整理與復習第21章

一元二次方程

請你帶著下面的問題，進入本課的復習吧！

1．比較你所學過的各種整式方程，說明它們的未知數的個數與次數．你能寫出這些方程的一般形式嗎？

2．一元二次方程有哪些解法？各種解法在什么情況下比較適用？你能說說“降次”在解一元二次方程中的作用嗎？

3．求根公式與配方法有什么關系？如何判別一元二次方程根的情況？

請你帶著下面的問題，進入本課的復習吧！

4．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根x1，x2與系數a，b，c有什么關系？我們是如何得到這種關系的？

5．你能舉例說明用一元二次方程解決實際問題的過程嗎？例1

已知關于x的方程(2k＋1)x2＋k－4kx＋(k－1)＝0．當k為何值時，此方程是一元二次方程？寫出這個一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項．考點一一元二次方程及其相關概念

解：由題意得2＋k＝2且2k＋1≠0，解得k＝0．∴當

k＝0時，關于

x

的方程是一元二次方程，該一元二次方程為x2－1＝0．∴這個一元二次方程的二次項系數是1，一次項系數是0，常數項是－1．

一元二次方程滿足的三個條件

（1）整式方程；（2）只含有一個未知數；（3）未知數的最高次數是2．

考點一一元二次方程及其相關概念一元二次方程的二次項系數不為

0是易考點，同時也是易錯點．

1．已知關于x的方程是一元二次方程，試求代數式m2＋2m－4的值．考點一一元二次方程及其相關概念

解：根據題意，得m2－2＝2且m－2≠0，解得m＝±2且m≠2，

∴m＝－2．∴m2＋2m－4＝(－2)2＋2×(－2)－4＝4－4－4＝－4．

例2

用適當的方法解下列方程：

（1）2(x－1)2＝18；

（2）x2－2x＝2x＋1；

（3）(3y－1)(y＋1)＝4；

（4）x(2x＋3)＝2x＋3．考點二一元二次方程的解法解：（1）方程兩邊除以2，得(x－1)2＝9，則x－1＝3或－3，即x1＝4，x2＝－2．

（2）原方程可整理為x2－4x＋4＝5，

則(x－2)2＝5，解得x1＝，x2＝．

例2

用適當的方法解下列方程：

（1）2(x－1)2＝18；

（2）x2－2x＝2x＋1；

（3）(3y－1)(y＋1)＝4；

（4）x(2x＋3)＝2x＋3．考點二一元二次方程的解法解：（3）整理得3y2＋2y－5＝0，

則b2－4ac＝64＞0，

∴y＝＝，

∴y1＝1，y2＝．

例2

用適當的方法解下列方程：

（1）2(x－1)2＝18；

（2）x2－2x＝2x＋1；

（3）(3y－1)(y＋1)＝4；

（4）x(2x＋3)＝2x＋3．考點二一元二次方程的解法解：（4）移項得x(2x＋3)－(2x＋3)＝0，因式分解得(2x＋3)(x－1)＝0，則2x＋3＝0或x－1＝0，解得x1＝，x2＝1．

一元二次方程解法的選擇

（1）若方程符合a(x－n)2＝m(am≥0，a≠0)的形式，用直接開平方法解方程比較簡單；對于一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

而言，當b＝0時，用直接開平方法求解較好．

（2）對于一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，當c＝0時，用因式分解法比較簡單．考點二一元二次方程的解法

一元二次方程解法的選擇

（3）對于一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，當a，b，c均不為0，且不易因式分解時，一般采用公式法．

（4）配方法也是一種重要的解法，當二次項系數為1，一次項系數為偶數時，應用此方法比較簡單．對于復雜的一元二次方程，一般不急于化為方程的一般形式，應觀察其特點，看能否用直接開平方法或因式分解法；若不能，優(yōu)先選取的算法依次為直接開平方法→因式分解法→公式法→配方法．考點二一元二次方程的解法

例3

下列一元二次方程中，沒有實數根的是（）．

A．4x2－5x＋2＝0

B．x2－6x＝－9

C．5x2－4x－1＝0

D．3x2－4x＋1＝0考點三一元二次方程根的判別式

解析：選項A，Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×4×2＝－7＜0，所以方程沒有實數根；選項B，方程變形得x2－6x＋9＝0，Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0，所以方程有兩個相等的實數根；

分析：計算各方程Δ＝b2－4ac的值，根據Δ＝b2－4ac與0

的大小關系進行判斷．

例3

下列一元二次方程中，沒有實數根的是（）．

A．4x2－5x＋2＝0

B．x2－6x＝－9

C．5x2－4x－1＝0

D．3x2－4x＋1＝0考點三一元二次方程根的判別式

選項C，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，

所以方程有兩個不相等的實數根；選項D，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×1＝4＞0，

所以方程有兩個不相等的實數根．

故選A．A

一元二次方程根的判別式是判斷方程的根的情況的重要工具，主要從兩個方面考查：

一是利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況；

二是已知一元二次方程根的情況，利用根的判別式求方程中未知系數的取值范圍．考點三一元二次方程根的判別式

2．已知關于x

的方程ax2＋2x－3＝0有兩個不相等的實數根．（1）求a

的取值范圍；（2）若此方程的一個實數根為1，求a的值及方程的另一個實數根．考點三一元二次方程根的判別式解：（1）∵關于x

的方程ax2＋2x－3＝0有兩個不相等的實數根，∴Δ＞0，且a≠0，即22－4a·(－3)＞0，且a≠0，∴a＞且a≠0．

2．已知關于x

的方程ax2＋2x－3＝0有兩個不相等的實數根．（1）求a

的取值范圍；（2）若此方程的一個實數根為1，求a的值及方程的另一個實數根．考點三一元二次方程根的判別式解：（2）將x＝1

代入方程ax2＋2x－3＝0，解得a＝1．把a＝1代入，得方程x2＋2x－3＝0，解方程得x1＝1，x2＝－3．

∴a

的值為

1，方程的另一個實數根為－3．考點四一元二次方程根與系數的關系

例4

設x1，x2

是方程

2x2＋5x－7＝0

的兩個實數根，不解方程，求下列式子的值．（1）；

（2）．解：∵x1，x2是方程2x2＋5x－7＝0

的兩個實數根，∴

x1＋x2＝，x1x2＝．

（1）原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋7＝．考點四一元二次方程根與系數的關系

例4

設x1，x2

是方程

2x2＋5x－7＝0

的兩個實數根，不解方程，求下列式子的值．（1）；

（2）．

解：（2）原式

在實數范圍內，一元二次方程根與系數的關系的四個主要應用

一是已知方程的兩個根，可寫出一元二次方程；

二是已知方程的一個根，可求方程的另一個根及方程中的字母參數；

三是不解方程，直接利用兩根之積與兩根之和求與一元二次方程兩個實數根有關的代數式的值；

四是已知與方程兩個實數根有關的代數式的值，確定方程中的字母參數．考點四一元二次方程根與系數的關系

3．已知關于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0

有實數根．

（1）求

m的取值范圍；（2）如果方程的兩個實數根為x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范圍．考點四一元二次方程根與系數的關系解：（1）根據題意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，

解得m≤4．

（2）根據題意，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1．∵2x1x2＋x1＋x2≥20，∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3．

由（1）得m≤4，∴m的取值范圍為3≤m≤4．考點五一元二次方程的應用

例5

新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經過兩輪傳染后共有

169人患新冠肺炎（假設每輪傳染的人數相同），求每輪傳染中平均每個人傳染的人數．解：設每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，則第一輪傳染后有x

人被傳染，第二輪傳染后有x(1＋x)

人被傳染．

根據題意，得1＋x＋x(1＋x)＝169，解得x1＝12，x2＝－14（不合題意，舍去）．

答：每輪傳染中平均每個人傳染了12人．

一元二次方程是有效刻畫實際問題的一類數學模型．在實際問題中，讀懂題意、分析數量關系、建立方程模型是關鍵，需要注意以下三點：

一是整體地、系統地審清題意；

二是準確把握問題中的等量關系，并列方程；

三是正確求解方程，并檢驗解的合理性．考點五一元二次方程的應用

4．某種商品的標價為400元/件，經過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同．（1）求該種商品每次降價的百分率；解：（1）設該種商品每次降價的百分率為x

．根據題意，得

400(1－x)2＝324，

解得x＝0.1或x＝1.9（不合題意，舍去）．

答：該種商品每次降價的百分率為10%．考點五一元二次方程的應用

4．某種商品的標價為400元/件，經過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同．