專(zhuān)題19特殊平行四邊形一、菱形定義:一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.性質(zhì):菱形的四條邊相等,兩條對(duì)角線互垂直平分,且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

3.判定方法:①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;

②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形;

③四條邊都相等的四邊形是菱形.

4.設(shè)菱形對(duì)角線長(zhǎng)分別為l1,l2,則S菱形=SKIPIF1<0l1l2.二、矩形定義:有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形.性質(zhì):矩形的對(duì)角線互相平分且相等,四個(gè)角都是直角.

判定方法:①有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;

②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形;

③有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

4.設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為a,b,則S矩形=ab.三、正方形1.正方形的定義：有一組鄰邊相等,并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形.2.正方形的性質(zhì)（1）正方形既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì).（2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等.

（3）正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分.

3.正方形的判定方法（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形.

（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.

（3）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.

（4）對(duì)角線相等的菱形是正方形.

4.平行四邊形、矩形、菱形與正方形之間的聯(lián)系【考點(diǎn)1】菱形的性質(zhì)與判定【例1】（性質(zhì)）（2022·四川自貢）如圖，菱形SKIPIF1<0對(duì)角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)SKIPIF1<0重合，點(diǎn)SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)菱形的中心對(duì)稱(chēng)性，A、C坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，利用橫反縱也反的口訣求解即可．【詳解】∵菱形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)，∴A、C坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴C的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，故選C．【例2】（判定）（2022·黑龍江齊齊哈爾）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，SKIPIF1<0，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是______________．（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）【答案】AB=CD或AD∥BC或OA=OC或OB=OD等（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）【分析】由菱形的判定方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：可以添加的條件是：AB＝CD，理由如下：∵SKIPIF1<0，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；也可以添加條件是：SKIPIF1<0，利用如下：∵SKIPIF1<0，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；也可以添加的條件是OA=OC，利用如下：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（AAS），∴AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；也可以添加的條件是OB=OD，利用如下：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（AAS），∴AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．故答案為：AB=CD或AD∥BC或OA=OC或OB=OD等．（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）菱形的證明方法（三種）①先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明平行四邊形ABCD的任一組鄰邊相等.②先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明平行四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直.③證明四邊形ABCD的四條邊相等.1．（2022·海南）如圖，菱形SKIPIF1<0中，點(diǎn)E是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若SKIPIF1<0，則菱形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．5 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】過(guò)C作CM⊥AB延長(zhǎng)線于M，根據(jù)SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，由菱形的性質(zhì)表示出BC=4x，BM=3x，根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算即可．【詳解】過(guò)C作CM⊥AB延長(zhǎng)線于M，∵SKIPIF1<0∴設(shè)SKIPIF1<0∵點(diǎn)E是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)∴SKIPIF1<0∵菱形SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，CE∥AB∵SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，CM⊥AB∴四邊形EFMC是矩形∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴BM=3x在Rt△BCM中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）∴SKIPIF1<0故選：B．2．（2021·廣東）下列命題中，為真命題的是（）（1）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形（2）對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形（4）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）【答案】B【分析】正確的命題叫真命題，根據(jù)定義解答．【詳解】解：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故（1）是真命題；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故（2）不是真命題；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故（3）不是真命題；有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故（4）是真命題；故選：B．3．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0是對(duì)角線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】取AC的中點(diǎn)M，連接EM設(shè)SKIPIF1<0由中位線性質(zhì)可得SKIPIF1<0再根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0從而得到FC的長(zhǎng)，即可得到SKIPIF1<0的結(jié)果．【詳解】解：如圖所示：取AC的中點(diǎn)M，連接EM，DM，設(shè)SKIPIF1<0∵點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，∴EM是SKIPIF1<0的中位線，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，∠AMD=90°，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴DM=SKIPIF1<0，∴AM=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：D．4．（2022·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，菱形SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均在坐標(biāo)軸上，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．3 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接BE，則線段BE的長(zhǎng)即是PD+PE的最小值．【詳解】如圖：連接BE，，∵菱形ABCD，∴B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，∵直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長(zhǎng)度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴△CDB是等邊三角形∴SKIPIF1<0∵點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0,且BE⊥CD，∴SKIPIF1<0故選：A．5．（2021·遼寧）如圖，在SKIPIF1<0中，點(diǎn)O是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0并延長(zhǎng)交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（2）若SKIPIF1<0，判斷四邊形SKIPIF1<0的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）四邊形ACDE是菱形，理由見(jiàn)詳解．【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，即可判定SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，再根據(jù)CD∥AE，即可證得四邊形ACDE是平行四邊形；（2）利用（1）的結(jié)論和平行四邊形的性質(zhì)可得AC=CD，由此即可判定是菱形．【詳解】（1）證明：在SKIPIF1<0ABCD中，AB∥CD，∴SKIPIF1<0，∵點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵BE∥CD，∴四邊形ACDE是平行四邊形；（2）解：由（1）知四邊形ACDE是平行四邊形，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形ACDE是菱形．【考點(diǎn)2】矩形的性質(zhì)與判定【例3】（性質(zhì)）（2021·四川巴中·中考真題）如圖，矩形AOBC的頂點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(﹣10，8)，點(diǎn)D在AC上，將SKIPIF1<0BCD沿BD翻折，點(diǎn)C恰好落在OA邊上點(diǎn)E處，則tan∠DBE等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折疊的性質(zhì)得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的長(zhǎng)，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用SKIPIF1<0求解即可.【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，在直角三角形BEO中：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在直角三角形ADE中：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵∠DEB=90°，∴SKIPIF1<0，故選D.【例4】（判定）（2022·陜西）在下列條件中，能夠判定SKIPIF1<0為矩形的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)矩形的判定定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】當(dāng)AB=AC時(shí)，不能說(shuō)明SKIPIF1<0是矩形，所以A不符合題意；當(dāng)AC⊥BD時(shí)，SKIPIF1<0是菱形，所以B不符合題意；當(dāng)AB=AD時(shí)，SKIPIF1<0是菱形，所以C不符合題意；當(dāng)AC=BD時(shí)，SKIPIF1<0是矩形，所以D符合題意．故選：D．矩形的證明方法（三種）①先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明平行四邊形ABCD的任意一個(gè)角為直角.②先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明平行四邊形ABCD的對(duì)角線相等.③證明四邊形ABCD的三個(gè)角是直角.1．（2022·貴州黔東南）如圖，矩形SKIPIF1<0的對(duì)角線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)是_______．【答案】20【分析】首先由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OD=5，由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又可判定四邊形CODE是菱形，繼而求得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD=10，OA=OC，OB=OD，∴OC=OD=SKIPIF1<0BD=5，∵SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0．，∴四邊形CODE是平行四邊形，∵OC=OD=5，∴四邊形CODE是菱形，∴四邊形CODE的周長(zhǎng)為：4OC=4×5=20．故答案為20．2．（2022·廣西賀州）如圖，在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，SKIPIF1<0的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的周長(zhǎng)最小值為_(kāi)_________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】在CD上取點(diǎn)H，使DH=DE，連接EH，PH，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥CD于點(diǎn)K，可得DG垂直平分EH，從而得到當(dāng)點(diǎn)F、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0的周長(zhǎng)最小，最小值為FH+EF，再分別求出EF和FH，即可求解．【詳解】解：如圖，在CD上取點(diǎn)H，使DH=DE，連接EH，PH，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥CD于點(diǎn)K，在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，∴△DEH為等腰直角三角形，∵DG平分∠ADC，∴DG垂直平分EH，∴PE=PH，∴SKIPIF1<0的周長(zhǎng)等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，∴當(dāng)點(diǎn)F、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0的周長(zhǎng)最小，最小值為FH+EF，∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，∴AE=DE=DH=3，AF=4，∴EF=5，∵FK⊥CD，∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，∴四邊形ADKF為矩形，∴DK=AF=4，F(xiàn)K=AD=6，∴HK=1，∴SKIPIF1<0，∴FH+EF=SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的周長(zhǎng)最小為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<03．（2022·遼寧營(yíng)口）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，點(diǎn)M在SKIPIF1<0邊上，把SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0折疊，使點(diǎn)B落在SKIPIF1<0邊上的點(diǎn)E處，連接SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)B作SKIPIF1<0，垂足為F，若SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先證明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=SKIPIF1<0，從而可得AD=BC=SKIPIF1<0，最后求得AE的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵SKIPIF1<0，∴∠BFC=∠CDE，∵把SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0折疊，使點(diǎn)B落在SKIPIF1<0邊上的點(diǎn)E處，∴BC=EC，在△BFC與△CDE中，SKIPIF1<0∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴SKIPIF1<0，∴AD=BC=CE=SKIPIF1<0，∴AE=AD-DE=SKIPIF1<0，故選：A．4．（2021·四川自貢市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)．求證：DE=BF．【答案】證明見(jiàn)試題解析．【分析】由矩形的性質(zhì)和已知得到DF=BE，AB∥CD，故四邊形DEBF是平行四邊形，即可得到答案．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，又E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，∴DF=BE，又AB∥CD，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DE=BF．5．（2021·青海西寧·中考真題）如圖，四邊形SKIPIF1<0是菱形，對(duì)角線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點(diǎn)O，SKIPIF1<0．（1）求證：四邊形SKIPIF1<0是矩形；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求矩形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）利用全等三角形性質(zhì)和菱形對(duì)角線互相垂直平分，證四邊形SKIPIF1<0是矩形；（2）根據(jù)菱形性質(zhì)得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由含30度直角三角形的性質(zhì)求出OB，即可求解．【解析】（1）證明：∵△BOC?△CEB．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）∵四邊形SKIPIF1<0是菱形，∴SKIPIF1<0（菱形的兩條對(duì)角線互相垂直）∴SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）；（2）∵四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（菱形的四條邊相等），SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）SKIPIF1<0，∴矩形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)SKIPIF1<0．【考點(diǎn)3】正方形的性質(zhì)與判定【例5】（性質(zhì)）（2022·江蘇無(wú)錫）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G，則BG＝________．【答案】1【分析】連接AG，EG，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得AG=EG，由點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，得CE=4，設(shè)BG=x，則CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．【詳解】解：連接AG，EG，如圖，∵HG垂直平分AE，∴AG=EG，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴CE=4，設(shè)BG=x，則CG=8-x，由勾股定理，得EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，∴（8-x）2+42=82+x2，解得：x=1，故答案為：1．【例6】（判定）（2022·湖北隨州）七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對(duì)角線，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，SKIPIF1<0分別交BD，EF于O，P兩點(diǎn)，M，N分別為BO，DC的中點(diǎn)，連接AP，NF，沿圖中實(shí)線剪開(kāi)即可得到一副七巧板，則在剪開(kāi)之前，關(guān)于該圖形，下列說(shuō)法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②四邊形MPEB是菱形；③四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的SKIPIF1<0．正確的有（

）A．只有① B．①② C．①③ D．②③【答案】C【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和中位線定理證明圖中所有三角形是等腰直角三角形，再證明四邊形MPEB是平行四邊形但不是菱形，最后再證明四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的SKIPIF1<0即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴△ABD、△BCD是等腰直角三角形，∵SKIPIF1<0，∴∠APF＝∠APE＝90°，∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線，CE＝SKIPIF1<0BC，CF＝SKIPIF1<0CD，∴CE＝CF，∵∠C＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EFSKIPIF1<0BD，EF＝SKIPIF1<0BD，∴∠APE＝∠AOB＝90°，∠APF＝∠AOD＝90°，∴△ABO、△ADO是等腰直角三角形，∴AO＝BO，AO＝DO，∴BO＝DO，∵M(jìn)，N分別為BO，DO的中點(diǎn)，∴OM＝BM＝SKIPIF1<0BO，ON＝ND＝SKIPIF1<0DO，∴OM＝BM＝ON＝ND，∵∠BAO＝∠DAO＝45°，∴由正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，則A、P、C三點(diǎn)共線，PE＝PF＝SKIPIF1<0EF＝ON＝BM＝OM，連接PC，如圖，∴NF是△CDO的中位線，∴NFSKIPIF1<0AC，NF＝SKIPIF1<0OC＝SKIPIF1<0OD＝ON＝ND，∴∠ONF＝180°－∠COD＝90°，∴∠NOP＝∠OPF＝∠ONF＝90°，∴四邊形FNOP是矩形，∴四邊形FNOP是正方形，∴NF＝ON＝ND，∴△DNF是等腰直角三角形，∴圖中的三角形都是等腰直角三角形；故①正確，∵PESKIPIF1<0BM，PE＝BM，∴四邊形MPEB是平行四邊形，∵BE＝SKIPIF1<0BC，BM＝SKIPIF1<0OB，在Rt△OBC中，BC＞OB，∴BE≠BM，∴四邊形MPEB不是菱形；故②錯(cuò)誤，∵PC＝PO＝PF＝OM，∠MOP＝∠CPF＝90°，∴△MOP≌△CPF（SAS），∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故③正確，故選：C正方形的證明方法（四種）（1）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明平行四邊形ABCD的一個(gè)角為直角且有一組鄰邊相等.（2）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明平行四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直且相等.（3）先證明四邊形ABCD為矩形，再證明矩形ABCD的一組鄰邊相等（或?qū)蔷€互相垂直）.（4）先證明四邊形ABCD為菱形，再證明菱形ABCD的一個(gè)角為直角（或?qū)蔷€相等）.正方形的性質(zhì)（四種）（1）正方形的四條邊相等，對(duì)角線相等且互相平分；（2）正方形的面積等于對(duì)角線乘積的一半；（3）正方形既具有矩形的全部性質(zhì)，又具有菱形的全部性質(zhì)．1．（2022·重慶）如圖，在正方形SKIPIF1<0中，對(duì)角線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于點(diǎn)O．E、F分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的度數(shù)為（

）A．50° B．55° C．65° D．70°【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，進(jìn)而得到∠CBE的度數(shù)．【詳解】解：在正方形SKIPIF1<0中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，∵SKIPIF1<0，∴△AOF≌△BOE（SAS），∴∠OBE=∠OAF，∵OE=OF，∠EOF=90°，∴∠OEF=∠OFE=45°，∵SKIPIF1<0，∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，故選：C．2．（2021·廣西河池·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AC上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則AF的長(zhǎng)是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用勾股定理即可求得SKIPIF1<0．【解析】如圖，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（AAS），SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選B3．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，連結(jié)BE，以BE為對(duì)角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對(duì)角線BD相交于點(diǎn)H，連結(jié)AF，有以下五個(gè)結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，你認(rèn)為其中正確是_____（填寫(xiě)序號(hào)）【答案】①②③④【分析】①四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對(duì)角線，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根據(jù)等式的基本性質(zhì)確定出SKIPIF1<0；②再根據(jù)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的SKIPIF1<0倍，得到兩邊對(duì)應(yīng)成比例，再根據(jù)角度的相減得到夾角相等，利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似即可判斷；④根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似得到△EBH∽△DBE，從而得到比例式，根據(jù)BE＝SKIPIF1<0BG，代換即可作出判斷；③由相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出AF在正方形ABCD對(duì)角線上，根據(jù)正方形對(duì)角線垂直即可作出判斷．⑤設(shè)CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，結(jié)合BE2＝BH?BD，求出BH，DH，即可判斷．【詳解】解：①∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對(duì)角線，∴∠ABD＝∠FBE＝45°，又∵∠ABF＝45°?∠DBF，∠DBE＝45°?∠DBF，∴SKIPIF1<0，∴選項(xiàng)①正確；②∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，∴AD＝AB，BF＝BE，∴BD＝SKIPIF1<0AB，BE=SKIPIF1<0BF，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴選項(xiàng)②正確；④∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對(duì)角線，∴∠BEH＝∠BDE＝45°，又∵∠EBH＝∠DBE，∴△EBH∽△DBE，∴SKIPIF1<0，即BE2＝BH?BD，又∵BE＝SKIPIF1<0BG，∴SKIPIF1<0，∴選項(xiàng)④確；③由②知：SKIPIF1<0，又∵四邊形ABCD為正方形，BD為對(duì)角線，∴∠BAF＝∠BDE＝45°，∴AF在正方形另外一條對(duì)角線上，∴AF⊥BD，∴③正確，⑤∵SKIPIF1<0，∴設(shè)CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，∴BE=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵BE2＝BH?BD，∴SKIPIF1<0，∴DH=BD-BH=SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，故⑤錯(cuò)誤，綜上所述：①②③④正確，故答案是：①②③④．4．（2022·四川達(dá)州）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形SKIPIF1<0中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別交對(duì)角線SKIPIF1<0于點(diǎn)P，Q．點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．以下結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0為等腰直角三角形；⑤若過(guò)點(diǎn)B作SKIPIF1<0，垂足為H，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____．【答案】①②④⑤【分析】連接BD，延長(zhǎng)DA到M，使AM=CF，連接BM，根據(jù)正方形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可判斷①正確；通過(guò)證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可證明②正確；作SKIPIF1<0，交AC的延長(zhǎng)線于K，在BK上截取BN=BP，連接CN，通過(guò)證明SKIPIF1<0，可判斷③錯(cuò)誤；通過(guò)證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用相似三角形的性質(zhì)即可證明④正確；當(dāng)點(diǎn)B、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH的值最小，分別求解即可判斷⑤正確．【詳解】如圖1，連接BD，延長(zhǎng)DA到M，使AM=CF，連接BM，SKIPIF1<0四邊形ABCD是正方形，SKIPIF1<0垂直平分BD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故①正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故②正確；如圖2，作SKIPIF1<0，交AC的延長(zhǎng)線于K，在BK上截取BN=BP，連接CN，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故③錯(cuò)誤；如圖1，SKIPIF1<0四邊形ABCD是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為等腰直角三角形，故④正確；如圖1，當(dāng)點(diǎn)B、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH的值最小，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故⑤正確；故答案為：①②④⑤．5．（2022·山東泰安）如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE．過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE=AP=1，PB=SKIPIF1<0．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為SKIPIF1<0；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+SKIPIF1<0