第八章若當標準形

一、本章知識脈絡框圖

二、本章重點及難點

矩陣的相似問題一直是高等代數(shù)中的重點研究對象，除了前面所談到的化矩陣為對角形的方法

外我們還可以從其他渠道探討這個問題.比如，周知~存在可逆矩陣使得.但是尋找可逆矩陣

往往是件比較困難的工作，因比我們可論證等價性成立：（或論證它們有相同的標準形），那么就

相稱于~;此外，對不能對角化的矩陣我們也可以研究將其化成上（下）三角形或準對角形一

若當（Jordan）標準形.

作為理論準備，矩陣的標準形理論是本章的重點之一.通過矩陣的初等變換求其標準形是最基本

的規(guī)定；了解矩陣的不變因子、行列式因子以及初等因子這三個重要概念并掌握它們的性質(zhì)、互

相之間的關系和求法等技術方面的工作，是本章的關鍵.討論矩陣的相似標準形是本章的重要目的.

?本章的難點有如下幾個方面：

?掌握4-矩陣的不變因子、行列式因子與初等因子這三個重要概念以及它們的性質(zhì)、關系

和求法；

?理解并掌握兩個數(shù)字矩陣與相似的充足必要條件，以及數(shù)字矩陣與對角矩陣相似的

充足必要條件；

?充足發(fā)揮最小多項式的性質(zhì)在討論矩陣的相似標準形中的作用：

?掌握矩陣的Jordan標準形的求法、性質(zhì)及其應用.

三、本章的基本知識要點

(一)X-矩陣的概念和性質(zhì)

1.設口是一個數(shù)域，□是一個文字，假如□矩陣□的每個元素都是口的多項式，即

□=□,那么，口就是一個關于口的多項式矩陣，簡稱為口矩陣.假如口，則稱口為口階□矩陣.

2.假如在矩陣中，有一個階子式不為零，一切階子式(假如存在)全為零，則稱的

秩為，記為.

注意：

①=0<=>=0；

②若□是一個數(shù)字□階矩陣，則必有□.

3.設是階矩陣，若存在階矩陣使得

A(2)B(2)=B(2)A(2)=E

則稱是可逆的，并稱是的逆矩陣，記為.

4.注意：

(1)一個□階□矩陣□是可逆的充要條件為行列式：□.

(2)若口是可逆時，則有口，其中口是□隨著矩陣.

(3)在數(shù)字矩陣中，口階矩陣口是可逆的充足必要條件是行列式口(即口是滿秩矩陣)，但對于口

矩陣來說，當矩陣的行列式□時，矩陣□未必是可逆的，即滿秩的口矩陣未必是可逆的.

(二)初等4-矩陣

1.由階單位矩陣通過一次矩陣的初等變換得到的階矩陣稱為初等矩陣.其有三種不同

的類型，分別是、與，并且都是可逆矩陣，且逆矩陣仍是同類的初等矩陣.

2.對的矩陣進行一次初等行變換，相稱于在的左邊乘上相應的階初等矩陣；而對進行

一次初等列變換，就相稱于在的右邊乘上相應的階初等矩陣.

3.矩陣可逆的充足必要條件是可表成一系列初等矩陣的乘積.

4.注意：

(1)由于在□矩陣的第二類型的初等變換中，不允許用一個非常數(shù)的多項式□去乘或除矩陣的

某一行(列)，這導致了□矩陣的初等變換與數(shù)字矩陣的初等變換在性質(zhì)上有些區(qū)別，這請讀者充

足注意.

(2)等價的幾一矩陣具有相同的秩、行列式因子、不變因子和初等因子.

(三)％-矩陣的標準形

1.□矩陣不變因子

設的矩陣的秩為，那么可通過一系列的初等變換化成對角矩陣

“O)、

,⑸o二點火①。),…"，。),。,…,。)，(*)

<0，

即存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使

其中是首一多項式，且

4.不變因子、行列式因子與初等因子之間的關系

矩陣的不變因子、行列式因子與初等因子之間存在有密切關系，它們之間可以互相導出.

(1)假如已知不變因子，直接使用定義可得到初等因子，運用上面的關系式(I)可導出行

列式因子.

(2)假如已知行列式因子，同樣可以運用關系式(I)導出不變因子，從而得出初等因子.

(3)假如已知矩陣的秩及其初等因子，這時可以將所有初等因子按不可約因子的方索降事

排列，同一個不可約因子的方幕排成一行.假如不可約因子的方暴的個數(shù)局限性個，則在后面用1

補足，這時全體不可約因子的方暴排成下列的形式：

—),斤2(為,…,即(㈤,

療")，療2(2),…，管(㈤，h>ti2>->tir>0

............”1,2,…,s)

X),號2(為,…,夕(㈤，

那么，矩陣的不變因子是

4（4=甲⑷呼"）…呼"）

依此就可以得到矩陣的行列式因T-2⑷，02(團，，9(4)-

下圖列出了矩陣及其標準形，不變因子，行列式因子以及秩與初等因子之間的關系.在計算過

程中，讀者可以根據(jù)具體情況采用適當?shù)沫h(huán)節(jié)進行.

(四)4-矩陣的等價、數(shù)字方陣相似和對角化的條件

1.設與都是的矩陣，那么有下列等價條件:

(1)A(Q與B(2)等價。AW與B(2)有相同的標準形;

(2)A(/l)與8(4)等價oAQ)與BQ)有相同的不變因子；

(3)4(4)與3(4)等價o4，)與8(，)有相同的行列式因子；

(4)AW與&4)等價oAW與BW有相同的秩利初等因子；

(5)AW與BW等價o存在一系列初等；I一矩陣斗々，…和…,Q使得

利…RAQ)QR?2=8(2)；

(6)A(A)與B(A)等價＜=＞存在可逆2-矩陣P(4)和QQ)使得P(A)A(A)QW=B(2).

注意：兩個階數(shù)同樣的□矩陣僅是初等因子相同時，不能保證它們等價.例如矩陣□如□的初

等因子相同，但它們不等價.

2.設都是階數(shù)字矩陣，那么有下列關于矩陣相似的等價條件：

(1)與/IE-B等價；

(2)A~80與/IE-B有相同的標準形：

(3)A~8u＞與之七一8有相同的不變因子；

(4)A~〃ozl￡—A與2E—B有相同的行列式因子；

(5)A與2E—8有相同的初等因子(或者A與8有相同的初等因子)；

(6)A~8。A與B有相同的若當標準形.

3.設是階數(shù)字復矩陣.那么有下列等價條件：

(1)A與對角矩陣相似的充足必要條件是AE-A的不變因子沒有重根；

(2)A與對角矩陣相似的充足必要條件是A的初等因子都是一次的；

(3)A與對角矩陣相似的充足必要條件是4的最小多項式?jīng)]有重根；

(4)A與對角矩陣相似的充足必要條件是A每個特性根的代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù).

(五)數(shù)字矩陣的若當標準形與有理標準形

從前面所談論的化矩隆為對角形矩隆可知.并不是所有的階數(shù)字矩陣都能相似對角化,雖然如

此，但對于實數(shù)域上的階對稱矩陣，即實對稱矩陣是一定與一個實對角矩陣相似的于是，我

們自然會提出這樣一個有待解決的重要問題：當一個矩陣不與對角矩陣相似時.能否退而求另一方

面，使相似于一個比對角矩陣稍為復雜.但仍能給計算和研究帶來便利的某種標準形呢？這就

是我們下面要介紹的矩陣的若當標準形與有理標準形.

1.矩陣的若當標準形

(1)設是一個復數(shù)，形式為

%0000、

14000

????

00140

<0001

的矩陣稱為若當(Jordan)塊.而由若干個若當塊組成的準對角矩陣(分塊對角矩陣)

勺儀/)、

,Uz)

J=

稱為若當形矩陣，其中參數(shù)可以是相等，也可以是不相等.

(2)由于若當塊的特性矩陣兄七-1(4),力的各階行列式因子是

因此，它的不變因子是

dx(2)=(2)=??-=dt_i(2)=1,4(4)=(，-4y.

由此即得，的初等因子是，也就是若當塊的初等因子.由于若當塊完全被它的級數(shù)與主

對角線上的元素所刻劃，而這兩個數(shù)都反映在它的初等因子中.因此，若當塊是由它的初等因子

唯一決定的.

(3)類似地，我們可以求得若當形矩陣

.，(4出)

j=

的初等因子是

也就是說，每個若當形矩陣的所有初等因子是由它的所有若當塊的初等因子構成的.而每個若

當塊是由其初等因子來決定的，由此可見，若當形矩陣除去其中的若當塊排列的順序外，是被它的

初等因子唯一決定的.

（4）若當形矩陣的重要結論是：復數(shù)域上任一個階矩陣都相似于一個若當形矩陣

這個若當形矩陣稱為A的若當標準形.

?（5）設是一個階矩陣，是的若當標準形，那么

?存在可逆矩陣，使得；

?4與J有相同的秩與行列式；

?A與/有相同的特性多項式與最小多項式；

?特性矩陣AE-A與/1萬一/有相同的行列式因子；

?義石一人與丸石一/（或者A與J）有相同的不變因子與初等因子.

（6）對于復數(shù)域上的維線性空間的任一個線性變換，在中必存在有一組基，使得在

此基下的矩陣是一個若當形的.

（7）每個階的復數(shù)矩陣都與一個下（或上）三角形矩陣相似，其主對角線上的元素剛好是

矩陣的所有特性值.即存在可逆矩陣，使

（下三角形矩陣），

其中是矩陣的所有特性值.假如是一個多項式，則的所有特性值是，即

’g（4）o、

"（A）T=

、*8（4）

2.矩陣的有理標準形

在上面我們討論了好數(shù)域上任何一個階矩陣可相似于一個若當形矩陣，卜.面我們將在任意

一個數(shù)域上來討論類似的問題，并且證明了上任意一個階矩陣必相似于一個有理標準形矩陣.

（1）對于數(shù)域尸上的一個多項式

稱矩陣

’000°-4

1000—%

01()()一限

A二

0010-a2

N°01一%>

是多項式/■）的伴侶陣.

多項式的伴侶陣的不變因子（即是的不變因子）是，

（2）設〃階矩陣A的不變因子是

1,…」,九（4），4+2（4），???，4。）

其中的次數(shù)大于等于1,并且假設分別是的伴侶陣，這時我們稱分塊對角矩陣

伊]

F=

是矩陣4的有理標準形.

（3）數(shù)域廠上的任意一個〃階矩陣A必相似于它的有理標準形（由于它們具有相同的初等因

子）.

注意：若當標準形在復數(shù)域上是一定存在的，而有理標準形在任何數(shù)域上都是存在的.

（六）最小多項式及其性質(zhì)

1.零化多項式與最小多項式

設是一個數(shù)域，是上的階數(shù)字矩陣，假如數(shù)域上的多項式使得，則稱認為

根或為的零化多項式.

在認為根的多項式中.次數(shù)最低且首一的多項式稱為的最小多項式，記為.

2.哈密頓一凱萊定理

設是一個數(shù)域，是上的階數(shù)字矩陣，記的特性多項式為

fA（/）=—川二浦+巧元1+外元'-2+..+4/+%,

n2

那么力（A）=4"+qA”—+a2A-+???+an_,A+4E=0

即的特性多項式是的零化多項式.同時，尚有

（2E-A）*=+（2+q）A"-?+（/I?+4.+曲）A,T+...+（2?-i++...+^_,）￡

3.最小多項式的性質(zhì)

設是數(shù)域上的階數(shù)字矩陣，為的最小多項式.

（1）最小多項式是唯一的；

（2）設，則的充足必要條件是：特別地，矩陣的最小多項式是的特性多項式的一個

因式.

（3）若是一個階數(shù)字矩陣，且的特性多項式為

那么（團二%（%）=■^^；

（4）A的特性根都是加式㈤根.

（5）設都是階數(shù)字矩陣，假如相似，即~；

（6）設是準對角形，且分別是的最小多項式，那么

叫4(4)=[/n1(2),/M2(2),，叱(2)]；

（7），階若當塊

%0000

14)ooo

??????????????????

（）（）14（）

、ooo14)

的最小多項式嗎（%）=（%-4），

（六）重要定理與結論

定理1假設都是階數(shù)字矩陣，假如存在階數(shù)字矩陣滿足

花一A=4（花-3）0）

則矩陣A與8相似.

作為矩陣多項式，矩陣也有下列的帶余除法定理.

定理2設是數(shù)域上的兩個階矩陣，其中

+…+紇/+%,且￡M〃（/），i=0』,…，”.

BW=Bor+

假如可逆，則存在矩陣及，滿足

，，

其中分別是零或者，且滿足上述條件的及是唯一的.表達矩陣中所有元素的最高次數(shù).

假如把定理2的矩陣分別改成數(shù)字矩陣的特性矩陣，那么定理2變成下列的定理.

定理3對于任何不是零的階數(shù)字矩陣，以及矩陣與，一定存在矩陣與以及數(shù)字

矩陣與使得

定理3的一個常用推論是下面的

定理4設，則存在唯一的矩陣使得

fWE=（2E-A）Q（2）+f（A）=Q（2）（2E-A）+f（A）.

證明：存在性的驗證.假設多項式

“L）=c°；r+H+…+*4+4

那么，

fWE=c.Er++…+c：+cn,E

/(A)=c0A"+qA""+.??+cm_}A+cmE

取

QW=D#T+。尸+...++D“I

其中

k

Dk="jA"'=<?0A"+GA'T+…+CjA+q,A=0/，jn—\.

i=0

代入定理中，可以驗證等式成立.

唯一性的證明.假設還存在有另一個矩陣使得

fWE=aE-A)e,(㈤+/(A)=Q(2)(2F-A)+/(A)

只要把兩個等式相減，可以得到

/t(eoi)-e,⑷)=A(Q(R-e,⑷)

再通過比較等式兩邊的次數(shù)，即可得到.■

定理5〃階數(shù)字矩陣A的最大不變因子4,(%)等于A的所有初等因子的最小公倍式.

證明：由于，將矩陣所有初等因子按不可約因子的方幕降幕排列，同一個不可約因子的

方幕排成一行，局限性個的在后面用1補足.排列的形式如下：

甲⑷，甲2(為，…,甲”(團,

戲(2),空?(儲.…,P?(A),*>ti2>>tin>0

............(i=l,2「??,s)

《“(4),中2(4),,??，gm(4),

那么，不變因子，也就是等于所有初等因子的最小公倍式.■

定理6設階矩陣的最小多項式為，證明：，其中是的最后一個不變因子.

證明：設的所有初等因子是

.(丸—4)%,(丸一4)如，，(丸巨勺2巨

???????????????????????????

n

(4一4盧，(-一人)"，…，(?—一)"%，〃$].02--srt

其中4,4,…,4兩兩不同.這時4(團=(4一4)"(/1一4)”...(/1一兒產(chǎn)"

另一方面，由于相似于若當標準形

由于對角分塊矩陣的最小多項式等于各分塊矩陣最小多項式的最小公倍式，并且相似矩陣有相同的

最小多項式，所以

/?(2)=[(—一4…,(4—4盧,(2—4)""，…,(4—4$)%

■

定理7設是準對角形，且分別是的最小多項式，證明：，其中

表達的最小公倍式.

證明：由于，所以，，

即是矩陣零化多項式，因此，故是的一個公倍式.

另一方面，任取的一個公倍式，則有，可見是矩陣的一個零化多項式，所以，.再由

于的首項系數(shù)為1,因此.■

定理8相似矩陣具有相司的最小多項式.

證明：設階矩陣與相似，即存在可逆矩陣，使得.又設分別是矩陣，的最小多項式,

且設

/W2(2)=/+…+44+%

那么，我們有

,

(J=/n2(B)=B+久-8-+…+々8+"E

=T-\AS++"A+boE)T=廠%2(A)7.

所以，，是的零化多項式，而是的最小多項式，因此，.

類似可以證明，.再從的首項系數(shù)為1,即可得到.■

四、基本例題解題點擊

1.□矩陣的基本概念與計算

【例1]設有矩陣，

計算：(1)；(2).

【提醒及點評】4-矩陣的運算法則與數(shù)字矩陣的運算法則相同.

【例2】設，求.

【提醒及點評】可以按數(shù)字矩陣求逆的方法進行計算.

【例3】設，求

【解】由于

)0()、」0（）、r00()、

A(2)=1A0=2010+100=AE+B

(01"、001,N10;

而，所以可以應用牛頓二項式定理來進行計算.

Afl(2)=(2E+B)n=C>"E+CW'-力'+C；An-2B2

A=0

【知識擴展提醒】題目可以擴充為對任意階數(shù)的若當塊

<4o…（）（）o'

14)…ooo

J(4)J)=??????????????????

（）（）…14）（）

<ooo1A)>/X/

求r（4/）.

【例4】設有2-矩陣

3-/UI-22+1-1■+1-1-2+P

A(2)=2—2萬+22+1A+1，B(Q=2X-\—3

222+2-2

一21/022-3,

試求矩陣0.（九）,此（幾）使得

其中&（4）=0或者。（RJ/l））v決仇㈤）.

【提醒及點評】此例子重要介紹4-矩陣的帶余除法定理.

【解】一方面把矩陣□表達成矩陣多項式的形式:

’100、<-1-2o1叫

A(2)=22010+2121+11-A++A,

k002）01°1

10-11-11

B(A)=Z010+2-1-3+

k002)1k-10-3,

然后借助于多項式除以多項式的運算，我們有

48。+B、A)+々A+A,Q/(4)=4綜14

分4+狙耳4+與TA-B用4)

〃4一片練4)+4

“A-B聞4)+8月(A-耳明兒)

■(■=42-4用(4-4*4)

所以，

■

【知識擴展提醒】題目假如是求□矩陣□使得口，則在做多項式除法的時候，注意矩陣□與口

相乘時的左右方向即可.

2.求□矩陣的標準形、行列式因子、不變因子與初等因子

(1)行列式因子的計算

方法一：直接使用行列式因子的定義進行計算.

【例5】設有2-矩陣

試求其行列式因子.

【解】由于矩陣口的元素中具有非零常數(shù)1,所以一階行列式因子□.或者是由于下列所有多項式

{/t2-A+1,-2/1+1,-l,/l-2,22+2/1+1,2+1,+2-2}

的最大公因式是1,所以.

對于二階行列式因子.由于的2階子式一共有9個，一一計算比較麻煩，我們只要我出特別

的幾個出來，看它們是否互素即行.由于2階子式

A-2r+22+1-2Z+1-1

與

—A,1萬+24+l2+1

是互素的，即最大公因式是1,所以二階行列式因子

最后計算三階行列式因子，由于矩陣的3階子式只有1個，所以

【注意】由于使用定義的方法求行列式因子的計算過程比較麻煩，因此一般很少用，除非是矩

陣口比較簡樸.

方法二：先用初等變換化簡矩陣，一般情況是化簡成為標準形或者對角形，再對簡化后的

矩陣求行列式因子.

【例6】設有2-矩陣

Q+1-1-zl+P

B(/l)=2/I—1—3

「1024—3,

試求其行列式因子.

U+1-1-A+P02"3、

【解】由于8（團=2A—1—3⑴F3)、A—1—3

「102/1-3；14+1-1+1,

'-100、

->->0-10

32

022-42+42-7;

因此，所求的行列式因子是

方法三：對于特殊類型的矩陣（如對角形、上下三角形等等），可以先求出階數(shù)大的行列式因

子，再運用的關系，求出階數(shù)低的行列式因子.

【例7】設有下列4一矩陣

：00…04,、

-120…0a.U-3-110、

0-1A???0a4Z+l01

①A(2)=n2；②A(2)=

????????????004+2-1

000-??2a2、001"

、000…—14+4,

試求它們的行列式因子.

【解】①由于矩陣4/1)的行列式

14(4)|=4"+2+++4”

所以，，

又由于在中有一個階的子式，故，于是，.

②顯然，

又其中的一個3階子式，

由于三階行列式因子并且尚有，因此可見，『是.

■

(2)%-矩陣的標準形、不變因子與初等因子的計算

方法一：直接使用矩陣的初等變換，求矩陣的標準形，進而可以得到不變因子.

【例8】用初等變換求下列義-矩陣的標準形、不變因子與初等因子.

'儲22-13公、

,4(/1)=—儲一義r+2r-222-3Z.

+Ar+2222+22

\/

【提醒及點評】在使用初等變換來求知除的標準形時，第一步應將矩陣左上角的元素變成可以

整除矩陣的所有元素，第二步才干消去矩陣的第一行與第一列的其余元素，反復這個過程即可把

矩陣化其標準形.關鍵的一步是在知陣的所有元素中直接找出一個或者通過加減運算后找出一個元

素，使其可以整除矩陣的所有元素.

【解】

22-l2萬122-l2A2

A(2)=——A22+AA3-222-3A1>—2A~—2/1萬+4分—2萬-3/1

(l)+(2)(-0

A2+AA2+A2萬+2%022+22/P+2/1

Qo0、

—>—>0x.(2+1)0

、002(24-1X2-1^

于是，的不變因子從而得出矩陣的初等因子是

方法二：對于一些形如上（下）三角形、對角形等特殊的矩陣，可以先求其行列式因子（或者

初等因子），再運用不變因子與行列式因子的關系，求出不變因子，進而得到矩陣的標準形.

【例9】求下列;1-矩陣的標準形與不變因子.

1+2100、'0犯+1)200'

02+21022(2-1)000

①A(2)=；②A(%)=

002+21000A2-l

、000A+2；、00犯+1)20)

【解】①顯然，行列式因子口，并且矩陣□有一個3階子式

,所以有，故的不變因子是,,即的標準形是.

②雖然矩陣不是對角形,但可用初等變換化成對角形：

（0/t(2+1)200、守（心1）000、

r（2-i）000UM2)0犯+1)200

A(2)=即⑻、

000Z2-l002(A+1)20

.002(2+1)20;,()00

由此可得矩陣的初等因子是，而矩陣的秩=4,據(jù)此可知不變因子是，，故矩陣的標準

形是

（3）有關數(shù)字矩陣的初等因子的計算

【例101求下列數(shù)字矩陣的初等因子（以及不變因子，相應特性矩陣的行列式因子）.

’308、

A=3-16..

[20-5,

【提醒及點評】對于計算數(shù)字矩陣的初等因子，其實其過程與求矩陣的若當標準形同樣.計算方

法與求一般矩陣的初等因子是同樣的.

【解】由于

pl-30-8、<2-3000、

⑵+⑶i)

AE-A=—32+1-6-1A+12(2+1)0

[00-Q+l)”

X20120

因此，所求的初等因子是，不變因子是，行列式因子是

3.有關口矩陣等價的判斷與證明

【例11】判斷下列兩個矩陣是否等價？

【提醒及點評】運用2-矩陣等價的6個方法之一進行判斷.

【解】易見，矩陣口與口的行列式因子都是

24

D、(A)=D2(A)=1,D3(A)=(%+a),D4(2)=(4+a)

因此矩陣與是等價的.■

【例12】對于任意的階矩陣，證明與等價.

【提醒及點評】可以證明它們有相同的行列式因子或者有相同的標準形.

【解】假設矩陣A(/l)的標準形是

￡)(/1)=diag(&U),(4),0,,0)

因此，存在可逆矩陣使得，兩邊取轉置得到，從而知道與有相同的標準形，所以與

等價.■

4.有關數(shù)字矩陣□的特性矩陣(特性多項式、凱萊定理)口的應用

【例13】設有矩陣，求，其中是正整數(shù).

【提醒及點評】運用哈密頓-凱萊定理及帶余除法進行計算.

【解】設□是矩陣口的特性多項式，那么計算可得

f⑴=丸3_4幾2+54—2=(2—2)(/1-I)2

再根據(jù)計算的規(guī)定，取多項式，并令(帶余除法)

g(A)=2"=/(之)4(4)+aA2+bA+c

分別把代入，得到.又由于是特性多項式的2重根，所以，對上式兩邊求導后有

g'(2)=/'(2)^(2)+fWq'W+2aA+b=nV

再代入得到，.求解上面關于的聯(lián)立方程組，我們可以得到

a=2n-n-\,b=2-2,1+l+3〃.c=2"-2〃

因此，

【注意】關鍵是如何運用矩陣A的特性值，找到關于的聯(lián)立方程組.

【例14】設有矩陣，及多項式，求.

【提醒及點評】運用哈密頓-凱萊定理及帶余除法進行計算.

【解】由于特性多項式口，再由帶余除法得到

/(2)=g(2)q(4)+(-75儲+992-33)

因此，由哈密頓一凱萊定理得到

'243-3780、

/(A)=-75A2+99A-33E=252-3870,

1399777-9,

再求其逆，得到

■

【注意】此題型的計算量比較大，關鍵是掌握其計算的方法與技巧.

【例151假如是一個階可逆矩陣，導出使用哈密頓一凱萊定理求逆矩陣的公式.

【解】假定矩陣A的特性多項式是

f(^)=|AE—A\=A,n+?+出，"~+…+

則由凱萊定理知道，

z,1n

A"十tZ1/4+ci-,A~十…+a“_[A+ctnE=0

而，因此,

A,—(A'?+~+a。A'3+??+%_]￡")=E

4

即矩陣4的逆矩陣

【知識擴展提醒】題FI可以改成：證明存在一個比系數(shù)多項式.使得.

【例16】設是任意一個階矩陣，且

/(4)=|4E—A|=之"+。區(qū)"?~+?！?/p>

證明：的隨著矩陣是的多項式，并且

A*=(-1尸(『+4…+獷1+一+凡內(nèi)

【證明】由上例知道，

(一

A?1)(A""+qA""++.+q")=anE

而，代入上述，可以得到

A?(―1)"T(A'"+qA〃"+生A"-+…+*E)=IAIE

所以,

5.相似矩陣的判斷與證明

【例16】判斷下列矩陣

<32-5]'3-21、

A=26-10,B=2-22

23—65,

是否相似.

【提醒及點評】要判斷兩個矩陣是否相似，通常的方法是先求出它們的不變因子(或行列式因

子、或初等因子)，假如它們相同，則相似，否則不相似.當然，假如兩個矩陣的秩，行列式，特性多

項式或最小多項式有一個不相等，則它們一定不相似.要注意的是，即使它們的秩，行列式，特性多

項式或最小多項式都相等，仍然不能擬定它們是否相似.許多學生往往根據(jù)兩個矩陣的特性多項式相

同，就斷定這兩個矩陣相似，這是初學者常犯的一個錯誤，請讀者給予充足的注意.

【解】由于

9-3-200'

AE-A=-2A-61()一…—02-20

4+3)10

-1-20(4—2)2,

笠-32

AE-B=-22+2

、一36

從而，與有相同的不變因子，故與相似.

【例17】假設多項式有個不同的根，證明矩陣

’000

100.-

A=010.?°與B=

?????????????????

、000-1—%,

【提醒及點評】驗證兩個矩陣的不變因子相同即行.

【例18】下列形式的矩陣

2b\0...()、

a2b2…0

H=%二：,61血wC

.?.加

<*4,

(其中稱為上對角元素)稱為海森伯格矩陣.試證明：兩個上對角元素全非零的海森伯格矩陣

相似的充足必要條件是它們有相同的特性多項式.

【提醒及點評】計算特性矩陣的行列式因子，再依此迸行證明.

【證明】由于特性矩陣

—b、00

A-a2-b20

AE-H=丸一。3

*

假如,由于有一個階的子式