第9章機械優(yōu)化設計9.1優(yōu)化設計的發(fā)展和應用9.2優(yōu)化設計的基本概念9.3機械優(yōu)化設計方法9.4優(yōu)化設計中相關問題的確定9.5最優(yōu)化方法的選擇和評價9.6計算結果的分析與處理9.7最優(yōu)化方法在機械設計中的應用

9.1優(yōu)化設計的發(fā)展和應用

9.1.1優(yōu)化設計概述

在人類活動中，要辦好一件事(指規(guī)劃、設計等)，都期望得到最滿意、最好的結果或效果。為了實現(xiàn)這種期望，必須有好的預測和決策方法。方法得當，事半功倍；反之，則事倍功半。優(yōu)化方法就是各類決策方法中普遍采用的一種方法。

優(yōu)化設計的一般過程可以用圖9-1來表示。圖9-1優(yōu)化設計的一般過程9.1.2優(yōu)化問題的分類

在工程優(yōu)化原理和方法的應用領域中，優(yōu)化主要包括優(yōu)化設計、優(yōu)化試驗和優(yōu)化控制三個方面。9.1.3優(yōu)化設計的發(fā)展

根據(jù)優(yōu)化設計的特點和其應用的發(fā)展概況，優(yōu)化設計可歸納為如下幾個方面來考慮：

1.優(yōu)化設計方法的發(fā)展

2.建立數(shù)學模型

3.?CAD/CAM資源庫9.1.4優(yōu)化技術在工程中的應用

工程技術的優(yōu)化問題可分為靜態(tài)與動態(tài)兩類。

最優(yōu)化技術在工程中的應用主要有四個方面：

(1)工程部件、單元設備或全系統(tǒng)的最優(yōu)設計；

(2)現(xiàn)有操作的分析和計劃制定；

(3)工程分析和數(shù)據(jù)處理；

(4)研究過程動態(tài)特性和設計最優(yōu)控制方案。

9.2優(yōu)化設計的基本概念

9.2.1設計變量

1.設計變量的定義

為了進行產(chǎn)品設計，需要尋找并確定最佳的結構參數(shù)。這些參數(shù)中，有的可根據(jù)標準、規(guī)定等選定，在優(yōu)化設計中可認為是設計常量，例如靜摩擦系數(shù)、系列化齒輪傳動的中心距等；有的必須通過設計確定，這些參數(shù)稱為設計變量，即通過設計確定的最佳結構參數(shù)，例如齒數(shù)、模數(shù)、齒寬等。設x1，x2，…，xn為最優(yōu)化問題中的n個變量，我們可以用一個n維向量X表示，記為

2.設計變量的選定

任何一項產(chǎn)品，都是眾多設計變量標志結構尺寸的綜合體。變量越多，越能完整地描述產(chǎn)品結構，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。9.2.2目標函數(shù)

為了對設計進行定量評價，必須構造包含設計變量的評價函數(shù)，它便是優(yōu)化的目標，稱為目標函數(shù)，以F(?X?)表示。

9.2.3約束條件

任何設計都有各種各樣的限制條件，例如強度、剛度等。每個限制條件都可寫成包含設計變量的函數(shù)，稱為約束條件。

9.2.4全局最優(yōu)解和局部最優(yōu)解

不論是無約束或有約束的優(yōu)化問題，由于目標函數(shù)和約束條件的函數(shù)形態(tài)不同，可能有多個局部極值點(即局部最優(yōu)解)。而全局最優(yōu)解是指這些局部最優(yōu)解中目標函數(shù)值最好的一個解，往往只有一個。

9.3機械優(yōu)化設計方法

按不同的方法來確定搜索方向和步長，就形成了不同的優(yōu)化方法。機械優(yōu)化設計中的問題大多是多維優(yōu)化問題，但由于多維問題都可以化為一維問題處理，所以一維尋優(yōu)方法是優(yōu)化設計中最基本的方法。

1.?0.618法(黃金分割法)

它的基本思想是通過對黃金分割點函數(shù)值的計算和比較，將搜索區(qū)間逐次縮短，其縮短系數(shù)為λ?=?0.618，當區(qū)間縮短到預定精度范圍時，即可獲得近似最優(yōu)解。

2.插值法

插值法是利用搜索區(qū)間內(nèi)的若干個點的信息(包括函數(shù)值、導數(shù)值等)，構造一個低次插值多項式，近似地代替原目標函數(shù)，然后求此多項式的極小點，以它作為原目標函數(shù)的插值點，通過迭代計算逐步縮短搜索區(qū)間，使插值函數(shù)的極小點逐步逼近目標函數(shù)的極小點。

3.坐標輪換法

坐標輪換法是輪流沿坐標方向進行一維搜索，即先固定n-1維的坐標，沿未固定的坐標方向e1進行一維搜索，找到此方向上函數(shù)的極小點；然后以此點作為初始點沿另一坐標方向e2進行一維搜索，得到在此坐標方向的極小點；依次沿坐標方向e3，e4，…，en進行一維搜索，這樣就完成了第一輪搜索，求得第一輪的極小點。

4.梯度法

梯度方向是函數(shù)值增加最快的方向，負梯度方向是函數(shù)值下降最快的方向。利用這一特性，把負梯度方向作為搜索方向，這就是梯度法，也稱最速下降法。然而，梯度法的收斂速度并不快，這是因為梯度只反映函數(shù)的局部性質(zhì)。

5.共軛方向法

共軛方向的概念在優(yōu)化方法中起著重要的作用。一般二元二次函數(shù)的等值線是一個同心橢圓族，其中心就是函數(shù)的極小點X*。同心橢圓族的特性為過任意兩點沿S1方向作兩條平行線，它們與同心橢圓族中兩橢圓切點的連線必定通過橢圓族的中心，如圖9-2所示。切線方向S1與兩切點連線方向S2是共軛的矢量。

圖9-2同心橢圓族平行切線的特性

6.復合形法

復合形法是求解約束優(yōu)化問題的一種重要直接方

法。它是指在n維設計空間的可行域內(nèi)，先取P個點(n?+?1≤P≤2n)作為初始復合形的頂點，比較這些頂點

的目標函數(shù)值，去掉函數(shù)值最大的最壞點，而代之以壞

點的反射點(以復合形中壞點之外的各點的中心為映射中

心所得的映射點)形成新的復合形，按照這種步驟重復多次，使復合形逐步縮小并逼近最優(yōu)點，達到精度要求時，取最后一個復合形中的最小點作為最優(yōu)點。

7.罰函數(shù)法

罰函數(shù)法是一種將約束優(yōu)化問題轉化為一個等價的無約束優(yōu)化問題，并利用無約束優(yōu)化方法求解的間接求優(yōu)方法。其基本思想是：以原目標函數(shù)為基礎，將約束函數(shù)考慮進去，構成一個沒有約束條件的新目標函數(shù)，在此新目標函數(shù)中，給予一個或幾個可調(diào)整的稱為懲罰因子的參數(shù)，在求優(yōu)過程中，不斷調(diào)整這些參數(shù)，使新的目標函數(shù)的最優(yōu)解最后收斂于原目標函數(shù)的最優(yōu)解。

8.遺傳算法

遺傳算法是模擬生物在自然環(huán)境中的遺傳和進化過程而形成的一種自適應全局優(yōu)化概率搜索算法。它使用群體搜索技術，通過對當前群體施加選擇、交叉、變異等一系列遺傳操作，從而產(chǎn)生出新一代的群體，并按優(yōu)勝劣汰的機制逐步使群體進化到包含或接近最優(yōu)解的狀態(tài)。

9.人工神經(jīng)網(wǎng)絡方法

人工神經(jīng)網(wǎng)絡是由大量具有存儲能力的處理單元按一定方式連接而成的高度復雜的非線性動力學系統(tǒng)，是對人腦的微觀結構及其智能行為的簡化和模擬。它通過反復訓練和學習以及自身的適應能力來完成對信息的處理，具有很強的自適應性、自組織性、自學習能力和容錯性。

9.4優(yōu)化設計中相關問題的確定

9.4.1設計變量的選取

設計變量是在設計過程中需要進行選擇且最終必須確定的各項獨立參數(shù)。雖然凡能影響設計質(zhì)量或結果的可變參數(shù)均可作為設計變量，但設計變量太多會增加計算的難度和工作量，且會由于問題過分復雜而失去實際意義；設計變量太少則減小了設計自由度，難以甚至無法得到較佳的優(yōu)化結果。9.4.2目標函數(shù)的建立

目標函數(shù)是以設計變量表示設計所要追求的某種性能指標的解析表達式，用來評價設計方案的優(yōu)劣程度。9.4.3約束條件的確定

設計約束是考慮邊界和性能對設計變量取值的限制

條件。

9.5最優(yōu)化方法的選擇和評價

1.最優(yōu)化方法的選擇

機械優(yōu)化設計中常用的一些優(yōu)化方法前面已作介紹，各種方法都有其特點和一定的適用范圍。選擇優(yōu)化方法應綜合考慮：

(1)設計變量是連續(xù)的還是離散的，以及維數(shù)的多少。維數(shù)較低可選用結構簡單易于編程的方法，維數(shù)高的則應選擇收斂速度較快的方法。

(2)目標函數(shù)是單目標還是多目標，目標函數(shù)的連續(xù)性及其一階、二階偏導數(shù)是否存在以及是否易于求得，對于求導困難或導數(shù)不存在的應避免求導而采用直接法。

(3)有無約束，約束條件是不等式約束還是等式約束，還是兩者同時兼有。如具有等式約束，顯然不能直接采用復合形法、內(nèi)點罰函數(shù)法。

2.最優(yōu)化方法的評價

評價優(yōu)化程序的準則主要有：

(1)通用性，指在合理的精度要求下，在一定的計算時間內(nèi)，能求解出各種不同類型的優(yōu)化問題的成功率。

(2)有效性，指對同一問題在同一精度、同一初始條件下，求解優(yōu)化問題所用計算時間的多少。

(3)簡便性，指人們所需要準備的工作量大小，包括學習使用程序，編制針對具體優(yōu)化問題的輔助子程序，程序中所需調(diào)用參數(shù)的多少，調(diào)試操作復雜程度，輸入、輸出控制方式等。

9.6計算結果的分析與處理

由于機械設計問題的復雜性，以及建模中可能的失誤，因此對優(yōu)化計算得到的結果要進行仔細的分析，有時還需要進行適當?shù)奶幚恚员ＷC設計的合理性。

9.7最優(yōu)化方法在機械設計中的應用

在機構設計、機械零部件設計以至機械系統(tǒng)設計中，應用最優(yōu)化技術已日益廣泛。

機構的優(yōu)化設計是在解析法的基礎上確定機構的最佳參數(shù)和尺寸。它是機械優(yōu)化設計中發(fā)展比較早的一個領域，如今已成為機構學重要的研究方向之一。機構的優(yōu)化設計一般有兩類基本問題：

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