《線性代數(shù)》配套課件第一章行列式

§1.1行列式的概念

§1.2行列式的性質(zhì)

§1.3行列式的展開定理§1.4行列式的計(jì)算

§1.5克拉默法則§1.1

行列式的概念二階行列式

用消元法解二元線性方程組

得到(假設(shè)分母不為零)分子分母都是統(tǒng)一的形式,引入記號(hào)并稱之為二階行列式.記憶法則:有了這個(gè)記號(hào),原方程組的解可以寫成其中,例1求解二元線性方程組

解

故方程組的解為

,,

三階行列式類似地,在解三元線性方程組時(shí),我們引入三階行列式

記憶法則:例2計(jì)算三階行列式解按對(duì)角線法則,有例3解方程解

由解得或排列及逆序數(shù)

定義1由組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n

級(jí)排列.例如,3級(jí)排列共有種,分別是

定義2在一個(gè)n級(jí)排列中,若較大的數(shù)排在較小的數(shù)前面，,則稱與構(gòu)成一個(gè)逆序.排列中所有逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù),記為

定義3

稱逆序數(shù)為奇數(shù)的排列為奇排列；稱逆序數(shù)為偶數(shù)的排列為偶排列.例4求排列35142

的逆序數(shù).解從最左邊的數(shù)開始,依次數(shù)一下后面有幾個(gè)比它小的數(shù):例5求排列的逆序數(shù).解

定義4在一個(gè)n級(jí)排列中,交換某兩個(gè)元素的位置,而其余元素的位置保持不變,就得到另一個(gè)n級(jí)排列,稱這種變換為一次對(duì)換.

定理1

對(duì)一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素進(jìn)行一次對(duì)換,改變排列的奇偶性.

定理2

全部n(n>1)

級(jí)排列中,奇、偶排列的個(gè)數(shù)皆為n

階行列式的定義從前面三階行列式的定義可以看出:（1）每一項(xiàng)都是取自不同行不同列的三個(gè)元素的乘積；（2）在行標(biāo)按照自然順序排好后,每一項(xiàng)的符號(hào)都取決于列標(biāo)排列的奇偶性.

定義5把n2個(gè)元素組成的記號(hào)

稱為n

階行列式,且注意:展開式共有n!項(xiàng),帶正號(hào)和帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)各占一半.n階行列式有時(shí)也簡(jiǎn)記為或當(dāng)n=1時(shí),定義一階行列式注意不要與絕對(duì)值的記號(hào)相混淆.行列式是一個(gè)數(shù)!

例6計(jì)算n階行列式解根據(jù)行列式的定義,每一項(xiàng)都是取自不同行不同列的元素的乘積.考慮有可能不為零的項(xiàng),可知只有一種可能,所以主對(duì)角線上方的元素都為0

的行列式稱為下三角形行列式.例6中的行列式為下三角形行列式.主對(duì)角線下方的元素都為0

的行列式稱為上三角形行列式.主對(duì)角線上方和下方都為0

的行列式稱為對(duì)角形行列式.同理也有例7計(jì)算四階行列式解根據(jù)行列式的定義,取不同行不同列的元素相乘,由于零元素比較多,不為零的項(xiàng)只有一種可能:例8若是五階行列式D的一項(xiàng),試確定i,j的值.

解由行列式的定義知,是取自不同行不同列的元素,所以

或而題中符號(hào)是負(fù)號(hào),可知應(yīng)選

下面給出n階行列式的另一種定義形式：

定理3§1.2

行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)置

設(shè)n階行列式將D

中的行與列互換后所得的n階行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式,記作或

性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即由性質(zhì)1可知,在行列式中行與列的地位相同,凡對(duì)行成立的性質(zhì)對(duì)于列也同樣成立,反之亦然.

性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).

推論若行列式有兩行（列）元素完全相同,則此行列式等于零.

性質(zhì)3

行列式某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)k

,等于用數(shù)k乘此行列式,即

推論1行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面.

推論2

行列式中若有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例,則此行列式等于零.

性質(zhì)4

若行列式第i行（列）的各元素都是兩數(shù)之和,則此行列式等于兩個(gè)行列式之和,這兩個(gè)行列式分別以這兩個(gè)數(shù)作為第i行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素,其它位置的元素與原行列式相同,即

性質(zhì)5

把行列式某一行（列）的各元素乘以數(shù)k

加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式不變,即

例1

若求

解利用行列式的性質(zhì),可以將一個(gè)復(fù)雜的行列式化為上（下）三角形行列式,從而計(jì)算出行列式的值.

例2

計(jì)算行列式

解

例3

計(jì)算行列式

解§1.3

行列式的展開定理

關(guān)于二階、三階行列式，不難驗(yàn)證有下列關(guān)系：這樣，可將三階行列式的計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算二階行列式.一般地，低階行列式的計(jì)算要比高階行列式的計(jì)算容易,為了將高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式,先引入余子式和代數(shù)余子式的定義.

定義1

在n階行列式中,劃去元素（）所在的第i行和第j列后,剩下的元素按原來的位置構(gòu)成的n-1

階行列式稱為的余子式,記作；稱為的代數(shù)余子式.

例如,三階行列式

中的元素的余子式和代數(shù)余子式分別為

定理1

n

階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即或定理1稱為行列式的展開定理,第一式稱為行列式按第i

行展開公式,第二式稱為行列式按第j

列展開公式.例1

按第2

列展開,計(jì)算行列式

解

還可以按第1

行展開,得

推論

n

階行列式中某一行（列）的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即

綜合定理1及其推論可得：

例2

設(shè)求

解所求式子的系數(shù)是第一列的元素,而是第二列的代數(shù)余子式,由上頁推論得利用行列式的展開定理,可將求一個(gè)n階行列式歸結(jié)為求n個(gè)n-1

階行列式.特別是某行（列）的零元素比較多時(shí)（或利用行列式的性質(zhì)化出盡可能多的零元素）,若按此行（列）展開,可簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.

例3

證明

證可以證明，一般有

例4

計(jì)算行列式解先利用行列式的性質(zhì)將第2

行除元素1

外其余元素化為零,再利用定理1

按第3

行展開,得§1.4

行列式的計(jì)算

對(duì)于行列式,可利用行列式的性質(zhì)化為上三角形行列式來計(jì)算,或先利用行列式的性質(zhì)再用行列式的展開定理來計(jì)算.

例1

計(jì)算行列式

解

方法一：利用行列式的性質(zhì)化為上三角形行列式.(見下頁)

方法二:先利用行列式的性質(zhì)再用行列式的展開定理.根據(jù)行列式的特點(diǎn)下面介紹幾種計(jì)算行列式的常用方法.

1．定義法.

當(dāng)行列式中非零元素較少時(shí),可用行列式定義計(jì)算,見§1.1節(jié)例7.

2．降階法（行列式的展開定理）.

當(dāng)行列式中零元素較多時(shí),可用行列式的展開定理計(jì)算,見§1.3節(jié)例3.

3．化三角形法.

利用行列式的性質(zhì)化為上（下）三角形行列式來計(jì)算.

例2

計(jì)算行列式

解此行列式的特點(diǎn)為各行（列）元素之和相等,可將其余列（行）加到第1列（行）上,再提出公因子:

4．?dāng)?shù)學(xué)歸納法.

例3

證明范德蒙德(Vandermonde)行列式

證用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=2

時(shí),結(jié)論成立.假設(shè)結(jié)論對(duì)于n-1階范德蒙德行列式成立,(接下頁)下面要證明結(jié)論對(duì)n

階范德蒙德行列式也成立.為此,設(shè)法把Dn

降階：從第n

行開始,前一行的-x1

倍加到后一行,有由已提出的公因子和歸納法假設(shè),即得結(jié)論.

例4

求解方程

解方程左式為3

階范德蒙德行列式，由例3的結(jié)果得故方程的解為：§1.5克拉默法則定理1(克拉默(Cramer)法則)若n

元線性方程組的系數(shù)行列式

則方程組有唯一解:

其中

例1

解線性方程組

解

因此,

例2

試證：經(jīng)過平面上三個(gè)橫坐標(biāo)互不相同的點(diǎn)的二次曲線是唯一的.

解根據(jù)題設(shè)條件有此方程組的系數(shù)行列式所以方程組有唯一解,即滿足條件的二次曲線是唯一的.

常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組.顯然是齊次線性方程組的解,稱為零解,若有解不全為零,則稱此解為非零解.

推論1

若齊次線性方程組的系數(shù)行列式

則此方程組只有零解.推論2若齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式

例3設(shè)齊次線性方程組

有非零解,求的值.

解由題意,系數(shù)行列式所以或

例4

齊次線性方程組

是否只有零解？

解因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式

所以原方程組只有零解.《線性代數(shù)》配套課件第二章矩陣

§2.1矩陣的概念

§2.2矩陣的運(yùn)算

§2.3逆矩陣§2.4矩陣的初等變換

§2.5矩陣的秩§2.1

矩陣的概念

引例1

某航空公司在A，B，C，D四個(gè)城市之間開辟了若干航線．右下圖表示了四城市間的航班圖．若從A到B有航班，則用帶箭頭的線連接A與B．同一城市視為沒有航線，令

則右圖可表示為

引例2

線性方程組的解由系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)確定,其系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排列為于是，對(duì)線性方程組的研究可以轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表（增廣矩陣）的研究．

引例3

n

個(gè)變量與m

個(gè)變量之間的關(guān)系式

表示從變量到變量的線性變換，這個(gè)變換可以用數(shù)表表示為矩陣的概念

定義1

由個(gè)數(shù)排成的m

行n列的數(shù)表

稱為m

行n列矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣，其中稱為矩陣第i

行第j

列的元素．矩陣通常用大寫字母

A,B,C,…來表示，以為元素的矩陣可簡(jiǎn)記為也可記為或元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣，本書中的矩陣除特別說明外，都指實(shí)矩陣．行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣，n階矩陣A也記作An．若兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)也相等，則稱它們是同型矩陣．元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O．注意：不同型的零矩陣是不同的．只有一行的矩陣稱為行矩陣，又稱行向量．只有一列的矩陣稱為列矩陣，又稱列向量．若與是同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)位置上的元素相等，即則稱矩陣A與矩陣B

相等，記作A=B．特殊矩陣

例1n

階方陣稱為對(duì)角矩陣，記作在對(duì)角矩陣中，當(dāng)時(shí)，稱為數(shù)量矩陣.在數(shù)量矩陣中，當(dāng)時(shí)，稱

為n階單位矩陣．記作En(或簡(jiǎn)記為E)．

例2

矩陣稱為上三角矩陣,簡(jiǎn)稱上三角陣．類似地，矩陣稱作下三角矩陣,簡(jiǎn)稱下三角陣．上三角陣和下三角陣統(tǒng)稱為三角陣.§2.2

矩陣的運(yùn)算矩陣的加法

定義1

設(shè)矩陣則稱為A

與B

的和，記為A+B，即兩個(gè)矩陣相加等于把這兩個(gè)矩陣的對(duì)應(yīng)元素相加．設(shè)A,B,C都是矩陣，則

(1)A+B=B+A(交換律);(2)(A+B)+C=A+(B+C)

(結(jié)合律);(3)A+O=A.

例1設(shè)兩矩陣求A+B.

解

稱矩陣為的負(fù)矩陣,記作–A.按照矩陣的加法定義可得出矩陣的減法：數(shù)與矩陣相乘

定義2

設(shè)矩陣是一個(gè)數(shù)，稱為數(shù)與矩陣A的乘積，簡(jiǎn)稱為數(shù)乘.所謂矩陣的數(shù)乘運(yùn)算，就是一個(gè)數(shù)與矩陣的每一個(gè)元素相乘．設(shè)A,B,C都是矩陣，為數(shù),則

(1)

(2)

(3)

例2

設(shè)求

解

矩陣的乘法

引例3

設(shè)某工廠由1車間、2車間、3車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，用矩陣A表示該廠三個(gè)車間一天內(nèi)生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品的產(chǎn)量(kg)，矩陣B表示甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品的單價(jià)（元）和單位利潤(rùn)（元）：那么該廠三個(gè)車間一天各自的總產(chǎn)值（元）和總利潤(rùn)（元）用矩陣C表示：

定義3

設(shè)兩個(gè)矩陣則矩陣A與矩陣B的乘積，記為C=AB，規(guī)定其中

注只有當(dāng)矩陣A的列數(shù)與B的行數(shù)相同時(shí)，A與B才能作乘積，并且乘積矩陣的行數(shù)與A的行數(shù)相等，乘積矩陣的列數(shù)與B的列數(shù)相等．

例3

設(shè)求AB.

解

例4設(shè)求AB,BA與AC.

解從例4中可以得出下面的結(jié)論：（1）矩陣的乘法一般不滿足交換律，即AB≠BA．注意，對(duì)任一方陣A，有EA=AE=A．（2）兩個(gè)非零矩陣的乘積可能等于零矩陣．因此AB=O

不能推出A=O或B=O．（3）矩陣乘法中消去律一般不成立．即由AB=AC，不一定推出B=C．對(duì)于兩個(gè)n階方陣A,B,若AB=BA，則稱方陣A與

B是可交換的．顯然，單位矩陣E與任何同階方陣都是可交換的．可以驗(yàn)證，矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）：（1）結(jié)合律：(AB)C=A(BC);（2）分配律：(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB;（3）k(AB)=(kA)B+A(kB)（k是實(shí)數(shù)）.

注根據(jù)矩陣乘法分配律，對(duì)AB?kA=O(k是實(shí)數(shù)),只能推出A(B?kE)=O,而不能推出A(B?k)=O,因?yàn)锽?k在一般情況下沒有意義．按矩陣的乘法運(yùn)算，線性方程組可以用矩陣表示．若記那么上述線性方程組可記成AX=B．

定義4

設(shè)A是一個(gè)n

階方陣,規(guī)定（k是正整數(shù)）稱Ak為A的k

次冪．方陣的冪滿足下列運(yùn)算律：

(k,l

為正整數(shù)).因?yàn)榫仃嚦朔ㄒ话悴粷M足交換律，所以對(duì)兩個(gè)n階方陣A與B，一般來說，若A2=A則稱A為冪等矩陣．若存在正整數(shù)k,使Ak=O,則稱A為冪零矩陣．

例5

設(shè)n為正整數(shù)，試求An.

解設(shè)有而B2=O,EB=BE,所以有

設(shè)是x的一個(gè)m次多項(xiàng)式,A為n階方陣，則稱為矩陣A的多項(xiàng)式．顯然f(A)仍是一個(gè)n階方陣．

例6設(shè)求f(A).

解矩陣的轉(zhuǎn)置

定義5設(shè)則矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT或A′,

轉(zhuǎn)置矩陣AT是由A的行換成同序號(hào)的列得到的一個(gè)新矩陣．例如，矩陣

的轉(zhuǎn)置矩陣為可以驗(yàn)證，矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運(yùn)算律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）：（1）（2）（3）（k是實(shí)數(shù)）；（4）

注對(duì)于矩陣A,B,

一般地,

例7已知求(AB)T.

解法一因?yàn)樗越夥ǘ?/p>

例8

設(shè)A,B為n階方陣,且BT=B,

證明:

證因?yàn)锽T=B,所以

定義6

設(shè)A為n階方陣,若AT=A,即則稱A為對(duì)稱矩陣；若AT=?A,即則稱A為反對(duì)稱矩陣．例如,矩陣為對(duì)稱矩陣,為反對(duì)稱矩陣.容易驗(yàn)證,對(duì)稱矩陣的和、數(shù)量乘積和方冪仍為對(duì)稱矩陣.反對(duì)稱矩陣的和、數(shù)量乘積仍為反對(duì)稱矩陣.

例9

設(shè)列矩陣滿足XTX=1,

E為n階單位矩陣,

H=E?2XXT,證明H是對(duì)稱矩陣,且HHT

=E．

證因?yàn)樗訦是對(duì)稱矩陣．且分塊矩陣對(duì)于行數(shù)或列數(shù)較高的矩陣A,運(yùn)算時(shí)常采用分塊的方法，使“大”矩陣的運(yùn)算化成“小”矩陣的運(yùn)算．我們將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣．例如，下面的矩陣分成了四個(gè)子塊則A可看成由這些子塊構(gòu)成的矩陣,記作矩陣分塊方式是任意的，同一個(gè)矩陣可以根據(jù)運(yùn)算的需要?jiǎng)澐殖刹煌淖訅K，構(gòu)成不同的分塊矩陣．若把分塊矩陣的子塊當(dāng)作元素看待，則分塊矩陣與普通矩陣有類似的運(yùn)算律．

(1)

加法運(yùn)算設(shè)A,B都是矩陣，采用相同的分塊方法，有則

(2)

數(shù)乘運(yùn)算

設(shè)為分塊矩陣,k為實(shí)數(shù).由矩陣的數(shù)乘運(yùn)算可知，k乘以分塊矩陣，等于數(shù)k乘以A中每個(gè)子塊，即

(3)

乘法運(yùn)算設(shè)A是矩陣，B是矩陣.根據(jù)矩陣乘法的行列規(guī)則，分塊矩陣相乘需要A矩陣列的分塊方式與B矩陣行的分塊方式一致.即其中,

(4)

轉(zhuǎn)置運(yùn)算設(shè)為分塊矩陣,根據(jù)矩陣轉(zhuǎn)置的定義可知，分塊矩陣的轉(zhuǎn)置不僅將行列互換，還需將各個(gè)子塊矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)置，即

例10設(shè)試用分塊矩陣計(jì)算AB,AT.

解把A,B分塊成則而于是

例11當(dāng)太空衛(wèi)星發(fā)射之后，為使衛(wèi)星在精確計(jì)算過的軌道上運(yùn)行，需要校正它的位置．雷達(dá)屏幕給出一組數(shù)據(jù)，它們給出衛(wèi)星在不同時(shí)間里的位置與計(jì)劃軌道的比較．設(shè)Xk表示矩陣矩陣Gk=XkXkT

需要在雷達(dá)分析數(shù)據(jù)時(shí)計(jì)算出來，當(dāng)xk+1到達(dá)時(shí)，新的Gk+1必須計(jì)算出來，因數(shù)據(jù)矩陣向量高速到達(dá)，所以計(jì)算負(fù)擔(dān)很重．請(qǐng)利用分塊矩陣給出從Gk如何計(jì)算Gk+1．

解方陣的行列式

定義7

由n階方陣A所有元素構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變）,稱為方陣A的行列式，記作|A|或det(A)．

注意：方陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，n階方陣A是n2

個(gè)數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而n階行列式|A|是一個(gè)數(shù)．可以驗(yàn)證，n階方陣的行列式的運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律：設(shè)A,B為n階方陣，k為實(shí)數(shù)，則（1）（2）（3）這個(gè)結(jié)論可以推廣為多個(gè)方陣,即形如的分塊矩陣稱為分塊對(duì)角矩陣或稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，記為其中都是方陣.（4）分塊對(duì)角矩陣的行列式為

注（1）一般地，（）；（2）設(shè)A,B為n階方陣，一般地,；（3）對(duì)于n階方陣A,B,一般地，，但

例12設(shè)求

解

例13設(shè)求

解§2.3

逆矩陣逆矩陣的定義在數(shù)的運(yùn)算中我們知道，若ab=ba=1,

則稱b為a的倒數(shù)，記作a-1=b.矩陣也有類似的表述形式．例如則即AB=BA=E．此時(shí)稱矩陣B為矩陣A的逆矩陣．

定義1設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B,使AB=BA=E．則稱方陣A是可逆的，并稱B為A的逆矩陣，簡(jiǎn)稱A的逆．顯然，若A的逆矩陣為B,

則B的逆矩陣為A.若方陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的．事實(shí)上，設(shè)B1,B2都是A的逆矩陣，則有于是故A的逆矩陣是唯一的，我們把A的逆矩陣記為A-1．

定義２設(shè)A為n階方陣，若則稱A是非奇異矩陣或非退化矩陣，否則稱A是奇異矩陣或退化矩陣．方陣可逆的條件

定義３設(shè)方陣令A(yù)ij為|A|中元素aij的代數(shù)余子式，稱方陣

為A的伴隨矩陣，簡(jiǎn)稱伴隨陣，記作A*．

定理1

方陣A可逆的充分必要條件是A為非奇異矩陣，即當(dāng)A可逆時(shí)，有

推論若AB=E（或BA=E），則A,B都可逆，且B=A-1,A=B-1.

證所以存在.于是可逆矩陣的性質(zhì)（1）若A可逆，則A?1可逆，且(A?1)?1=A.（2）若A可逆，數(shù)k≠0,

則kA可逆，且(kA)?1=A?1

．（3）若A,B為同階可逆矩陣，則AB可逆，且（4）若A可逆，則AT可逆，且（5）若A可逆，則（6）對(duì)分塊對(duì)角矩陣若則并有

例1求矩陣的逆矩陣A?1.

解由知A的逆矩陣A?1存在．所以

例2

已知求滿足AX=C的矩陣X．

解由例1知A?1存在，于是得X=A?1C,即

例3設(shè)問a,b,c滿足什么條件時(shí),A可逆？并求A?1.

解因?yàn)閨A|=abc,所以當(dāng)a,b,c均不為零時(shí),A可逆,且有

所以

§2.4

矩陣的初等變換

引例1求解線性方程組

解用消元法解線性方程組，即

以上求解過程是：將方程組看成一個(gè)整體，利用同解變換將一個(gè)方程組化為另一個(gè)方程組．而同解變換主要采用了以下三種形式：（1）兩個(gè)方程互換位置；（2）某方程兩端同時(shí)乘以某一非零數(shù)(即用一非零數(shù)

k乘某一個(gè)方程)；（3）用一非零數(shù)乘某一方程后加到另一個(gè)方程上去．這樣就將原方程組轉(zhuǎn)化成一個(gè)同解的線性方程組．同樣的做法，運(yùn)用到矩陣上，就得到:矩陣的初等變換

定義1

矩陣的初等行（列）變換是指如下三種變換：（1）互換矩陣中任意兩行（列）的位置，記作（）；（2）以非零數(shù)k乘矩陣某一行(列)的所有元素,記作（）；（3）將矩陣某一行（列）的所有元素乘以一個(gè)常數(shù)k加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上，記作（）．矩陣的初等行變換與列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．

定義2

若矩陣A經(jīng)過有限次的初等變換化為矩陣B,

則稱A和B是等價(jià)矩陣，記為易驗(yàn)證矩陣之間的這種等價(jià)關(guān)系具有以下三個(gè)性質(zhì)：（1）反身性:（2）對(duì)稱性:若則（3）傳遞性:若

則在引例1中，方程組對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣，而方程組的演變過程就對(duì)應(yīng)為矩陣的變化過程，即

即這與引例1的結(jié)果相同,即消元法可以通過初等行變換實(shí)現(xiàn).上例中矩陣B和C都稱為行階梯形矩陣，它滿足:（1）可畫出一條階梯線，線的下方全為0；（2）每個(gè)階梯只有一行，階梯數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯形的豎線(每段豎線的長(zhǎng)度為一行)后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非零元．行階梯形矩陣C稱為行最簡(jiǎn)形矩陣，它滿足:（1）非零行的第一個(gè)非零元為1；（2）這些非零元所在的列的其他元素都為0．任何矩陣總可經(jīng)過有限次初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣．一個(gè)矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣是唯一確定的(行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)也是唯一確定的)．解線性方程組就是把增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣．對(duì)行最簡(jiǎn)形矩陣再施以初等列變換，可變成一種形狀更簡(jiǎn)單的矩陣，稱為標(biāo)準(zhǔn)形．例如

定理1

對(duì)于任意矩陣A,總可經(jīng)過有限次初等變換(行變換和列變換)把它化為標(biāo)準(zhǔn)形此標(biāo)準(zhǔn)形由m,n,r三個(gè)數(shù)完全確定，其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)．所有與A等價(jià)的矩陣組成一個(gè)集合，標(biāo)準(zhǔn)形F是這個(gè)集合中形式最簡(jiǎn)單的矩陣．初等矩陣

定義3

由單位矩陣En經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．三種初等變換對(duì)應(yīng)有三種初等矩陣．（1）互換:把單位矩陣En中第i,j

兩行對(duì)調(diào)(或第i,j

兩列對(duì)調(diào))，得初等矩陣

（2）倍乘:以數(shù)k≠0乘單位矩陣En

的第i行(或第i列)，得初等矩陣（3）倍加:以k乘En的第j行加到第i行上或以k乘En的第i列加到第j列上，得初等矩陣根據(jù)初等矩陣的定義，可以推導(dǎo)其具有下述性質(zhì):（1）（2）初等矩陣都是可逆的，且其逆矩陣是同一類型的初等矩陣:

（3）（4）

注性質(zhì)（4）利用公式推導(dǎo)即可．

定理2

設(shè)A是一個(gè)矩陣，則對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣．

推論1

對(duì)于矩陣A,

存在m階初等矩陣和n階初等矩陣使得

若記則推論1可進(jìn)一步表述為

推論2對(duì)于矩陣A,總存在m階可逆矩陣P,

n階可逆矩陣Q，使得用矩陣的初等變換求逆矩陣一般地，對(duì)于較高階(n≥

3)矩陣，用伴隨矩陣求逆矩陣往往計(jì)算量較大，下面介紹一種較為簡(jiǎn)便的求逆矩陣的方法——初等變換法．

定理3

n階矩陣A可逆的充分必要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積．

推論1

兩個(gè)矩陣A與B等價(jià)的充要條件是存在可逆矩陣P,Q,使得

推論2

可逆矩陣A僅施行初等行(或列)變換即可化為單位矩陣．設(shè)A為n階可逆矩陣，由推論２可知,存在初等矩陣使得由此即得這兩個(gè)式子表明,當(dāng)對(duì)矩陣A施行若干次初等行變換，將其化為單位矩陣E時(shí)，同樣的初等行變換可將單位矩陣E化為A的逆矩陣A?1．于是可構(gòu)造一個(gè)矩陣就有即

例1

設(shè)，求A?1．

解因?yàn)?所以A可逆．

所以

例2

已知三階矩陣A的逆矩陣為試求伴隨矩陣A*的逆矩陣．

解由可得所以只需要求A即可,也就是求A?1的逆矩陣.于是又因故知注構(gòu)造矩陣求A?1,只能用初等行變換，不能用初等列變換．根據(jù)可知若施行有限次初等行變換將可逆矩陣A化為單位矩陣，則對(duì)B施行同樣的初等行變換得到A?1B，即由此，若需要求解矩陣方程AX=B，當(dāng)A可逆時(shí)，有X=A?1B,利用前述的方法即可計(jì)算出A?1B，而沒有必要先求A?1，再作乘法運(yùn)算A?1B．同理，求解矩陣方程XA=B，等價(jià)于計(jì)算BA?1，也可利用初等列變換求矩陣BA?1，即

例3

設(shè)AB=A+2B，且求B．

解由已知AB=A+2B，得AB?2B=A，于是(A?2E)B=A．由于而知A?2E可逆，且B=(A?2E)?1A.

故§2.5

矩陣的秩

在§2.4中已看到，給定一個(gè)矩陣A，通過初等變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形此標(biāo)準(zhǔn)形由數(shù)r完全確定．這個(gè)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是矩陣A的“秩”．鑒于這個(gè)數(shù)的唯一性尚未證明，在本節(jié)中，我們首先給出子式的定義，再利用子式來定義矩陣的秩，然后給出利用初等變換求矩陣的秩的方法.矩陣秩的定義

定義1

在矩陣A中，任取k行與k列(

)，位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得到的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式．顯然，矩陣A的k階子式共有個(gè)．

例如，設(shè)矩陣則由1、3兩行，2、5兩列構(gòu)成的二階子式為

定義2

若矩陣A中有一個(gè)不等于0

的r階子式D，且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0，則D稱為矩陣A的最高階非零子式，D的階數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作r(A)．

規(guī)定零矩陣的秩等于0．由行列式的性質(zhì)可知，在A中當(dāng)所有r+1階子式全等于0時(shí)，所有高于r+1階的子式也全等于0，因此把r階非零子式稱為最高階非零子式，而A的秩r(A)就是A的非零子式的最高階數(shù).由r(A)的定義，若矩陣A中有某個(gè)s階子式不為0，則r(A)≥s;若A中所有t階子式全為0，則r(A)<t.顯然，若A為矩陣，則由于行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等，因此AT的子式與A的子式對(duì)應(yīng)相等，從而對(duì)于n階矩陣A，由于A的n階子式只有一個(gè)|A|，故當(dāng)|A|≠0時(shí)，r(A)=n,當(dāng)|A|=0時(shí)，r(A)<n.可見可逆矩陣的秩等于矩陣的階數(shù)，不可逆矩陣的秩小于矩陣的階數(shù).因此，可逆矩陣又稱滿秩矩秩，不可逆矩陣(奇異矩陣)又稱降秩矩陣.

例1

求矩陣的秩．

解在A中，顯然有一個(gè)二階子式其三階子式有四個(gè):

全部為零，故

例2

求矩陣的秩．

解因?yàn)榫仃嘇是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行只有3行，故知A的所有四階子式全為零．此外，又存在A的一個(gè)三階子式

故用矩陣的初等變換求矩陣的秩由于行階梯形矩陣的秩很容易判斷，而任意矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換化為階梯形矩陣，因而可考慮借助初等變換來求矩陣的秩．

定理1

初等變換不改變矩陣的秩．由于的充分必要條件是存在可逆矩陣P,Q,使PAQ=B,因此可得

推論對(duì)于矩陣A,B,若存在可逆矩陣P,Q,使PAQ=B,則根據(jù)定理1，我們得到利用初等變換求矩陣的秩的方法:用初等行變換把矩陣變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩．

例3用初等變換的方法，求矩陣的秩．

解

故有

例4

設(shè)求矩陣A及矩陣B=(A,b)的秩．

解

故r(A)=2,

r(B)=3.

可以把矩陣秩的性質(zhì)歸納如下：

性質(zhì)1

性質(zhì)2

性質(zhì)3

若則

性質(zhì)4

若P,Q可逆，則

性質(zhì)5

特別地，當(dāng)B=b為非零列矩陣時(shí)，有

性質(zhì)6

性質(zhì)7

性質(zhì)8

若則

注:

這后三個(gè)性質(zhì)的證明需要用到下一章的結(jié)論.用初等變換解線性方程組一般線性方程組

可寫成矩陣方程AX=b的形式,其中稱矩陣A為方程組的系數(shù)矩陣，矩陣為方程組的增廣矩陣．

例5解線性方程組

解對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換，得到其行最簡(jiǎn)形矩陣，即

所以對(duì)應(yīng)的同解方程組為

令則方程組的一般解為

(其中為任意常數(shù)).

例6

解齊次線性方程組解因?yàn)閷?duì)應(yīng)的同解方程組為

令所以齊次方程組的一般解為(其中為任意常數(shù)).《線性代數(shù)》課件第三章

n維向量向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)是線性代數(shù)中一個(gè)非常重要的概念，與線性方程組的理論密切相關(guān)．我們已經(jīng)知道，平面和空間中的向量可分別用二元有序數(shù)組和三元有序數(shù)組來表示．在研究其它問題時(shí)也常遇到有序數(shù)組問題．例如，方程的系數(shù)可以用元有序數(shù)組

來表示．我們抽象出維向量的概念．當(dāng)我們研究線性方程組時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)方程組中的各個(gè)方程之間存在一定的關(guān)系，由此引出向量組的線性相關(guān)性及極大無關(guān)組的概念．本章主要介紹維向量及向量組的線性組合、向量組的線性相關(guān)性及向量組的秩．第三章n維向量

§3.1向量組及其線性組合

§3.2向量組的線性相關(guān)性

§3.3向量組的秩一、向量的概念§3.1

向量組及其線性組合二、向量組的線性組合一、向量的概念

定義1

個(gè)數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為

維向量，第

個(gè)數(shù)

稱為

維向量的第

個(gè)分量．分量是實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量是復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量．若維向量寫成一行，則稱為行向量；若維向量寫成一列，則稱為列向量．

事實(shí)上，維行向量是矩陣，維列向量是矩陣．稱向量為向量的負(fù)向量，記作，即．向量常用小寫的黑體希臘字母表示．分量全為零的向量稱為零向量，記作．由于列向量和行向量分別是列矩陣和行矩陣，所以向量的運(yùn)算與矩陣的運(yùn)算類似．

定義2

設(shè)兩個(gè)維向量，若，則稱向量與向量相等，記作．定義3

設(shè)兩個(gè)維向量，，稱向量為向量與向量的和，記作，即由向量加法和負(fù)向量的定義，可定義向量減法．定義4設(shè)維向量，是一個(gè)常數(shù)，稱向量

為數(shù)與向量的積（簡(jiǎn)稱數(shù)乘），記作，即向量的加法和向量的數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，線性運(yùn)算滿足下列運(yùn)算規(guī)律（是維向量，是實(shí)數(shù)）：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解

（1）；例1

設(shè)，（1）求；（2）求滿足的．（2）由得

若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合稱為向量組．例如，在矩陣中，它的每一行是一個(gè)維行向量，向量組稱為矩陣的行向量組；它的每一列是一個(gè)維列向量，向量組稱為矩陣的列向量組．于是，矩陣可表示為或由上述可知，矩陣的列向量組和行向量組都是只含有限個(gè)向量的向量組．反之，一個(gè)含有限個(gè)同維向量的向量組總可以構(gòu)成一個(gè)矩陣．例如，個(gè)維行向量所組成的向量組，構(gòu)成一個(gè)矩陣；個(gè)維列向量所組成的向量組，構(gòu)成一個(gè)矩陣．可見，矩陣與含有限個(gè)同維向量的有序向量組建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．考察線性方程組

令，則線性方程組(3.1)可寫成如下向量形式:

(3.1)(3.2)于是，線性方程組(3.1)是否有解，就歸結(jié)為是否存在一組數(shù)，使得下列線性關(guān)系式

成立．因此，可以用向量組來討論線性方程組的問題．二、向量組的線性組合

定義5

給定維向量組:

，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)，稱向量

為向量組的一個(gè)線性組合，稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)．定義6給定向量組:和向量，若存在一組數(shù)，使

則稱向量是向量組的線性組合，或稱向量可以由向量組線性表示．由定義6可得：（1）零向量可由任意一組向量線性表示．因?yàn)椋?）向量組中任一向量可以由向量組

線性表示.因?yàn)椋?）任一維向量都可由維單位向量組

線性表示，其中．事實(shí)上，

例2

判斷向量是否可由向量組，，

線性表示？若是，寫出線性表示式．解

設(shè)，則有即，因?yàn)槠湎禂?shù)行列式，由克拉默法則知該方程組有唯一解，解之．因此，向量可以由向量組

線性表示，且有.由例2我們知道，判斷向量能否由向量組：線性表示，轉(zhuǎn)化為方程組

是否有解．例3

判斷向量是否可由向量組，

線性表示？若是，寫出線性表示式．，解

設(shè)則有即，第二個(gè)方程減去第三個(gè)方程得，這與第一個(gè)方程矛盾．所以方程組無解，從而向量不能由向量組線性表示．定義7設(shè)有兩個(gè)向量組及，若向量組中的每個(gè)向量都能由向量組線性表示，則稱向量組能由向量組線性表示．若向量組與向量組能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)．向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有以下性質(zhì)：（1）反身性：任一向量組與它自身等價(jià)．（2）對(duì)稱性：若向量組與向量組等價(jià)，則向量組與向量組等價(jià)．（3）傳遞性：若向量組與向量組等價(jià)，向量組與向量組等價(jià)，則向量組與向量組

等價(jià)．一、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念§3.2

向量組的線性相關(guān)性二、向量組線性相關(guān)性的判定在研究線性方程組的向量形式時(shí)，若每個(gè)方程的右端項(xiàng)都為零，則．一、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念

例如，在齊次線性方程組當(dāng)時(shí)，上式顯然成立．我們關(guān)心的是除了

外，是否存在一組不全為零的數(shù)，使

成立．中，系數(shù)的列向量除了滿足關(guān)系式外，還滿足關(guān)系式．而在齊次線性方程組

中，系數(shù)的列向量只滿足關(guān)系式．由此我們引入下面的概念:定義1

設(shè)向量組，若存在不全為零的數(shù)，使，則稱向量組線性相關(guān)，否則稱向量組線性無關(guān)．注：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則向量組

線性無關(guān)．前面例子中線性相關(guān)，線性無關(guān)．（2）含有零向量的向量組一定線性相關(guān)．事實(shí)上，對(duì)于向量組，

，任意不等于0的常數(shù)，恒有成立，所以向量組線性相關(guān)．從定義1可知：（1）向量組只含一個(gè)向量時(shí)，線性相關(guān)的充分必要條件是，

線性無關(guān)的充分必要條件是．（3）含兩個(gè)向量的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是的對(duì)應(yīng)分量成比例，其幾何意義是兩向量共線．對(duì)于3個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是三向量共面．例1

判斷向量組的線性相關(guān)性．解設(shè)有三個(gè)數(shù)，使得，即

．于是有

解得，是任意實(shí)數(shù)，不妨取，有．由定義1可知向量組