第六章平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會(huì)運(yùn)用平面向量的知識(shí)解決一些簡單的平面幾何問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng).2.掌握向量法解決幾何問題的三步曲，體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：用向量的知識(shí)解決平面幾何問題的方法和步驟.難點(diǎn)：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑢缀螁栴}轉(zhuǎn)化為向量問題.問題1：在四邊形ABCD中，則四邊形ABCD是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形問題2：平面幾何的許多性質(zhì)，如平行、長度、夾角可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示，下表幾何性質(zhì)如何用向量知識(shí)來表示？幾何性質(zhì)向量圖示向量及其運(yùn)算平行垂直長度夾角

如圖，DE是?ABC的中位線，證明二、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題問題3：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)三角形中位線定理的證明,你還記得如何證明嗎？二、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題證明：延長DE到F，使EF=DE連結(jié)CF.∵DE=EF、∠AED=∠CEF、AE=EC∴△ADE≌△CFE∴AD=FC、∠A=∠ECF∴AB∥FC又∵AD=DB∴BD∥CF且BD=CF所以，四邊形BCFD是平行四邊形∴DF∥BC，DF＝BC即DE∥BC又∵

如圖，DE是?ABC的中位線，用向量方法證明：DE∥BC,三、合作探究，活動(dòng)領(lǐng)悟問題4：如何利用向量法三角形證明中位線定理？

如圖，DE是?ABC的中位線，用向量方法證明：DE∥BC,分析：DE是?ABC的中位線DE∥BC

如圖，DE是?ABC的中位線，用向量方法證明：DE是?ABC的中位線DE∥BC問題5：用向量解決平面幾何的基本思路和步驟是什么？思路：形到向量恰當(dāng)?shù)南蛄窟\(yùn)算向量到形步驟：幾何元素向量化向量運(yùn)算關(guān)系化結(jié)果翻譯幾何化問題6：如圖所示，在正方形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.四、師生互動(dòng)，變式深化追問2：非零向量垂直的充要條件是什么？追問1：向量法解決平面幾何問題的步驟一是什么？問題6：如圖所示，在正方形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.四、師生互動(dòng)，變式深化提示：我們把這種方法叫做基底法追問：還有別的證明方法嗎？問題6：如圖所示，在正方形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.提示：我們把這種方法叫做坐標(biāo)系法追問：比較基底法和坐標(biāo)法，它們優(yōu)、缺點(diǎn)是什么？如何選擇？

追問：比較基底法和坐標(biāo)法，它們優(yōu)、缺點(diǎn)是什么？如何選擇？

方法小結(jié)優(yōu)劣推薦使用基底法適用范圍廣，特殊圖形問題計(jì)算量比坐標(biāo)法稍大一般圖形坐標(biāo)系法適用范圍小，一般圖形可能無法使用，特殊圖形問題計(jì)算量稍小特殊圖形，如：正方形，矩形問題7：如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎？追問2：解決線段長度問題常用的向量公式是什么？追問1：向量法解決平面幾何問題的步驟一是什么？五、嘗試練習(xí)，鞏固提高如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎？如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎？追問：你還能用另外的方法證明嗎？知識(shí)回顧：一般地，三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.在實(shí)踐中，我們經(jīng)常會(huì)遇到測(cè)量距離、高度、角度等實(shí)際問題.解決這類問題，通常需要借助經(jīng)緯儀以及卷尺等測(cè)量角和距離的工具進(jìn)行測(cè)量.距離測(cè)量時(shí)，我們常常遇到“不能達(dá)到”的困難，這就需要設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)臏y(cè)量方案.應(yīng)用舉例：ABCD45°30°45°75°例1：ABCD45°30°45°75°解析：為計(jì)算AB的長度，需在包含AB的三角形內(nèi)，通過解三角形來實(shí)現(xiàn)。也就是說，我們的目的是要找到一個(gè)包含AB的三角形，并獲得這個(gè)三角形盡量多的元素，以便求解。此例中包含AB的三角形有兩個(gè)，為了后期計(jì)算方便，我們會(huì)選擇△ADB進(jìn)行突破。ABCD45°30°45°75°由于我們已經(jīng)知道∠ADB的大小，所以若能由其它條件推演出AD、BD的長度，即可使用余弦定理求出AB的長度。而AD和BD分屬于△ACD和△BCD，所以可以在此兩個(gè)三角形中分別求解AD和BD。在△ACD中，已知∠ACD和∠ADC的大小以及CD的長度，滿足解三角形“知三求三”的條件，可以求解，同理△BCD亦然。

在求解AD和BD時(shí)，分別使用了余弦定理和正弦定理，你能說說這兩個(gè)定理的使用條件的區(qū)別嗎？正余弦定理的一般使用條件正弦定理已知一邊及其對(duì)角余弦定理已知兩邊及其夾角對(duì)于解非直角三角形，需要根據(jù)已知條件靈活選擇使用正弦定理和余弦定理，而且很多題目的方法也不是唯一的，但我們一般都會(huì)選擇便于計(jì)算的那種，即可以利用常見角（30°，45°，60°）求解的方案。ABCD45°30°45°75°此題的條件中給了多個(gè)角度，但只給了一個(gè)長度，按照教材上“這些條件往往隱含著相應(yīng)測(cè)量問題在某種特定情境和條件限制下的一個(gè)測(cè)量方案，而且是這種情境與條件限制下的恰當(dāng)方案”的思路，我們選擇了包含預(yù)測(cè)量元素AB的△ADB作為突破對(duì)象，你能說說選擇這個(gè)方案的原因嗎？ABh例2：如圖，為測(cè)量一座山的高度，某勘測(cè)隊(duì)在水平方向的觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)得山頂?shù)难鼋欠謩e為α，β，該兩點(diǎn)間的距離是l米，則此山的豎直高度h為米（用含α，β，l的式子表達(dá)）。ABh解析：本例中的AB與例1中的CD，都是根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段，這樣的線段叫做測(cè)量過程中的基線。測(cè)高問題的解決方法與例1中測(cè)量“不可達(dá)”區(qū)域的辦法類似，由于直角三角形的存在，在計(jì)算上還會(huì)相對(duì)簡便一些。ABhQP包含PQ的兩個(gè)直角三角形（△PAQ，△PBQ）均可以作為突破口，而且在直角三角形中，僅需知道一邊和一個(gè)非直角角，就可以進(jìn)行解三角形。對(duì)本例而言，可以有兩種以上的方法進(jìn)行求解。ABhQPABhQP由以上兩例可知，在此類包含基線的“不可達(dá)區(qū)域”的相關(guān)測(cè)量問題中，解決方法大致類似，都需要先確定一個(gè)包含欲測(cè)量元素的三角形，然后通過基線和相關(guān)角度獲得這個(gè)三角形的若干其它元素，最后通過余弦定理或正弦定理等三角知識(shí)進(jìn)行求解。這類題目的解決方案一般都不唯一，而且個(gè)別方案在計(jì)算上會(huì)遇到很大困難，要注意規(guī)避。S20°BA北65°例3：如圖，一艘船向正北航行，航行速度的大小為32.2nmile/h，在A處看燈塔S在船的北偏東20°的方向上.30min后，船航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65°的方向上.已知距離燈塔6.5nmile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？S20°BA北65°在三角相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用問題中，常見這種動(dòng)態(tài)的航行或風(fēng)暴問題，而且很多題目還需要通過構(gòu)建圖形來解決。這類問題中的航海或氣象等術(shù)語，比如“北偏東20°”、“風(fēng)暴中心”等，會(huì)在解題中抽象成具體的角或點(diǎn)。這類題目更加偏向于實(shí)際化，也是新高考更加偏重的題目類型，要求學(xué)生有較高的閱讀與理解能力，