題的是（

）A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮?，一共握手多少次？B．平面上有2022個(gè)不同的點(diǎn)，且任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線段？C．集合的含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)？D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法？【答案】D【解析】A中握手次數(shù)的計(jì)算與次序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；B中線段的條數(shù)計(jì)算與點(diǎn)的次序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；C中子集的個(gè)數(shù)與該集合中元素的次序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；D中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨(dú)唱、乙參加獨(dú)舞”與“乙參加獨(dú)唱、甲參加獨(dú)舞”是2種不同的選法，因此是排列問(wèn)題，故選：D.（2）可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭沁B續(xù)9個(gè)數(shù)和相乘，所以，故選：A.（3）現(xiàn)從6名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)分別參加全校資源、生態(tài)和環(huán)保3個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)，則不同的選派方案的種數(shù)是（

）A．20 B．90 C．120 D．240【答案】C【解析】共有種不同的選派方案,故選：C.（4）五人并排站成一排，甲乙不相鄰的排法種數(shù)為（

）A．30 B．54 C．63 D．72【答案】D【解析】按照插空法，甲乙不相鄰的排法種數(shù)有，故選：D.（5）從5本不同的書(shū)中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有（

）種不同的送法．A．60 B．125 C．45 D．11【答案】A【解析】由題意得，從5本不同的書(shū)中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有種不同的送法，故選：A.（6）由0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是.【答案】48【解析】第一步先從非零的四個(gè)數(shù)中選擇一個(gè)作為百位數(shù)字，有種選法，再?gòu)氖Ｓ嗟乃膫€(gè)數(shù)中選擇兩個(gè)排在十位和個(gè)位上，有種選法，由0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是.故答案為：48.【變式】（1）2022年北京冬奧會(huì)期間，需從5名志愿者中選3人去為速度滑冰?花樣滑冰?冰球三個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目服務(wù)，每個(gè)項(xiàng)目必須有志愿者參加且每名志愿者只服務(wù)一個(gè)項(xiàng)目，不同的安排方法種數(shù)為（

）A．10 B．27 C．36 D．60【答案】D【解析】依題意，從5名志愿者中選3人服務(wù)3個(gè)不同項(xiàng)目，不同的安排方法有（種），故選：D.（2）3名學(xué)生和2名老師站成一排合影，則3名學(xué)生相鄰的排法共有（

）A．48種 B．36種 C．20種 D．24種【答案】B【解析】3名學(xué)生相鄰,故將3名學(xué)生捆綁看成一個(gè)整體再與兩名老師進(jìn)行全排列,則共有排法，故選：B.（3）用數(shù)字0，1，2，3，4可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，并且比2000大的四位數(shù)共有（

）A．66個(gè) B．72個(gè) C．55個(gè) D．60個(gè)【答案】B【解析】首位是2，3,4的四位數(shù)都比2000大，所以共有個(gè)，故選：B.（4）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都不是冠軍，且乙不是最后一名、則這5人的名次排列所有可能的情況共有（

）A．18種 B．36種 C．54種 D．72種【答案】C【解析】先從丙、丁、戊三人中選擇一人為冠軍，有種情況，再?gòu)某彝獾娜酥羞x擇一人為最后一名，有種情況，最后將剩余三人進(jìn)行全排列，有種情況，綜上：這5人的名次排列所有可能的情況共有=54種，故選：C.（5）安排5名志愿者完成三項(xiàng)工作，其中項(xiàng)工作需3人，兩項(xiàng)工作都只需一人，則不同的安排方式共有______種.【答案】20【解析】項(xiàng)工作安排3人有，然后安排有，則所安排的方式共種，故答案為：20.（6）某中學(xué)5名黨員志愿者報(bào)名參加某天教師體溫檢測(cè)工作，現(xiàn)學(xué)校安排其中3名志愿者分別負(fù)責(zé)晨、午、晚檢各一人，其中志愿者有早讀輔導(dǎo)工作不能安排晨檢工作，則共有________種不同安排方法.【答案】【解析】當(dāng)志愿者參加檢測(cè)工作時(shí)，方法數(shù)有種；當(dāng)志愿者不參加檢測(cè)工作時(shí)，方法數(shù)有種，故總的方法數(shù)有種，故答案為：.考點(diǎn)二組合【例題】（1）已知，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，化簡(jiǎn)得：，解得：或（舍去），故選：B.（2）從10名學(xué)生中任選2名參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，不同的選法種數(shù)是（

）A．12 B．20 C．45 D．90【答案】C【解析】由題意，從10名學(xué)生中任選2名參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，由組合的定義可知，不同的選法種數(shù)為，故選：C.（3）從8瓶酸牛奶和4瓶純牛奶中任意選取4瓶，則恰有1瓶是酸牛奶的選取方法共有（

）A．24種 B．32種 C．48種 D．64種【答案】B【解析】恰有1瓶是酸牛奶的選取方法有種，故選：B.（4）袋中共有個(gè)球，其中個(gè)白球，個(gè)黑球．從袋中抽取個(gè)球，其中恰有一個(gè)白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】從袋中任取個(gè)球，共有種取法；其中恰有一個(gè)白球的取法有種，所求概率，故選：A.（5）某校選修課種類(lèi)豐富多彩，極大拓展了學(xué)生的視野，現(xiàn)有A類(lèi)選修課4門(mén)，B類(lèi)選修課3門(mén)，小張同學(xué)打算從中選擇三門(mén)，若要求兩類(lèi)課程各至少選1門(mén)，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_______.【答案】30【解析】由題意，小張同學(xué)從中選擇三門(mén)，要求兩類(lèi)課程各至少選1門(mén)，則可以選A類(lèi)2門(mén)B類(lèi)1門(mén)，也可以選A類(lèi)1門(mén)B類(lèi)2門(mén)，所以不同的選法種數(shù)共有，故答案為：30.（6）在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品，從這100件產(chǎn)品中任意抽取3件，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法的種數(shù)為.【答案】【解析】“沒(méi)有次品”的抽法種數(shù)為：,至少有一件是次品的抽法的種數(shù)為：，故答案為：.【變式】（1）已知，則m等于（

）A．1 B．3 C．1或3 D．1或4【答案】C【解析】由可知:或者,解得:或，故選：C.（2）從班委會(huì)5名同學(xué)中選出3名同學(xué)擔(dān)任勞動(dòng)教育宣講員，不同的選法種數(shù)有（

）A．60種 B．30種 C．20種 D．10種【答案】D【解析】依題意，有種選法，故選：D.（3）現(xiàn)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有（

）A．150種 B．180種 C．200種 D．462種【答案】C【解析】先從6名男醫(yī)生中選出3名男醫(yī)生，再?gòu)?名女醫(yī)生中選出2名女醫(yī)生，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的選法共有種，故選：C.（4）某醫(yī)院計(jì)劃從3名醫(yī)生和4名護(hù)士中任選3人參與某地的防疫工作，則至少有1名醫(yī)生被選中的選法共有（

）A．31種 B．33種 C．34種 D．35種【答案】A【解析】至少有1名醫(yī)生被選中的選法共有種，故選：A．（5）小明在一個(gè)專(zhuān)用的紙箱中收藏了一套精美的十二生肖紀(jì)念郵票，共12枚，現(xiàn)從這12枚郵票中隨機(jī)抽取3枚，恰好有1枚為老虎圖案郵票的概率為．【答案】【解析】先在十二枚生肖的郵票中抽取3枚，共有種結(jié)果，再在除了老虎圖案的十一枚郵票中抽取2枚，共有結(jié)果，所以恰好有一枚為老虎圖案郵票的概率為，故答案為：.（6）現(xiàn)有拾圓、貳拾圓、伍拾圓的人民幣各1張，一共可以組成的幣值有種．【答案】7【解析】三種幣值分別任選一張、兩張或全選，則組成的幣值有種，故答案為：7.【方法總結(jié)】1．排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系排列、組合之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問(wèn)題，需要考慮順序的是排列問(wèn)題，排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行全排列，因此，分析解決排列問(wèn)題的基本思路是“先選，后排”．2．解排列、組合題的基本方法(1)限制元素(位置)優(yōu)先法：①元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素，再考慮其他元素；②位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置，再考慮其他位置．(2)正難則反排異法：有些問(wèn)題，正面考慮情況復(fù)雜，可以反面入手把不符合條件的所有情況從總體中去掉．(3)復(fù)雜問(wèn)題分類(lèi)分步法：某些問(wèn)題總體不好解決時(shí)，常常分成若干類(lèi)，再由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解決或分成若干步，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理解決．在解題過(guò)程中，常常既要分類(lèi)，也要分步，其原則是先分類(lèi)，再分步．(4)相離問(wèn)題插空法：某些元素不能相鄰或要在某特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安排好沒(méi)有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間．(5)相鄰問(wèn)題捆綁法：把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”作全排列，最后再“松綁”——將“捆綁”元素在這些位置上作全排列