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PAGE2PAGE5點(diǎn)擊解決最值問(wèn)題的常用方法建湖縣顏單中學(xué)陳國(guó)華[內(nèi)容提要]在生活實(shí)際中常要考慮在一定條件下怎樣使成本最低,消耗最少,使收益最大,方案最優(yōu),行走路徑最短,周長(zhǎng)面積最小等問(wèn)題。這類(lèi)生活問(wèn)題一般可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)或線段的最小值或最大值的數(shù)學(xué)問(wèn)題,此類(lèi)問(wèn)題涉及知識(shí)面廣,綜合性強(qiáng),解法有一定技巧性。通過(guò)這類(lèi)問(wèn)題的解決可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。本文舉例介紹解決初中數(shù)學(xué)中有關(guān)最值問(wèn)題一些常用方法?!娟P(guān)鍵詞】生活問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題最值數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思維能力一、配方法配方法是數(shù)學(xué)中的一種重要解題思想方法,將已知代數(shù)式(等式)配成若干個(gè)完全平方式的形式,結(jié)合非負(fù)數(shù)性質(zhì),從而使問(wèn)題得到解決。例1設(shè)x、y為實(shí)數(shù),代數(shù)式5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值為_(kāi)______。解析:配方得原式=2(x2-2xy+y2)+x2+2x+4=4(x-y)2+(x+1)2+3顯見(jiàn),當(dāng)x=-1,y=-1時(shí),原式有最小值3。二、分類(lèi)討論法當(dāng)解決的問(wèn)題存在一些不確定因素,這時(shí)常用分類(lèi)討論法按一定的標(biāo)準(zhǔn)或原則分為若干類(lèi)、然后逐類(lèi)求解,再綜合這幾點(diǎn)的結(jié)論從而求解。例2已知0≤a≤4,那么的最大值等于()(A)1(B)5(C)8(D)3解析:根據(jù)已知條件采用取零點(diǎn)分段討論法求最大值。根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義,a=2,a=3是兩個(gè)零點(diǎn),結(jié)合0≤a≤4分成0≤a≤2,2<a≤3,3<a≤4三段討論:①當(dāng)0≤a≤2時(shí),原式=5-2a,當(dāng)a=0時(shí)達(dá)到最大值5;②當(dāng)2<a≤3時(shí),原式=1;③當(dāng)3<a≤4時(shí),原式=2a-5,當(dāng)a=4時(shí)達(dá)到最大值3.綜合①②③在0≤a≤4范圍,原式的最大值為5,所以選B。三、數(shù)形結(jié)合法有些代數(shù)問(wèn)題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義,或以某種方式與幾何圖形相關(guān)聯(lián),則可以通過(guò)作出與其相關(guān)的幾何圖形,將代數(shù)問(wèn)題的條件及數(shù)量關(guān)系直接在圖形中表現(xiàn)出來(lái),從而利用幾何關(guān)系來(lái)求解。例3使取最小值的實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)________。解析:通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn),題設(shè)條件中有明顯的幾何意義。即可將、分別視為x、2和(8-x)、4為直角邊的直角三角形的斜邊,進(jìn)而構(gòu)造如圖所示的幾何圖形。AC⊥AB,BD⊥AB,且AC=2,BD=4,AB=8。(2)設(shè)點(diǎn)Q的坐班為(m,0),過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G。由,得∴B的坐標(biāo)為(-2,0),∴AB=6,BQ=m+2.∵QE∥AC,∴△BQE~△BAC,∴,即∴EG=,∴S△CQE=S△CBQ-S△EBQ=×CO-×EG=(m+2)()=∵a=-<0,∴S△CQE有最大值。即當(dāng)m=1時(shí),S△CQE有最大值為3,此時(shí)Q(1,0)。五、不等式法一些要求最大利潤(rùn),最優(yōu)方案生活問(wèn)題,可根據(jù)題意把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式模型,從而求出某些量的取值范圍,再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解。例6:某加工廠以每噸3000元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)50噸原料進(jìn)行加工,若進(jìn)行粗加工,每噸加工費(fèi)為600元,需天,每噸售價(jià)4000元;若進(jìn)行精加工,每噸加工費(fèi)用為900元,需天,每噸售價(jià)為4500元,現(xiàn)將這50噸原料全部加工完。(1)設(shè)其中粗加工x噸,獲利y元,求y與x的函數(shù)關(guān)系式。(2)如果必須在20天內(nèi)完,如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?解析:粗加工x噸,則細(xì)加工為(50-x)噸,粗加工每噸利潤(rùn)為(4000-3000)元,細(xì)加工每噸利潤(rùn)為(4500-3000)元。則y=(4000-3000)x-600x+(4500-3000)(50-x)-900(50-x)=-200x+30000由題意知:x+(50-x)≤20,得x≥30,∴30≤x≤50。當(dāng)x=30時(shí),最大值y=-200×30+3000=2400(元)。故粗加工=10(天),精加工=10(天)所以10天粗加工,10天精加工可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是24000元。六、垂線段法在一些幾何問(wèn)題中要求線段、周長(zhǎng)、面積最小值時(shí),可通過(guò)把相關(guān)線段特殊化,化為垂線段,根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)從而得解。例7:邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是AD上異于A、D兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是CD上的動(dòng)點(diǎn),且滿足AE+CF=a,如圖。(1)證明:不論E、F怎樣移動(dòng),△BEF總是正三角形,求出△BEF面積最小值。解析:連結(jié)BD,可證△BED≌△BFC,易得∠EBF=60°,且EB=BF,故△BEF為正三角形。(2)由于△BEF面積大小是由BE邊所決定,根據(jù)垂線段最短,當(dāng)BE⊥AD時(shí),BE最短,這時(shí)E為AD中點(diǎn),因此,為所求最小值。S△BEF=×=七、判別式法求某些字母代數(shù)式的最值時(shí)可設(shè)整個(gè)代數(shù)式為一個(gè)新的字母再變形轉(zhuǎn)化為某個(gè)字母的一元二次方程,進(jìn)而根據(jù)一元二次方程根的判別式去求出新字母的取值范圍,即確定原代數(shù)式的取值范圍,從而得解。例8:設(shè)a,b為實(shí)數(shù),那么代數(shù)式的最小值是多少?解析:設(shè)t=,變形得關(guān)于a的一元二次方程,。因?yàn)閍、b、t為實(shí)數(shù),因此有,△=≥0,即4t≥∴4t≥-4,t≥-1.故當(dāng)a=0,b=1時(shí),t有最小值,即代數(shù)式有最小值-1。八、對(duì)稱(chēng)變換法求某些幾何圖形中的線段的和的最小值時(shí),可采用軸對(duì)稱(chēng)變換的方法將其中一條線段變換,進(jìn)而把兩條線段合并成一條線段根從而求出最值。例9:如圖,正方形ABC的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)E在BC上,且BE=2,點(diǎn)P在BD上移動(dòng),則PE+PC的最小值是多少?解析:作E點(diǎn)關(guān)于直線BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′,則E′點(diǎn)在AB上,且BE′=2,PE′=PE。又PE+PC=PE′+PC≥E′C(當(dāng)E′、P、C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)),所以PE+PC的最小值為:E′C==九、換元法對(duì)于形如的函數(shù),一般可考慮用換元法將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),通過(guò)求二次函數(shù)的最值來(lái)達(dá)到求原函數(shù)的最值的目的。例10求函數(shù)y=x-的最值。解析:設(shè),則,∴,∴當(dāng)t=0,即x=時(shí),y最大值=,y無(wú)最小值。十、消元法對(duì)于有條件等式的多元問(wèn)題,常通過(guò)消元法把多個(gè)元素轉(zhuǎn)化為以某一元素為主元的等式,再結(jié)合已知條件,經(jīng)過(guò)合理的運(yùn)算,使問(wèn)題逐步簡(jiǎn)化,再求解。例11a、b、c是非負(fù)實(shí)數(shù),并且滿足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,設(shè)m=3a解析:把視c為主元,由已知,求得a=7c-3,b=7-11c。由于a、b、c是非負(fù)實(shí)數(shù),則有:從而有≤c≤又m=3a+b-7c=3c-2∴-≤m≤于是x=-,y=-,∴xy=十一、枚舉法有些求最值問(wèn)題可根據(jù)已知條件列舉所有可能出現(xiàn)的情形,再通過(guò)計(jì)算后進(jìn)行比較結(jié)果從而求出。例12:若a、b、c、d是四個(gè)不相等的自然數(shù),且abcd=2583,求S=a+b+c+d的最值。解析:∵2583=1×7×9×41=1×3×21×41=1×3×7×123,∴a、b、c、d的值為1,7,9,41或1,3,21,41或1,3,7,123.∴S=a+b+c+d=58或66或134,∴S最大值=134,S最小值=58十二、估算法對(duì)所要考察的代數(shù)式的取值情況,進(jìn)行恰當(dāng)?shù)墓浪悖_定其范圍,可促使問(wèn)題簡(jiǎn)明快捷地獲解。例13:五個(gè)互不相等自然的平均數(shù)是15,中位數(shù)是18,這五個(gè)數(shù)中最大數(shù)的最大值為()(A)35(B)36(C)37(D)38解析:設(shè)這五個(gè)數(shù)中其余四個(gè)數(shù)分別為a、b、c、
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