Page14江蘇省2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬試題一．選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．（每題5分，8題共40分）1.已知集合，，且，則a＝（）A.0或 B.0或1 C.1或 D.0【答案】A【解析】【分析】依據(jù)集合元素相等列方程求解，留意集合元素的互異性對(duì)集合元素的限制.【詳解】∵，∴或，∴或a=，又由于集合元素的互異性，應(yīng)舍去1，∴或a=.故選：A．2.若“，”為真命題，“，”為假命題，則集合M可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由“，”為假命題，可得“”，，為真命題，可知A，B，D不正確，即可得出答案.【詳解】若“，”為假命題，所以“”，，為真命題，所以A，B，D不正確，解除A，B，D．故選：C．3.若命題：“，使”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用判別式即可得到結(jié)果.【詳解】∵“，使”是真命題，∴，解得.故選：C4.南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長分別為、、，則面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿意，，則此三角形面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由公式列出面積的表達(dá)式，代入，然后利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解】由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以三角形面積的最大值為.故選:B5.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合和取交集即可.詳解】，，所以.故選：A6.若“x>1或x<-2”是“x<a”的必要條件，則a的最大值是（）A.2 B.-2 C.-1 D.1【答案】B【解析】【分析】由必要不充分條件的定義結(jié)合數(shù)軸即可求解【詳解】∵“x>1或x<-2”是“x<a”的必要不充分條件，∴x<a?x>1或x<-2，但x>1或x<-2x<a.如圖所示，∴，∴a的最大值為-2.故選：B7.設(shè)集合，，且，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】分類探討解不等式，確定集合，依據(jù)，確定，求得答案.【詳解】解，即，當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)，不合題意；故，即，則，由于，，所以，解得，故選：C8.已知，則的最小值為（）A.50 B.49 C.25 D.7【答案】B【解析】【分析】由結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，依?jù)基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為49.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.（多選）下列說法中不正確的是（）A.集合為無限集B.方程的解構(gòu)成的集合的全部子集共4個(gè)C.D.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)題設(shè)條件利用無限集的定義、集合元素的性質(zhì)、子集的意義、集合相等的定義逐一推斷即可得解.【詳解】集合，不是無限集，故A中說法不正確；方程的解構(gòu)成的集合為，其全部子集為，，，，共4個(gè)，故B中說法正確；集合的元素為直線上的點(diǎn)，，故，故C中說法不正確；因?yàn)椋?，所以，故D中說法不正確．故選：ACD．10.（多選）下列命題為真命題的是（）A.，B.“”是“”的必要而不充分條件C.若x，y是無理數(shù)，則是無理數(shù)D.設(shè)全集為R，若，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，有實(shí)數(shù)解，舉例即可推斷；對(duì)B，分別推斷必要性和充分性；對(duì)C，x，y的無理數(shù)部分互為相反數(shù)時(shí)，不是無理數(shù)；對(duì)D，由補(bǔ)集概念即可推斷【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，成立，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，成立，但當(dāng)時(shí)，，所以“”是“”的必要而不充分條件，故B正確；對(duì)C，當(dāng)，時(shí)，，不是無理數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，全集為R，若，則，故D正確.故選：ABD.11.已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為M，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則關(guān)于x的不等式的解集也為MC.若，則關(guān)于x的不等式的解集為或D.若{為常數(shù)}，且，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，利用二次函數(shù)的圖象可知A正確；對(duì)于B，令，當(dāng)時(shí)，不等式的解集不為M，B不正確；對(duì)于C，依據(jù)求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正確；對(duì)于D，依據(jù)得到且，將代入，然后換元，利用基本不等式可求出最小值，可知D正確.詳解】對(duì)于A，若，即一元二次不等式無解，所以，故A正確；對(duì)于B，令，則，，，所以可化為，當(dāng)時(shí)，可化為，其解集為；當(dāng)時(shí)，可化為，其解集不等于，所以B不正確；對(duì)于C，若，則且和是一元二次方程的兩根，所以，，所以，，所以關(guān)于x的不等式可化為，可化為，因?yàn)?，所以，所以或，即不等式的解集為或，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閧為常數(shù)}，所以且，所以，因，所以，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，則時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)中，依據(jù)得到且，將代入，然后換元，利用基本不等式求解是解題關(guān)鍵.12.已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則（）A.ab的最大值為8 B.的最小值為8C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)條件進(jìn)行變形，利用不等式的基本性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一分析即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解不等式得，即，故的最大值為8，A正確；由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值8，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，D錯(cuò)誤．故選：ABC．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已如集合，則______【答案】【解析】【分析】由交集的定義求解即可【詳解】因?yàn)榧?，，所以，故答案為?4.已知集合，，設(shè)全集為R，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】解不等式求得，依據(jù)，分類探討m的取值，確定集合B，從而求得m的取值范圍.【詳解】解不等式，得，所以或，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，滿意題意；當(dāng)時(shí)，，滿意題意．當(dāng)時(shí)，，由，得，所以．綜上，m的取值范圍為．故答案為：15.已知，下列命題中正確的是______(將正確命題的序號(hào)填在橫線上)①若，則②若，則;③若，則;④若，則.【答案】②③【解析】【分析】①取檢驗(yàn)即可；②和③利用不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變更；④取檢驗(yàn)即可【詳解】①若，當(dāng)時(shí)，則，故①錯(cuò)誤；②若，不等式兩邊同時(shí)乘以，則，故②正確；③若，不等式兩邊同時(shí)乘以，則，故③正確；④若，當(dāng)時(shí)，則，故④錯(cuò)誤；故答案為：②③16.，，且恒成立，則的最大值為__．【答案】4【解析】【分析】將不等式變形分別出，不等式恒成馬上大于等于右邊的最小值；由于，湊出兩個(gè)正數(shù)的積是常數(shù)，利用基本不等式求最值．【詳解】解：由于恒成立，且即恒成立只要的最小值即可，，故，因此故答案為：4．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知全集，集合，．（1）若且，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)集合，若真子集共有個(gè)，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得和，進(jìn)而求得，再依據(jù)求解即可；（2）分狀況探討與分析即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，因此，．若，則或，解得或．又，所以．【小問2詳解】，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)集合共有個(gè)真子集，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)集合共有個(gè)真子集，符合題意，綜上所述，．18.若正數(shù)，，滿意．（1）求的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對(duì)干脆利用基本不等式，即可得出的最大值；（2）將看作一個(gè)整體，由，綻開后，再利用基本不等式，即可得出答案.【小問1詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)，時(shí)，．小問2詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴當(dāng)，時(shí)，．19.已知集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，再依據(jù)交集的定義即可得解；（2）由“”是“”的必要不充分條件，可得B是A的真子集，列出不等式組，從而可得出答案.【小問1詳解】解：若，則，所以；【小問2詳解】解：，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以B是A的真子集，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．20.黔東南某地有一座水庫，設(shè)計(jì)最大容量為128000m3．依據(jù)預(yù)料，汛期時(shí)水庫的進(jìn)水量（單位：m3）與天數(shù)的關(guān)系是，水庫原有水量為80000m3，若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫水量差最大容量23000m3時(shí)系統(tǒng)就會(huì)自動(dòng)報(bào)警提示，水庫水量超過最大容量時(shí)，堤壩就會(huì)發(fā)生危急；假如汛期來臨水庫不泄洪，1天后就會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)自動(dòng)報(bào)警．（1）求的值；（2）當(dāng)汛期來臨第一天，水庫就起先泄洪，估計(jì)汛期將持續(xù)10天，問：此期間堤壩會(huì)發(fā)生危急嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）汛期的第9天會(huì)有危急，理由見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)條件可建立方程，解出即可；（2）設(shè)第天發(fā)生危急，由題意得，解出此不等式，然后可得答案.【小問1詳解】由題意得：，即【小問2詳解】由（1）得設(shè)第天發(fā)生危急，由題意得，即，得．所以汛期的第9天會(huì)有危急21.2024年初，新冠肺炎疫情攻擊全國，對(duì)人民生命平安和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)峻影響．在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國限制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對(duì)企業(yè)和民眾帶來的損失．為降低疫情影響，某廠家擬在2024年實(shí)行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元滿意（k為常數(shù)），假如不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品須要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來計(jì)算）（1）將2024年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；（2）該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大為29萬元【解析】【分析】（1）依據(jù)題意列方程即可.（2）依據(jù)基本不等式，可求出的最小值，從而可求出的最大值.【小問1詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，（萬件），則，解得，∴．所以每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為（元），∴2024年的利潤．【小問2詳解】∵當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．∴，即萬元時(shí)，（萬元）．故該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大為29萬元．22.不等式的解集為，關(guān)于的不等式的解集為．（1）求集合，集合；（2）若集合中有2024個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍