平面幾何

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

1、相似三角形的判定與性質(zhì)

（1）相似三角形的判定

①三個(gè)角：若兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角都相等，則這兩個(gè)三角形相似

注：由三角形內(nèi)角和為180?？芍?，三角形只需兩個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等即可

②兩邊及一夾角：若兩個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，且所夾的角相等，則這

兩個(gè)三角形相似

③三邊：若兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形相似

④（直角三角形）若兩個(gè)直角三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)直用三角形

相似

（2）相似三角形性質(zhì)：若兩個(gè)三角形相似，這它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比

例即相似比（主要體現(xiàn)出“充應(yīng)”兩字），例如：若口ABCOUB'C',則有:

ABACBC

ZA==ZC,

XF-Ac7-BV

2、平行線分線段成比例：如圖：已知4〃/2〃的且直線

W與平行線交于ABC,。,瓦/，則以下線段成比例：

AB_DE

(1)--------------M（上比下）

BC~EF

ABDE

(2)-----=（上比全）

AC~DF

BCEF

(3)■=（下比全）

AC~DF

3、常見(jiàn)線段比例模型:

（1）“A”字形：在口48。中，平行的直線交三角形另兩

邊于D,E,即形成一個(gè)“A”字，在“A”字形中，可得口48。

□UADE,進(jìn)而有以下線段成比例：

gADAE

---=---

DBEC

DB=CE_

ABAC

③AD=AE=DE

ABACBC

（2）“8”字形：已知48〃CD,連結(jié)相交于。，即形成一個(gè)“8”字,

在“8”字形中，有：

□AOB口口OOC,Oli—=—=—

ODCOCD

4、圓的幾何性質(zhì)：

（1）與角相關(guān)的性質(zhì)

①直徑所對(duì)的圓周角是直角

②弦切角與其夾的弧所對(duì)的圓周角相等

③同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角是圓心角的一半

④圓內(nèi)接四邊形，其外角等于內(nèi)對(duì)角

（2）與線段相關(guān)的性質(zhì):

①等弧所對(duì)的弦長(zhǎng)相等

②過(guò)圓心作圓上一條弦的垂線，則直線垂直平分該弦

③若一條直線與圓相切，則圓心與切點(diǎn)的連線與該直線垂直

5、與圓相關(guān)的定理

（1）切割線定理：設(shè)Q4是口。的切線，P3C為割

線，則有：P^=PBPC

（2）相交弦定理：設(shè)48,C。是圓內(nèi)的兩條弦，且

相交于P,則有4PBp=CPOP

（3）切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)產(chǎn)可作圓的兩條切線，且這兩條切線的長(zhǎng)度相等

6、射影定理：己知在直角三角形ABC中，=90°,CD為斜邊A8上的高

（雙垂直特點(diǎn)），則以下等式成立:

BC2=BDBAAC2=ADABCD2=BDAD

注：射影定理結(jié)合勾股定理，以及等面積法。在直角三角

形中的邊這五條線段中，可做到

ABCAC,BC,BDyDA,CD

已知兩條邊的長(zhǎng)度，即可求出所有邊的長(zhǎng)度

7,平面幾何中線段長(zhǎng)度的求法：

（1）觀察所求線段是否是某個(gè)定理的一部分，從而湊齊該定理的其他條件即可

求出該線段

（2）考慮所求線段是否與其它線段存在比例關(guān)系

（3）可將此線段放入三角形中，考慮是否能通過(guò)正余弦定理解決

（4）若不易找到題目中各線段與所求線段的聯(lián)系，可考慮將所求線段設(shè)為一

通過(guò)方程進(jìn)行求解。

二、典型例題：

例1：如圖，已知切口。于4點(diǎn)，割線PCO與弦A8相交于

——E點(diǎn),且乃4一〃?一小，若"0=4,8=21,則AZT的長(zhǎng)為IQj

思路：由小是切線，尸。是割線聯(lián)想到切割線定理，所以有：一|

2

PA=PCPD=PC（PC+CD）=100f解得Q4=10,從而

CF.DF

PE=BE=10,求AE可聯(lián)想到相交弦定理：AE?BE=CEDE,BPAE=------,

BE

其中CE=PE—PC=6,DE=CD-CE=\5f代入可得：4￡=色變=9

1（）

答案：9

例2：如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于圓。，OE與圓。相切于點(diǎn)O,ACr^BD=F,

〃為AC的中點(diǎn)，OeBD,CD=M,BC-5,貝UDE_.

思路：由OE與圓。相切可想到切割線定理：即x

DE?=EA,EB,因?yàn)?。是直徑，且尸為AC的中點(diǎn)，所以

33垂直平分AC,且口皿>和LJ38為對(duì)稱(chēng)的直角三角形。［\0/）

所以AD=CD=V10,AB=BC=5,所以U

22

BD=>JAD+AB=V35O在口ED/中，由切線可知

R力2

EDLBD,且4D_L3E,,所以由射影定理可知二胡?BE=——=7,

BA

則==進(jìn)而DE=，EA-EB=M

答案：V14

例3：如圖，B4與圓。相切于4,PCB為圓。的割線，并且不過(guò)圓心。，已知

NBE4=30。，PA=26，PC=1,則圓。的半徑等于

思路：由R4與圓0相切于A可知尸牙二尸可得

PA?

PB=——=12,從而3C=P3—P。=11,在口皿＞中，

PC

可由/3/乂=30。，PA=2百，可得：D4=2,PD=4,

從而。。=3,3。=5,觀察圓內(nèi)的弦，延長(zhǎng)4。交圓于￡：,

從而有ADDE=CDDB,與半徑進(jìn)行聯(lián)系可得：

AD（2R-AD）=CDDB,代入數(shù)值可得R=7

答案：R=7

例4：如圖，尸是半圓。的直徑BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PT

切半圓于點(diǎn)T,TH上BC于H,若PT=l,PB+PC=2a,則

PH=()

A.-B.-C.-D.-

aa23

思路：因?yàn)槭∏邪雸A于點(diǎn)T，所以考慮連結(jié)圓心與切點(diǎn)，可得：OTLPT,在

中具有雙垂直的特點(diǎn)，所以只需已知兩條邊即可求出尸“，由切割線定

PB+PC=2aPC=a->Ja2-\

理可得：PT?=PCPB,<,所以

PBPC=\PB=a+\ja2-1

BC=PC-PB=2^-1,即「=3—1,從而oT=1=da2-[po=pc+r=a,

2

pT1

由射影定理可得：PT2=PHP0^>PH=——=-

POa

答案：B

例5：如圖，尸B為口A3C外接圓。的切線，BD平分NPBC,

交圓。于O,C,。,尸共線.若AB上BD,PC上PB,PD=1,則圓。的半徑

是.

思路：由可知為圓。的直徑，由弦切角性質(zhì)可得/以￡）=/￡心夕，

R

且在圓中/B4O=N8C。（對(duì)司弧BQ）,由80平分NP8C可得

ZDBP=ZDBC,進(jìn)而/BAD=/BCD=/DBC=/DBP,在A'

RtBPD

NBCD=NDBC=NDBP

=>ZBCD=4DBC=ZDBP=30°

/BCD+ZDBC+ZDBP=90°

,所以由PD=1可得：BD=2PD=2,在R/U4BO中，/BAD=30°,可得

AD=2BD=4,從而r=Uo=2

答案：2

例6：如圖，A4BC內(nèi)接于。0,過(guò)8C中點(diǎn)。作平行于AC的直線/,，交AB于

點(diǎn)、E,交。。于G、F,交。。在點(diǎn)A切線于點(diǎn)P,若年、

PE=3,ED=2,EF=3,則PA的長(zhǎng)為

思路：由Q4為切線可想到切割線定理，所以PA2=PG-PR,聯(lián)西二7

PF=PE+ED+EF=8,只需求出PG即可。因?yàn)镼4為切線，

所以弦切角N%E=NC,因?yàn)镸〃4C,所以NBOE=NC,從而ZBDE=NPAE,

ppAp

進(jìn)而可證口尸4￡：口口皿m=——=—=>AEBE=PEDEf由相交弦定理可知：

BEDE

PP.np

AEBE=GEEF,所以PE-DE=GE-EF=>GE=-------=2,所以

EF

PG=PE-GE=1,代入PA?=PG尸產(chǎn)可得：PA=46

答案：瓜

例7：如圖，已知A8和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)3作圓

的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于D,過(guò)點(diǎn)C作BD的平行

線與圓交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)尸，A尸=6,FB=2t/仔

E尸=3,則線段CD的長(zhǎng)為

思路：由30是切線且0c4是割線可想到切割線定理，’

所以?！?gt;/。=8。2①，分別計(jì)算各線段長(zhǎng)度。由”=6,尸8=2,歷=3可使

用相交弦定理得：。?=旦”=4,再由b〃即可得：-=—=所以

EFBDBF4

BD=—,同時(shí)—=—=4^AD=4CD,代入①可得：

3CDFB

4CD?=BD?=>CD=-BD=-

23

答案：-

3

例9：如圖，H4切圓。于點(diǎn)A,割線尸8c經(jīng)過(guò)圓心。，若PB=OB=1,0。平

分NA0C交圓。于點(diǎn)O,連結(jié)PD交圓。于點(diǎn)E,則尸E1的長(zhǎng)等于

思路：由圖可知若要求得PE,可想到切割

2

線定理模型PEPD=R4,只需求得PAyPD,

即可。由割線PBC與切線如可想到切割線4---------V——

定理,從而可計(jì)算出PA=B考慮計(jì)算PD,\/

可將其放入口以加中計(jì)算，己知的邊有

OD=\,OP=2,需要求解4)0尸，在R/EMO尸中，通過(guò)邊的關(guān)系可判定

ZAOP=-,進(jìn)而N40C=—,由角平分線可知N40。=工，所以ZDOP=—。

3333

從而可用余弦定理計(jì)算出產(chǎn)。，即可算出PE

解：?.?PA切圓。于點(diǎn)A

:.P*=PBPC由==1可得：r=l

:.PC=PB+BC=\+2=3

PA=y/PBPC=x/3

在口人。尸中，OA_LAP,O4=l.OP=2,AP=b

/.ZAOP=-ZAOC=—

33

1jr

???0。平分ZAOC,ZAOD=一ZAOC=一

23

/POD=ZAOD+ZAOP=—

3

.?.在nPOD中，由余弦定理可得：DP2=OP2+OD2-2OP-ODcosPOD=7

DP=yfl

PA23433A/7

由切割線定理可得：PEPD=PA*1

飛=【r

答案:乎

例10：如圖，A仇CD是圓。的兩條平行弦，AF//BD

交CD于點(diǎn)、E,交圓。于點(diǎn)尸，過(guò)B點(diǎn)的切線交CO延

長(zhǎng)線于點(diǎn)P,若尸。=CE=1,PB=石，則BC