考點(diǎn)16.特殊三角形（等腰三角形與直角三角形）（精練）

限時(shí)檢測1:最新各地模擬試題（50分鐘）

1.（2024?陜西西安??？寄M預(yù)測）如圖，在j1BC中，ZACB=90°,ZA=22.5°,CD,鉆于點(diǎn)。，點(diǎn)

E為A8的中點(diǎn)，連接CE,若C￡>=n，則AB的長為（）

A.2百B.8C.4^/3D.3娓

【答案】C

【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等邊對等角，根據(jù)直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CE=AE=BE=^AB,由等邊對等角得出

ZACE=ZA=22.5°,從而得出NCED=NACE+NA=45。，進(jìn)而一CDE是等腰直角三角形，由勾股定理得

出CE=2幣,即可得出答案，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?在ABC中，ZACB=90。，點(diǎn)E為A3的中點(diǎn)，.,.CE=AE=BE=；AB,

NA=22.5。，ZACE=ZA=22.5°,.?.NCED=NACE+NA=45。，

CDLAB,.工CDE是等腰直角三角形，；.8=￡>石=",

:.CE={CD。+DE?=26，:.AB=2CE=46，故選：C.

2.（2023?河北邢臺??？家荒＃┤鐖D，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不正確的是（）

A.由?、诳梢耘袛喑錾?=尸3B.?、酆突、芩趫A的半徑相等

C.由?、倏梢耘袛喑?D.一ABP的內(nèi)心和外心都在射線PQ上

【答案】C

【分析】利用基本作圖可對A選項(xiàng)和B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用基本作圖可得到尸。平分/AP3,從而可對C

選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形的內(nèi)心和外心的定義可對D選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A.由?、诳傻肍4=PB,故A選項(xiàng)正確，不符合題意；B.由?、酆突、芸傻玫?/p>

AQ=BQ,即?、酆突、芩趫A的半徑相等，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；C.由?、邰芸膳袛嗍?/p>

NAPB的平分線，而由?、俨豢梢耘袛喑?故C選項(xiàng)正確，符合題意；

D.EIP。平分/APB,叫45尸的內(nèi)心在射線P2上，

回尸。垂直平分A3,回一/叱的外心在射線PQ上，故D選項(xiàng)正確，不符合題意.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.也考查了線段垂直平分線

的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心與外心.

3.（2023?山東德州?統(tǒng)考一模）如圖是一把圓規(guī)的平面示意圖，是支撐臂，08是旋轉(zhuǎn)臂，已知

OA=OB=a,使用時(shí)，以點(diǎn)A為支撐點(diǎn)，筆芯端點(diǎn)B可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)作出圓.若支撐臂與旋轉(zhuǎn)臂的夾角

/AOB=26,則圓規(guī)能畫出的圓的半徑AB長度為（）

A.2asin，B.asin2，C.2otandD.otan26

【答案】A

【分析】先作OC,AB交AB于點(diǎn)C,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)即可表示出AB.

【詳解】解：作OCLAB交A3于點(diǎn)C,

B

OA=OB,二OC平分/AOB,點(diǎn)C是A3的中點(diǎn)，ZAOB=2?,:.ZAOC^0,

OA-OB=a,AC=as,mO,AB=2AC=2asin0,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考一模）已知等腰三角形紙片ABC,AB^AC,ABAC^36°.現(xiàn)要將其剪成三張小

紙片，使每張小紙片都是等腰三角形（不能有剩余）.兩名同學(xué)提供了如下方案：

方案回方案回

如圖1,①分別作AB,AC的垂直平分如圖2,①以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于

線，交于點(diǎn)P;點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)E；

②選擇9，PB,PC.②連接DE,BD.

AAA

A

BL---

圖1圖2:

對于方案回、回，說法正確的是（）.

A.回可行、團(tuán)不可行B.團(tuán)不可行、回可行C.回、國都可行D.回、團(tuán)都不可行

【答案】C

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出結(jié)論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出/ABC,ZACB,進(jìn)而得出

NDBC,即可判斷3皮9和ABDE的特征，然后根據(jù)等腰三角形的判定說明即可得到答案.

【詳解】解：回點(diǎn)尸在線段A3的垂直平分線上，

^PA=PB（垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等），

同理，得。A=PC,^\PA=PB=PC,0.PAB,PBC,PAC都是等腰三角形.連接BD,DE,

,EZABC=ZACB=|x(180°-36°)=72°.

I3BD=BC,SZBDC=ZBCD,0ZDBC=18O°-72°x2=36°,

0QC是頂角為36。的等腰三角形.

0ZDBE=ZABC-ZDBC=36°,0BD=BE,回二跳見是頂角為36。的等腰三角形.

13ABED-ZBDE=1x（180°-36°）=72°,0ZAED=180°-ABED=108°,

0ZADE=180°-ZAED-ZA=36°,SZADE=ZA,^AE=DE,

團(tuán)△AED是頂角為108。的等腰三角形，故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理

等，掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?黑龍江哈爾濱??？级＃┤鐖D，一鉆C是等邊三角形，尸是—ABC的平分線3。上一點(diǎn)，

PE_LAfi于點(diǎn)E,線段BP的垂直平分線交BC于點(diǎn)/，垂足為點(diǎn)。.若班'=2,則PE的長為（）

A.2B.2A/3C.73D.3

【答案】C

【分析】先求出NEBP=N2/=30°,再求出BQ=BQcos30o=百，根據(jù)30。所對的直角邊等于斜邊的

一半，求出尸E的長.

【詳解】解：回..ABC是等邊三角形，尸是/ABC的平分線3。上一點(diǎn)，SZEBP=ZQBF=30°,

0BF=2,QF為線段3P的垂直平分線，回/尸。8=90。，

SBQ=BF-cos30°=2x^-=y/3,團(tuán)BP=2BQ=2xg=2石，

在Rt3EP中，/EBP=30°,SlPE=-BP=y/3.故選：C.

2

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)，30。所對的直角邊等于斜邊的

一半的知識，解題的關(guān)鍵是熟練利用相應(yīng)的定理進(jìn)行推理.

6.（2023?廣東揭陽?統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,3。平分/ABC,尸點(diǎn)是

的中點(diǎn)，若CP=4,則AD的長為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】由題意推出=在RtcBCD中，PC=^BD,即可求出3。的長，進(jìn)而可求出AD的長.

2

【詳解】解：0ZACB=90°,ZABC=6O°,0ZA=3O°,

回3。平分/ABC,EZCBD=ZDBA=30°,SZDBA^ZA,^\AD=BD,

團(tuán)尸點(diǎn)是8。的中點(diǎn)，0PC=|sD,EBD=2CP=8,EAD=8.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，

熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

7.（2023?廣東深圳?校考模擬預(yù)測）如圖，等腰直角ABC與等腰直角CDE,ZACB=ZDCE=90°,

AC=BC=10,DC=CE=42,連接AD、BE.若NACD=60。，M為AD中點(diǎn)，CM交BE于點(diǎn)、N,則AW

的長為（）

A.56B.49-15^C.60-5gD.35+5^

【答案】B

【分析】延長CM至G,使GM=Q0,連接AG,過E作交BC的延長線于點(diǎn)H,證

△AMG之△OMC(SAS),得AG=DC,NG=NDCM,再證ABCE之4G(SAS),得NCBE=ZACG,

BE=CG=2CM,然后由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得C〃=；CE=21,則EH=216，

BH=BC+CH=91,進(jìn)而求出CM=；CG=49,再利用KBCE=即可解決問題.

【詳解】解：延長CM至G,使GM=CM,連接AG,過E作EHJ.BC,交BC的延長線于點(diǎn)77,如圖

所示：M為AD的中點(diǎn)，:.AM=DM,

AM=DM

在；AMG和DMC中，,ZAMG=ZDMC,.-.AAMG^ADMC(SAS),

GM=CM

:.AG=DC,NG=NDCM,:.AG//DC,..NC4G+NACO=180。，

ZACD=60°,ZCAG=120°,DC=CE=42,AG=CE=42,

QZACB=ZDCE=90°,:./BCD=ZACE=90°-ZACD=30°,

NBCE=ZACB+ZACE=90°+30°=120。，:.ZCAG=NBCE,

BC=CA

在,BCE和.CAG中，<NBCE=ZCAG，:△BCE04CAG(SAS),

CE=AG

:.ZCBE=ZACG,BE=CG=2CM,

ZACB=90°,ZACH=90°,ZECH=90°-ZACE=60°,

QEH'BC,:.NEHC=90。,在RtZXCHE中，ZHEC=90°-ZECH=30°,CE=42,

2222

:.CH=；CE=21,...EH=yjCE-CH=742-21=21>/3>BH=BC+CH=10+21=91,

BE=yjBH2+EH2=7912+(21A/3)2=98>:.CG=98,:.CM=^CG=49,

./CM+NACG=/ACB=90。，ZBCM+ZCBE=90°,:"BNC=900,

CN±BE,：.S&BCE=gBE.CN=gBC?EH,

：.CN=BC，EHJQx216=L,MN=CM-CN=49-15^,故選：B.

BE98

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、

勾股定理以及三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角

形全等是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?河北滄州?模擬預(yù)測）如圖，ZA=30°,AB=6,點(diǎn)E,尸在線段A3上，且滿足

AE=EF=FB=2,點(diǎn)尸在射線AC上，且尸E+PF=5,則滿足上述條件的點(diǎn)尸有（）

【答案】B

【分析】分為兩種情況：①當(dāng)尸在線段AC上時(shí)，②當(dāng)P在BC上時(shí)，分別求出尸E或尸尸的值，再根據(jù)

AE=EF=3b=2判斷即可.

【詳解】解：分為兩種情況：①當(dāng)P在線段AC上時(shí)，作E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E,連接交AC于點(diǎn)

O,則AC_L￡E',

連接E'尸交AC于P,過E'作于

EIE,E'關(guān)于AC對稱，@PE=PE',B\PE+PF=PE'+PF,

團(tuán)兩點(diǎn)之間，線段最短，國尸E+P尸的最小值為線段E&的長度，

0AB=2,ZA=30°,DEYAC,SDE=1,ZAED=60°,0EE=DE+DE1=2DE=2,

^E'H±AB,回HE=1,HE'=6,回環(huán)=2,HF=HE+EF=1+2=3,

^E'F=yjE'H-+HF1=?同+3?=273<5,

當(dāng)P在點(diǎn)4處時(shí)，PE+PF=AE+AF=AE+AE+EF=2+2+2=6>5,

當(dāng)尸在點(diǎn)C處時(shí)，連接AE,CF,過C作坊，居于

I3NC=9O°,ZA=30°,AB=AE+EF+FB=6,EIBC=3,AC=3A/3,

39

^\CM±AB,0ZAMC=9O°,SCM=-y/3,AM=-,

22

io5

^\FM=AM-AF=AM-（AE+EF）=-,EM=AM-AE=--2=-,

3]_________

在RtA€7WF中，CM=a?MF=-,ZCMF=90°,團(tuán)CF=[CM?+MF2=々，

oc_________

在RtACEM中，CM=-EM=-,ACME=90°,0CE=yJCM2+EM2=>/13>

當(dāng)尸在C處時(shí)，PE+PF=CE+CF=4l3+/l>5,團(tuán)當(dāng)尸在AC邊上時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)尸使PE+PE=5,

②當(dāng)尸在BC邊上時(shí)，作F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)尸，連接尸尸，交3c于點(diǎn)G,則3CLET,過尸作

F'N±AB,交A3的延長線于點(diǎn)N,連接b'E,交BC于P,連接尸尸，如圖：

畫7與F關(guān)于BC對稱，0PF=PF，^PE+PF=PE+PF',回PE+P尸的最小值為線段E'R的長度.

B1ZC=90°,ZA=30°,0^5=60°,又回FF'上BC,0ZGFB=30°,

回3戶=2,0FG=V3,SlFF'=FG+GF'=2FG=2y/3,

y,^FN±AB,RFN=6,FN=3,又回EF=2,SEN=EF+FN=2+3=5,

0EF'=yjEN2+F'N2=2A/7>5>團(tuán)當(dāng)尸在BC邊上時(shí)，不存在PE+PVuS，

綜上所述，點(diǎn)尸在直角邊上，且滿足PE+P/=5,則這樣的尸點(diǎn)個(gè)數(shù)有兩個(gè).故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、含30。的直角三角形的性質(zhì)及軸對稱等知識點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合、分類討論及熟

練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模）在A5C中，比較A3與AC的大小關(guān)系時(shí)，小明同學(xué)用圓規(guī)設(shè)計(jì)了如圖的

方案，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓弧，分別交BC,AC于點(diǎn)D,E,若NA=90。，ZC=30°,

BD=6,則CB的長為.

A

【答案】6若-6/-6+

【分析】連接A。，根據(jù)題意可得：AB=AD=AE,先利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出/3=60。，從

而可得△A3。是等邊三角形，進(jìn)而可得AB=3￡>=6,然后在Rt/VlBC中，利用含30度角的直角三角形

的性質(zhì)求出AC的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：連接AD,

由題意得：AB=AD=AE,ZBAC=90°,ZC=30°,ZB=90°-ZC=60°,

ABD是等邊三角形，AB=BD-6,AC—y/3AB-6A/3>

:.CE=AC-AE=6K-6,故答案為：643-6.

【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，等邊三角形的判定，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)

合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?四川成都?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在，ABC中，ZA=32°,分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于!AC長

為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M、N,直線MN與AC相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作垂足為點(diǎn)，

CD與8E相交于點(diǎn)F,若BD=CE,則/3FC的度數(shù)為.

【分析】由作圖可知，MN是AC的垂直平分線，則E為AC的中點(diǎn)，如圖，連接。E,則

DE=AE=CE,DE=BD,ZEDA=ZA=32°,ZDBE=ZDEB,由NEDA=NDBE+NDEB=2NDBE,

可得/DBE=16。,根據(jù)N3FC=ND3E+NCD3,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由作圖可知，MN是AC的垂直平分線，回E為AC的中點(diǎn)，如圖，連接￡>￡,

團(tuán)DE=BD,ZEDA=ZA=32°,ZDBE=ZDEB,

0ZEDA=ZDBE+ADEB=2NDBE,0NDBE=16°,

0ZBFC=ZDBE+ZCDB=106°,故答案為：106。.

【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)等

知識.熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?湖南?統(tǒng)考二模）如圖，已知NS4C=60。，AD是角平分線且AD=20,作AD的垂直平分線交

AC于點(diǎn)孔作DE/AC,則山即的周長為.

【答案】10+104

【分析】根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出OE、根據(jù)勾股定理求出AE,根據(jù)線段垂直平分線的性

質(zhì)、三角形的周長公式計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：0Za4C=6O°,AD是角平分線，BZDAE=30°,

在Rt_DAE中，AD=20,ZDAE=30°,SDE=^AD=10,

由勾股定理得：AE=y/AD2-DE2=10^-回位）的垂直平分線交AC于點(diǎn)凡0K4=FD,

回勿跖的垂直=DE+跖+尸。=。石+石/+^4=。石+4石=1。+106，故答案為：10+10^.

【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上

的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?河北滄州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)。為ABC的外心，過點(diǎn)。分別作42、AC的垂線乙、4,

交2C于。、E兩點(diǎn).（1）若/ZME=50°,則—54C的度數(shù)為；

（2）過點(diǎn)。作OPJL3C于點(diǎn)EBF=5cm,則VADE的周長為

【答案】115010cm

【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得=ZCAE=ZACB,從而有NADE=2NABC,

ZAED=2ZACB,由三角形內(nèi)角和定理NADE+NAED=130°,從而由/9。=/瓦比＞+/。場+/八4后可

求得結(jié)果；

（2）連接。kOB、OC,由已知可得點(diǎn)。在線段3C的垂直平分線上，則可得BC=10cm；再利用線段垂

直平分線的性質(zhì)得=EA=EC,最后可求得周長的值.

【詳解】（1）團(tuán)點(diǎn)。為ABC中的外心，4-LAC,回乙、右是AB、AC的垂直平分線,

SAD=BD,EA=EC,SZBAD=ZABC,ZCAE=ZACB,

QZADE=ZBAD+ZABC=2ZABC,ZAED=ZCAE+ZACB=2ZACB,

0ZDAE+ZADE+ZAED=180°,回ZADE+ZAED=180°-50°=130°,

0/BAD+ZCAE=1(ZADE+ZAED)=65°,

0ABAC=ABAD+ZCAE+ZDAE=65°+50°=115°;故答案為：115。；

(2)連接。4、OB、OC,則是AB邊的垂直平分線，4是AC邊的垂直平分線，

回。4=03,OA^OC,SOB^OC,回點(diǎn)O在線段3C的垂直平分線上，

0OF1BC,0BC=2BF=lOcm,SAD=BD,EA=EC,

I3VADE的周長MAD+AE+DEuBD+DE+ECuBCulOcm.故答案為：10cm.

A

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，掌握線段

垂直平分線的性質(zhì)與判定是關(guān)鍵.

13.（2023?山東??？寄M預(yù)測）如圖，點(diǎn)。是RtaABC的斜邊3c的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在邊A3、AC

上，且BE=BD=CF,連接DE、DF,若DE=I叵，DF=10,則線段BE的長為

【答案】13

【分析】延長陽至點(diǎn)尸，使得DP=DF,連接5尸，EP,過點(diǎn)E作于點(diǎn)Q,可證

一BDW_CDF〈SAS）,從而可得3尸=5,/PBD=/C,可證△EBP為等腰直角三角形，可得

EP=y/2BE,可證/PDE=135。，可求EQ=OQ=7,由="E。?+尸。？即可求解.

【詳解】解：如圖，延長F￡＞至點(diǎn)P,使得DP=DF,連接吩，EP,過點(diǎn)E作于點(diǎn)Q,

BDP^.CDF(SAS),:.BP=CF,NPBD=NC,

ZA=90°,:.ZABC+ZC=90°,ZPBD+ZABC=90°,即ZABP=90°,

BE=CF,:.BE=BP,:..EBP為等腰直角三角形，；.EP=^BE，

BE=BD=CF,。是BC的中點(diǎn)，BE=BD=CF=CD,

.-.ZCDF=1(180°-ZC)=90。-：",ZBDE=90°-^ZABC,

11

:.ZCDF+ZBDE=180°--(ZABC+ZC)=180°--x90°=135°,

ZBDE+ZBDP=135°,:.NPDE=135°,..NE。。=45°,ED=y/2DQ,

ED=142>..EQ=DQ=7,PQ=DP+DQ=11,

EP=jEQ?+尸爐=q+172=130,;.尬BE=13?，：?BE=13.故答案為町3.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，掌握相關(guān)的判定方

法及性質(zhì)，并能根據(jù)題意t添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

14.（2023?廣東江門?統(tǒng)考三模）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在A3

上，且3尸=百，將3尸繞點(diǎn)8在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,連接A。，DQ.當(dāng)乙位>。=90。且點(diǎn)

。在「.ABC內(nèi)部時(shí)，AQ的長為.

【答案】V21

【分析】連接3D,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出AD=CD=3,根據(jù)勾股定理求出

BD=3有,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知==出，推出。點(diǎn)一定在線段3。上，利用勾股定理即可求得A。的

長.

【詳解】解：如圖，連接班>,在為等邊三角形，.5。=比=鉆=6,

點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，..Ar>=Cr>=LAC=3,BDLAC,:.ZADB=90°,

2

???BD=VAB2-A￡>2=V62-32=3^-由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BQ=BP=6，

NAD3=90。，.,.當(dāng)44。。=90。時(shí)，點(diǎn)。一定在直線8。上；

當(dāng)點(diǎn)。在11ABe內(nèi)部時(shí)，如圖所示，DQ=BD-BQ=36-?=2拒,

在Rt/VLDQ中，AQ=+DQ°=小，+（2后=回；故答案為：后.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)

鍵.

15.（2023?山東淄博?統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，ZACB=90°,/A=30。，A3的垂直平分線分別交AB

和AC于點(diǎn)。，E.（1）求證：AE=2CE；（2）連接8,請判斷ABCD的形狀，并說明理由.

【答案】⑴見解析⑵△3CD是等邊三角形，理由見解析

【分析】（1）連接BE,由垂直平分線的性質(zhì)可求得N￡BC=NABE=44=30。，在Rt_BCE中，由直角三

角形的性質(zhì)可證得AE=2CE即可證明結(jié)論；掌握垂直平分線和直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵；

（2）由直角三角形的性質(zhì)可得8=應(yīng)）,且NABC=60。，可證明△BCD為等邊三角形.掌握直角三角形

的性質(zhì)和等邊三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：連接防，

團(tuán)￡>￡是的垂直平分線，S\AE=BE,回NAfiE=NA=30。，

0ZCBE=ZABC-ZABE=30°,在Rt3CE中，BE=2CE,SAE=2CE-,

（2）解：△BCD是等邊三角形，理由如下：如圖：連接CO.

回￡>￡是AB的垂直平分線，回。為A8中點(diǎn)，

0ZACB=90°,SCD=BD,EZABC=60°,IBzXBCD是等邊三角形.

16.（2023?北京海淀?校考模擬預(yù)測）已知ZMON=45。，點(diǎn)A為射線。暇上的定點(diǎn)，點(diǎn)8為射線上的動(dòng)

點(diǎn)（不與A,。重合），作線段A3的垂直平分線，分別交。拉，ON于C,D,連接AD,BD,過點(diǎn)A作

8。的垂線，垂足為E,AE交直線0。于點(diǎn)

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)8在。4的延長線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：AF=BD;

⑵當(dāng)點(diǎn)8在射線O河上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用等式表示線段OO,和O9的關(guān)系，并證明.

圖1備用圖

【答案】(1)畫圖見解析，證明見解析(2)OD+OF=yfiOB或0D-OF=?OB

【分析】(1)先逐步根據(jù)提示畫圖，再證明4。=即，設(shè)NAT)C=NBr)C=x,證明

ZAFD=ZADF=45°-x,可得AF=AD,從而可得答案；

(2)如圖，過/作Fff_LAB于H,證明在"=O〃，OF=^2OH，-均ZMC(AAS),可得

AH=CD,FH=AC,OH=AC=BC,證明CD=CO,OD=V2OC?可得CO=AH,從而可得結(jié)論,

同理可得當(dāng)點(diǎn)8在線段上時(shí)的結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖，補(bǔ)全圖形如下：

SCD1AB,AC=BC,^DA^DB,ZACD=ZBCD=90,ZADC=ZBDC=x,

BCD1OB,ZMON=45。,0ZCDO=ZMON=45°,0ZADO=45°-x,ZFDE=450+x,

0FE1DE,0ZFED=9O°,Z.EFD=90°-（45°+x）=45°-x,

SZAFD=ZADF=45°-x,^\AF=AD,1^DA=DB,SAF^BD.

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)B在。4的延長線上時(shí)，過歹作FHLAB于H,

0CD1A5,ZADC=x,ZAHF=900=ZACD,ZCAD=90°-x,

0Z.FOH=ZMON=45°,0Z.OFH=45°=ZFOH,

EIZAFH=ZAFD+NOFH=90°-x,FH=OH,OF=y/2OH，BZDAC=ZAFH,

0AF-AB-0.AFH^tZMC(AAS),SAH=CD,FH=AC,^\OH=AC=BC,

0ZCDO=AMON=45°,0CD=C(9,0D=-Ji0C，回CO=AH,

QOD+OF=V2OC+V2OH=?(OC+BC)=叵OB.

當(dāng)點(diǎn)B在線段Q4上時(shí)，如圖，過F作FHLAB于H,

同理可得：OD-OF=>j2OC-y/2OH=A/2(OC-BC)=y/2OB.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，全

等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練的根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵.

17.(2022?福建泉州,校考模擬預(yù)測)如圖，在.ABC與54。中，ZC=Z￡>=90°,AC與3。相交于點(diǎn)

E,BC=4).(1)求證：CE=DE；(2)連接CO,設(shè)線段AB的中點(diǎn)分別為M,線段CO的中點(diǎn)分別為N,

直線AC與8。相交于點(diǎn)E求證：F,N,E,M四點(diǎn)共線.

【答案】⑴見解析(2)見解析

【分析】⑴證明RC之RtABC4(HL),由全等三角形的性質(zhì)得出ZABC=ZDAB,得出AE=BE,

則可證出結(jié)論；(2)連接吹，EM,FN,由全等三角形的性質(zhì)得出=AC=BD,證出

AF=BF,可得CF=DP,由等腰三角形的性質(zhì)可得口飲為A8的垂直平分線，MF平分ZAFB,NF平分

NCFD,由EM為AB的垂直平分線，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：0ZC=Z￡>=9O°,

BC^AD

在RtADB和Rt3C4中,,0RtAADB^RtABC4(HL),

AB^BA

SZABC=ZDAB,SAE=BE,0AD=BC,^CE=DE；

(2)證明：連接MF,EM,FN,

SZ\ADB^Z\BCA,SZABD=ZBAC,AC=BD,SAF^BF,

又IBM為AB的中點(diǎn)，則AA/=3M■回E7W為A3的垂直平分線，M尸平分NA7方，

BAE=BE,EI￡M為AB的垂直平分線，0￡,M,歹三點(diǎn)共線，

SAF=BF,AC=BD,^\CF=DF,

團(tuán)N為CO的中點(diǎn)，回NF平分NCFD,

回河召平分/4FB,配在MF上，回尸，N,E,M四點(diǎn)共線.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明

RtAADB^RtABGl是解題的關(guān)鍵.

18.（2023?北京順義?統(tǒng)考二模）已知：線段A3及射線A".

求作：等腰ABC,使得點(diǎn)C在射線AAf上.

作法一：如圖1,以點(diǎn)8為圓心，54長為半徑作弧，交射線A"于點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），連接8C.

作法二：如圖2.

①在AB上取一點(diǎn)以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧，交射線AM于點(diǎn)E,連接OE；

②以點(diǎn)8為圓心，AD長為半徑作弧，交線段54于點(diǎn)八

③以點(diǎn)尸為圓心，DE長為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)G；

④作射線BG交射線AM于點(diǎn)C.

作法三：如圖3,①分別以點(diǎn)A,B為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)P,Q

②作直線PQ,交射線AM于點(diǎn)C,連接BC.根據(jù)以上三種作法，填空：

由作法一可知：=AB，0ABC是等腰三角形.

由作法二可知：N=ZBAM,

^CA=CB（）（填推理依據(jù)）.團(tuán)是等腰三角形.

由作法三可知；尸。是線段AB的.

【答案】CB-ABG；等角對等邊；垂直平分線；線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

【分析】由作法一可知CB=AB,由作法二可知：ZABG=ZBAM，由作法三可知；PQ是線段AB的垂

直平分線.根據(jù)作圖結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由作法一可知：CB=AB,回ABC是等腰三角形.由作法二可知：ZABG=ZBAM,

BCA=CB（等邊對等角）回,ABC是等腰三角形.由作法三可知；尸2是線段AB的垂直平分線.

5\CA=CB（線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）

【點(diǎn)睛】本題考查了作線段，作一個(gè)角等于已知角，作垂直平分線，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵.

19.（2023?北京海淀?校考模擬預(yù)測）如圖，ABC是等邊三角形，D,E兩點(diǎn)分別在邊AB,AC上，滿足

BD=AE,班與。交于點(diǎn)R（1）求/BED的度數(shù)；（2）以C為中心，將線段C4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線

段CM,連接ME,點(diǎn)N為MR的中點(diǎn)，連接CN.①依題意補(bǔ)全圖形；②若BF+CF=k.CN,求人的

值.

【答案】（1）乙?7）=60。（2）①見解析；②Z=2

【分析】（1）證明△佛絲ABCD（SAS）,得出NABE=NBCD,根據(jù)

ZBFD=ZCBF+ZBCD=ZABE+ZCBF=NABC=60。求出結(jié)果即可；

(2)①根據(jù)題意畫出圖形即可；②延長CN至點(diǎn)Q,使QN=CN,連接。尸，證明

FNQ空MNC(S網(wǎng),得出尸Q=CM,2QFN=2NMC,證明尸?！–M,得出NPFQ=NPCM,延長

CF至點(diǎn)P使得FP=PB,連接PQ,PB,證明名△%(7,得出NQW=/BPC=60。，PQ=PC,

說明△PQC為等邊三角形，得出QC=PC=P/+C/=BF+CF,根據(jù)CQ=2CN,得出W+CF=2CV,

即可求出結(jié)果.

【詳解】([)解：0ABC是等邊三角形，^AB=AC=BC,ZA=ZABC=ZACB=6O°,

回即=4￡，0AABE^ABCD(SAS),旦NABE=/BCD,

0ZBFD=ZCBF+ZBCD=ZABE+ZCBF=ZABC=60°.

(2)解：①如圖所不：

②延長CN至點(diǎn)0,使QN=CN,連接。尸，如圖所示：

回N是MF的中點(diǎn)，@NF=NM,

'NF=NM

在“FNQ和MNC中"NFNQ=ZCNM,0一FNQ^肱VC（SAS）,

NQ=NC

^\FQ=CM,ZQFN=ZNMC,^FQ//CM,aNPFQ=NPCM,

團(tuán)—ABC為等邊三角形，0AB=BC=AC,

13c4繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到CM,SCM=AC,ZACM=60°,^AC=CM^FQ,

延長C尸至點(diǎn)P使得FP=PB,連接尸Q,PB,由（1）可知，NBFD=60。，

團(tuán)尸尸為等邊三角形，回NBP尸=60°,ElZPBC+ZPCB=120o,

回ZACM+ZACB=120°=ZPCM+ZPCB,0Z.PBC=Z.FCM,0NPFQ=ZPBC,

PF=PB

在△PPQ和-PBC中<NPFQ=NPBC,ffl△PFQ"APBC,

FQ=BC

0Z2PF=ZBPC=60°,PQ=PC,回△PQC為等邊三角形，

0QC=PC=PF+CF=BF+CF,ElCQ=2CN,0BF+CF=2CN,回％=2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造全等三角形.

20.（2023,河南安陽,統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，一ABC是等邊三角形，AB=4.

⑴觀察猜想：如圖L點(diǎn)。是3C邊上一點(diǎn)，ZADE=60°,DE交，ABC的外角平分線于點(diǎn)E,求線段

AB,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)。作AC的平行線交A3于點(diǎn)尸，容易發(fā)現(xiàn)線段A2,

CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

⑵類比探究：如圖2,若點(diǎn)。在BC的延長線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，

請給予證明；若不成立，寫出此時(shí)AB,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶解決問題：如圖3,過點(diǎn)A作AD13C于點(diǎn)。，點(diǎn)P是直線AD上一點(diǎn)，以CP為邊，在CP的下方作等

邊-CPQ,連接DQ,直接寫出。。的最小值.

【答案】（1）AB=CD+CE（2）不成立，結(jié)論AB=CE-CD,理由見詳解⑶1

【分析】（1）可證是等邊三角形，可得AF=DC,從而可證△AD廣絲△DCE,可得

DF=CE,由AB=AF+5F即可得證；（2）過點(diǎn)。作。尸〃AC交CE于點(diǎn)尸，ACD^EFD,

可得EF=AC,由=CE-CF即可得證；

（3）連接8。，可證△ACP名△BCQ,可得NC4P=NC8Q=30。，當(dāng)。3。時(shí)，。。最小，即可求

解.

【詳解】（1）解：AB=CD+CE；

ABC是等邊三角形，；.NBAC=/B=ZACB=60。,AB=BC,

DF//AC,ZAFD=120°,:.ZBDF=ZACB=60°,

ZADF+ZDAF=180°-120°=60°,/.瓦乎是等邊三角形,

:.BD=BF=DF,：.AB—BF=BC—BD,..AF=DC,

CE是，ABC外角平分線，/.ZACE=60°,

ZDCE=ZACB+ZACE=120°,二ZAFD=NDCE,

ZAO石=60。，/.ZADF+ZEDC=180°-ZBDE-ZADE=60°,/.ZDAF=ZEDC,

/AFD=/DCE

在尸和△DCE中＜A/=OC,:NADF^/DCE(ASA),

ZDAF=ZEDC

..DF=CE,:.AB=AF+BF=CD+CE.故答案：AB=CD+CE.

(2)解：不成立，結(jié)論：AB=CE-CD,

CE是一ABC外角的平分線，ZACE=ZDCE=60°,AZCFD=180°-60°-60°=60°,

?.N石尸0=180?！?0。=120。，,\ZACD=ZEFD,.._CD/是等邊三角形，:.CD=CF=DF,

ZCDF=ZADE=60°,ZADC+AADF=ZEDF+ZADF,?.ZADC=/EDF,

ZACD=ZEFD

在/ACD和△EFD中，＜CD=FD,「..ACD絲.跖D(ASA)".斯=AC,,\EF=AB

ZADC=ZEDF

EF=CE—CF,AAB=CE-CD.

(3)解：連接B。，LC是等邊三角形，AD1BC,:.BD=^AB=2,ZCAD=^ZCAB=30°,

一ABC,。尸。是等邊三角形，「.4。3=/尸。。=60。，AC=BC,CP=CQ,

ZACP+ZDCP=ZBQC+ZDCP,ZACP=ZBCQ,

AC=BC

在/XAC尸和△5CQ中/ACP=/3CQ,「.△AC尸絲△3CQ(SAS),..ZCAP=ZCBQ=30°,

CP=CQ

當(dāng)。時(shí)，。。最小，此時(shí)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線

段最短等，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

限時(shí)檢測2：最新各地中考真題（60分鐘）

1.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC中，AB=AC,ZA=40°,則—ACD的度數(shù)為（）

A.70°B.100°C.110°D.140°

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形的等邊對等角和三角形的內(nèi)角和定理，即可解答.

1QAO_/X

【詳解】解：AB=AC,ZA=40°,:.ZB=ZACD=—..........=70°,

2

:.ZACD=ZA+ZB=110°,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的等邊對等角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知上述概念是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰中，ZA=40°,分別以點(diǎn)4點(diǎn)8為圓心，大于

為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,連接MN,直線MN與AC交于點(diǎn)D,連接3。，則

2

的度數(shù)是（）

A

BC

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】B

【分析】先根據(jù)等邊對等角求出/4BC=70。，由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，則

AD=BD,可得445。=NA=40。，由此即可得到/D3C=NABC—/ABD=30。.

iono_/A

【詳解】解：團(tuán)在等腰一ABC中，ZA=40°,AB=AC,BZABC=ZACB=-------------=70°,

2

由作圖方法可知，MN是線段的垂直平分線，S\AD=BD,

ElZABD=ZA=40°,0Z.DBC=ZABC-ZABD=30°,故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，三角形內(nèi)角和定理等

等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,AC=40，

點(diǎn)尸為AC邊上的中點(diǎn)，PM交AB的延長線于點(diǎn)PN交BC的延長線于點(diǎn)N,^.PMLPN.若

8M=1，貝1LPMN的面積為（）

A.13B.J13C.8D.—

2

【答案】D

【分析】依據(jù)題意，連接5P,然后先證明,BMPg-GVP,從而CN=BP=1,又由等腰Rt/XABC可得

BC=4,從而在RtAMBN中可以求得,又MP=NP,從而可得MN的值，進(jìn)而可以得解.

【詳解】解：如圖，連接5P.

在RtZiABC中，ZABC=90°,AB=BC,點(diǎn)尸為AC邊上的中點(diǎn),

:.BP±AC,ZCBP=ZABP=-ZABC=45°,ZBC4=45°,BP=CP='AC=2枝.

22

ZMBP=ZNCP=180°—45°=135°.

BPLAC,PM±PN,:.ZBPM+ZMPC=90°,NCPN+ZMPC=90°.:.ZBPM=Z.CPN.

又BP=CP,ZMBP=ZNCP,[BMP空CVP（ASA）.:.BM=CN=1,MP=NP.

在RtZXB尸C中，BC=ylBP2+CP2=4-，在中,MN=\IBM2+BN2=712+52=>/26.

又在RtAVffW中，MP=NP,:.MP2+NP2=MN2.MP=NP=y/13.

113

■■-SPMN=~MP-NP=—.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全