專題01直角三角形的性質(zhì)和判定壓軸題八種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一直角三角形的兩個銳角互余】 1【考點二直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半】 3【考點三含30°角的直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系】 5【考點四直角三角形中三邊關(guān)系即勾股定理】 7【考點五銳角互余的三角形是直角三角形】 9【考點六利用勾股定理逆定理證明三角形是直角三角形】 11【考點七用HL證全等】 14【考點八全等的性質(zhì)和HL綜合】 15【過關(guān)檢測】 19【典型例題】【考點一直角三角形的兩個銳角互余】例題：（2023上·遼寧大連·八年級校聯(lián)考期中）如圖，等腰三角形中，，，于D，則等于．【答案】/23度【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由題意易得，然后問題可求解．【詳解】解：∵在等腰三角形中，，，∴，∵，∴，∴；故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南株洲·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，于D，于E，與交于H，則．【答案】【分析】本題考查直角三角形兩個銳角互余，三角形的高的性質(zhì)等知識，延長交于點M，可得在中，三邊所在的高交于一點，即，由此即可解答．【詳解】解：延長交于點M，如圖，在中，三邊所在的高交于一點，∴，∵，∴，故答案為：．2．（2023上·新疆喀什·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知的兩條高相交于點O，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了三角形的高線的定義，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，根據(jù)三角形高線的定義及可知，再利用直角三角形的性質(zhì)得到，最后利用三角形的內(nèi)角和即可解答．【詳解】解：∵的兩條高相交于點O，，，∴，∴．【考點二直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半】例題：（2023上·陜西榆林·九年級?？计谀┤鐖D，是的中線，，，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：是斜邊的中線，，．是的一個外角，，．．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·浙江杭州·八年級杭州綠城育華學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，E為中點，若，則．

【答案】2【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，先證，根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出和，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求出．【詳解】解：，，，，，中，，，，又中，，，中，E為中點，．故答案為：2．2．（2023上·陜西安康·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，為斜邊的中點，連接．若，求的長．

【答案】【分析】利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求解．【詳解】中，，，∵D為斜邊的中點，．【考點三含30°角的直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系】例題：（2023上·甘肅隴南·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點D為邊中點，，并與邊交于點E，如果，，那么等于．【答案】【分析】本題考查線段垂直平分線的判定和性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、三角形外角定理、含角的直角三角形的性質(zhì)等．由題意可知，垂直平分，進(jìn)而得到；利用外角定理可知，再利用“直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半”，即可解答．【詳解】解：∵點D為邊中點，，∴垂直平分，∴，∴,∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·廣東茂名·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，則的長為．【答案】8【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，的角所對的邊是斜邊的一半．【詳解】解：，，，，，，，，故答案為：8．2．（2023上·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，為的中點，，(1)求的長．(2)請直接寫出線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)【分析】本題考查含30度角的直角三角形，直角三角形斜邊上的中線．（1）根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)，得到，斜邊上的中線，得到，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)30度的角所對的直角邊為斜邊的一半，即可．掌握30度的角所對的直角邊為斜邊的一半，斜邊上的中線為斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵為的中點，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴．【考點四直角三角形中三邊關(guān)系即勾股定理】例題：（2022上·河南南陽·八年級期末）如圖，在中，，的垂直平分線交于點D，連接，則的長為．【答案】/【分析】本題考查了勾股定理及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．先再由線段垂直平分線的性質(zhì)得，從而在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·廣東湛江·八年級?？计谥校┰谥校?，若，則，．【答案】14【分析】本題考查含角的直角三角形，勾股定理，由含角的直角三角形的性質(zhì)得到．由勾股定理求出的長．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故答案為：14，．2．（2023上·河南周口·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，，，，．(1)若，，求；(2)若，，求．【答案】(1)(2)20【分析】本題考查利用勾股定理解直角三角形，（1）由于所求邊c是斜邊，所以利用勾股定理直接可得，代入a，b的值即可求得c的值；（2）設(shè)，，根據(jù)，可得，即可求得b的值．【詳解】（1）∵在中，，，，，，，∴根據(jù)勾股定理，．（2）∵∴設(shè)，，∵在中，，，∴，∴，（負(fù)值舍去），∴，．【考點五銳角互余的三角形是直角三角形】例題：（2023上·安徽六安·八年級六安市第九中學(xué)校考期中）具備下列條件的中，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了直角三角形以及三角形的內(nèi)角和定理．根據(jù)三角形內(nèi)角和等于，，得到，，得到具備條件A的不是直角三角形；根據(jù)，得到，得到具備條件B的是直角三角形；根據(jù)得到，得到具備條件C的是直角三角形；根據(jù)得到，得到具備條件D的是直角三角形．熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，直角三角形定義，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合題意；B、由及可得，是直角三角形，故不符合題意；C、由及可得，是直角三角形，故不符合題意；D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合題意．故選：A．【變式訓(xùn)練】1．（2022上·山東德州·八年級?？茧A段練習(xí)）在下列條件中不能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判定三角形是否為直角三角形，即計算各個角的度數(shù)，有一角為直角就是直角三角形，若無直角就不是直角三角形．【詳解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意；B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意；C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合題意；D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意故答案為：C【點睛】本題考查了直角三角形的定義及判定，根據(jù)三個角的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行細(xì)致的計算是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·重慶銅梁·八年級重慶市巴川中學(xué)校?？计谥校┫铝袑Φ呐袛?，錯誤的是（

）A．若，，則是等邊三角形B．若，則是直角三角形C．若，，則是等腰三角形D．若，，則【答案】D【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)（有一個角是的等腰三角形是等邊三角形）即可判斷A；設(shè)三個角的度數(shù)之比為，利用三角形內(nèi)角和為計算求解即可判斷B；利用三角形內(nèi)角和為求解未知角度數(shù)即可判斷C；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)（等邊對等角）即可判斷D．【詳解】選項A：，，是等邊三角形，故本選項正確，不符合題意．選項B：，，最大角的度數(shù)是．是直角三角形，故本選項正確，不符合題意．選項C：，，．．是等腰三角形，故本選項正確，不符合題意．選項D：，．，．，故本選項錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)與判定的理解能力以及三角形的內(nèi)角和定理．涉及有一個角是的等腰三角形是等邊三角形；在同一個三角形中，有兩個底角相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的兩個底角度數(shù)相等（等邊對等角）；內(nèi)部有一個角為的三角形為直角三角形；任意三角形內(nèi)角和為．明確相關(guān)知識點進(jìn)行分析是解本題的關(guān)鍵．【考點六利用勾股定理逆定理證明三角形是直角三角形】例題：（2023上·江蘇蘇州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，點D為內(nèi)一點，且，．(1)求BC的長；(2)求圖中陰影部分（四邊形）的面積．【答案】(1)5(2)24【分析】本題考查勾股定理與勾股定理逆定理，三角形的面積計算．熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理求解即可；（2）由勾股定理逆定理可證為直角三角形，且，再根據(jù)，結(jié)合三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：在中，，∴．（2）解：∵，，，∴，∴為直角三角形，且，∴．∵，∴．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·新疆喀什·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知等腰的底邊是腰上一點，且(1)求證：是直角三角形；(2)求的周長【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是勾股定理的逆定理解答．（1）由，知道，所以為直角三角形，（2）由（1）可求出的長，周長即可求出．【詳解】（1）證明：∵，，∴為直角三角形；（2）解：設(shè)，∵是等腰三角形，∵，∴即解得：，∴的周長2．（2023上·廣東佛山·八年級校聯(lián)考期中）已知：在四邊形中，，．(1)求的長．(2)是直角三角形嗎？如果是，請說明理由．(3)求這塊空地的面積．【答案】(1)(2)是直角三角形，理由見解析(3)【分析】本題屬于四邊形綜合題，考查了四邊形的面積，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型．（1）利用勾股定理，求解即可；（2）利用勾股定理的逆定理證明即可；（3）把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積和求解即可．【詳解】（1）解：在中，，∴．（2）解：結(jié)論：是直角三角形．理由：∵，∴，，∴，∴，∴是直角三角形．（3）【考點七用HL證全等】例題：（2023上·陜西商洛·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在與中，點E，F(xiàn)在線段上，，，，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查三角形全等的證明，運用“”方法即可證明．【詳解】∵，∴，即，∵，∴在和中，，∴．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·天津靜海·八年級?？计谥校┤鐖D，已知，，，與交于點O，求證：【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形的判定，和是兩個直角三角形，根據(jù)證明即可．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中，∴．2．（2023上·福建廈門·八年級廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)校考期中）已知：如圖，，D為上一點，連接相交于F，，求證：．【答案】見解析【分析】此題考查的是全等三角形的判定，掌握利用判定兩個三角形全等是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵∴，在和中，，∴．【考點八全等的性質(zhì)和HL綜合】例題：（2023上·湖南長沙·九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，為延長線上一點，點在上，連接、，且．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)7【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)．（1）直接證明，得到，再利用等腰三角形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)，利用勾股定理求出，由（1）知，由即可求解．【詳解】（1）證明：在與中，，，，；（2）解：，，，，，．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河北承德·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，平分，交于點，過點作于點E．(1)求證：；(2)若，，求的周長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）先證，即可利用證明即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得，根據(jù)的周長即可解題．【詳解】（1）證明：平分，，在和中，，∴；（2）解：∵，，的周長．2．（2023上·甘肅蘭州·八年級蘭州市第五十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，F(xiàn)為延長線上一點，點E在上，且．(1)若，求度數(shù)；(2)求證：；(3)試判斷與的位置關(guān)系．【答案】(1)(2)見詳解(3)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所要證明結(jié)論需要的條件．（1）根據(jù)在中，，F(xiàn)為延長線上一點，點E在上，且，可以得到和全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)，可以得到，然后即可轉(zhuǎn)化為的關(guān)系，從而可以證明所要證明的結(jié)論；（3）根據(jù)，，，結(jié)合，即可作答．【詳解】（1）解：∵，∴，在和中，，∴；∵，∴，∴，∴，∴，即．（2）證明：∵，∴，∵，∴．（3）解：，過程如下：延長交于一點H，如圖∵，∴，由（1）知，∴，∴.【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023上·河北廊坊·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，則的長為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形．熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由題意知，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，∴，故選：C．2．（2023上·江蘇無錫·八年級校考階段練習(xí)）滿足下列條件的不是直角三角形的是

（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理．熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中最大的角，可判斷A的正誤；由勾股定理的逆定理可判斷B、C、D的正誤．【詳解】解：∵，∴三角形中最大的角，不是直角三角形，故A符合要求；∵，∴，∴，是直角三角形，故B不符合要求；∵，設(shè)，則，，∴，∴，是直角三角形，故C不符合要求；∵，∴，∴，是直角三角形，故D不符合要求；故選：A．3．（2023上·山東德州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，下列說法中，不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、同角的余角相等，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得，即可判斷A；根據(jù)同角的余角相等得出，即可判斷B；根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得，即可判斷C；分別計算出和，進(jìn)行計算即可判斷D；熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖可得：，，，，故A正確，不符合題意；，，，，故B正確，不符合題意；，，，，，故C正確，不符合題意；，，，，，故D錯誤，符合題意；故選：D．4．（2023上·河南南陽·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，是邊上的一點，是的中點，若的垂直平分線經(jīng)過點，，則（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可解答；掌握線段垂直平分線到線段的兩端點距離相等、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半成為解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的垂直平分線經(jīng)過點，，∴，∵，是的中點，∴．故選：B．5．（2023上·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，把繞點旋轉(zhuǎn)至的位置，延長交于點．若，．則的長為（）A．9 B．6 C．8 D．7【答案】B【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是解題關(guān)鍵．連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，再利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，易得，即可獲得答案．【詳解】解：如圖，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴．故選：B．二、填空題6．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，D是的中點．若，則．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，先利用勾股定理求出，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，，∴由勾股定理得，∵D是的中點，∴，故答案為：．7．（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在和中，，，若要用“斜邊、直角邊”直接證明，則還需補充的條件是．【答案】【分析】根據(jù)證明兩個直角三角形全等，需滿足一組直角邊、一組斜邊分別相等，由此可得答案．【詳解】解：由題意知，在和都是直角三角形，已有一組直角邊相等，若要用“斜邊、直角邊”直接證明，還需滿足“斜邊相等”，因此還需補充的條件是，故答案為：．8．（2023上·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）已知的三條邊長，，滿足，則的面積為．【答案】6【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理、二次根式有意義的條件、絕對值和偶次方的非負(fù)性，根據(jù)二次根式有意義的條件求出、、是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件求出，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出、，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：，，，故答案為：6．9．（2023上·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在中，，的垂直平分線交，于點D，E，且，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，直角三角形的兩個銳角互余；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)已知可得，根據(jù)根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余得出關(guān)于的方程，解方程，即可求解．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∵在中，，∴，即，解得：，故答案為：．10．（2023上·河南許昌·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是邊長為的等邊三角形，動點分別同時從點A、B兩點出發(fā)，分別沿方向勻速移動，它們的速度都為，當(dāng)點P到達(dá)點B時，兩點停止運動，設(shè)點P的運動時間為，當(dāng)時，是直角三角形．【答案】或【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵；分兩種情況：；．然后在直角三角形中根據(jù)的表達(dá)式和的度數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】設(shè)經(jīng)過t秒是直角三角形，則，在，∴，在中，，若是直角三角形，則或，當(dāng)時，，即，∴，當(dāng)時，，∴，∴．∴當(dāng)或時，是直角三角形．故答案為：或．三、解答題11．（2023上·吉林長春·八年級校考期中）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為，的頂點均為網(wǎng)格上的格點．

(1)__________，__________，__________；(2)的形狀為__________三角形；(3)求中邊上的高_(dá)_________．【答案】(1)，，(2)直角(3)【分析】（1）本題主要考查網(wǎng)格中的勾股定理，直接計算即可求解．（2）主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形狀，直接把三邊長度分別平方，可以發(fā)現(xiàn)即可判定三角形的形狀．（3）考查利用等面積法求斜邊上的高，直接計算就可以求解．【詳解】（1）由題可知，；；．（2）解：∵，，；∴；∴為直角三角形．（3）如下圖，過點作的垂線，垂足為；∴；∵是直角三角形；∴；∴；∴．

12．（2023上·廣東江門·八年級?？计谥校┤鐖D，點B、F、C、E在同一直線上，、相交于點G，，垂足為B，，垂足為E，且，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)．（1）利用證明三角形全等即可；（2）三角形的內(nèi)角和和全等三角形的性質(zhì)，求出的度數(shù)，再利用三角形的外角，求出的度數(shù)即可．解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法，證明．【詳解】（1）證明：∵，∴，即：，∵，，∴，又，∴（）；（2）∵，，∴，∵，∴，∴．13．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，是的中線，垂直平分．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)；（1）由直角三角形斜邊上的中線可得，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可證明結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的