專題11比例性質(zhì)、黃金分割、平行線分線段成比例壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】 1【考點(diǎn)二利用黃金分割求線段的長】 3【考點(diǎn)三與黃金分割有關(guān)的證明】 4【考點(diǎn)四由平行判斷成比例的線段】 8【考點(diǎn)五由平行截線求相關(guān)線段的長或比值】 11【考點(diǎn)六構(gòu)造平行線截線求相關(guān)線段的長或比值】 13【過關(guān)檢測(cè)】 17【典型例題】【考點(diǎn)一比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】例題：（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）若，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽合肥·九年級(jí)合肥市五十中學(xué)西校?？计谀┤簦瑒t.2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知（，，均不為0），則式子的值是．3．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谥校┮阎?，求的值．【考點(diǎn)二利用黃金分割求線段的長】例題：（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）一本書的寬與長之比為黃金比，書的長為14cm，則它的寬為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谀┤艟€段的長為2cm，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，則最短的線段的長為（）A． B． C． D．2．（2023春·河南鄭州·九年級(jí)鄭州外國語中學(xué)?？奸_學(xué)考試）鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，是的黃金分割點(diǎn)，若線段的長為4cm，則的長為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)三與黃金分割有關(guān)的證明】例題：（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）中，D是上一點(diǎn)，若，則稱為的黃金分割線．(1)求證：若為的黃金分割線，則D是的黃金分割點(diǎn)；(2)若，求的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，以長為2的定線段為邊作正方形，取的中點(diǎn)P，連接，在的延長線上取點(diǎn)F，使，以AF為邊作正方形，點(diǎn)M在上．(1)求的長；(2)點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？2．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即（此時(shí)線段AP叫做線段PB，AB的比例中項(xiàng)），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個(gè)比值稱為黃金比，點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖2，設(shè)AB是已知線段，經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB于點(diǎn)B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．任務(wù)：（1）求證：C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則BC的長為．【考點(diǎn)四由平行判斷成比例的線段】例題：（2023春·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A． B． C． D．2．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)五由平行截線求相關(guān)線段的長或比值】例題：（2023春·吉林長春·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，，如果，，，，那么．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？既＃┤鐖D，已知直線，如果，，那么線段的長是．

2．（2023秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)分別在的邊上，且，過點(diǎn)作，分別交、的平分線于點(diǎn)．若，平分線段，則．【考點(diǎn)六構(gòu)造平行線截線求相關(guān)線段的長或比值】例題：（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，的延長線交邊于點(diǎn)F，若，，則線段的長為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川成都·一模）如圖，點(diǎn)D、E是邊上的點(diǎn)，，連接，交點(diǎn)為F，，那么的值是．2．（2021春·遼寧沈陽·八年級(jí)東北育才雙語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，，，與相交于點(diǎn)，則.【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若（），則（）A． B． C．1 D．22．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點(diǎn)D、E、F分別在邊上，，，則下列比例式中錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．3．（2023·山東淄博·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形中，，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)E，連接，，若，則的長度是（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．44．（2023秋·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考期末）“黃金分割”廣泛存在于人們生活實(shí)踐中．在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．0.73m B．0.76m C．1.24m D．1.36m二、填空題5．（2023秋·四川眉山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果，則．6．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖，abc，若，，則的長為．7．（2023·四川·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，之間的距離為．8．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）作業(yè)本中有一道題：“如圖，在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，，交于點(diǎn)，求的值”，小明解決時(shí)碰到了困難，哥哥提示他過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．最后小明求解正確，則的值為．三、解答題9．（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)校考期末）（1）若，求的值；（2）若，且，求．10．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的長；（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的長．11．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，在至今仍有借鑒意義．(1)如圖1已知小明的身高是1.6米，他在路燈AB下的影子長為2米，此時(shí)小明距路燈燈桿的底部3米，求燈桿AB的高度；(2)如圖2現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測(cè)得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動(dòng)1.8米至DE的位置，此時(shí)測(cè)得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度．12．（2023·河北石家莊·?？寄M預(yù)測(cè)）閱讀與計(jì)算：請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題．角平分線分線段成比例定理：如圖，在中，平分，則．下面是這個(gè)定理的部分證明過程．證明：如圖②，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)E……任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明過程的剩余部分；(2)如圖③，在中，是角平分線，，，．求的長．13．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）材料一：北師大版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第四章，對(duì)“黃金分割比”的定義如下：“如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，＝叫做黃金比.”根據(jù)定義不難發(fā)現(xiàn)，在線段AB另有一點(diǎn)D把線段AB分成兩條線段AD和BD，滿足＝，所以點(diǎn)D也是線段AB的黃金分割點(diǎn)．材料二：對(duì)于實(shí)數(shù)：a1＜a2＜a3＜a4，如果滿足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）則稱a