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文檔簡介
河南省南陽市六校2025屆高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若a>b>0,0<c<1,則A.logac<logbc B.logca<logcb C.a(chǎn)c<bc D.ca>cb2.已知雙曲線,過原點作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P,Q兩點,以線段PQ為直徑的圓過右焦點F,則雙曲線離心率為A. B. C.2 D.3.數(shù)列滿足:,則數(shù)列前項的和為A. B. C. D.4.已知集合,集合,則()A. B. C. D.5.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.36.已知雙曲線的右焦點為為坐標原點,以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.7.達芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖,畫中女子神秘的微笑,,數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪,將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧,在嘴角處作圓弧的切線,兩條切線交于點,測得如下數(shù)據(jù):(其中).根據(jù)測量得到的結(jié)果推算:將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角大約等于()A. B. C. D.8.設,集合,則()A. B. C. D.9.如圖所示,已知某幾何體的三視圖及其尺寸(單位:),則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.10.已知分別為雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.11.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù),它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,則6和28不在同一組的概率為()A. B. C. D.12.已知數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,設,,則當時,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.11二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.戊戌年結(jié)束,己亥年伊始,小康,小梁,小譚,小楊,小劉,小林六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人,分別奔赴四所不同的學校參加演講,則不同的分配方案有_________種(用數(shù)字作答),14.某校高三年級共有名學生參加了數(shù)學測驗(滿分分),已知這名學生的數(shù)學成績均不低于分,將這名學生的數(shù)學成績分組如下:,,,,,,得到的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法中正確的是________(填序號).①;②這名學生中數(shù)學成績在分以下的人數(shù)為;③這名學生數(shù)學成績的中位數(shù)約為;④這名學生數(shù)學成績的平均數(shù)為.15.在一底面半徑和高都是的圓柱形容器中盛滿小麥,有一粒帶麥銹病的種子混入了其中.現(xiàn)從中隨機取出的種子,則取出了帶麥銹病種子的概率是_____.16.已知二面角α﹣l﹣β為60°,在其內(nèi)部取點A,在半平面α,β內(nèi)分別取點B,C.若點A到棱l的距離為1,則△ABC的周長的最小值為_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,直線的傾斜角為,且經(jīng)過點.以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線,從原點O作射線交于點M,點N為射線OM上的點,滿足,記點N的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程;(Ⅱ)設直線與曲線C交于P,Q兩點,求的值.18.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上各點縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到曲線,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(1)寫出的極坐標方程與直線的直角坐標方程;(2)曲線上是否存在不同的兩點,(以上兩點坐標均為極坐標,,),使點、到的距離都為3?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.19.(12分)已知橢圓,左、右焦點為,點為上任意一點,若的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)動直線過點與交于兩點,在軸上是否存在定點,使成立,說明理由.20.(12分)在平面四邊形中,已知,.(1)若,求的面積;(2)若求的長.21.(12分)已知函數(shù),.(1)當為何值時,軸為曲線的切線;(2)用表示、中的最大值,設函數(shù),當時,討論零點的個數(shù).22.(10分)己知,函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若函數(shù),且存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析:對于選項A,,,,而,所以,但不能確定的正負,所以它們的大小不能確定;對于選項B,,,兩邊同乘以一個負數(shù)改變不等號方向,所以選項B正確;對于選項C,利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到,所以C錯誤;對于選項D,利用在上為減函數(shù)易得,所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較;若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.2、B【解析】
求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程,求得兩點坐標的關(guān)系,根據(jù)列方程,化簡后求得離心率.【詳解】設,依題意直線的方程為,代入雙曲線方程并化簡得,故,設焦點坐標為,由于以為直徑的圓經(jīng)過點,故,即,即,即,兩邊除以得,解得.故,故選B.【點睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點,考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì),考查運算求解能力,屬于中檔題.3、A【解析】分析:通過對an﹣an+1=2anan+1變形可知,進而可知,利用裂項相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項的和為,故選A.點睛:裂項相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時很難找到裂項的方向,突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點,常見的裂項技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題,導致計算結(jié)果錯誤.4、C【解析】
求出集合的等價條件,利用交集的定義進行求解即可.【詳解】解:∵,,∴,故選:C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎題.5、A【解析】
直接將兩邊同時乘以求出復數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時乘以,得故選:A【點睛】考查復數(shù)的運算及其模的求法,是基礎題.6、C【解析】
根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程:,再將點代入可得,連接,根據(jù)圓的性質(zhì)可得,從而可求出,再由即可求解.【詳解】由雙曲線,則漸近線方程:,,連接,則,解得,所以,解得.故雙曲線方程為.故選:C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),需掌握雙曲線的漸近線求法,屬于中檔題.7、A【解析】
由已知,設.可得.于是可得,進而得出結(jié)論.【詳解】解:依題意,設.則.,.設《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角為.則,.故選:A.【點睛】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.8、B【解析】
先化簡集合A,再求.【詳解】由得:,所以,因此,故答案為B【點睛】本題主要考查集合的化簡和運算,意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.9、C【解析】
由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,該幾何體的表面積.故選:C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識,幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復幾何體是解題的關(guān)鍵.10、A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【詳解】.又,可令,則.設,得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來,從而再由勾股定理建立的關(guān)系.11、C【解析】
先求出五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個的基本事件總數(shù)為,再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解:根據(jù)題意,將五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,則基本事件總數(shù)為,則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),∴6和28不在同一組的概率.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率的求法,涉及實際問題中組合數(shù)的應用.12、B【解析】
根據(jù)題意計算,,,解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,∴.∵是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴.∴.∵,∴,解得.則當時,的最大值是9.故選:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,f分組求和,意在考查學生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1080【解析】
按照先分組,再分配的分式,先將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種,然后用分步計數(shù)原理求解.【詳解】將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種,則不同的分配方案有種.故答案為:1080【點睛】本題主要考查分組分配問題,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.14、②③【解析】
由頻率分布直方圖可知,解得,故①不正確;這名學生中數(shù)學成績在分以下的人數(shù)為,故②正確;設這名學生數(shù)學成績的中位數(shù)為,則,解得,故③正確;④這名學生數(shù)學成績的平均數(shù)為,故④不正確.綜上,說法正確的序號是②③.15、【解析】
求解占圓柱形容器的的總?cè)莘e的比例求解即可.【詳解】解:由題意可得:取出了帶麥銹病種子的概率.故答案為:.【點睛】本題主要考查了體積類的幾何概型問題,屬于基礎題.16、【解析】
作A關(guān)于平面α和β的對稱點M,N,交α和β與D,E,連接MN,AM,AN,DE,根據(jù)對稱性三角形ADC的周長為AB+AC+BC=MB+BC+CN,當四點共線時長度最短,結(jié)合對稱性和余弦定理求解.【詳解】作A關(guān)于平面α和β的對稱點M,N,交α和β與D,E,連接MN,AM,AN,DE,根據(jù)對稱性三角形ABC的周長為AB+AC+BC=MB+BC+CN,當M,B,C,N共線時,周長最小為MN設平面ADE交l于,O,連接OD,OE,顯然OD⊥l,OE⊥l,∠DOE=60°,∠MOA+∠AON=240°,OA=1,∠MON=120°,且OM=ON=OA=1,根據(jù)余弦定理,故MN2=1+1﹣2×1×1×cos120°=3,故MN.故答案為:.【點睛】此題考查求空間三角形邊長的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)幾何性質(zhì)找出對稱關(guān)系,結(jié)合解三角形知識求解.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(t為參數(shù)),;(Ⅱ)1.【解析】
(Ⅰ)直接由已知寫出直線l1的參數(shù)方程,設N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),由題意可得,即ρ=4cosθ,然后化為普通方程;(Ⅱ)將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程中,得到關(guān)于t的一元二次方程,再由參數(shù)t的幾何意義可得|AP|?|AQ|的值.【詳解】(Ⅰ)直線l1的參數(shù)方程為,(t為參數(shù))即(t為參數(shù)).設N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),則,即,即ρ=4cosθ,∴曲線C的直角坐標方程為x2-4x+y2=0(x≠0).(Ⅱ)將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程中,得,即,t1,t2為方程的兩個根,∴t1t2=-1,∴|AP|?|AQ|=|t1t2|=|-1|=1.【點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程,考查直角坐標方程與直角坐標方程的互化,訓練了直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的應用,是中檔題.18、(1),(2)存在,【解析】
(1)先求得曲線的普通方程,利用伸縮變換的知識求得曲線的直角坐標方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標方程.根據(jù)極坐標和直角坐標轉(zhuǎn)化公式,求得直線的直角坐標方程.(2)求得曲線的圓心和半徑,計算出圓心到直線的距離,結(jié)合圖像判斷出存在符合題意,并求得的值.【詳解】(1)曲線的普通方程為,縱坐標伸長到原來的2倍,得到曲線的直角坐標方程為,其極坐標方程為,直線的直角坐標方程為.(2)曲線是以為圓心,為半徑的圓,圓心到直線的距離.∴由圖像可知,存在這樣的點,,則,且點到直線的距離,∴,∴.【點睛】本小題主要考查坐標變換,考查直線和圓的位置關(guān)系,考查極坐標方程和直角坐標方程相互轉(zhuǎn)化,考查參數(shù)方程化為普通方程,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.19、(1)(2)存在;詳見解析【解析】
(1)由橢圓的性質(zhì)得,解得后可得,從而得橢圓方程;(2)設,當直線斜率存在時,設為,代入橢圓方程,整理后應用韋達定理得,代入=0由恒成立問題可求得.驗證斜率不存在時也適合即得.【詳解】解:(1)由題易知解得,所以橢圓方程為(2)設當直線斜率存在時,設為與橢圓方程聯(lián)立得,顯然所以因為化簡解得即所以此時存在定點滿足題意當直線斜率不存在時,顯然也滿足綜上所述,存在定點,使成立【點睛】本題考查求橢圓的標準方程,考查直線與橢圓相交問題中的定點問題,解題方法是設而不求的思想方法.設而不求思想方法是直線與圓錐曲線相交問題中常用方法,只要涉及交點坐標,一般就用此法.20、(1);(2).【解析】
(1)在三角形中,利用余弦定理列方程,解方程求得的長,進而由三角形的面
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