第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)位育中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題4分，共16分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列命題正確的是(

)A.如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行

B.如果兩個(gè)平面垂直于同一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

C.如果一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行

D.如果兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直2.在四棱錐S?ABCD中，若SA=xSB+ySC+zSDA.(1,?1,1) B.(1,0,?1) C.(1,?1,0) D.(1,?1,?1)3.一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和5個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同.每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個(gè)球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過重復(fù)摸球足夠多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.1左右，則據(jù)此估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為(

)A.40個(gè) B.45個(gè) C.50個(gè) D.55個(gè)4.M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)，將菱形沿對(duì)角線AC折起，使點(diǎn)D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，對(duì)于下列兩個(gè)命題：①直線MN恒與平面ABD平行；②異面直線AC與MN恒垂直.以下判斷正確的是(

)A.①為真命題，②為真命題

B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題

D.①為假命題，②為假命題二、填空題：本題共12小題，共42分。5.用數(shù)學(xué)符號(hào)表示“直線a在平面β上”為______．6.“拋擲一枚骰子觀察點(diǎn)數(shù)”的樣本空間為______．7.若圓錐的母線為2，高為1，則圓錐的側(cè)面積為______．8.已知向量a=(2,5,1)，b=(4,m,5)，若a?b=39.半徑為3的球的體積等于______．10.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x10的方差為16，則數(shù)據(jù)1?2x1，1?211.設(shè)A，B是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)相互獨(dú)立事件，且P(A?)=13，P(B)=112.有7個(gè)同學(xué)要排隊(duì)做操，其中甲乙丙必須相鄰，則總共有______種排法．13.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=3

14.袋子中有紅、黃、黑、白共四個(gè)小球，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到紅、黃兩個(gè)小球都取到才停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好抽取三次停止的概率.用1，2，3，4分別代表紅、黃、黑、白四個(gè)小球，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：341332341144221132243331112342241244342142431233214344由此可以估計(jì)，恰好抽取三次就停止的概率為______．15.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，∠A116.正三棱錐S?ABC中，底面邊長(zhǎng)AB=2，側(cè)棱AS=3，向量a，b滿足a?(a+AC)=a?三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)

如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，若D1、D分別為B1C18.(本小題12分)

某工廠選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：分鐘)繪制了如下莖葉圖：

(1)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的第75百分?jǐn)?shù)；

(2)為了解該工廠職工的基本信息，從工廠中抽取了100個(gè)職工的體重?cái)?shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)全部介于45公斤到75公斤之間，現(xiàn)將100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù)分為6組：第一組[45,50)，第二組[50,55)，…，第六組[70,75)，得到如圖2所示的頻率分布直方圖.其中第一組有2人，第二組有13人.求bc與a的值．

19.(本小題12分)

甲、乙兩人都是圍棋愛好者，某天兩人要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，甲每局比賽獲勝的概率是0.7(每局比賽僅有勝利或者失敗兩種可能)，最終勝者將贏得100元的獎(jiǎng)金.比賽開始后不久，就因?yàn)橛衅渌露兄沽吮荣悾?/p>

(1)若是三局兩勝的比賽(誰先勝兩局比賽立即結(jié)束)，且甲已經(jīng)獲勝一局后中止了比賽，則甲最終獲勝的概率為多少？

(2)若是五局三勝的比賽(誰先勝三局比賽立即結(jié)束)，在已知甲、乙各勝1局的情況下中止了比賽，如何分配獎(jiǎng)金比較公平？20.(本小題12分)

如圖①，有一個(gè)圓柱形狀的玻璃水杯，底面圓的直徑為20cm，高為30cm，杯內(nèi)有20cm深的溶液，現(xiàn)將水杯傾斜，且傾斜時(shí)點(diǎn)B始終在桌面上，設(shè)直徑AB所在直線與桌面所成的角為α(圖②)．

(1)求圖②圓柱的母線與液面所在平面所成的角(用α表示)；

(2)要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出，求角α的最大值．21.(本小題12分)

如圖，在三棱錐A?BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=3，BD=CD=1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形

(1)求證：AD⊥BC

(2)求二面角B?AC?D

參考答案1.D

2.A

3.B

4.A

5.a?β

6.{(1點(diǎn)朝上)，(2點(diǎn)朝上)，(3點(diǎn)朝上)，(4點(diǎn)朝上)，(5點(diǎn)朝上)，(6點(diǎn)朝上)}．

7.28.?2

9.36π

10.8

11.1612.720

13.2114.51815.616.4

17.證明：在三棱柱ABC?A1B1C1中，D1、D分別為B1C1、BC的中點(diǎn)，

連接A1C交AC1于點(diǎn)M，如圖，

∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點(diǎn)．連接MD．

∵D為BC的中點(diǎn)，∴A1B/?/DM．

∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM//平面A1BD1．

又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1//BD，BD=D18.解：(1)因?yàn)?0名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間按從小到大排列為：

61，61，62，63，63，65，65，67，68，69，70，70，71，72，72，72，72，74，75，77，

78，81，82，82，83，84，84，84，87，87，90，90，91，91，91，92，92，93，94，94，

又40×75%=30，所以第75百分?jǐn)?shù)為87+902=88.5；

(2)根據(jù)題意可得(2a+2b+2c)×5=1，5a×100=2，5b×100=13，

解得a=0.004，b=0.026，c=0.07，

所以b19.解：(1)甲獲勝方法有：第2局勝利或者第2局失敗第3局勝利，

則甲獲勝的概率為0.7+0.3×0.7=0.91．

(2)甲獲勝方法有：第3和4局勝利；第3局勝利第4局失敗第5局勝利；第3局失敗第4，5局勝利，

則甲獲勝的概率為0.7×0.7+0.7×0.3×0.7+0.3×0.7×0.7=0.784，

因此，甲應(yīng)該分得獎(jiǎng)金0.784×100=78.4元，則乙應(yīng)該分得獎(jiǎng)金21.6元．

20.解：(1)如圖，過點(diǎn)F作FQ⊥BC，交BC于Q，

過點(diǎn)C作CM⊥PB，交FQ延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

過點(diǎn)M作MN/?/PB，交BC于N，

則∠CFQ=α，

∴圖②中圓錐的母線與液面所在平面所成的角為：∠DFC=∠FCQ=π2?α，

圖②圓柱的母線與液面所在平面所成的角為π2?α；

(2)根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示，

過C作CF//BP，交AD所在的直線于F，

在直角△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα，

且點(diǎn)F在線段AD上，AF=30?20tanα，

此時(shí)容器內(nèi)能容納的溶液量為：π×102×30?12π×102×20tanα=100π(30?10tanα)cm3，

而容器內(nèi)原有溶液量為π×1021.證明：(1)在Rt△ABD與Rt△ACD中，∵AD是公共的斜邊，且AD=3，BD=CD=1，∴AB=AC=2

∵△ABC為等邊三角形，∴BC=2，

∴△BCD為等腰直角