第3課時(shí)

等腰三角形的判定及反證法北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握并運(yùn)用等腰三角形的判定定理；2、理解反證法的含義，并運(yùn)用反證法證明命題.

回顧復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的特殊性質(zhì)：等腰三角形_______________相等、__________相等、___________相等.兩底角的平分線(xiàn)兩腰上的高兩腰上中線(xiàn)等腰三角形的兩個(gè)底角相等.新課導(dǎo)入

在現(xiàn)實(shí)生活中，如果要判定金字塔這樣大型建筑物某個(gè)面的形狀是否為等腰三角形，通過(guò)測(cè)量金字塔兩邊是否相等來(lái)判定，這樣的做法是很難操作的，有沒(méi)有另外的方法來(lái)判定等腰三角形？同學(xué)們大膽猜想，思索并互相交流.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？等腰三角形的兩個(gè)底角相等.我們把等腰三角形的性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過(guò)來(lái)還成立嗎？思考新課探究ABC前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩底角相等，反過(guò)來(lái)，有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎？已知：在△ABC

中，∠B

=∠C，求證：AB

=

AC.知識(shí)點(diǎn)一：等腰三角形的判定定理ABC證明：作

AD⊥BC

于點(diǎn)D，∴∠ADB=∠ADC=90°，又∵∠B=∠C，AD=AD，∴△ADB

≌△ADC（AAS），∴AB=AC.D定理

有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡(jiǎn)述為：等角對(duì)等邊.ABC幾何語(yǔ)言：在△ABC中，

∵∠B=∠C

（已知）∴AB=AC（等角對(duì)等邊）

例

已知：如圖，AB=DC，BD=CA，BD

與CA

相交于點(diǎn)E.求證：△AED

是等腰三角形.證明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD

≌△DCA（SSS）.∴∠ADB=∠DAC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.∴AE=DE（等角對(duì)等邊）.∴△AED

是等腰三角形.1.如圖，在△ABC

中，BD

平分∠ABC，交AC

于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D

作BC

的平行線(xiàn)，交AB

于點(diǎn)E，請(qǐng)判斷△BDE的形狀，并說(shuō)明理由.【選自教材P9隨堂練習(xí)第1題】解：△BDE

是等腰三角形.∵BD

平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，又∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，∴∠ABD=∠EDB，∴△BDE

是等腰三角形.練習(xí)1-1如圖，AE平分∠BAC，DE∥AB，若AD=5，則DE的長(zhǎng)是_______.5想一想ABC知識(shí)點(diǎn)二：反證法

小明認(rèn)為，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等.你認(rèn)為小明這個(gè)結(jié)論成立嗎？如果成立，你能證明它嗎？ABC

如圖，在△ABC

中，已知∠B

≠∠C，此時(shí)

AB

與

AC

要么相等，要么不相等.假設(shè)

AB

=

AC，那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得∠C

=∠B，這與已知條件∠B

≠∠C

相矛盾，因此AB

≠

AC.反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱(chēng)為反證法.

例

用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.已知：△ABC.求證：∠A，∠B，∠C

中不能有兩個(gè)角是直角.

證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A和∠B

是直角，即∠A=90°，∠B=90°.

于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°.

這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B

是直角”的假設(shè)不成立.所以，一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.2.已知五個(gè)正數(shù)的和等于1，用反證法證明：這五個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于.15【選自教材P9隨堂練習(xí)第2題】

證明：假設(shè)這五個(gè)數(shù)a1，a2，a3，a4，a5全部小于

，那么這五個(gè)數(shù)的和

a1

+

a2

+

a3

+

a4

+

a5

就小于

1.

這與已知這五個(gè)數(shù)的和等于1

相矛盾.

因此假設(shè)不成立，原命題成立，即這五個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于

.1515隨堂演練1.2.3.4.課堂小結(jié)今天你學(xué)到了什么?1.等腰三角形