初中數(shù)學平面圖形板塊歸納與練習

【題目】在圖①?中，點E在矩形ABCD的邊BC上，且

BE=AB,現(xiàn)要求僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖.［保

留畫(作)圖痕跡，不寫畫(作)法］

(1)在國①中，畫NBAD的平分線；

(2)在圖②中，畫NBCD的平分線.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)連接AE,等邊對等角可得/BAE=/BEA=45。，再根據(jù)平行

線的性質即可得到AEJEZBAD的平分線：

(2)連接矩形ABCD的對角線，交于點0,可得A0二C0,再連

接E0并延長，交BC于P,根據(jù)AAPO四△CEO,可得AP=CE,

得到四邊形AECP為平行四邊形，得到NECP=NBEA=451即

可得到CP是/BCD的平分線.

(1)如圖所示，AE即為所求；

二點E在矩形ABCD的邊BC上，且BE二AB,

B=90。.NBAE=/BEA=45。，

VAD/7BC,

；?ZDAE=ZBEA=45%

:.ZDAE=ZBAE,

；?AE是/BAD的平分線；

⑵如圖所示,CP即為所求；

???四邊形ABCD是短形,

???AP〃EC,

/PAONECO,

點0是矩形ABCD對角線的交點,

.;A0=C0,

■:NP0A=NE0C,

/.AAPO^ACEO,

，AP=CE,

又：AP〃EC,

，四邊形AECP為平行四邊形,

，AE〃PC,

/.NECP=NBEA=45?，

，CP是/BCD的平分線.

根據(jù)題目，歸納出初中階段平面圖形的定理，如下：

1、過兩點有且只有一條直線。

2、兩點之間線段最短。

3、同角或等角的補角相等。

4、同角或等角的余角相等。

5、過一點有且只有一條直線和巳知直線垂直。

6、直線外一點與直線上各點連接的所有線段中.垂線

段最短。

7、平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這

條直線平行。

8、如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也

互相平行。

9、同位角相等，兩直線平行。

10、內錯角相等，兩直線平行。

11、同旁內角互補，兩直線平行。

12、兩直線平行，同位角相等。

13、兩直線平行，內錯角相等。

14、兩直線平行，同旁內角互補。

15、定理三角形兩邊的和大于第三邊。

16、推論三角形兩邊的差小于第三邊。

17、三角形內角和定理三角形三個內角的和等于180°。

18,推論1直角三角形的兩個銳角互余。

19、推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內

角的和。

20、推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰

的內角。

21、全等三角形的對應邊、對應角相等。

22、邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的

兩個三角形全等。

23、角邊曲公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的

兩個三角形全等。

24、推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩

個三角形全等。

25、邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全

等。

26、斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相

等的兩個直角三角形全等。

27、定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離

相等。

28、定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角

的平分線上.

29、角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。

30、等腰三角形的性質定理等腰三角形的兩個底角相等

（即等邊對等角）。

31、推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直

于底邊。

32、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上

的高互相重合。

33、推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都

等于60°。

34、等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相

等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）.

35、推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形。

36、推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角

形。

37、在直角三角形中,如果一個銳角等于30°那么它所

對的直角邊等于斜邊的一半。

38、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半?

39、定理貨段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的

距離相等。

40、逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條

線段的垂直平分線上。

41、線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的

所有點的集合。

42、定理1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。

43,定理2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸

是對應點連線的垂直平分線。

44、定理3兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應

級段或延長線相交，那么交點在時稱軸上。

45、逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂

直平分.那么這兩個圖形關于這條直線對稱。

46、勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等

于斜邊c的平方，即a2H）2二c2。

47、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有

關系a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形。

48、定理四邊形的內角和等于360°°

49、四邊形的外角和等于360°。

50、多邊形內角和定理n邊形的內角的和等于（「2）

X180*。

51、推論任意多邊的外角和等于3600°

52、平行四邊形性質定理I平行四邊形的對角相等。

53、平行四邊形性質定理2平行四邊形的對邊相等。

54、推論夾在兩條平行線間的平行線段相等。

55、平行四邊形性質定理3平行四邊形的對角線互相平

分。

56、平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形

是平行四邊形。

57,平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形

是平行四邊形6

58、平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是

平行四邊形。

59、平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形

是平行四邊形。

60、矩形性質定理1矩形的四個角都是直角。

61,矩形性質定理2矩形的對角線相等。

62、矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是電形。

63、矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形。

64、菱形性質定理1菱形的四條邊都相等。

65、菱形性質定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一

條對角線平分一組對角,

66、菱形面積二對角線乘積的一半，即S二（aXb）:2。

67、菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形。

68、菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱

形。

69、正方形性質定理1正方形的四個角都是直角，四條

邊都相等。

70、正方形性質定理2IE方形的兩條對角線相等，并且

互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。

71、定理1關于中心對稱的兩個圖形是登等的

72,定理2關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)

過對稱中心，并且被對稱中心平分6

73、逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點,

并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱。

74、等腰梯形性質定理等腰梯形在同一底上的兩個角相

等。

75、等腰梯形的兩條對角線相等。

76,等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形

是等腰梯形。

77、對角線相等的梯形是等腰梯形。

78、平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上

就得的線段相等，那么在其他直線上截停的線段也相等。

79、推論1經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線,必平

分另一腰。

80、推論2經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線,

必平分第三邊。

81、三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊,

并且等于它的一半。

82、梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等

于兩底和的一半。

83、（1）比例的基本性質；如果a；b=c：d,那么ad二be

如果ad=bc,那么a：b=c：d

84、（2）合比性質；如果a/b=c/d,那么（a±b）/b=（c

±d）/do

85、（3）等比性質：如果a/b=c/d二…二m/n（b+d+…+n

WO）,那么（a+c+...+m）/（b+d+...+n）=a/b

86、平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線,

所得的對應線段成比例。

87、推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊

的延長線），所得的對應線段成比例。

88、定理如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長

線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的

第三邊。

89、平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線,

所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例。

90、定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊

的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。

91、相似三角形判定定理1兩角對應相等，兩三角形相

似（ASA）o

92、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和

原三角形相似。

93、判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形

相似(SAS)o

94、判定定理3三邊對應成比例，兩三角形相似(SSS)。

95,定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另

一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩

個直角三角形相似。

96、性質定理1相似三角形對應高的比，對應中級的比

與對應角平分線的比都等于相似比。

97、性質定理2相似三角形周長的比等于相似比。

98、性質定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方。

99、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳

角的余弦值等于它的余角的正弦值。

100.任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意

銳角的余切值等于它的余角的正切值。

101、圓是定點的距離等于定長的點的集合。

102、圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的

集合。

103、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的

集合。

104、同圓或等圓的半徑相等。

105、到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為

圓心.定長為半徑的圓。

106、和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是

著條線段的垂直平分線。

107、到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角

的平分線。

108、到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條

平行線平行且距離相等的一條直線。

109、定理不在同一直線上的三點確定一個圓

110,垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦

所對的兩條菰。

11k推論1

①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所

對的兩條瓠。

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條瓠。

③平分弦所對的一條瓠的直徑，垂直平分弦，并且平分

弦所對的另一條弧。

112、推論2圓的兩條平行弦所夾的瓠相等。

113、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

114、定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的孤相

等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。

115、推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弘、

兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的

其余各組量都相等。

116、定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的

一半。

117、推論1同瓠或等瓠所對的圓周角相等；同圓或等

圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

118、推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°

的圓周角所對的弦是直徑。

119、推論3如果三角形一邊上的中緩等于這邊的一半，

那么這個三角形是直角三角形。

120、定理圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個

外角都等于它的內對角。

121、①直線L和。0相交d<ro②直線L和。0相切

d=ro③直線L和。0相離d>r。

122、切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條

半徑的直線是圓的切線。

123、切線的性質定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

124、推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。

125、推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

126、切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的

切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

127、圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等。

128、弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

129、推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個

弦切角也相等。

130、相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩

條線段長的積相等。

131、推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它

分直徑所成的兩條線段的比例中項6

132、切割線定理從國外一點引圓的切線和割線，切線

長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

133、推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條

割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

134、如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上。

135、①兩圓外離d>R+ro②兩圓外切（仁R+r。④兩圓

相交R-r<d<R+r（R>r）o⑤兩圓內切d=R-r（R>r）o⑤兩

圓內含d〈R-r（R>r）。

136、定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。

137、定理把圓分成n（n，3）：

（1）依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊

形。

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的

多邊形是這個圓的外切正n邊形。

138、定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓,

這兩個圓是同心圓。

139、正n邊形的每個內角都等于（n-2）X180°/no

140,定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n

個全等的直角三角形。

141、如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于

這些角的和應為360°,SllLkX(n-2)180*/n=360°化為

(n-2)(k-2)=4?

142、弧長計算公式：L=n兀R/180。

143、扇形面積公式：S扇形=n兀K2/3604R/2144、

內公切線長二d-(br)外公切線長=d-(R+r)

￡

【題目】如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y二-行x2+

3xM與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y

軸交于點C,對稱抽與x抽交于點D.

(1)求直線BC的解析式;

(2)如圖2,點P為直線BC上方拋物線上一點，連接

PB、PC.當△PBC的面枳最大時，在線段BC上找一點E(不

與B、C重合)，使PEGBE的值最小，求點P的坐標和PE+?

BE的最小值：

(3)如圖3,點G是線段CB的中點，將拋物線y=-?x2+

Txt#沿X軸正方向平移得到新拋物線y'經(jīng)過點D,y'

的頂點為F.在拋物線y'的對稱軸上，是否存在一點Q,使

得△FGQ為直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若

不存在，請說明理由.

史x

【答案】（1）直線BC的解析式為y=-^x+并：（2）P

6,竽），PE+；BE=常；（3）存在，Q（-1,蒙）或（-

瑋

1,?。碛梢娊馕?/p>

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)的解析式先求出點C、點B的坐標,

然后利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；

（2）如圖2中，過點P作PMlx軸于點M,交直線BC

于點F,過點E作EN±x軸于點N,設P（a,-羽32+丁a+-^）,

是￡

則F（a,-彳a。）則可得PF二繼而得S21PBC二

星3r3

-了a2+ha,根據(jù)二次函數(shù)的性質可得當a=T時，SAPBC最

大，可得點P坐標，由直線BC的解析式為y=-￥x+?可得N

CBO=30°,繼而可得PEKBE=PE+EN,根據(jù)兩點之間度段最短

和垂線段最短，則當P,E,N三點共線且垂直于x軸時，PE+

*E值最小，據(jù)此即可求得答案；

3￡

（3）由題意可得D（1,0）,G（2,T）,繼而可得直

線DG解析式，根據(jù)拋物線y=-?x2+苧乂逆二-乎（x-1）2+

丁沿x軸正方向平移得到新拋物線y'，『經(jīng)過點D,可得

￡邛

V’---3<x+l）2+3,從而可得對稱軸為x=-1,然后分/

QDG二90°或NQCD=90。，NCQD二900三種情況進行討論即可

得.

F2G

（1）當x=0時，y=-^x2+~3-X-H^=^,

???點C的坐標為（0,4）;

梟23pr-

當y=0時，有一至x2+丁x+2=o,

解得:xl=-1,x2=3,

???點B的坐標為(3,0),

設直線BC的解析式為tkx+b(kWO),

將B(3,0)、C(0,P)代入y=kx+b,得：

F

)3k+b=0k=~T

1b,后,解得：HP,

工直線BC的解析式為y=-￥x+/；

(2)如圖2中，過點P作PMlx抽于點M,交直線BC

于點F,過點E作ENJLx軸于點N,

???當a=5時.S2XPBC最大,

350

AP(2,丁),

??,直線BC的解析式為y=-孝x+腐，

ZCBO=30°,ENJ_x軸，

i

.'.EN=2BE,

1

；?PE+無BE=PE+EN,

根據(jù)兩點之間線段最短和垂線段最短，則當P,E,N

三點共線且垂直于x軸時.PE+^BE值最小，

158

PE+2BE=PE+EN=PN="*~；

(3)VD是對稱軸直線x=l與x軸的交點，G是BC的

中點，

3￡

AD(1,0),G(2,T),

二直線DG解析式y(tǒng)二Px-占，

二拋物緩y=-3x2+"X-HP=-3(x-1)2+丁沿x軸正

方向平移得到新拋物線y',y‘經(jīng)過點D,

￡i￡

Ay'----5(x+1)243,

二對稱軸為X=-1*

「△FGQ為直角三角形，

ZQDG=90°或NQGD=90°,ZGQD=90°(不合題意，

舍去)，

當NQDG=90°,設直線QI)解析式y(tǒng)=-3x+b,過D(1,

0),

￡

.?.0=?f+b,

￡

b=3,

衛(wèi)E

/.y=-3x+3

23

當X=-1時，廣丁

2￡

?--Q（-1.?。?/p>

當NQGD-90°,則直線QD解析式丫=-耳乂產

40

.??當x=-1時，y=~t

：.Q(-1,張),

【題目】如圖，在正方形ABCD中，V、N分別是射線CB

和射線DC上的動點，且始終/MA\=45'.

(1)如困1,當點M、N分別在線段BC、DC上時，請直

接寫出線段劃、MN、D\之間的數(shù)量關系；

(2)如圖2,當點V、N分別在CB、DC的延長線上時,

(1)中的結論是否仍然成立，若成立，紿予證明，若不成

立，寫出正確的結論，并證明；

(3)如圖3,當點M、N分別在CB、DC的延長線上時,

若CN=CD=6,設BD與AM的延長線交于點P,交AN于Q,

直接寫出AQ、AP的長.

【答案】(1)BM+DN=MN；(2)(I)中的結論不成立，

DN-BM=MN.理由見解析；(3)AP=AM+PM=3而.

【解析】

(1)在MB的延長線上，就取BERN,連接AE,則可證

明△ABEgZkAD、，得到AE=AN,進一步證明△AEM/Z\ANM,

得出ME二MN,得出BM+DN=MN:

⑵在DC上截取DF=BM,連接AF,可先證明△ABM/ZXADF,

得出AM=AF,進一步證明△MANg/SFAN,可得到MN=NF,從

而可得到DN-BM=MN；

(3)由已知得出D\二12,由勾股定理得出AN=""五/=

____BQAQ

麻而=6有，由平行線得出△ABQszXNDQ,得出％=NQ

AB61AQ1

=DH=\2=29AN=3,求出AQ=2石;由(2)得出

DN-BM=MX.設BM=x,則MN=12-x,CM=6+x,在RtACMN中，

由勾股定理得出方程，解方程得出BM=2,由勾股定理得出

PM

AV=J3”必二，由平行線得出APB'IsAPDA,得出PA二

HM1\

DA=3>,求出PU=PM=5AM=而，

得出AP=AM+PM=3即

(1)BM+DN=MN,理由加下；

如圖1.在MB的延長線上，截取BE=DN,連接AE,

??'四邊形ABCD是正方形，

；.AB=AD,ZBAD=ZABC=ZD=90°,

.\ZABE=90°=ND,

AB=AD

ZABB-2D

在AABE和△ADN中，1他=口、，

.'.△ABE^AADN(SAS),

??.AE=A\,ZEAB=ZNAD,

.'.ZEAN=ZBAI)=