專(zhuān)題18特殊四邊形及圓的相關(guān)證明與計(jì)算

目錄一覽

知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）

中考命題趨勢(shì)（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）

重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一直角三角形斜邊上的中線(xiàn)

A考向二平行四邊形的判定與性質(zhì)

A考向三矩形的判定與性質(zhì)

A考向四菱形的判定與性質(zhì)

A考向五正方形的判定與性質(zhì)

A考向六垂徑定理的應(yīng)用

A考向七圓周角定理

A考向八圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

A考向九三角形的外接圓與外心

A考向十直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

A考向十一切線(xiàn)的判定與性質(zhì)

A考向十二三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

A考向十三正多邊形和圓

A考向十四弧長(zhǎng)的計(jì)算

A考向十五扇形面積的計(jì)算

A考向十六圓錐的計(jì)算

A考向十七圓的綜合題

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）

知識(shí)目標(biāo)

1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關(guān)系；探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理和

判定定理.

2.探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論；理解圓、弧、弦、圓心角、

圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；知道三角形的外心；

3.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).了解直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，掌握切線(xiàn)的概念，探索切線(xiàn)與過(guò)切點(diǎn)的半徑關(guān)系，

會(huì)用三角尺過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線(xiàn)；知道三角形的內(nèi)心.

4.會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)、扇形的面積；了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系.

H中考解密

特殊四邊形考點(diǎn)內(nèi)容是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為15分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并

且在選擇、填空題中考查利用特殊四邊形性質(zhì)和判定求角度、長(zhǎng)度問(wèn)題的可能性比較大。解答題中考查特

殊四邊形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動(dòng)態(tài)問(wèn)題綜合應(yīng)用的可能性比較

大。對(duì)于本考點(diǎn)內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運(yùn)用。

圓的性質(zhì)及其證明與計(jì)算板塊內(nèi)容以考查綜合題為主，也是考查重點(diǎn)，除了填空題和選擇題外，年年都會(huì)

考查綜合題，對(duì)多數(shù)考生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，分值為5分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考肯定還是考查的重點(diǎn)在選

擇、填空題中考查，考查形式多樣，多以動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖的形式給出，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本

方法，力爭(zhēng)拿到全分。

與切線(xiàn)有關(guān)的證明與計(jì)算板塊內(nèi)容以考查綜合題為主，也是考查重點(diǎn)，除了填空題和選擇題外，年年都會(huì)

考查綜合題，對(duì)多數(shù)考生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，分值為8分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考肯定還是考查的重點(diǎn)在選

擇、填空題中考查，在解答題中想必還會(huì)考查切線(xiàn)的性質(zhì)和判定，和直角三角形結(jié)合的求線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題和

三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)綜合，考查形式多樣，多以動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖的形式給出，難度較大。關(guān)

鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，力爭(zhēng)拿到全分。

弧長(zhǎng)、扇形面積相關(guān)計(jì)算板塊內(nèi)容以考查綜合題為主，也是考查重點(diǎn)，除了填空題和選擇題外，年年都會(huì)

考查綜合題，對(duì)多數(shù)考生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，分值為5分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考肯定還是考查的重點(diǎn)在選

擇、填空題中考查弧長(zhǎng)、扇形面積，考查形式多樣，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，力爭(zhēng)拿

到全分。

匕重點(diǎn)考向

A考向一直角三角形斜邊上的中線(xiàn)

1.（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：an）測(cè)量某三角形部件的尺寸.如圖所示，已知///=90°,

點(diǎn)2為邊46的中點(diǎn)，點(diǎn)46對(duì)應(yīng)的刻度為1、7,則（）

c

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，可以計(jì)算出⑦的長(zhǎng).

【完整解答】解：由圖可得，

NACB=90°,A5=7-l=6（cm）,點(diǎn)2為線(xiàn)段4?的中點(diǎn)，

CD^—AB—3cm,

2

故選：B.

【考點(diǎn)剖析】本題考查直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解

答.

2.（2023?荊州）如圖，"為m△/比斜邊四上的中線(xiàn)，少為力C的中點(diǎn).若力C=8,CD=3,貝1J龍=

3.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)得到熊=2==10,根據(jù)勾股定理得到寬=

22=6）

7AB-AC根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理即可得到結(jié)論.

【完整解答】解：：=為口△/%斜邊A?上的中線(xiàn)，CD=5,

二45=2。=10,

：//%=90°,〃=8,

,，,5C，=VAB2-AC2=6,

:￡為然的中點(diǎn),

：.AE=CE,

二座是△/回的中位線(xiàn)，

:.DE=LBC=3,

2

故答案為：3.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，勾股定理，三角形中位線(xiàn)定理，熟練掌握直角三角

形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

A考向二平行四邊形的判定與性質(zhì)

3.（2023?貴州）如圖，在中，ZC=90°,延長(zhǎng)。至〃使得初=",過(guò)點(diǎn)4〃分別作/￡〃孫,

DE//BA,/￡與龐相交于點(diǎn)反下面是兩位同學(xué)的對(duì)話(huà)：

小星：由題目的已知條件，若連接施，則可

證明BELCD.

小紅：由題目的已知條件，若連接密則可證明但施.

（1）請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法，并進(jìn)行證明；

（2）連接9若位）=5如，”上，求〃1的長(zhǎng).

AC3

【思路點(diǎn)撥】（1）小星：連接應(yīng)'，根據(jù)平行四邊的判定定理得到四邊形山嚨是平行四邊形，根據(jù)平行

四邊形的性質(zhì)得到/￡=劭，推出四邊形/誠(chéng)是平行四邊形，根據(jù)矩形性質(zhì)得到見(jiàn)LW；小紅：連接應(yīng),

龍，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定和性質(zhì)定理即可得到論；

（2）連接設(shè)CB=2k,/C=3L根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【完整解答】（1）證明：小星：連接BE,

?:AE〃BD,DE//BA,

???四邊形/反應(yīng)是平行四邊形,

：.AE=BD9

,:BD=BC,

：.AE=BC,

AE//BC,

：.四邊形/旗。是平行四邊形,

VZC=90°,

???四邊形/旗。是矩形，

???N誠(chéng)=90°,

：.BE.LCD；

小紅：連接第BE,

9：AE//BD,DE//BA,

???四邊形/皿是平行四邊形,

：.AE=BD,AB=DE,

,:BD=BC,

：.AE=BC,

U：AE//BC,

???四邊形/旗C是平行四邊形,

???NC=90°,

???四邊形4旗。是矩形，

：.AB=CE,

:?DE=CE；

(2)?.,生?上，

AC3

:.設(shè)CB=2k,AC^3k,

:.CA4k,

:初+初=加

(3k)2+(W2=(572)2,

k=近,,

：.AC=3班.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定，熟練掌握平行四邊形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2023?揚(yáng)州)如圖，點(diǎn)反F、6、〃分別是平行四邊形力8必各邊的中點(diǎn)，連接/尸、B相交于點(diǎn)四連

接4G、絡(luò)相交于點(diǎn)兒

(1)求證：四邊形/欣W是平行四邊形；

(2)若口/蛇V的面積為4,求口圈的面積.

【思路點(diǎn)撥】(1)依據(jù)四邊形力尺汨是平行四邊形，可得⑷/〃g依據(jù)四邊形/區(qū)％是平行四邊形，可

緊AN"CM,進(jìn)而得出四邊形/第V是平行四邊形；

(2)連接/G依據(jù)三角形重心的性質(zhì)，即可得到邑仰=2J皿再根據(jù)S是的中線(xiàn)，即可得出S

3

AJGV=—進(jìn)而得到S平行四邊形械y=Ls平行四邊形密。,依據(jù)。/掰GV的面積為4,即可得出結(jié)論.

33

【完整解答】解:(1):?點(diǎn)艮F、G、〃分別是平行四邊形/成/各邊的中點(diǎn)，

：.AH//CF,AH=CF,

四邊形ZR力是平行四邊形，

：.AM//CN,

同理可得，四邊形/￡(力是平行四邊形，

：.AN//CM,

.??四邊形前例是平行四邊形；

(2)如圖所示，連接4G

,:H,G分別是4?,切的中點(diǎn)，

...點(diǎn)兒是的重心，

:.CN=2HN,

又?.?"是的中線(xiàn),

3

又是平行四邊形劃?和平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn),

??S平行四邊形平行㈣邊形，死》，

又???0/第V的面積為4,

【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形重心性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是

掌握平行四邊形的判定方法以及三角形重心性質(zhì).

A考向三矩形的判定與性質(zhì)

5.（2023?雅安）如圖，在△/氏7中，ZC=90°,AC=BC=6,產(chǎn)為邊48上一動(dòng)點(diǎn)，作出，6c于點(diǎn)〃PE

_L/C于點(diǎn)E,則施的最小值為_(kāi)3y[2_-

A

zf

BDC

【思路點(diǎn)撥】連接CP,由勾股定理求出應(yīng)?的長(zhǎng),.再證四邊形成是矩形，得DE=CP,然后由等腰直角

三角形的性質(zhì)求出爐的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論.

【完整解答】解：如圖，連接血

A

BDC

9：ZACB=90°,AC=BC=6,AB=VAC2+BC2=V62+62=6^2-

.：PDLBC,PE工AC,

：.ZPDC=ZPEC=90°,

???四邊形。合是矩形，

：.DE=CP,

由垂線(xiàn)段最短可得，當(dāng)C7LZ8時(shí),線(xiàn)段龐的值最小，

止匕時(shí)，AP=BP,

:.CP=,AB=3M，

，施的最小值為3&,

故答案為：3版.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線(xiàn)段最短以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),

熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.(2023?大慶)如圖，在平行四邊形"中，￡為線(xiàn)段繆的中點(diǎn)，連接/C,AE,延長(zhǎng)/￡,交于點(diǎn)尸,

連接力N46F=90°.

(1)求證：四邊形/皿是矩形；

(2)若繆=13,CF=5,求四邊形/8CF的面積.

【思路點(diǎn)撥】(1)證明△/旌△戶(hù)二(44S),得AE=FE,所以四邊形力是平行四邊形，再根據(jù)有

一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可解決問(wèn)題；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出火的值，由△/族△人為，可得四邊形28"的面積=平行四邊形

ABCD-的面積，進(jìn)而可以解決問(wèn)題.

【完整解答】(1)證明：???四邊形"圈是平行四邊形，

：.AD//BC,

:?/ADE=/FCE,/DAE=/CFE,

,?"為線(xiàn)段"的中點(diǎn)，

：.DE=CE,

：./\ADE^/\FCE(AAS),

：.AE=FE,

???四邊形/皿是平行四邊形，

VZ^6F=90°,

???四邊形ZC7。是矩形；

(2)解：,??四邊形2皿是矩形，

：.ZCFD=90°,AC=DF,

?.?C9=13,CF=5,

22

:.DF=VCD-CF=V132-52=12，

△ADE^XFCE,

：△口如的面積=工入4*的面積=LX』"X5X12=15,

222

平行四邊形的面積=6C"C=5X12=60,

.?.四邊形/松的面積=平行四邊形力式》的面積-Z\Cm的面積=60-15=45.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解

決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì).

A考向四菱形的判定與性質(zhì)

7.（2023?德陽(yáng)）如圖，口四切的面積為12,AC=BD=6,AC與即交于點(diǎn)、0,分別過(guò)點(diǎn)GD作BD,4C的

平行線(xiàn)相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)G是"的中點(diǎn)，點(diǎn)戶(hù)是四邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則展的最小值是（）

c4D.3

【思路點(diǎn)撥】先判定四邊形。。力為菱形，找出當(dāng)夕垂直于菱形畋。的一邊時(shí)，戶(hù)。有最小值.過(guò)。點(diǎn)

作，小/C于〃，過(guò)G點(diǎn)作少，力C與R則神〃勿，利用平行四邊形的面積求解颯的長(zhǎng)，再利用三角形

的中位線(xiàn)定理可求解%的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解.

【完整解答】解：：四邊形4?切為平行四邊形，AC=BD,

：.OD=OC,

'：DF//AC,OD//CF,

二四邊形。。刃為菱形，

:點(diǎn)G是繆的中點(diǎn)，點(diǎn)一是四邊形。色?邊上的動(dòng)點(diǎn)，

.?.當(dāng)G尸垂直于菱形況物的一邊時(shí)，PG有最小值.

過(guò)，點(diǎn)作血L/C于M,過(guò)G點(diǎn)作G2L/C與P,則GP//MD,

:矩形/配9的面積為12,/C=6,

2

即2X-lx6?a/=12,

2

解得，/=2,

,:G為。的中點(diǎn)，

二。為△聯(lián)的中位線(xiàn),

：.GP=^DM=\,

2

故用的最小值為1.

【考點(diǎn)剖析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)等知識(shí)的綜合運(yùn)用,

找準(zhǔn)用有最小值時(shí)的一點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?遼寧）如圖，W是△力8c的角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)。分別作/C,8c的平行線(xiàn)，交BC于點(diǎn)、E,交〃1于

點(diǎn)尸.若N/%=60°,切=4?,則四邊形儂尸的周長(zhǎng)是16.

【思路點(diǎn)撥】連接所交切于。，證明四邊形㈤圻是菱形，可得3，跖NECD=L/ACB=30：OC

2

=工0）=26，在RtzXa定中，可得四=―四=4,故四邊形3郎的周長(zhǎng)是40=16.

2cos30爽

~2~

【完整解答】解：連接跖交切于。，如圖：

...四邊形CW是平行四邊形,

:"是△/8C的角平分線(xiàn)，

ZFCD=AECD,

'：DE//AC,

：.AFCD^ACDE,

C.AECD^ZCDE,

:.CE=DE,

四邊形6W是菱形，

：.CDLEF,/ECD=±NACB=3Q。,OC=^-CD=243>

在RtZ\C施'中，

moc2V3.

cos30

~2~

二四邊形6W的周長(zhǎng)是4B=4X4=16,

故答案為：16.

【考點(diǎn)剖析】本題考查是三角形角平分線(xiàn)及菱形性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線(xiàn)性質(zhì)，證明四邊

形CEDF是菱形.

A考向五正方形的判定與性質(zhì)

9.（2020?臺(tái)州）下列是關(guān)于某個(gè)四邊形的三個(gè)結(jié)論：①它的對(duì)角線(xiàn)相等；②它是一個(gè)正方形；③它是一

個(gè)矩形.下列推理過(guò)程正確的是（）

A.由②推出③，由③推出①B.由①推出②，由②推出③

C.由③推出①，由①推出②D.由①推出③，由③推出②

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形推不出是正方形或矩形即可判斷.

【完整解答】解：對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形推不出是正方形或矩形，

故①一②，①一③錯(cuò)誤，

故選項(xiàng)8,C,。錯(cuò)誤，

故選：A.

【考點(diǎn)剖析】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決

問(wèn)題，屬于中考常考題型.

10.（2017?玉林）如圖，在等腰直角三角形/8C中，ZACB=90°,/C=6C=4,。是的中點(diǎn)，E,尸分

別是相勿上的點(diǎn)（點(diǎn)￡不與端點(diǎn)4C重合），且然=國(guó)連接跖并取廝的中點(diǎn)。，連接2。并延長(zhǎng)

至點(diǎn)G,使GO=O0,連接DE,DF,GE,GF.

（1）求證：四邊形成戶(hù)G是正方形；

（2）當(dāng)點(diǎn)￡在什么位置時(shí)，四邊形&>6的面積最?。坎⑶笏倪呅斡褢?hù)G面積的最小值.

【思路點(diǎn)撥】（1）連接/根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出4=N26F=45°、AD=CD,結(jié)合力￡=CF

可證出△力。陛（S4S）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出龐=卯、ADE=

/CDF,通過(guò)角的計(jì)算可得出/砂尸=90°,再根據(jù)。為廝的中點(diǎn)、GAOD,即可得出修，跖，且。=

20D=EF,由此即可證出四邊形四心是正方形；

（2）過(guò)點(diǎn)〃作施'L/C于夕，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出座'的長(zhǎng)度，從而得出2W〃￡<2&,

再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形幽切的面積的最小值.

【完整解答】（1）證明：連接蜀，如圖1所示.

?.?△力阿為等腰直角三角形，ZACB=90°,。是的中點(diǎn)，

：.ZA=ZDCF=45°,AD=CD.

'AE=CF

在△力龍和△肉中，，ZA=ZDCF>

AD=CD

:.△ADE^XCDF（SAS）,

：.DE=DF,/ADE=NCDF.

*：/ADE+/EDC=9Q°,

:/EDC+/CDF=/EDF=9Q°,

為等腰直角三角形.

:。為"的中點(diǎn)，GO=OD,

：.GDVEF,MGD=20D=EF,

...四邊形及是正方形；

（2）解:過(guò)點(diǎn)〃作龐',47于,如圖2所示.

?.?△力宛為等腰直角三角形，ZACB=90°,AC=BC=4,

:.DE=^BC=2,/8=4&,點(diǎn)內(nèi)為4C的中點(diǎn)，

\2WDEV2近（點(diǎn)￡與點(diǎn)中重合時(shí)取等號(hào)）.

4<SEDFG=DS<8.

...當(dāng)點(diǎn)￡為線(xiàn)段/C的中點(diǎn)時(shí)，四邊形旗防的面積最小，該最小值為4.

G

【考點(diǎn)剖析】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是：（1）找出口江斯且加空（2）根據(jù)正方形的面積公式找出4WS四娜颯＜8.

A考向六垂徑定理的應(yīng)用

11.（2023?廣西）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱

呈圓弧形，跨度約為37m,拱高約為1m,則趙州橋主橋拱半徑R約為（）

A.20nlB.28mC.35〃zD.40m

【思路點(diǎn)撥】設(shè)主橋拱半徑此根據(jù)垂徑定理得到力。=巫，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案.

2

【完整解答】解：由題意可知，AB=31m,CD=lm,

設(shè)主橋拱半徑為Rm,

C.OD^OC-CM(R-7)m,

是半徑，OCLAB,

:.AD=BD=LB=紅(加，

22

在七49。中，AF+OF=O#,

：.(巫)2+(R-7)2=R,

2

解得不=油叵~28.

56

【考點(diǎn)剖析】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用，涉及勾股定理，解題的關(guān)鍵是用勾股定理列出關(guān)于A的方

程解決問(wèn)題.

12.(2023?東營(yíng))“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中,

不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是：如圖，

切為。。的直徑，弦/心LC?,垂足為￡,四=1寸，肥=10寸，則直徑切的長(zhǎng)度為26寸.

【思路點(diǎn)撥】連接力，設(shè)。。的半徑是r寸，由垂徑定理得到/￡=上/3=5寸，由勾股定理得到/=(r

2

-1)2+5,求出r,即可得到圓的直徑長(zhǎng).

【完整解答】解：連接OA,

設(shè)。。的半徑是r寸，

;直徑CDA.AB,

.?.4￡=工43=工義10=5寸，

22

'：CE=\寸，

OE=(r-1)寸，

'：0及=OhAk

.\r=(r-1)2+52,

r=13,

???直徑切的長(zhǎng)度為2r=26寸.

故答案為:26.

【考點(diǎn)剖析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是連接力構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用垂徑定

理，勾股定理列出關(guān)于圓半徑的方程.

A考向七圓周角定理

13.（2023?云南）如圖，助是。。的直徑，。是。。上一點(diǎn).若NBOC=66°,貝1]//=（）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓周角定理解答即可，在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角

的一半.

【完整解答】解：：/4=工/3%,/BOC=66°,

2

：.ZA=32）°.

故選：B.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了圓周角定理，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，

都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要

忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角.

14.（2023?深圳）如圖，在。。中，46為直徑，C為圓上一點(diǎn)，/的C的角平分線(xiàn)與。。交于點(diǎn)。，若/ADC

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得//絡(luò)=90°,再利用圓周角定理可得

=20°,然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得/歷10=70°,從而利用角平分線(xiàn)的定義進(jìn)行計(jì)算，即

可解答.

【完整解答】解：???/方為。。的直徑,

■:NADC=20°,

:.NADC=/ABC=2Q°,

：.ZBAC=9Q°-ZABC=70°,

:力小平分/胡C,

：.ZBAD=1-ZBAC=35O,

2

故答案為：35.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

A考向八圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

15.（2023?西藏）如圖，四邊形48切內(nèi)接于。。，￡為8c延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn).若/DCE=65°,則N&M的度

數(shù)是（）

A.65°B.115°C.130°D.140°

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出N2O的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求出/"”的度數(shù)，最后

根據(jù)圓周角定理即可求出勿的度數(shù).

【完整解答】解：???/2。=65°,

：.4DCB=\8G-NDCE=\8Q°-65°=115°,

?.?四邊形4%入內(nèi)接于。。，

:./BAm/DCB=\80°,

；./BAD=65°,

：.4BOD=24BAD=2X65°=130°,

故選：C.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握這些定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?淮安）如圖，四邊形48切是。。的內(nèi)接四邊形，6c是。。的直徑，BC=2CD,貝！|

/曲〃的度數(shù)是120°.

D

A

【思路點(diǎn)撥】連接勿，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NC=60°,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到

答案.

【完整解答】解：如圖，連接辦，

是。。的直徑，BC=2CD,

0C=0D=CD,

.?.△。切為等邊三角形，

.?.ZC=60°,

?.?四邊形/靦是。。的內(nèi)接四邊形，

掰0NC=180°,

：.ZBAD^120°,

故答案為：120.

【考點(diǎn)剖析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角

互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

A考向九三角形的外接圓與外心

17.（2023?自貢）如圖，△/1加內(nèi)接于。。，繆是。。的直徑，連接初，ZDCA^41°,則N4%的度數(shù)是

A

A.41°B.45°C.49°D.59°

【思路點(diǎn)撥】由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得N〃8C=90°,由同弧所對(duì)的圓周角相等可得

進(jìn)而可計(jì)算NZ8C

【完整解答】解：,??繆是。。的直徑，

:?/DBC=9G°,

u：ZDBA=ZDCA=41°,

：.ZABC=90°-ZDBA=49°,

故選：c.

【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角、同弧所對(duì)的圓周角相等，解決本題的關(guān)鍵是熟

練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，難度不大.

18.（2023?湖北）如圖，在3X3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱(chēng)

為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)△/回外接圓的一部分，小正方形邊長(zhǎng)為1,圖中陰影部分的面積為（）

C

A.—n--LB.—n--C.-n-工D.—n--

24224442

【思路點(diǎn)撥】作然的垂直平分線(xiàn)就作成的垂直平分線(xiàn)尸0,設(shè)腑與網(wǎng)相交于點(diǎn)。，連接物，OB,OC,

則點(diǎn)。是△/回外接圓的圓心，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得N/0C=9O°,

然后根據(jù)圖中陰影部分的面積=扇形4%的面積-△力%的面積-△力比'的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【完整解答】解：如圖：作群的垂直平分線(xiàn)惻作6c的垂直平分線(xiàn)網(wǎng)，設(shè)磔與園相交于

點(diǎn)。，連接力，OB,OC,則點(diǎn)。是△/比'外接圓的圓心，

由題意得：042=12+22=5,

^=12+22=5,

^=12+32=10,

：.0^06=AC,

.?.△/0C是直角三角形,

...NZOC=90°,

:AgOX或,

二圖中陰影部分的面積=扇形4%的面積-的面積-△力8c的面積

—90兀乂巫）2

LA?OC-1.AB-1

36022

=旦1-AxVsxV5--X2X1

422

5兀51

42

_5兀-7--,

42

故選：D.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了三角形的外接圓與外心，扇形面積的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添

加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

A考向十直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

19.（2023?宿遷）在同一平面內(nèi)，己知。。的半徑為2,圓心。到直線(xiàn)/的距離為3,點(diǎn)戶(hù)為圓上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線(xiàn)1的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓心到直線(xiàn)/的距離為3,而圓的半徑為2,此時(shí)直線(xiàn)與圓相離，當(dāng)點(diǎn)尸在上運(yùn)動(dòng)

時(shí)，當(dāng)點(diǎn)尸在夕。的延長(zhǎng)線(xiàn)與。。的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)夕到直線(xiàn)）的距離最大，根據(jù)題意畫(huà)出圖形進(jìn)行解答即可.

【完整解答】解：如圖，由題意得，OA=2,OB=3,

當(dāng)點(diǎn)尸在8。的延長(zhǎng)線(xiàn)與。。的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)尸到直線(xiàn)1的距離最大，

此時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)1的最大距離是3+2=5,

故選：B.

【考點(diǎn)剖析】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，掌握直線(xiàn)與圓的位置與圓心到直線(xiàn)的距離之間的關(guān)系是解

決問(wèn)題的關(guān)鍵.

20.（2023?鎮(zhèn)江）已知一次函數(shù)y=Ax+2的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，r為半徑

作。“若對(duì)于符合條件的任意實(shí)數(shù)A,一次函數(shù)y=4x+2的圖象與。?？傆袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，則r的最小值

為2.

【思路點(diǎn)撥】在y="x+2中，令x=0,貝！Jy=2,于是得到一次函數(shù)y=Kx+2的圖象與y軸交于（0,2）,

求得一次函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（0,2）,當(dāng)。。過(guò)（0,2）時(shí)，兩者至少有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、

四象限，得到直線(xiàn)與圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，而當(dāng)。。半徑小于2時(shí)，圓與直線(xiàn)存在相離可能，于是得到結(jié)論.

【完整解答】解：在尸Ax+2中，令x=0,貝?。菔?,

，一次函數(shù)尸比葉2的圖象與y軸交于（0,2）,

...一次函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（0,2）,

當(dāng)。。過(guò)（0,2）時(shí)，兩者至少有一個(gè)交點(diǎn)，

?.?一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、四象限，

二直線(xiàn)與圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，

而當(dāng)。。半徑小于2時(shí)，圓與直線(xiàn)存在相離可能，

半徑至少為2,

故r的最小值為2,

故答案為：2.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握直線(xiàn)與圓的位

置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

A考向十一切線(xiàn)的判定與性質(zhì)

21.（2023?郴州）如圖，在。。中，48是直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn).在48的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)〃連接力，

使/比

（1）求證：直線(xiàn)是。。的切線(xiàn)；

（2）若//0=120。，CD=2M，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含口的式子表示）.

【思路點(diǎn)撥】（1）連接0G由A?是直徑，可得/力⑶=/OQ+NO⑵=90°,再證/。。1=//=/頗,

廊有NBC決NOCB=NOCD=90°,即可證明.

（2）由圓周角定理求得N4%=2//=60°,在Rt/XOCT?中，解直角三角形得0C=2,然后利用三角形

的面積公式和扇形的面積公式即可解答.

【完整解答】（1）證明：連接0C,

是直徑，

ZACB^ZOCA+ZOCB^90°,

0A=OC,ZBCD=ZA,

：.ZOCA=ZA=ZBCD,

：.ABCIhZOCB=ZOCD=90°,

0C±CD,

:%是。。的半徑，

直線(xiàn)。是。。的切線(xiàn).

(2)解：\'ZACD^12.0°,ZACB^9Q°,

：.ZA=ZBCD^Z12Q°-90°=30°,

：.ZBOC=2.ZA=GOa,

在Rt△況》中，tan/=@=tan60°,切=2?,

oc

，漢2=，§，解得宓=2,

OCv

2

???陰影部分的面積=-S扇形歐=~X2V3X2-1%2_=2畬-^―

23603

【考點(diǎn)剖析】本題主要考查圓周角定理，切線(xiàn)的判定，扇形的面積公式及解直角三角形，熟練掌握性質(zhì)

是解題關(guān)鍵.

22.(2023?巴中)如圖，已知等腰相=M,以四為直徑作。。交回于點(diǎn)2,過(guò)。作"UaC于點(diǎn)反

交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)足

(1)求證："'是。。的切線(xiàn).

(2)若CE=a，CD=2,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果用m表示).

【思路點(diǎn)撥】(1)連接勿，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明/勿勿，進(jìn)而可以得到結(jié)論；

(2)連接根據(jù)勾股定理求出所1,根據(jù)銳角三角函數(shù)可得//勿=60°,然后證明如是的

中位線(xiàn)，求出根據(jù)陰影部分的面積=四邊形/眥的面積-扇形/切的面積，代入值即可.

3

【完整解答】(1)證明：如圖，連接如，

;AB=AC,

：.2B=ZC,

"：OB=OD,

:./B=/ODB,

：.AODB=AC,

J.AC//OD,

*：DFLAC,

：.ODVDF,

:①是。。的半徑，

.?.加'是。。的切線(xiàn)；

(2)解:如圖，連接必

設(shè)。。的半徑為r,

在Rt△物中，CE=M，CD=2,

二勵(lì)=切-第=4-3=1,

../「CE5/3

.cosZC=-^-=-^-

CD2

：.ZC=30°,

-30°,

:.NA0D=6Q°,

'：AC//0D,。為48的中點(diǎn),

二勿是的中位線(xiàn)，

是8c中點(diǎn)，

：.CD=BD=2,

是。。的直徑，

：.ZADB=90°,

.\AD=—AB=r,

2

/.BD=JjAD=如==2,

.-2V3

??1r--------,

3

:.AB=2r=￡2,

3

：.AE=AC-CE=AB-料=生巨-料=近,

33

陰影部分的面積=四邊形/①￡的面積-扇形/切的面積

=工XI-」。.nX2

2333603

_V32兀

--------.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理，圓周角定理，扇

形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

A考向十二三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

23.（2023?廣州）如圖，的內(nèi)切圓。/與比；CA,48分別相切于點(diǎn)〃E,F,若。/的半徑為r,Z

A=a,則（BRCE-BC）的值和/劉放的大小分別為（）

A.2r,90°-aB.0,90°-aC.2r,gQ°——D.0,gQ0——

【思路點(diǎn)撥】如圖，連接小IE.利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理，圓周角定理，切線(xiàn)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

【完整解答】解：如圖，連接明IE.

的內(nèi)切圓。/與8C,CA,46分別相切于點(diǎn)。，E,F,

：.BF=BD,CD=CE,IFLAB,IEVAC,

C.BFvCE-BC=B1ACD-BC=BC-BC=0,ZAFI=ZAFI=9Qa,

：.ZEIF=180°-a,

：.ZEDF=—ZEIF=90°-Aa.

22

故選：D.

【考點(diǎn)剖析】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切

線(xiàn)的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

24.（2023?攀枝花）已知△力8c的周長(zhǎng)為其內(nèi)切圓的面積為口步,則△力8c的面積為（）

A.—rlB.—urlC.rlD.nrl

22

【思路點(diǎn)撥】由題意可得見(jiàn).=工/8XS^Boc=—BCKr,SAAOC=—ACXr,由面積關(guān)系可求

2222

解.

【完整解答】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓。與△/比■相切于點(diǎn)〃點(diǎn)￡，點(diǎn)凡連接的，OB,OC,OE,OF,OD,

：力6切。。于￡,

OELAB,OE=r,

/.SZOB=~ABX0E=Lexr,

22

同理：$4眥=—BCXr,

2

S^AOC=-CXr，

2

S—^03+5^gcc.+5^J0r=—AB'Xr^—BCX.r^—ACXr——(AB+BC+AC)Xr,

2222

?.*1=AB+BC+AC,

2

故選：A.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

A考向十三正多邊形和圓

25.（2023?福建）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)

接正多邊形逼近圓的方法來(lái)近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓

周合體,而無(wú)所失矣”.“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率”的近似值為3.1416.如

圖，的半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)。。的面積，可得”的估計(jì)值為

司巨，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得"的估計(jì)值為（）

【思路點(diǎn)撥】過(guò)力作/以貂于四求得/亞歷=360°+12=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得

到聞仁工3=工，根據(jù)三角形的面積公式得到見(jiàn)鹿=!，于是得到正十二邊形的面積為12義工=3,根

2244

據(jù)圓的面積公式即可得到結(jié)論.

【完整解答】解：如圖，是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)。是正十二邊形的中心，

過(guò)/作4加_仍于〃，

在正十二邊形中，//勿=360°4-12=30°,

22

S^OB=y-OB-AM=^~x1x4-=—>

2224

正十二邊形的面積為12X1-=3,

4

.\3=12Xn,

Ji=3,

n的近似值為3,

【考點(diǎn)剖析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

26.（2023?衡陽(yáng)）如圖，用若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個(gè)正五邊形的位置.要

完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個(gè)數(shù)是10.

【思路點(diǎn)撥】先求出多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為108。，可得到/。=36°,即可求解.

【完整解答】解：???多邊形是正五邊形，

正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：1x180°X（5-2）=108°,

5

.?.Z（9=180°-（180°-108°）X2=36°,

...正五邊形的個(gè)數(shù)是360。+36°=10.

故答案為：10.

【考點(diǎn)剖析】本題主要考查正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角和問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

A考向十四弧長(zhǎng)的計(jì)算

27.（2023?青島）如圖，四邊形/灰/是0。的內(nèi)接四邊形，/8=58°,ZACD=40°.若0。的半徑為5,

則DC的長(zhǎng)為（）

A

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓周角的性質(zhì)，計(jì)算出弧加所對(duì)的圓心角度數(shù)，按照公式求出弧長(zhǎng)即可.

【完整解答】解：連接物、OD、0C,

,??N20C=2N8=n6°，ZAOD=2ZACD=80°,

：.ZD0C=3G°，

?京歿?

故選：C.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算和圓周角定理，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半.

28.（2023?阜新）如圖，四邊形如因是正方形，曲線(xiàn)CGGaG…叫作“正方形的漸開(kāi)線(xiàn)”，其中已總，

c2c3'c3c4,C4C5'…的圓心依次按昆a循環(huán)’當(dāng)如=1時(shí)，點(diǎn)般的坐標(biāo)是（）

A.(-1,-2022)B.(-2023,1)

C.(-1,-2023)D.(2022,0)

【思路點(diǎn)撥】由題得點(diǎn)的位置每4個(gè)一循環(huán)，經(jīng)計(jì)算得出乙您在第三象限，與%G，凡，…符合同一規(guī)

律，探究出第c7,第，...的規(guī)律即可.

【完整解答】解：由圖得G(0,1),G(1,0),&(-1,-2),a(-4,1),Q(0,5),Q(5,

0),G(-1,-6),?

點(diǎn)C的位置每4個(gè)一循環(huán),

2023=505X4+3,

，0必在第三象限，與a，a，a”…

符合規(guī)律（-1,-72+1）,

...&23坐標(biāo)為(-1，-2022).

故選：A.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律的探究，理解題意求出坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

A考向十五扇形面積的計(jì)算

29.（2023?連云港）如圖，矩形///內(nèi)接于分別以48、BC、CD、加為直徑向外作半圓.若四=4,

BC=5,則陰影部分的面積是（）

B

B.Win-20

A.n-20C.20JiD.20

42

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)矩形的性質(zhì)可求出切，再根據(jù)圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系，即S陰影部分=S以4〃為直徑的

圓+s以瑟為直8的圓+$矩形wo-s以如為直桂的1a進(jìn)行計(jì)算即可.

【完整解答】解：如圖，連接被則切過(guò)點(diǎn)。,

在此△/劭中，45=4,BC=5,

.?.碗=/〃+/^=41,

S陰影部分=S以9為直徑的圓+S以四為直徑的圓+S矩形ABCD一S以即為直徑的圓

=nX（A）2+JIX&）2+4X5-JIX（股）2

222

=417￡+20.41JL

44

=20,

故選：D.

【考點(diǎn)剖析】本題考查勾股定理，矩形的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算，掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理以及扇

形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提.

30.（2023?婁底）如圖，正六邊形/方CW的外接圓。。的半徑為2,過(guò)圓心。的兩條直線(xiàn)4、力的夾角為

60。，則圖中的陰影部分的面積為（）

C.—"-V3

323。?”與

【思路點(diǎn)撥】連接力。OC,由。。是正六邊形的外接圓可求得/抽=60°,是等邊三角形，根據(jù)

扇形面積公式可求S四皿根據(jù)三角形面積公式可求必儂，利用三角形全等將兩塊陰影部分拼接，轉(zhuǎn)化

為弓形,根據(jù)S網(wǎng)影=S扇形COD-SACOO即可求解.

【完整解答】解:如圖，連接4AOC,

是正六邊形的外接圓，

.?.4?必過(guò)點(diǎn)0,/儂=婚----=60°,

6

又'：OC=OD,

是等邊三角形，OC=OD=CD=2,

:直線(xiàn)4、、的夾角為60°,

：.ACOD-AKOD=AKOH-ZKOD,

於/C0K=/D0H,

又Y/D0H=2A0G,

：./COK=/AOG,

；/OCK=NOAG=6Q°,OC=OA,

QV，

**?△OCK=i\OAG(ASA)fS扇形加=S扇形力

??S扇形a財(cái)-S&QCK-S扇形/加一SAOAG，

,?S陰影——S扇形C0D~SACOD，

..._6QXnX22_2

'3607

5kOT=yX2X-73=V3)

；?S網(wǎng)影=曰n-VS-

o

故選：c.

【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了正多邊形和圓，三角形面積和扇形面積計(jì)算，明確s腕=5觥陋-幺,3是解

決問(wèn)題的關(guān)鍵.

A考向十