第七章復(fù)數(shù)（思維導(dǎo)圖+知識(shí)清單）【人教A版（2019）】7.1復(fù)數(shù)的概念【知識(shí)點(diǎn)1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念】1．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的引入

為了解決這樣的方程在實(shí)數(shù)系中無(wú)解的問(wèn)題，我們引入一個(gè)新數(shù)i，規(guī)定：

①，即i是方程的根；

②實(shí)數(shù)可以和數(shù)i進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，且加法和乘法的運(yùn)算律仍然成立.

在此規(guī)定下，實(shí)數(shù)a與i相加，結(jié)果記作a+i；實(shí)數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi；實(shí)數(shù)a與bi相加，結(jié)果記作a+bi.注意到所有實(shí)數(shù)以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數(shù)都在擴(kuò)充后的新數(shù)集中.(2)復(fù)數(shù)的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.這樣，方程在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.(3)復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說(shuō)明時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.(4)復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)b≠0時(shí)，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，它叫做純虛數(shù).顯然，實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即.

復(fù)數(shù)z=a+bi可以分類如下：

復(fù)數(shù)，

復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系，可用圖表示.2．復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等時(shí)，兩個(gè)復(fù)數(shù)才相等.【知識(shí)點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義】1．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)，而有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

如圖所示，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點(diǎn)Z(a,b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對(duì)應(yīng)

由上可知，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對(duì)應(yīng)

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來(lái)表示復(fù)數(shù).如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點(diǎn)Z唯一確定；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)Z(相對(duì)于原點(diǎn)來(lái)說(shuō))也可以由向量唯一確定.

因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的(實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng))，即復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量，這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.2．復(fù)數(shù)的模向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個(gè)實(shí)數(shù)a，它的模等于|a|(就是a的絕對(duì)值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).3．共軛復(fù)數(shù)(1)定義

一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即若z=a+bi，則.特別地，實(shí)數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(如圖).特別地，實(shí)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，且在實(shí)軸上.(3)性質(zhì)①.

②實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z∈R，利用這個(gè)性質(zhì)可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).4．復(fù)數(shù)的模的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，這是復(fù)數(shù)的模的幾何意義.(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，r表示一個(gè)大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點(diǎn)Z組成的集合是以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>r表示圓的外部.7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】1．復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)，(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復(fù)數(shù)的加法滿足的運(yùn)算律

對(duì)任意∈C，有

①交換律：；

②結(jié)合律：.(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)，(a,b,c,d∈R)對(duì)應(yīng)的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對(duì)應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對(duì)角線OZ對(duì)應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對(duì)應(yīng)的向量.2．復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的減法法則類比實(shí)數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)，(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)的差對(duì)應(yīng)的向量是，即向量.如果作，那么點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是(如圖所示).

這說(shuō)明兩個(gè)向量與的差就是與復(fù)數(shù)(a-c)+(b-d)i對(duì)應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來(lái)進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.3．復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)，(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成-1，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意∈C，有

①交換律：；

②結(jié)合律：；

③分配律：.

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律仍然成立.即對(duì)于任意復(fù)數(shù)z，z1，z2和正整數(shù)m,n，有，，.4．復(fù)數(shù)的除法(1)定義

我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(2)復(fù)數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見(jiàn)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).5．|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義

設(shè)復(fù)數(shù)，(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是Z1(a,b)，Z2(c,d)，則，又復(fù)數(shù)=(a-c)+(b-d)i，則.

故，即表示復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.6．復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用技巧(1)復(fù)數(shù)常見(jiàn)運(yùn)算小結(jié)論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【知識(shí)點(diǎn)2復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根】1．復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)數(shù)系一元二次方程的根

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當(dāng)?>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，；

當(dāng)?=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；

當(dāng)?<0時(shí)，方程有兩個(gè)虛根，，且兩個(gè)虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù).2．復(fù)數(shù)的方程的解題策略(1)對(duì)實(shí)系數(shù)二次方程來(lái)說(shuō)，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒(méi)有變化，仍然適用.(2)對(duì)復(fù)系數(shù)(至少有一個(gè)系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.7.3復(fù)數(shù)的三角表示【知識(shí)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的三角表示式】1．復(fù)數(shù)的三角表示式(1)復(fù)數(shù)的三角表示式

如圖，我們可以用刻畫向量大小的模r和刻畫向量方向的角θ來(lái)表示復(fù)數(shù)z.

一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.概念名稱概念的說(shuō)明模rr是復(fù)數(shù)z的模，)輻角θθ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線(射線OZ)為終邊的角，且三角形式r(cosθ+isinθ)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式，該式的結(jié)構(gòu)特征是：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連(2)輔角的主值

顯然，任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差2π的整數(shù)倍.例如，復(fù)數(shù)i的輻角是，其中k可以取任何整數(shù).對(duì)于復(fù)數(shù)0，因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的.我們規(guī)定在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值.通常記作argz，即0≤argz<2π.(3)三角形式下的復(fù)數(shù)相等每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此，兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.【知識(shí)點(diǎn)2復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義】1．復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到，

即.

這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.(2)幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相乘時(shí)，可以像圖那樣，先分別畫出與z1，z2對(duì)應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的r2倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.2．復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)