高考模擬考試卷（7）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合p={幻尤2<4},2={%|-1<%<3},則尸］。=（）

A.{x|2<x<3}B.{x|—2<x<3}C.{x\—l<x<2}D.{x|—l<x<3}

2.（5分）已知i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)+是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.1或-1B.1C.-1D.0

3.（5分）過點(diǎn)（1,0）且傾斜角為30。的直線被圓（x-2y+丁=1所截得的弦長為（）

A.—B.1C.A/3D.273

2

4.（5分）《史記》卷六十五《孫子吳起列傳第五》中有這樣一道題：齊王與田忌賽馬，田

忌的上等馬劣于齊王的上等馬，優(yōu)于齊王的中等馬，田忌的中等馬劣于齊王的中等馬，優(yōu)于

齊王的下等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)兩人進(jìn)行賽馬競賽，競賽規(guī)則為：每匹

馬只能用一次，每場競賽雙方各出一匹馬，共競賽三場.每場競賽中勝者得1分，否則得0

分.若每場競賽之前彼此都不知道對方所用之馬，則競賽結(jié)束時，田忌得2分的概率（

）

A.-B.-C.-D.-

3362

5.（5分）若將函數(shù)f（x）=sin（0尤+?）（。>0）的圖象向左平移9（0<9<今個單位得到函數(shù)

g（x）的圖象，則“。=：”是“g（x）為偶函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（5分）已知2020"=2021,2021"=2020,c=ln2,貝U（）

ccab

A.logac>log^cB.logca>logcbC.a<bD.c<c

22

7.（5分）過雙曲線-當(dāng)=l（a>03>0）的左焦點(diǎn)/作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)A,雙

ab

曲線C上存在點(diǎn)5（異于點(diǎn)A）,使得=若=則雙曲線的離心率為（

)

A.1+A/2B.1+6C.2+V2D.2+73

8.（5分）關(guān)于x的方程廠-以坐=1在（0,y）上只有一個實(shí)根，則實(shí)數(shù)左=（）

X

A.e—1B.1C.0D.e

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中。有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯的得0分。

9.（5分）2024年是全面實(shí)現(xiàn)小康社會目標(biāo)的一年，也是全面打贏脫貧攻堅戰(zhàn)的一年，某探

討性學(xué)習(xí)小組調(diào)查了某脫貧縣的甲、乙兩個家庭，對他們過去6年（2014年到2024年）的

家庭收入狀況分別進(jìn)行統(tǒng)計，得到這兩個家庭的年人均純收入（單位：百元/人）莖葉圖.對

甲、乙兩個家庭的年人均純收入（以下分別簡稱“甲”“乙”）狀況的推斷，正確的是（

)

甲乙

877634689

2040I

A.過去的6年，“甲”的極差小于“乙”的極差

B.過去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值

C.過去的6年，“甲”的中位數(shù)小于“乙”的中位數(shù)

D.過去的6年，“甲”的平均增長率小于“乙”的平均增長率

10.（5分）已知三棱錐P-ABC的每個頂點(diǎn)都在球。的球面上，AB=BC=2,

PA=PC=4,AB±BC,過3作平面ABC的垂線2。，S.BQ=AB,尸。=3,P與。都

在平面ABC的同側(cè)，貝1（）

9

A.三棱錐P—ABC的體積為一B.PA±AB

3

C.PC//BQD.球O的表面積為9萬

11.（5分）在AABC中，角A、B、C所對的邊的長分別為。、b、c.下列命題中正確的

是（）

A.若tanA+tanB+tan。,。，則AABC肯定是銳角三角形

B.若acos8=OcosA+c,則AABC肯定是直角三角形

C.若sinA+sinB=sinC（cosA+cos5）,則AABC肯定是鈍角三角形

D.若cos20=‘，則AABC肯定是銳角三角形

22c

12.（5分）已知實(shí)數(shù)無，y,z滿意x+y+z=l,且無z+y'+z=l,則下列結(jié)論正確的是（

）

A.xy+yz+xz=OB.z的最大值為/

C.z的最小值為D.乎的最小值為——

327

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（五一義）6的綻開式中常數(shù)項是.

14.（5分）函數(shù)/（x）=cos2x+sinxcosx,則/（無）的最小正周期為,對稱軸方程為.

15.（5分）某次燈謎大會共設(shè)置6個不同的謎題，分別藏在如圖所示的6只燈籠里，每只

燈籠里僅放一個謎題.并規(guī)定一名參加者每次只能取其中一串最下面的一只燈籠并解答里面

的謎題，直到答完全部6個謎題，則一名參加者一共有一種不同的答題依次.

16.（5分）已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長3C=2AB=2,CD=DA=布,貝|4C=,

四邊形ABCD的面積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）已知角夕，￡（0<%￡<萬）的頂點(diǎn)與原點(diǎn)。重合，始邊與尤軸的非負(fù)半軸重合,

點(diǎn)A（g,當(dāng)，B（A/2-^6,0+廂分別在角c,力的終邊上.

（I）設(shè)函數(shù)/（x）=2sin（2x-a）,xe（―,-）,求/（x）的最大值；

82

（II）若點(diǎn)。在角力的終邊上，且線段AC的長度為乎，求AAOC的面積.

18.（12分）已知數(shù)列｛%｝滿意q+2的+3%+…+也“=+2.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

13

（2）設(shè)數(shù)列｛------------｝的前〃項和為，，證明：Tn<-.

log2anlog2an+24

19.(12分)己知四棱錐尸-ABCD中，ABUCD,AB=2CD,AC=PC=1,PA=-j2,ABI.

平面P4C.

(1)求證：平面PCD_L平面ABCD；

(2)若直線AC與側(cè)面功所成角的正弦值為且，求4?的值.

3

20.(12分)2024年新型冠狀病毒肺炎席卷全球，為減小病毒感染風(fēng)險，人類主動實(shí)行措施,

其中“勤洗手”是有效措施之一，而正確的洗手方式對洗手步驟和時長有詳細(xì)要求.某市為

了了解在校中學(xué)生每次洗手的平均時長(單位：s)，教化主管部門對全市返校中學(xué)生進(jìn)行

隨機(jī)問卷調(diào)查，并把得到的數(shù)據(jù)繪制成下面的頻數(shù)分布表.

洗手時長分組/S[0,10)[10,20)[20,30)L30,40)[40,50)

頻數(shù)31976001964

(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為中學(xué)生的洗手時長聽從正態(tài)分布N(25,52).若該市中

學(xué)生總共約有50000人，試估計有多少中學(xué)生每次洗手的平均時長在35s以上.

附：若X聽從正態(tài)分布，尸(〃一cr<X<〃+b)=0.6862,

尸(〃一2b<X<〃+2b)a0.9544,尸(〃-3。<X<〃+3cr)。0.9973.

(2)若認(rèn)為洗手時長至少20s才能“達(dá)標(biāo)”.現(xiàn)從該市中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，將上述調(diào)查

所得的頻率視為概率，且中學(xué)生之間的洗手時長相互獨(dú)立，記“達(dá)標(biāo)”的中學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)

變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

21.(12分)已知橢圓弓：萬+9=1和拋物線C2：x2=2py(p>0),點(diǎn)。為第一象限中拋物

線C?上的動點(diǎn)，過。作拋物線C?的切線/分別交y軸、X軸于點(diǎn)A、B,F為拋物線C2的

焦點(diǎn).

(I)求證：FB平分ZAFQ；

(II)若直線/與橢圓G相切于點(diǎn)2，求AAP尸面積的最小值及此時夕的值.

22.(12分)已知函數(shù)/(%)=/-必一1,,g(x)=kx1.

(1)當(dāng)〃>0時，求/(%)的值域；

(2)令a=l,當(dāng)xw(0,+oo)時，/(x)…冢")1恒成立，求上的取值范圍.

ln(x+1)

高考模擬考試卷(7)答案

1.解：P-{x\-2<x<2]9,

Pf'Q=[x]-l<x<2].

故選：C.

2.解：復(fù)數(shù)(〃2一1)+(〃-1?(“￡尺)是純虛數(shù)，

[a2—1=0A77/R

*e?\，解傳a=-1.

-1w0

故選：C.

3.解:依據(jù)題意，設(shè)過點(diǎn)(1,0)且傾斜角為30。的直線為/,

反

其方程為>=13!130。(》-1),即y=《-(尤-1)，變形可得尤-"y-l=0;

圓(x—2)2+3=1的圓心為(2,0),半徑r=l,

設(shè)直線/與圓交于點(diǎn)AB,

圓心到直線的距離4=生凹=!，

V1+32

則AB=2x'l一g=B

故選：C.

4.解：每匹馬只能用一次，每場競賽雙方各出一匹馬，共競賽三場.每場競賽中勝者得1

分，否則得。分.

設(shè)田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為A,B,C,

齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為a,b,c,

全部的基本領(lǐng)件有6種，分別為：

(Aa,Bb,Cc),(Aa,Be，Cb),(Ab,Ba,Cb),(AZ?,Be，Cb),(Ac,Bb，cd),

(Ac,Ba,Cb),

競賽結(jié)束時，田忌得2分的基本領(lǐng)件為：(Ab,Be,Cd),只有1種，

競賽結(jié)束時，田忌得2分的概率尸=,.

6

故選：C.

5.解：由題意可得，g(x)=sin[69(x+(??)+—]=sin(6t?x+cocp+—),

’44

因為g(x)=sin(s+co(p+?)為偶函數(shù),

所以CD(p+?=左乃+?,

因為0＜°〈工，所以0＜臣+三(生,

2co4G2

所以刃＞2%+,＞0,k^Z,

2

所以當(dāng)g(x)為偶函數(shù)時，不能得到。=g

1□-+/、-z11幾、

當(dāng)G=2時，^(x)=sin(-x+-^?+-),

因為。＜。＜會所以會3+?4,

所以g(尤)=sing尤+'+令不行能為偶函數(shù),

所以“。=："是“g(x)為偶函數(shù)”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

6.(解：a=log20202021>log20202020=1,

b=log20212020,0<6<1,

c=ln2,0<c<l,

log.c<0,\oghc>0,logflc<logz?c,BPA錯誤；

ccab

a>b,0<c<l,:.logca<logcb,a>b,c<c,

即BC都錯誤，。正確.

故選：D.

7.解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)廠(-c,0),

將％=-c代入雙曲線方程可得>=±乙，不妨設(shè)A(—0,幺)，

aa

依據(jù)ZABF=-,ZBAF,可知三角形樹為等腰直角三角形,

24

A2萬2G--C)(―)

所以點(diǎn)3的坐標(biāo)為(-c+!,幺)，代入雙曲線方程可得：4---------*=1,

2a2aab

化簡可得：c2+-^----=a2,即々一￡一,=一1,

4aa44aa4

可得:一￡=一工，所以Le2-e+1=0,解得e=2+應(yīng)或2-應(yīng)(舍去)，

4a2a242

故選：C.

8.解：關(guān)于x的方程產(chǎn)-處吆=1在(0,+oo)上只有一個實(shí)根，

X

即x(e"-1)-/心=%有且僅有一個正根,

令/(%)=尤C-1)-Inx,x>0

貝I]f'(x)=(x+l)ex---l=(x+l)(ex--),

XX

令g(x)=e"——，無>0,

x

則且'(%)="+[>0,

x

t己e與一」一二0,即g(x0)=0，

%

(0,%)上g(%)<0,(x0,+00)±g(x)>0,

又因為x>0，

故(O,/)上((x)<0,(九°,+00)_bf\x)>0,

當(dāng)Xf+8時，f(x)—>+00,%f0時，f(x)—>+00,

故當(dāng)X=X。時，f(%0)=左且*=—J

%

(

/.k=九00與-1)-lnxQ=1-X0-Inx。=1，

故選：B.

9.解：對于A,甲的極差為42-36=6,乙的極差為41-34=7,

所以“甲”的極差小于“乙”的極差，A正確；

1730

對于5,甲的平均數(shù)是—x(36+37+37+38+40+42)=—，

66

1928

乙的平均數(shù)為—x(34+36+38+39+40+41)=—,

66

所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，3錯誤；

對于C,甲的中位數(shù)是gx(37+38)=37.5,

乙的中位數(shù)是gx(38+39)=38.5,

所以，“甲”的中位數(shù)小于“乙”的中位數(shù)，C正確；

對于。，過去6年甲的平均增長率為：在一1；

V36

乙的平均增長率為：攔-1,且經(jīng)〈生，

V343634

所以“甲”的平均增長率小于“乙”的平均增長率，。正確.

故選：ACD.

10.解：如圖，

AB±BC,

117

三棱錐P—AB。的體積為—x—x2x2xl=—,故A正確;

323

PB=JPD°+BD?=y]PD2+AB2+AD2=722+22+12=3，

^P^+AB2=PB2,可得故3正確；

BQ_L平面ABC,PD_L平面ABC,則BQ//PD,

假設(shè)PC//BQ,則尸C//PZ),與PD與PC相交于尸沖突，故C錯誤；

三棱錐P-ABC的外接球即長方體DG的外接球，設(shè)其半徑為R,

則2R=+2?+F=3,即Rug,可得球O的表面積為4萬xgr=9萬，故。正確.

故選：ABD.

11.解：因為tanA+tan6+tanC=tanAtan5tanC>0,

又AABC中不行能有兩個鈍角，

故tanA>0,tanB>0,tanC>0,

所以A,B,。都為銳角，A正確；

因為acosB=Z?cosA+c,

由正弦定理得sinAcosB=sinBcosA+sinC,

即sin(A—B)=sinC,

所以A—5=C,即A=5+C,

因為A+5+C=2A=?,

所以A=工，

2

所以A4BC肯定是直角三角形，5正確；

因為sinA+sin5=sinC(cosA+cosB)，

所以sin(B+C)+sinB=sinC(cosA+cosB),

整理得(sinB+sinA)cosC=0,

因為sin5+sinC>0,

所以cosC=0,即。=七，A4BC肯定是直角三角形，。錯誤;

2

中石Ba+c

079cos2—=------

22c

1+cosBa+c1a

所以---=—I--

22c22c

sinA

即cosB=—

sinC

所以sinA=sinCeosB=sin(B+C)=sinBcosC+sinCeosB,

所以sin5cosc=0,

因為sin5>0,

故8sC=0,即。為直角，則AABC肯定是直角三角形，。錯誤.

故選：AB.

12.解：因為x+y+z=\,且x2+y2+z2=1,所以

孫+yz+xz=；[(兀+y+z)2—(x2+y2+z2)]=0,故選項A正確；

因為(1-z)2=(x+y)2,,2(x2+y2)=2(i—2),解得覿1,所以Z的最小值為-;，最大值

為1,故選項5錯誤，選項C正確；

令沖z=c,貝Ux,y,z是方程/一〃一。=0的三個根，令/(力二尸一/一。，貝[j/")=3/一2],

令/⑺=0,解得》=0或/=

了(。)-。44

要使得了⑺有3個零點(diǎn)，則需<八2)0，解得-合融=邙0,所以平的最小值為

故選項。正確.

故選：ACD.

13.解：綻開式的通項為&i=(-2)?x3T

令3-丁=0得r=3

所以綻開式的常數(shù)項為(-2)3。；=-160

故答案為：—160.

42.1+cos2x1.八6.小乃、1

14.用牛：因為，(x)=cosx+sinxcosx=---------F—sm2x=——sin(2x+—)+—,

22242

所以函數(shù)的最小正周期7=至=%，

2

令2%+生=左左+生(女￡Z),

42

解得：x=—k7i+—(k^Z),

28

所以函數(shù)的對稱軸方程為：X=-k7l+-,(左wZ).

28

故答案為：71,X=—k7T+—,(kWZ).

28

15.解：由題意可知，只須要同一列依次為從下到上即可，一共6只燈籠,

第一步，從6個選3個，其次步，從3個選2個，最終回答剩下的哪一個,

故有C/；C；=60種,

故答案為：60.

16.解：由于3+0=180。，貝Ucos3=-cos

由題設(shè)及余弦定理得,

在AABC中，AC2=AB2+BC--2AB-BC-cosB=5-4cosB,…①

在AACD中，AC2=AD2+DC2-2AZ>-DCcosD=14+14cosB,…②

由①②得cosB=-,，故3=120。，0=60。,

2

則AC="

由于3+0=180°,sinB=sinD=,

2

由以上的結(jié)果及題設(shè)，可知四邊形ABCD的面積

-CD-sinD=1(lx2+V7x^/7)x^=-^,

S=S/MBC+SAACD=-ABBCsinB+-AD

22

9石

故答案為：幣，

~1~

17.解9煙為a過點(diǎn)哈卓，由隨意角的三角函數(shù)的定義可知c°sa=”na邛

因為Ovav?,所以a=(,則/(x)=2sin(2x—q),

因為石仔，學(xué)，所以"一梟喑,爭，

所以/(x)6(A2],所以/(x)的最大值為2；

(II)因為"過點(diǎn)8(點(diǎn)-新，A/2+A/6),由隨意角的三角函數(shù)的定義可知

sin￡=^f,cos/=呈諉

44

所以cos(/?-a)=cosacos/?+sinasinf3=—^~,即cosZAOC=—^~,

由余弦定理可得，AC2=(?C2+(9A2-2OC?Q4?COSZAOC,

所以|=OC2+1—0OC,解得OC=3夜;#,

所以S—白中><￥=露，

所以AAOC的面積為注g.

12

18(1)解：由％+2a?+3〃3+—+nc1n=("—l)2〃+i+2可得

q+2a2+3/+—+(幾—=("~2)2"+2(幾.2),

n+1nW

兩式相減得：nan=(n—l)2—(n—2)2=nx2,即%=2〃，n..2,

又當(dāng)〃=1時，有q=2也適合上式，

(2)證明：由(1)可得：------1---------=—1—=-(-一——),

^°82aJ°82an+2〃(〃+2)2n〃+2

.,7；=l(l-l+l-l+l-l+...+J-一-L+1-^)=1(1+1_J_一_^)<1(1+1)=3

"232435,7-1n+1nn+222n+1n+2224

19.(1)證明：因為A6_L平面RIC,AB//CD,所以CD_L平面B4C,

所以CD_LAC,CD±PC,

因為AC=PC=1,PA=點(diǎn)，所以PA?=AC?+PC2,

所以PC_LAC,

因為。1AC=C,AC、CDu平面ABCD,

所以PC_L平面ABCD,

又因為PCu平面尸8,所以平面尸CD_L平面ABCD；

(2)解：由(1)知CD、C4、CP兩兩垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=2r,t>0,則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

D(t,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),

PD=(t,0,-1),PA=(0,1,-1),CA=(0,1,0),

設(shè)平面R4D的法向量為"=(x,y,z),

PD-n=tx-z=0人

<,令z=%,〃=(1,t,t),

PA-n=y—z=0

|AC，?Il

直線AC與側(cè)面PAD所成角的正弦值為'=-r—=蟲,

2

\AC\-\n\71+2/3

解之得f=l,所以AB的值為2.

20.解：(1)由題意可得，4=25,0=5,所以4+b=35,

于是每次洗手的平均時長在35s以上的概率為

1—P(ju—2cr<X<〃+2cr)1—0.9544

尸(X..〃+2。)=--------------------?——-——=0.0228,

所以0.0228x50000=1140,

故約有1140名中學(xué)生每次洗手的平均時長在35s以上；

(2)由表格可知“達(dá)標(biāo)”的中學(xué)生的頻率為0.8,將頻率視為概率,

則隨意抽取一名中學(xué)生洗手時長“達(dá)標(biāo)”的概率為3，且相互獨(dú)立,

5

4

所以隨機(jī)變量X~3(3,1),

41

所以尸(X=r)=&(《)「(73-「，其中r的可能取值為0,1,2,3,

故X的分布列為：

X0123

P1124864

125125125125

所以X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=np==.

21.解：（I）證明：設(shè)4（0,弘），8（/，0），尸（七，%）,。（無Q,y°），l：y=kx+b,

/與拋物線C?聯(lián)立得：x1-2pkx-2pb=o,

由題意知△=（）,即p%2+26=0.

而Q的橫坐標(biāo)xQ=pk,B的橫坐標(biāo)“=與，

所以8為AQ的中點(diǎn)，

由Q到焦點(diǎn)的距離等于Q到準(zhǔn)線的距離可知，|FQ\=\yQ|+勺|以|+勺|網(wǎng),

所以FB平分/AFQ.

（II）直線/與橢圓G聯(lián)立得：（1+2/宜+4血+2戶-2=0,

由條件知^=0,BP2k2+l=b2,