模塊二常見模型專練

專題30半角模型

例1（2022年·貴州黔西·中考真題）綜合與實(shí)踐

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量

關(guān)系為．

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若

∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明．

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長線上，

若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．

第1頁共20頁.

從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平

面幾何模型稱為半角模型。

模型1：正方形中的半角模型

模型2：等腰直角三角形中的半角模型

結(jié)論一

半角模型中射線與端點(diǎn)對(duì)邊交點(diǎn)的連線長等于端點(diǎn)兩相鄰點(diǎn)到各自最近交點(diǎn)的距離和。

即如圖中，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E,F分別在BC和CD邊上，滿足∠EAF=45°，連結(jié)EF，則有：EF=BE+DF。

結(jié)論二

兩射線的公共端點(diǎn)是射線截端點(diǎn)兩對(duì)邊所得直角三角形的一個(gè)旁心，即射線平分截得的直角三角形兩

銳角的外角。

結(jié)論三

兩射線的端點(diǎn)到射線與端點(diǎn)兩對(duì)邊交點(diǎn)的連線的距離等于正方形的邊長。

結(jié)論四

過兩射線的端點(diǎn)且垂直于射線與端點(diǎn)兩對(duì)邊交點(diǎn)連線的直線分“半角三角形”得的兩個(gè)三角形與半角

三角形外的兩個(gè)小三角形分別全等。

結(jié)論五

射線截端點(diǎn)兩對(duì)邊所得直角三角形的兩直角邊相等時(shí)，其斜邊長取到最小值，其面積取到最大值。

第2頁共20頁.

【變式1】（2021·遼寧·沈陽市南昌中學(xué)（含：西校區(qū)、光榮中學(xué)）九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD與

菱形EBGF的頂點(diǎn)B重合，頂點(diǎn)F在射線AC上運(yùn)動(dòng)，且，對(duì)角線AC、BD相交于

點(diǎn)O．

（1）如圖1．當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)，直接寫出的值為；

（2）當(dāng)頂點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到如圖2的位置時(shí)，連接CG，，且，試探究CG與DF的數(shù)量關(guān)系，

說明理由，并直接寫出直線CG與DF所夾銳角的度數(shù)；

（3）如圖3，取點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，若B、E、P三點(diǎn)共線，且當(dāng)CF＝2時(shí)，請(qǐng)直接寫出BP的長．

第3頁共20頁.

【變式2】（2021·河南平頂山·九年級(jí)期中）（1）閱讀理解

如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點(diǎn)，∠EAF＝45°，則我們常常會(huì)想到：把ADE

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到ABG．易證AEF≌，得出線段BF，DE，EF之間的關(guān)系為；

（2）類比探究

如圖2，在等邊ABC中，D，E為BC邊上的點(diǎn)，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求線段DE的長；

（3）拓展應(yīng)用

如圖3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，點(diǎn)D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等

腰ADE的腰，請(qǐng)直接寫出線段BD的長．

第4頁共20頁.

【變式3】（2021·遼寧沈陽·一模）（1）思維探究：

如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，且∠EAF＝45°，連接EF，則三條線段EF，BE，

DF滿足的等量關(guān)系式是；小明的思路是：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△ABG的位置，并

說明點(diǎn)G，B，E在同一條直線上，然后證明△AEF≌即可得證結(jié)論；（只需填空，無需證明）

（2）思維延伸：

如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，且∠DAE＝45°，

猜想三條線段BD，DE，EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并說明理由；

（3）思維拓廣：

如圖3，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC＝5，點(diǎn)D，E均在直線BC上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，且∠DAE

＝30°，當(dāng)BD＝1時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CE的長．

第5頁共20頁.

【變式4】（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于點(diǎn)

O．

(1)求邊AB的長；

(2)求∠BAC的度數(shù)；

(3)如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三

角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．判斷AEF是哪一種特殊三角形，并說明理

由．△

21．（2020·重慶江津·八年級(jí)期中）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，

∠ECG=45°，求證EG=BE+GD．

（2）請(qǐng)用（1）的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)完成此題：如圖2，在四邊形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，

E是AB上一點(diǎn)，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的長？

第6頁共20頁.

【變式5】（2020·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料：

已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若∠DAE＝

45°．探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：

（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長線上時(shí)，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究

的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明；

（3）已知：如圖（3），等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，且∠DCE＝30°，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使

線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)．

第7頁共20頁.

【培優(yōu)練習(xí)】

1．（2022秋·山西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何

模型稱為半角模型．半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：

如下圖1，在正方形ABCD中，以A為頂點(diǎn)的EAF45，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點(diǎn)．易

證得EFBEFD．

大致證明思路：如圖2，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到ABH，由HBE180可得H、B、E三

點(diǎn)共線，HAEEAF45，進(jìn)而可證明AEH≌AEF，故EFBEDF．

任務(wù)：

如圖3，在四邊形ABCD中，ABAD，BD90，BAD120，以A為頂點(diǎn)的EAF60，AE、

AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點(diǎn)．請(qǐng)參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論EFBEDF是否依

然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．

第8頁共20頁.

2．（2022秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、

CD上，且EAF45，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方

法．

(1)在圖1中，連接EF，為了證明結(jié)論“EFBEDF”，小亮將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后解答了這

個(gè)問題，請(qǐng)按小亮的思路寫出證明過程；

(2)如圖2，當(dāng)EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

第9頁共20頁.

3．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）【閱讀理解】如圖，已知ABC中，ABAC，點(diǎn)D、E

1

是邊BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足DAEBAC，

2

求證：BDCEDE．

我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．

小明的解題思路：將半角DAE兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)，在一邊合并成新的△AFE，然后證明與半角形成

的VADE全等，再通過全等的性質(zhì)進(jìn)行等量代換，得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．

請(qǐng)你根據(jù)小明的思路寫出完整的解答過程．

證明：將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ACF，使AB與AC重合，連接EF，

……

（2）【應(yīng)用提升】如圖，正方形ABCD（四邊相等，四個(gè)角都是直角）的邊長為4，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每

秒1個(gè)單位長度的速度沿射線AD點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿射線AD方向向右運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，連接BP，過點(diǎn)P作BP的垂線交過點(diǎn)Q平行于CD的直線l于點(diǎn)E，BE

與CD相交于點(diǎn)F，連接PF，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，

①求PBE的度數(shù)；

②試探索在運(yùn)動(dòng)過程中△PDF的周長是否隨時(shí)間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個(gè)

定值．

第10頁共20頁.

4．（2021秋·廣西南寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、

BC上，且∠MAN=45°，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方

法．如，小明將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE，如圖②．從而證明出了

DM+BN=MN．

(1)請(qǐng)你按照小明的方法證明：DM+BN=MN；

【類比延伸】

(2)如圖③，點(diǎn)N、M分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，∠MAN=45°，連接數(shù)MN，請(qǐng)根據(jù)小

明的發(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

第11頁共20頁.

5．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）問題背景：在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用方法．如圖①，在

四邊形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EAF60，

連接EF，探究線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系．

(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△ADG的位置，使得AB與AD重合，

然后證明△AGF≌△AEF，從而得出結(jié)論：____________；

(2)拓展延伸：如圖②，在正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且EAF45，連接EF，（1）中

的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程，若不成立，請(qǐng)說明理由．

(3)嘗試應(yīng)用：在（2）的條件下，若BE3，DF2，求正方形ABCD的邊長．

第12頁共20頁.

6．（2020秋·重慶璧山·九年級(jí)重慶市璧山中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）“半角型”問題探究：如圖1，在四邊形ABCD

中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)

量關(guān)系．

（1）小明同學(xué)的方法是將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE≌△AFG，

從而得出結(jié)論：

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF

1

＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．

2

（3）如圖3，邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，AE＝CF＝1，O為EF的中點(diǎn)，

動(dòng)點(diǎn)G、H分別在邊AD、BC上，EF與GH的交點(diǎn)P在O、F之間（與O、F不重合），且∠GPE＝45°，

設(shè)AG＝m，求m的取值范圍．

第13頁共20頁.

7．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、

BC上，且MAN=45，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方

法．如圖①，將ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到ABE，連接AM、AN、MN．

（1）試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．

（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，MAN=45，連接MN，請(qǐng)寫出

MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．

（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B+D=180，點(diǎn)N，M分別在邊BC，CD

上，MAN=60，請(qǐng)直接寫出線段BN，DM，MN之間的數(shù)量關(guān)系．

第14頁共20頁.

8．（2020秋·河南安陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B

＝ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再

證明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，他的結(jié)論應(yīng)是．

像上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型．

拓展

（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF

1

＝∠BAD，則BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是．請(qǐng)證明你的結(jié)論．

2

實(shí)際應(yīng)用

（3）如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏

東70°的B處，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度

前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分

別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離是海里（直接寫出答案）．

第15頁共20頁.

9．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，連接

EF，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路．例如圖

中△ADF與△ABG可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°的關(guān)系．這可以證明結(jié)論“EF＝BE＋DF”，請(qǐng)補(bǔ)充輔助線的作法，

并寫出證明過程．

（1）延長CB到點(diǎn)G，使BG＝，連接AG；

（2）證明：EF＝BE＋DF

10．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知如圖1，四邊形ABCD是正方形，E,F分別在邊BC、CD上，且

EAF45，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．

（1）在圖l中，連接EF，為了證明結(jié)論“EFBEDF”，小亮將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后解答了這

個(gè)問題，請(qǐng)按小亮的思路寫出證明過程；

（2）如圖2，當(dāng)EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（3）如圖3，如果四邊形ABCD中，ABAD，BADBCD90，∠EAF=45o，且BC7，DC13，

CF5，求BE的長．

第16頁共20頁.

11．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖①：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=ADC=90°，

E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再

證明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，他的結(jié)論應(yīng)是____________．

象上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角

模型．

（2）拓展如圖②，若在四邊形ABCD中,，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且

1

∠EAF=∠BAD，則BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是________________．

2

請(qǐng)證明你的結(jié)論．

（3）實(shí)際應(yīng)用如圖③,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西35°的A處，艦艇乙在指揮中心

南偏東75°的B處,，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的

速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇

分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為65°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離是_____________海里(直接寫出

答案）．

第17頁共20頁.

12．（2022秋·遼寧鞍山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，

且EAF45，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．

(1)直接寫出圖1中線段EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2，當(dāng)EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

(3)如圖3，如果四邊形ABCD中，ABAD，BADBCD90，EAF45，且BC7，DC13，CF5，

求BE的長．

13．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)?？计谥校ㄌ剿靼l(fā)現(xiàn)）如圖①，四邊形ABCD是正方形，M,N分別在邊

CD、BC上，且MAN45，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常

用的方法，如圖①，將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到ABE，連接AM、AN、MN．

(1)試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；

(2)如圖①如果正方形的邊長為4，求三角形CMN的周長；

(3)如圖②，點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，MAN45，連接MN，請(qǐng)寫出

MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．

第18頁共20頁.

14．（2023·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）【模型建立】

(1)如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且EAF45，探究圖中線段EF，BE，

DF之間的數(shù)量關(guān)系．

小明的探究思路如下：延長CB到點(diǎn)G，使BGDF，連接AG，先證明ADF≌ABG