甘肅省白銀市第八中學(xué)2024屆高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、"雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中有這樣的一個(gè)小游戲.袋子中

有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球，分別寫有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個(gè)字，有放回地從中任意摸出一個(gè)小球，直

到“仁”、“智”兩個(gè)字都摸到就停止摸球小明同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1

到4之間（含1和4）取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1,2,3,4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)

數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：

141432341342234142243331112322

342241244431233214344142134412

由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為（）

1123

A.—B.-C.—D.—

4555

2.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要

求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半.”請(qǐng)問(wèn)各畜賠多少？它的大意

是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升）,

三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同,馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半.問(wèn)羊、

馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）

255010025255010020040050100200

A.—,—,---B.—,—,—C.----,----,----D.—,--,----

7771477777777

3.一只螞蟻在邊長(zhǎng)為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于2的區(qū)域內(nèi)的概率為（）

4.函數(shù)/"）二五為7的部分圖像大致為（）

D.

3

5.已知ae—,則sina+8sa等于().

4

7

A.B.C.D.

4555

6.本次模擬考試結(jié)束后，班級(jí)要排一張語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評(píng)順序表，若化學(xué)排在生物

前面，數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）

A.72種B.144種C.288種D.360種

7.已知拋物線的焦點(diǎn)為尸，43是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，若[4尸|+|8/|=8,則線段A8的中點(diǎn)到）'

軸的距離為（）

3

A.5B.3C.-D.2

2

8.新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，深入推動(dòng)優(yōu)化升級(jí)和融合發(fā)展，持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給，實(shí)現(xiàn)了行業(yè)

的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收增長(zhǎng)情況，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

我國(guó)新聞出版產(chǎn)業(yè)和教字出版業(yè)營(yíng)收用長(zhǎng)情況

250000-

200000-

150000-

100000-

5000.0-

0.0-

2012年2013年2014年2015年2016年

□數(shù)字出瓶業(yè)營(yíng)業(yè)收入（億元）

□哥國(guó)出版業(yè)營(yíng)業(yè)收入《億元）

A.2012年至2016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收均逐年增加

B.2016年我國(guó)數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收超過(guò)2012年我國(guó)數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收的2倍

C.2016年我國(guó)新聞出版業(yè)營(yíng)收超過(guò)2012年我國(guó)新聞出版業(yè)營(yíng)收的1.5倍

D.2016年我國(guó)數(shù)字出版營(yíng)收占新聞出版營(yíng)收的比例未超過(guò)三分之一

9.已知集合A={xeN|y=={x|x=￡Z},則AB-（）

A.[0,4]B.{0,2,4}C.{2,4}D.[2,4]

10.下圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間，六個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格（單位元），以及相比于上一年同期價(jià)

格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，以下敘述不正確的是（）

六個(gè)城市春運(yùn)在詆機(jī)票的平均價(jià)格和增幅

300010.00%

北?上?rMIFUH天”重慶

A.深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高

B.天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大

C.上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)

D.相比于上一年同期，其中四個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加

11.函數(shù)/(x)=Y=+】n(x+l)的定義域?yàn)?)

\J2-x

A.(2,4-00)B.(―1,2)kJ(2,+8)C.1,2)D.(-1,2]

12.如圖，在二二二二中，點(diǎn)M是邊二二的中點(diǎn)，將一二二二沿著AM翻折成二二二二，且點(diǎn)二不在平面二二二內(nèi)，點(diǎn)二是

線段二二上一點(diǎn),若二面角二一二二一二與二面角二一二二一二的平面角相等，則直線二二經(jīng)過(guò)一二二二的（）

A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.過(guò)直線4x+3），—10=。上一點(diǎn)尸作圓f+）,2=i的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則PAP8的最小值是____?

14.設(shè)函數(shù)=J。，若存在實(shí)數(shù)在使得關(guān)于x的方程/⑺』〃有4個(gè)不相等的實(shí)根，且這

J^o—Xj,4<X<o

4個(gè)根的平方和存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

15.函數(shù)y=Jiog-x的定義域?yàn)?/p>

16.已知。為矩形ABCQ的對(duì)角線的交點(diǎn)，現(xiàn)從A8,C,/）,。這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)，則這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）選修4?5：不等式選講

已知函數(shù)/(司=|工+1|+2卜-4.

(1)設(shè)a=l,求不等式的解集；

(2)已知。>一1,且/("的最小值等于3,求實(shí)數(shù)。的值.

18.(12分)已知橢圓+的離心率為日，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)己知直線/:)，=履與橢圓C交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)上使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

O?若存在，求出&的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(12分)已知函數(shù)f(x)=or-(a+l)lnx-，+2(aeR).

X

(l)討論函數(shù)/(x)單調(diào)性；

(2)當(dāng)〃二一2時(shí)，求證：J\x)<ex-2x--.

20.(12分)A48C的內(nèi)角AEC的對(duì)邊分別為已知給cos/=〃cosC+ccos4.

(1)求D8的大??；

(2)若8=2,求AA3C面積的最大值.

21.(12分)已知某種細(xì)菌的適宜生長(zhǎng)溫度為12?C~27C,為了研究該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量》(單位：個(gè))隨溫度工(單

位：變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下；

溫度r/C1416182()222426

繁殖數(shù)量力個(gè)2530385066120218

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計(jì)量的值，如表所示:

7

Xyk力(為-亞￡3百Z(D(i)Z(西-可(&-7)

/-IJ-1J-1

20784.11123.8159020.5

_]7

其中勺=ln?,1二夕2&，?

?1=1

(1)請(qǐng)繪出)'關(guān)于E的散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷)，=區(qū)+4與)，=C*哪一個(gè)更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量)'關(guān)

于溫度X的回歸方程類型(給出列斷即可，不必說(shuō)明理由);

yn

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù)，建立）'關(guān)于工的回歸方程（結(jié)果精確到0?1）；

（3）當(dāng)溫度為27t時(shí)，該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報(bào)值為多少？

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（外,匕）。=1,2,3,???,〃），其回歸直線-=〃的斜率和截距的最小二成估計(jì)分別為

￡（火田（4-京）

￡=--------------，a=v-pUt參考數(shù)據(jù)：*'、245.

?=|

r,[x=n

,x=\-m

22.（10分）在直角坐標(biāo)系xQy中，直線4的參數(shù)方程為，,[為參數(shù)），直線/2的參數(shù)方程「〃（為參

y=k（m-\）y=2+—

k

數(shù)），若直線《4的交點(diǎn)為戶，當(dāng)攵變化時(shí)，點(diǎn)戶的軌跡是曲線C

（1）求曲線。的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，工軸非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，設(shè)射線％的極坐標(biāo)方程為

4（乃、

0=a（p.O）,tana=-0<a<-,點(diǎn)Q為射線g與曲線。的交點(diǎn)，求點(diǎn)Q的極徑.

JI

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況，用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.

【詳解】

由題意可知當(dāng)1,2同時(shí)出現(xiàn)時(shí)即停止摸球，則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種：142,112,241,142,412.

則恰好第三次就停止摸球的概率為〃二,二;.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用和古典概型概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

設(shè)羊戶賠糧為升，馬戶賠糧生升，牛戶賠糧小升，易知4M2，%成等比數(shù)列，夕=2,%+%+%=50,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)

可求出答案.

【詳解】

設(shè)羊戶賭糧勺升,馬戶賠糧的升，牛戶賠糧％升，則1，％，%成等比數(shù)鞏且公比夕=2嗎??%=50,則

/一?2\5050100'200

）o

q（l+q+q=50,故4a2=2a}=--,ay=2~a.

II乙i乙///

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

求出滿足條件的正AA8C的面積，再求出滿足條件的正AA3C內(nèi)的點(diǎn)到頂點(diǎn)A、B、。的距離均不小于2的圖形的

面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.

【詳解】

滿足條件的正AA6C如下圖所示：

滿足到正AA9C的頂點(diǎn)A、13、C的距離均不小于2的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,

1,

陰影部分區(qū)域的面積為S=-X^-X22=2^.

2

則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都大于2的概率是尸=1-4=1-4直.

4V36

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

4、A

【解析】

根據(jù)函數(shù)解析式，可知/（"的定義域?yàn)閤tR,通過(guò)定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出/（—）=/（x）,則為偶

函數(shù)，可排除選項(xiàng)，觀察A8選項(xiàng)的圖象，可知代入工=0,解得/（（））>（）,排除3選項(xiàng)，即可得出答案.

【詳解】

5E位，/XCOSX

解：因?yàn)?（力二彳7萬(wàn)

所以/（上）的定義域?yàn)閄ER,

則仆■號(hào)

=〃支），

???/（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于）'軸對(duì)稱，排除C。選項(xiàng)，

且當(dāng)工=0時(shí)，/（0）=|>0,排除3選項(xiàng)，所以4正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象，利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.

5、B

【解析】

3

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得tana=-二，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號(hào)，即可得到答案.

4

【詳解】

3

由題意得tcin（6r-7i）=tana=——,

4

兀3兀

,所以兀，cos?（0,sin?）0,結(jié)合sii?a+cos2a=1解得sina=『cosa=一

又aw2'T

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考杳三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號(hào)與位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列求解即可

【詳解】

第一步排語(yǔ)文，英語(yǔ)，化學(xué)，生物4種，且化學(xué)排在生物前面，有尺=12種排法；第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科

除最后位置外的4個(gè)空擋中的2個(gè)，有4=12種排法，所以不同的排表方法共有12x12=144種.

選從

【點(diǎn)睛】

本題考查排列的應(yīng)用，不相鄰采用插空法求解，準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題

7、D

【解析】

由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,由拋物線的定義可知IA/q+13E|=%+2+%+2=8，繼而可求出

*+9=4,從而可求出43的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),即為中點(diǎn)到）'軸的距離.

【詳解】

解：由拋物線方程可知，2/7=8,即p=4,.?.尸（2,0）.設(shè)4（%,）［）,5（工2。2）

則M耳二芭+2,忸丹=/+2,BPIAF|+1BF|=+2+x2+2=8,所以為+/=4.

所以線段AB的中點(diǎn)到>軸的距離為土三乜=2.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得48兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.

8、C

【解析】

通過(guò)圖表所給數(shù)據(jù)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.

【詳解】

根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B：1935.5x2=3871<5720.9,正確;對(duì)于選項(xiàng)C：16635.3xl.5>23595.8,

故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：23595.8x1^7865>5720.9,正確.選C.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查柱狀圖是識(shí)別和數(shù)據(jù)分析，題目較為簡(jiǎn)單.

9、B

【解析】

計(jì)算4={0,1,2,3,4},再計(jì)算交集得到答案

【詳解】

A={xeN|y="G}={0,l,2,3,4},8={x|x=2〃,〃￡Z}表示偶數(shù)，

故418={0,2,4}.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的交集，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

10、D

【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出敘述不正確的選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價(jià)格最高，所以A選項(xiàng)敘述正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大，所以B選項(xiàng)敘述正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)，所以C選項(xiàng)敘述正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加，故D選項(xiàng)

敘述錯(cuò)誤.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.

11>C

【解析】

2-x>0

函數(shù)的定義域應(yīng)滿足J2.

l+x>()

故選C.

12、A

【解析】

根據(jù)題意二到兩個(gè)平面的距離相等，根據(jù)等體積法得到二二二二二得到答案.

【詳解】

二面角二一二二一二與二面角二-二二--的平面角相等，故一到兩個(gè)平面的距離相等.

故二二一二二二二二二，即口D-00匚=匚二-二二二，兩二棱錐高相等，故-二二二二二1二二二

故二二二二二故二為二二中點(diǎn).

故選：二

【點(diǎn)睛】

本題考杳了二面角，等體積法，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、3

2

【解析】

由切線的性質(zhì)，可知|P$二|PB,切由直角三角形B40,PRO,即可設(shè)PA=x,N4PO=a,進(jìn)而表示cose,由圖

像觀察可知尸ONdx進(jìn)而求出x的范圍，再用工，。的式子表示尸A整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.

【詳解】

由題可知，PA=PB,設(shè)PA=x,NAPO=a,由切線的性質(zhì)可知po=，否工，則

X,X2

cosa=------,cos-a=———

V/77Tf+i

顯然PONdg」4x；；：二°|=2,則V7W之或XW-G（舍去）

因?yàn)镻A=|PA，Pfi|cosZAPO=x2cos2a=x2?(2cos2a-l)=x2-~j-

2

1

x2+1x2+lx2+lx2+l\7x2+l

2

令，=/+1/24,貝IJPA?戶6=f+：-3,由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間[4,十幻)上單調(diào)遞增，所以

(PAPB\=4+--3=-

\/min42

3

故答案為：-

2

【點(diǎn)睛】

本題考查在以直線與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問(wèn)題，應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子，進(jìn)而利用分析函

數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值，屬于較難題.

14、

【解析】

先確定關(guān)于X的方程/(x)=〃z當(dāng)〃為何值時(shí)有4個(gè)不相等的實(shí)根，再將這四個(gè)根的平方和表示出來(lái)，利用函數(shù)思想

來(lái)判斷當(dāng)。為何值時(shí)這4個(gè)根的平方和存在最小值即可.

【詳解】

由題意，當(dāng)時(shí)，log2x-t/<0,此時(shí)/(x)=1_]og-(8_x)4<x<8,此時(shí)函數(shù),("在(°a)單調(diào)遞減，

在(4,8)單調(diào)遞增，方程/(x)=m最多2個(gè)不相等的實(shí)根，舍；

當(dāng)“<2時(shí)，函數(shù)/(X)圖象如下所示:

從左到右方程/（x）=m,有4個(gè)不相等的實(shí)根，依次為西，%，七，七，即％<々<與<七，

由圖可知Q-logzA=1082工2一Q，故七工2二4"，且占=8-%=8-%，

4“

從而4+x；+V+芍=2x:4———16玉H---+128,

[玉xi7)\x\)

4”‘

令，=X+—，顯然/>4",

不

x：+￥+X+x：=2/-16/+128-4同，要使該式在/>￥時(shí)有最小值，則對(duì)稱軸f=4>4“，解得〃<1.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是（-8/）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)和方程的知識(shí)，但需要一定的邏輯思維能力，屬于較難題.

15、（OJJ

【解析】

x>0

由題意得｛logM之（）：，解得定義域?yàn)椋∣』］.

2

16、-

5

【解析】

基本事件總數(shù)〃=C；=10,這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種AOC和8。。，由此能求出這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率.

【詳解】

解：。為矩形A3CO的對(duì)角線的交點(diǎn)，

現(xiàn)從A,B,C,Q,。這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn),

基本事件總數(shù)〃=C；=10,

這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種AOC和BOD,

24

???這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為〃=14..

4

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考直概率的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

8

-

17、(1)3(2)a=2

【解析】

（1）把f（x）去絕對(duì)值寫成分段函數(shù)的形式，分類討論，分別求得解集，綜合可得結(jié)論.

（2）把f（X）去絕對(duì)值寫成分段函數(shù)，畫出f（X）的圖像，找出/（力而/利用條件求得。的值?

【詳解】

（1）〃=1時(shí)，/（x）=|x4-l|+2|x—1.

當(dāng)工<一1時(shí)，/（X）V7即為一3X+1K7,解得一2</<-1.

當(dāng)一IWJVWI時(shí)，-X+3W7,解得—IWxWl.

8

當(dāng)X>1時(shí)，31一1M7,解得-.

3

綜上，/（x）V7的解集為

—3x+2〃-l(x<-1)

(2)???〃>一1.，/(工)=<-X+2〃+l(-l〈犬V。),

3x-2rz+l(x>d)

由y=/W的圖象知，

/(x)min=/(a)=a+l=3,:,a=2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法及含絕對(duì)值的函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題

18、(1)—+/=!；(2)存在，當(dāng)&=±巫時(shí)，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。.

42

【解析】

(1)設(shè)橢圓的焦半距為c,利用離心率為且，橢圓。的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為1.列出方程組求解c,推出人，即可得到橢圓的

2

方程.

(2)存在實(shí)數(shù)k使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。.設(shè)點(diǎn)43，x),B(xlty2),將直線/的方程

2

y=代入三+)，2=1,化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積為0,轉(zhuǎn)化為：龍/,+))乃=。.求解即可.

4

【詳解】

a=2

a=2

解：(1)設(shè)橢圓的焦半距為c,則由題設(shè)，得解得二

c3

~a~^2

2

所以從=/一/=4—3=1,故所求橢圓。的方程為三+丁=1

4.

(2)存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.理由如下：

2

設(shè)點(diǎn)A(.y),8(%,)，2)，將直線/的方程)，="一6代入三+)/=1，

4

并整理，得(1+4，/一8阮+8=().(*)

8

貝mil!|為十乂=—―7，王工2

1'1十4/1十4公

因?yàn)橐跃€段A6為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,所以0408=0,即x/2+y）'2=0?

84-一3

又X%=二N%-6%（玉+/）+3，于是=0,

1+4-1+4-

解得』巫，

2

經(jīng)檢驗(yàn)知：此時(shí)（*）式的AX）,符合題意.

所以當(dāng)4=±姮時(shí)，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O

2

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程的求法，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，

屬于中檔題.

19、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論/（X）單調(diào)性

（2）欲證/（x）＜e'-2x-L只需證|nx+2＜-，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx—"+2,證明式磯儂＜。，這時(shí)需研究

X

g（x）的單調(diào)性，求其最大值即可

【詳解】

解：（1）/（x）=ar-（a+l）lnx-L+2的定義域?yàn)椋?,也），

0AT

,⑺二q"II|=加一"1）1+1=伽一吁-1）

V7XX2X2X2

①當(dāng)”40時(shí)，由r（x）vo得工＞1,由ra）＞o,得犬＜1,

所以/（力在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）單調(diào)遞減；

②當(dāng)0＜〃＜1時(shí)，由/'（工）＜。得1＜工＜4，由/'（x）＞0,得x＜L或

aa

所以/（力在（0,1）上單調(diào)遞增，在?單調(diào)遞減，在（_,+，）單調(diào)遞增；

③當(dāng)4=1時(shí)，/'（同二（1）10,所以/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

④當(dāng)々>1時(shí)，由廣(x)<0,得由/'(x)>0,得x<,，或x>l,

所以/(%)在(o，T)上單調(diào)遞增，在([,I)單調(diào)遞減，在(1,長(zhǎng)0)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)〃=一2時(shí)，欲證/(x)v，-2x—,，只需證lnx+2</,

X

令g(x)=ln*+2,XG(0,+OO),則=

因存在/40,1),使得,=*成立，即有/=-ln%,使得g'(不)=0成立.

當(dāng)X變化時(shí)，g'(x),g(x)的變化如下:

X(0,不)%伍收)

g'(x)+0—

g(x)單調(diào)遞增g(x0)單調(diào)遞減

I1

所以g(R)max=g(%)=lnx()-e%+2=_Xo_一+2=—x0+—+2.

xokxo

因?yàn)橛?0,1),所以與+」~>2,所以g")皿，<—2+2=0.

%)

即g(x)=Inx-e*+2<g1mx<0,

所以當(dāng)。=一2時(shí)，成立.

X

【點(diǎn)睛】

考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法，難題.

20、(1)—；(2)5/3,

3

【解析】

(1)利用正弦定理將邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式，求得cosB=；,根據(jù)3￡(0,4)可求得結(jié)果；(2)

利用余弦定理可得/+c,2—牝=4,利用基本不等式可求得(4)叩=4,代入三角形面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】

(1)由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)

?:A+8+C=TF.\sin（A+C）=sinB,又8￡（0,萬(wàn)）「.sin6Ho

/.2cosB=l,即cosB=，

2

由3￡（0,4）得：B=^

（2）由余弦定理。2=/+。2-