《線性代數(shù)》課件第三章

n維向量向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)是線性代數(shù)中一個非常重要的概念，與線性方程組的理論密切相關(guān)．我們已經(jīng)知道，平面和空間中的向量可分別用二元有序數(shù)組和三元有序數(shù)組來表示．在研究其它問題時也常遇到有序數(shù)組問題．例如，方程的系數(shù)可以用元有序數(shù)組

來表示．我們抽象出維向量的概念．當我們研究線性方程組時，會發(fā)現(xiàn)方程組中的各個方程之間存在一定的關(guān)系，由此引出向量組的線性相關(guān)性及極大無關(guān)組的概念．本章主要介紹維向量及向量組的線性組合、向量組的線性相關(guān)性及向量組的秩．第三章n維向量

§3.1向量組及其線性組合

§3.2向量組的線性相關(guān)性

§3.3向量組的秩一、向量的概念§3.1

向量組及其線性組合二、向量組的線性組合一、向量的概念

定義1

個數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為

維向量，第

個數(shù)

稱為

維向量的第

個分量．分量是實數(shù)的向量稱為實向量，分量是復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量．若維向量寫成一行，則稱為行向量；若維向量寫成一列，則稱為列向量．

事實上，維行向量是矩陣，維列向量是矩陣．稱向量為向量的負向量，記作，即．向量常用小寫的黑體希臘字母表示．分量全為零的向量稱為零向量，記作．由于列向量和行向量分別是列矩陣和行矩陣，所以向量的運算與矩陣的運算類似．

定義2

設(shè)兩個維向量，若，則稱向量與向量相等，記作．定義3

設(shè)兩個維向量，，稱向量為向量與向量的和，記作，即由向量加法和負向量的定義，可定義向量減法．定義4設(shè)維向量，是一個常數(shù)，稱向量

為數(shù)與向量的積（簡稱數(shù)乘），記作，即向量的加法和向量的數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，線性運算滿足下列運算規(guī)律（是維向量，是實數(shù)）：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解

（1）；例1

設(shè)，（1）求；（2）求滿足的．（2）由得

若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合稱為向量組．例如，在矩陣中，它的每一行是一個維行向量，向量組稱為矩陣的行向量組；它的每一列是一個維列向量，向量組稱為矩陣的列向量組．于是，矩陣可表示為或由上述可知，矩陣的列向量組和行向量組都是只含有限個向量的向量組．反之，一個含有限個同維向量的向量組總可以構(gòu)成一個矩陣．例如，個維行向量所組成的向量組，構(gòu)成一個矩陣；個維列向量所組成的向量組，構(gòu)成一個矩陣．可見，矩陣與含有限個同維向量的有序向量組建立了一一對應(yīng)關(guān)系．考察線性方程組

令，則線性方程組(3.1)可寫成如下向量形式:

(3.1)(3.2)于是，線性方程組(3.1)是否有解，就歸結(jié)為是否存在一組數(shù)，使得下列線性關(guān)系式

成立．因此，可以用向量組來討論線性方程組的問題．二、向量組的線性組合

定義5

給定維向量組:

，對于任何一組實數(shù)，稱向量

為向量組的一個線性組合，稱為這個線性組合的系數(shù)．定義6給定向量組:和向量，若存在一組數(shù)，使

則稱向量是向量組的線性組合，或稱向量可以由向量組線性表示．由定義6可得：（1）零向量可由任意一組向量線性表示．因為．（2）向量組中任一向量可以由向量組

線性表示.因為．（3）任一維向量都可由維單位向量組

線性表示，其中．事實上，

例2

判斷向量是否可由向量組，，

線性表示？若是，寫出線性表示式．解

設(shè)，則有即，因為其系數(shù)行列式，由克拉默法則知該方程組有唯一解，解之．因此，向量可以由向量組

線性表示，且有.由例2我們知道，判斷向量能否由向量組：線性表示，轉(zhuǎn)化為方程組

是否有解．例3

判斷向量是否可由向量組，

線性表示？若是，寫出線性表示式．，解

設(shè)則有即，第二個方程減去第三個方程得，這與第一個方程矛盾．所以方程組無解，從而向量不能由向量組線性表示．定義7設(shè)有兩個向量組及，若向量組中的每個向量都能由向量組線性表示，則稱向量組能由向量組線性表示．若向量組與向量組能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價．向量組之間的等價關(guān)系具有以下性質(zhì)：（1）反身性：任一向量組與它自身等價．（2）對稱性：若向量組與向量組等價，則向量組與向量組等價．（3）傳遞性：若向量組與向量組等價，向量組與向量組等價，則向量組與向量組

等價．一、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念§3.2

向量組的線性相關(guān)性二、向量組線性相關(guān)性的判定在研究線性方程組的向量形式時，若每個方程的右端項都為零，則．一、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念

例如，在齊次線性方程組當時，上式顯然成立．我們關(guān)心的是除了

外，是否存在一組不全為零的數(shù)，使

成立．中，系數(shù)的列向量除了滿足關(guān)系式外，還滿足關(guān)系式．而在齊次線性方程組

中，系數(shù)的列向量只滿足關(guān)系式．由此我們引入下面的概念:定義1

設(shè)向量組，若存在不全為零的數(shù)，使，則稱向量組線性相關(guān)，否則稱向量組線性無關(guān)．注：當且僅當時，，則向量組

線性無關(guān)．前面例子中線性相關(guān)，線性無關(guān)．（2）含有零向量的向量組一定線性相關(guān)．事實上，對于向量組，

，任意不等于0的常數(shù)，恒有成立，所以向量組線性相關(guān)．從定義1可知：（1）向量組只含一個向量時，線性相關(guān)的充分必要條件是，

線性無關(guān)的充分必要條件是．（3）含兩個向量的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是的對應(yīng)分量成比例，其幾何意義是兩向量共線．對于3個向量線性相關(guān)的幾何意義是三向量共面．例1

判斷向量組的線性相關(guān)性．解設(shè)有三個數(shù)，使得，即

．于是有

解得，是任意實數(shù)，不妨取，有．由定義1可知向量組線性相關(guān)．證

設(shè)有三個數(shù)，使得，即，例2

證明3維單位向量組線性無關(guān)．而方程組的系數(shù)行列式，故方程組只有零解，得，由定義1知向量組線性無關(guān)．同理可證維單位向量組線性無關(guān)．解

設(shè)有三個數(shù)，使得，即．例3

設(shè)向量組線性無關(guān)，判斷向量組

的線性相關(guān)性．因為向量組線性無關(guān)，所以

而方程組的系數(shù)行列式，故方程組只有零解，即，因此向量組線性無關(guān)．對于向量組，我們在研究它的線性相關(guān)性時，常常以為列，構(gòu)造矩陣，利用齊次線性方程組有沒有非零解來判定．二、向量組線性相關(guān)性的判定

定理1對于向量組，設(shè)，則向量組

線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組有非零解；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組只有零解．推論對于維向量組，以為列的行列式記為，則向量組線性相關(guān)的充分必要條件是，向量組線性無關(guān)的充分必要條是．例4

判斷向量組的線性相關(guān)性．解以為列構(gòu)造行列式

，由定理1的推論知向量組線性相關(guān)．例5

設(shè)向量組線性無關(guān)，，，，試證向量組線性無關(guān)．證法一

設(shè)有數(shù)，使得，即．因為向量組線性無關(guān)，所以

由于系數(shù)行列式，故方程組只有零解，即，因此向量組線性無關(guān)．證法二

把已知條件寫成矩陣形式

=記作．設(shè)，則．因為矩陣的列向量組線性無關(guān)，所以．又因，所以方程組只有零解.因此矩陣的列向量組線性無關(guān)．定理2向量組()線性相關(guān)的充分必要條件是向量組中至少有一個向量可以由其余個向量線性表示．即能由其余個向量線性表示．充分性．若向量組中至少有一個向量能由其余個向量線性表示，不妨設(shè)能由線性表示，即有數(shù)使，于是．因為不全為0，所以向量組線性相關(guān)．證

必要性．若向量組線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)，使．不妨設(shè)，于是有，定理2′向量組()線性無關(guān)的充分必要條件是向量組

中任一向量都不能由其余個向量線性表示．定理3

若向量組中有一部分向量線性相關(guān)，則向量組

線性相關(guān)．證

不妨設(shè)是向量組的一個部分組且線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)使得

成立，從而有．由于不全為零，所以向量組線性相關(guān)．定理3′

(定理3的逆否命題)若向量組線性無關(guān)，則其任一部分向量組也線性無關(guān).定理3及定理3′可簡單敘述為：

部分相關(guān)，整體相關(guān)；整體無關(guān)，部分無關(guān)．定理4

設(shè)維向量組線性無關(guān)，分別是

的維的加長向量，則線性無關(guān)．證設(shè)，則.令，得定理4′

若加長向量組線性相關(guān)，則原向量組也線性相關(guān)．例如，3維單位向量組線性無關(guān)，則加長向量組也線性無關(guān)；向量組,,線性相關(guān)，則向量組 ,,也線性相關(guān)．由上述方程組的前個方程可得．因為向量組線性無關(guān)，所以，于是向量組

線性無關(guān).定理5設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量可以由向量組線性表示且表示式是唯一的．證

先證向量可以由向量組線性表示．由向量組線性相關(guān)知，存在一組不全為零的數(shù)

使得．下證．若，則上式變?yōu)椋蝗珵榱?，所以向量組線性相關(guān)，與已知矛盾，因此，于是，即向量可以由向量組線性表示．再證表示式是唯一的．設(shè)有兩個表示式

兩式相減得．由向量組線性無關(guān)可知，，即．故表示式是唯一的．(2)用反證法．假設(shè)能由向量組表示，而由(1)知能由向量組表示，因此能由向量組線性表示，這與向量組線性無關(guān)矛盾．因此不能由向量組線性表示．例6

設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)，證明:(1)能由向量組線性表示;(2)不能由向量組線性表示．證

(1)因向量組線性無關(guān)，由定理3′知向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，由定理5知能由向量組

線性表示．定理6若向量組可由向量組線性表示，且，則向量組線性相關(guān)．證

設(shè)有數(shù)，使得．由條件設(shè)，于是由于，從而有非零解．因此向量組線性相關(guān)．即考慮齊次線性方程組定理6′

若向量組可由向量組線性表示，且向量組線性無關(guān)，則．推論設(shè)向量組與向量組等價，若這兩個向量組均是線性無關(guān)的，則．一、向量組的極大線性無關(guān)組§3.3

向量組的秩二、向量組的秩一、向量組的極大線性無關(guān)組

我們用消元法求解線性方程組時會發(fā)現(xiàn)方程組中有些方程是多余的.例如，線性方程組

的第一個方程的二倍加到第二個方程上得到第三個方程．假如刪去第三個方程，保留其余兩個方程，得到的方程組

與原方程同解，且第一個方程與第二個方程相互獨立．方程組中每個方程的三個系數(shù)做成列向量，分別記為，，則，且線性無關(guān)．由此看出尋找方程組中最多有多少個不多余的相互獨立的方程，就相當于尋找向量組中最多有多少個線性無關(guān)的向量．下面引入向量組的極大無關(guān)組的概念:定義1設(shè)向量組A

，若A中存在部分組滿足（1）向量組線性無關(guān)；（2）向量組A中任意個向量(如果A中有的話)都線性相關(guān)，則稱向量組是向量組A的一個極大線性無關(guān)向量組(簡稱極大無關(guān)組)．由極大無關(guān)組的定義知，一個線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組就是其本身，含有非零向量的向量組一定有極大無關(guān)組．例如，在向量組中，由于與線性無關(guān)，且，所以向量組是向量組的一個極大無關(guān)組．同理或也是向量組的一個極大無關(guān)組．從上例可以看出，向量組的極大無關(guān)組可以不唯一．下面給出極大無關(guān)組的等價定義：（2）向量組中任意一個向量都可以由向量組線性表示，則稱向量組是向量組的一個極大無關(guān)組．，定義2

設(shè)向量組，若A中存在部分組滿足（1）向量組線性無關(guān)；只需證明兩個定義中的第二個條件等價即可．先證定義1定義2．設(shè)個向量線性相關(guān)，又線性無關(guān)，由§3.2節(jié)定理5知可以由線性表示.顯然可以由線性表示．因此向量組中任意一個向量都可以由向量組線性表示．再證定義2定義1．任取中向量，由（2）可知，可由向量組線性表示．由§3.2定理6可得，線性相關(guān)．，（1）一個向量組與其極大無關(guān)組等價；（2）一個向量組的任意兩個極大無關(guān)組都是等價的，且所含向量個數(shù)相同．雖然向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)是唯一的，它反映了向量組內(nèi)在的特性，下面引入向量組的秩的概念．由極大無關(guān)組的等價定義及§3.2節(jié)定理可得出如下結(jié)論：，二、向量組的秩

定義3

向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為向量組的秩，記作．規(guī)定：只含零向量的向量組的秩為0．對于任一含有非零向量的向量組，它的秩滿足不等式．定理1

若向量組可由向量組線性表示，則．證

設(shè)向量組的一個極大無關(guān)組為，向量組

的一個極大無關(guān)組為．因為向量組可由向量組線性表示，所以向量組可由向量組

線性表示．又向量組線性無關(guān)，由§3.2節(jié)定理6′可得，即．．

推論

若向量組與向量組等價，則．矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩，矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩．下面給出矩陣的秩與其行秩及列秩的關(guān)系．定理2

矩陣的秩等于它的列秩，也等于它的行秩．證設(shè)，，并設(shè)階子式．根據(jù)§3.2節(jié)定理1的推論1及定理4知，所在的個列向量線性無關(guān)．下證這個列向量構(gòu)成是的列向量組的一個極大無關(guān)組。假設(shè)矩陣的列向量組中存在一個包含r+1個列向量的線性無關(guān)組，則取為這個列向量組中每一個向量的前r+1個分量構(gòu)成的的r+1階子式，由§3.2定理1可知，與矛盾.因此所在的個列向量是

的列向量組的一個極大無關(guān)組，所以列向量組的秩等于，即矩陣的秩等于它的列秩．類似