1/58第頁專題3-3橢圓離心率及其范圍11類題型匯總總覽總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】結合正余弦定理求離心率【題型2】利用對稱性補成平行四邊形【題型3】雙焦點三角形模型之導邊【題型4】余弦定理用2次型【題型5】結合幾何性質求值【題型6】與向量結合求離心率【題型7】由齊次式方程求離心率【題型8】點差法與離心率【題型9】橢圓的第三定義與離心率【題型10】設點運算求值問題【題型11】求離心率范圍題型題型匯編知識梳理與?？碱}型【題型1】結合正余弦定理求離心率若已知焦點三角形中某個角可以考慮結合正余弦定理求其它量已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為上一點，，△的內切圓與外接圓的半徑分別為，，若，則的離心率為A． B． C． D．【答案】D【解答】解：設，則．因為，所以，則，則．由等面積法可得，整理得，因為，所以，故．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上一點，且，若關于平分線的對稱點在上，則的離心率為________.【答案】【解析】設關于平分線的對稱點為Q，則三點共線，設，則，又，所以在中，由余弦定理有：，即由橢圓定義可知，可得所以在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.【鞏固練習1】如圖所示，已知橢圓的方程為，若點為橢圓上的點，且，則的面積是.【答案】【分析】根據橢圓的定義、余弦定理等知識求得，從而求得的面積.【詳解】由已知，得，則，，在中，由余弦定理，得，所以，由，得，所以，化簡解得，所以的面積為.【鞏固練習2】已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：先根據條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關系，即得離心率.詳解：因為為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以【鞏固練習3】設橢圓的焦點為，直線l過且和橢圓C交于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為【答案】【分析】利用橢圓的定義列方程，再利用余弦定理求得離心率.【詳解】設，由橢圓的定義得，解得令橢圓焦距為c，在和中，由余弦定理得，整理得，所以橢圓C的離心率為.故答案為：【題型2】利用對稱性補成平行四邊形橢圓具有中心對稱性，若遇到焦點三角形為直角三角形或者兩條焦點弦平行時可以考慮通過對稱性補成平行四邊形來解題已知是橢圓的左焦點，經過原點的直線與橢圓交于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】【解答】解：設橢圓的右焦點，連接，，根據橢圓對稱性可知四邊形為平行四邊形，則，且由，可得，所以，則，由余弦定理可得，即，橢圓的離心率，已知橢圓的左，右焦點分別為，過原點的直線與相交于，兩點，若且，則橢圓的離心率為．【答案】【詳解】因為過原點的直線與相交于，兩點，,故四邊形為矩形，故，又，，所以，則，又，即，且，解得，（由于，故舍去）結合，故，即又，因此，故，解得，故答案為：已知橢圓的右焦點為，過坐標原點的直線與橢圓交于，兩點．在中，，且滿足，則橢圓的離心率為．【答案】【分析】設橢圓的左焦點為，連接，，根據對稱性可知四邊形為平行四邊形，即可得到，再由余弦定理及橢圓的定義求出，即可求出，最后由得到關于的方程，解得即可.【詳解】設橢圓的左焦點為，連接，，根據對稱性可知四邊形為平行四邊形，又，所以，又，又，，即，，所以，所以，即，所以，解得或．又因為，所以．故答案為：【鞏固練習1】已知為橢圓的右焦點，過原點的直線與相交于兩點，且軸，若，則的長軸長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據橢圓的對稱性可知，就是到橢圓左焦點的距離；再根據橢圓的定義和“焦點三角形”求的值.【詳解】設，如圖，記為的左焦點，連接，則由橢圓的對稱性可知，由，設，則.又軸，所以，即，所以，解得.所以的長軸長為.【鞏固練習2】（高二下·廣東深圳·期末）已知橢圓的右焦點為，過原點的直線與交于兩點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設橢圓的左焦點為，由橢圓的對稱性可得四邊形為矩形，再根據橢圓的定義求出，再利用勾股定理構造齊次式即可得解.【詳解】如圖，設橢圓的左焦點為，由橢圓的對稱性可得，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，所以，由，得，又，所以，在中，由，得，即，所以，即的離心率為.故選：A.

【鞏固練習3】（2024·遼寧·一模）已知為橢圓的右焦點，過原點的直線與相交于兩點，且軸，若，則的長軸長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據橢圓的對稱性可知，就是到橢圓左焦點的距離；再根據橢圓的定義和“焦點三角形”求的值.【詳解】設Fc,0，如圖，記為的左焦點，連接，則由橢圓的對稱性可知，由，設，則.又軸，所以，即，所以，解得.所以的長軸長為.【鞏固練習4】設橢圓的左、右焦點分別為，點在上（位于第一象限），且點關于原點對稱，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據對稱以及垂直可證四邊形是矩形，即可根據橢圓定義，以及勾股定理求解，根據得，即可求解離心率.【詳解】點關于原點對稱，所以線段互相平分，故四邊形為平行四邊形，又，故，所以四邊形是矩形，故，其中，設，則，由，得，整理得，由于點在第一象限，所以，由，得，即，整理得，即，解得．故選：C【題型3】雙焦點三角形模型之導邊若橢圓中出現了過焦點的弦這類條件，可以分成2個焦點三角形來分析，進而找出4條焦半徑之間的關系，再結合其它條件求出離心率已知，分別是橢圓C：的左、右焦點，M，N是橢圓C上兩點，且，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，結合橢圓定義得，，在中由勾股定理得，再結合求解.【詳解】連接，設，則，，，在中，，即，所以，所以，在中，，即，所以.故選:B.已知橢圓，，分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓的下頂點，直線交橢圓于另一點，若，則橢圓的離心率為【答案】【分析】由題意結合橢圓定義可得，在中，由余弦定理可得，再利用二倍角的余弦公式可得，從而求出橢圓的離心率.【詳解】如圖，點在橢圓上，所以，由，代入上式得，在，，又，所以，即已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l與橢圓C交于P，Q兩點．若，且，則C的離心率為．【答案】【分析】取線段的中點M，連接，由題意可得，，進而求得，，，利用，可得，求解即可.【詳解】由題意知，，由橢圓定義，得，則，，取線段的中點M，連接，如圖所示．易知，，．在中，得，即，得，即，又，解得．已知橢圓的上、下焦點分別為、，焦距為，與坐標軸不垂直的直線過且與橢圓交于、兩點，點為線段的中點，若，則橢圓的離心率為．【答案】【分析】作出圖形，分析可知為等腰直角三角形，設，則，利用橢圓的定義可得出，，在中，利用勾股定理可得出關于、的齊次等式，即可求出該橢圓的離心率的值.【詳解】因為點為線段的中點，，則，所以，為等腰直角三角形，

設，則，由橢圓的定義可得，所以，，所以，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，該橢圓的離心率為.【鞏固練習1】如圖所示，點是橢圓的右焦點，是橢圓上關于原點對稱的兩點，直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作為橢圓M的左焦點，連接．設，則，再利用橢圓的定義及對稱性建立方程組求出離心率.【詳解】令為橢圓M的左焦點，連接，由A，C是橢圓上關于原點O對稱的兩點，知四邊形是平行四邊形，又，則是矩形，令，，則，，，于是，即，解得，所以橢圓的離心率為.故選：D【鞏固練習2】已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓交于兩點，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，根據題目條件和橢圓定義表示其他邊長，利用勾股定理得出和的關系，分別在和直角中表示，建立等量關系求橢圓離心率.【詳解】設，則，由橢圓的定義得，，由得，即，整理得，解得或（舍去），∴，故點在軸上.如圖，在直角中，，在中，，化簡得，∴橢圓的離心率.【鞏固練習3】設，是橢圓（）的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，，，根據橢圓的定義及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出與的關系，即可求出離心率.【詳解】不妨設，，，則，．又，所以，化簡得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故的離心率為．【鞏固練習4】設，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于A，B兩點，且，，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，根據橢圓定義結合勾股定理解得，進而可得，在△中，利用勾股定理列式求解即可.【詳解】設，因為，則，，由橢圓的定義可得，，因為，即，在中，則，即，解得，可得，在△中，可得，整理得，所以橢圓E的離心率為.【鞏固練習5】已知橢圓（）的左、右焦點為、，圓與的一個交點為，直線與的另一個交點為，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，設，由橢圓的定義可知，的表達式，再由的值，可，在中，可得，可得點為短軸的端點，在中，由余弦定理可得，的關系，即求出橢圓的離心率的值．【詳解】由題意知，圓過橢圓的兩個焦點，因為為圓與橢圓的交點，所以，因為，設，可得，，所以，所以，在中，，即，解得或，解得或（舍去），此時點為橢圓短軸的頂點，又，解得（負值舍去），且，，在中，由余弦定理可得，整理可得，所以．故選：B．【題型4】余弦定理用2次型若橢圓中三點組成的三角形中有一條邊過橢圓焦點，可以考慮用鄰補角余弦值和為零來得到一個等式.橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，由橢圓定義知，又，所以，再由橢圓定義，因為，所以，所以由余弦定理可得，即，化簡可得，即，解得或（舍去）已知，分別為橢圓：的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若，則橢圓的離心率為.【答案】33/【分析】設，，由橢圓定義得到，分別在和上，利用，求出，故，，從而得到，求出離心率.【詳解】設，則，由橢圓定義知，故，其中，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以，即，故，解得，故，，由，故離心率.

【鞏固練習1】已知橢圓的兩個焦點為，過作直線與橢圓相交于兩點，若且，則橢圓上的離心率為 （）A．B．C．D．【答案】C解析：設，則，，由橢圓定義：，，，，，，化簡,，故選C【鞏固練習2】（2024·河北滄州·二模）已知為橢圓的左?右焦點，過的直線與交于兩點，若，則的離心率為.【答案】【分析】利用給定條件，結合橢圓的定義、余弦定理建立關于的等式，即可求出離心率.【詳解】由及，得，，又，則，設，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，于是，且，整理得，且，因此，所以的離心率為.故答案為：

【鞏固練習3】設分別為橢圓的左、右焦點，點均在上，若，，則橢圓的離心率為 （）A．B．C．D．【答案】B解析：設，則，，由橢圓定義：，，，，，，，，化簡，，故選B【鞏固練習4】已知橢圓的兩個焦點為，過作直線與橢圓相交于兩點，若且，則橢圓上的離心率為 （）A．B．C．D．【答案】C解析：設，則，，由橢圓定義：，，，，，，化簡,，故選C【鞏固練習5】已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點．若，，則橢圓的方程為A． B． C． D．【答案】【解答】解：，且，，，，，，，，則在軸上．在△中，，在△中，由余弦定理可得，根據，可得，解得，．橢圓的方程為：．【題型5】結合幾何性質求值利用幾何圖形的性質，如對稱性、相似、角度和中位線等，可以簡化復雜計算。通過構建或識別圖形中的幾何關系，直接得出答案，避免繁瑣的代數運算，提高解題效率和準確性。已知橢圓的右焦點為F，過F點作圓的一條切線，切點為T，延長FT交橢圓C于點A，若T為線段AF的中點，則橢圓C的離心率為．【答案】【詳解】設橢圓的左焦點為,連接，,由幾何關系可知，則，即，由橢圓的定義可知，即且，整理得，解得，.故答案為：.如圖，橢圓的左，右焦點分別為，，點P是橢圓上任意一點（與，不共線），M在的延長線上，PN是的角平分線，過作垂直于PN，垂足為Q，則．【答案】2【分析】由題意作圖，根據角平分線的性質以及橢圓的定義，可得的長，利用三角形中位線，可得答案.【詳解】由題意，延長交于，連接，如下圖：因為為的角平分線且，所以，則，即，在中，易知分別為的中點，即為中位線，所以.（2024深高級高二期末）橢圓中，為上頂點，為左焦點，過原點作的平行線與橢圓在第一象限交于點，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的坐標，計算即可.【詳解】結合題意可得：，，所以，因為,所以直線為，設，聯立，可得，因為，所以，整理得：，即，因為橢圓的離心率，所以.故選：B.法二：如圖，作BH垂直x軸，則，故，易知，，將代入橢圓方程可得，解得，即，令，則有

（重慶南開中學期末）已知，是橢圓C：的左、右焦點，P為C上異于頂點的一點，的平分線PQ交x軸于點Q.若，則橢圓C的離心率為.【答案】【分析】根據角平分線性質定理結合橢圓定義即可得到關于的方程，則得到離心率的值.【詳解】設，則，則，根據角平分線性質定理得，即，解得，則根據橢圓定義得，，故答案為：.【鞏固練習1】已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，過點F作圓的切線，若兩條切線互相垂直，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，由題意可得，，即，則，∴，即．【鞏固練習2】已知、是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則實數的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據橢圓的性質、三角形面積公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.【詳解】由題意，，，即，，整理可得，，則，解得【鞏固練習3】已知，分別是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，且在第一象限，過作的外角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標原點，若，則該橢圓的離心率為______.【答案】【分析】延長，交于點Q，根據PA是的外角平分線，得到，，再利用橢圓的定義求解.【詳解】解：如圖所示：延長，交于點Q，∵PA是的外角平分線，，，又O是的中點，，且.又，，，∴離心率為.【鞏固練習4】（2024武漢部分重點中學期末）已知橢圓的左焦點為，過原點的直線交橢圓于，兩點，點在第二象限，且（如圖），則橢圓的離心率為．

【答案】【詳解】法一：設，,則，設橢圓的焦距為，則F-c,0，所以，，因為，所以，化簡得，所以即，所以或（舍），，又因為，所以，解得，所以橢圓的離心率.法二：易知△BAF與△BFO相似，故，設，則，由對稱性可知，即，利用余弦定理得出等式再化簡即可【鞏固練習5】已知是橢圓上一點，是的兩個焦點，，點在的平分線上，為原點，，且．則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，，由題意得出是等腰直角三角形，列方程組得到含的齊次方程求解離心率即可.【詳解】如圖，設，，延長交于，由題意知，為的中點，故為中點，又，即，則，又點在的平分線上,則，故是等腰直角三角形，因此，則，可得，，又，則，因此可得，又在中，，則，將，代入得，即，由所以，所以，.【題型6】與向量結合求離心率結合向量求離心率，可通過向量的模和點積等性質，先求出橢圓或半圓的長軸、短軸及焦距，再利用這些幾何量計算離心率。這種方法融合了向量代數與幾何分析，為求解離心率提供了新穎且有效的途徑設橢圓C：的左、右焦點分別為，，直線l過點.若點關于l的對稱點P恰好在橢圓C上，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】法一：設，由已知可得，，根據橢圓的定義有.又，所以.在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，等式兩邊同時除以可得，，解得，或（舍去），所以.法二：取中點M，則，由勾股可得，設則有代入消元得到關于a，c的齊次式故，下略已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，點在上，點在軸上，，，則橢圓的離心率為．【答案】5【分析】利用橢圓的定義，通過假設一條焦半徑長，就可以得到其他焦半徑的表示，再利用勾股定理來消元假設的字母，最后利用一個角和余弦定理來建立一個的齊次式，求解離心率.【詳解】令橢圓：（）的半焦距為，設，則，由點在軸上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，而，所以橢圓的離心率為．已知橢圓的兩個焦點為和，直線過點，點關于直線對稱點在上，且，則橢圓的離心率為____________．【答案】【分析】由向量線性運算化簡已知等式得到，由向量數量積定義可求得，，可知為等邊三角形；利用橢圓定義可得，進而可得橢圓離心率.【詳解】設與直線交點為，則為中點，；，，，，，則，又，為等邊三角形，則，由橢圓定義知：，橢圓離心率.【鞏固練習1】（重慶育才中學期末）已知橢圓：的左右焦點分別為，，點在上，點在軸上，，，則的離心率為.【答案】【分析】設，利用橢圓定義及對稱性表示出，結合勾股定理可得，再利用余弦定理求解即得.【詳解】令橢圓：的半焦距為c，設，則，由點在軸上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，，所以的離心率為.故答案為：【鞏固練習2】設，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】由，設出，根據橢圓的定義可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】因為，不妨令，

由過的直線交橢圓于，兩點，由橢圓的定義可得，，BF1+BF則，，又因為，所以，則和都是直角三角形，由勾股定理可得，，即，解得，所以，，又，，所以，解得，所以橢圓的離心率為.【鞏固練習3】橢圓：（）的左、右焦點分別為，，過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點（在左側），若，則的離心率為.【答案】/0.4【分析】取中點，根據給定條件，可得，再利用橢圓定義，結合二倍角的余弦公式列式計算即得.【詳解】設橢圓的半焦距為c，取中點，連接，則，由，得，于是，則，，由直線的斜率為，得，即，而，解得，即，，于是，解得，所以的離心率為.故答案為：【題型7】由齊次式方程求離心率由已知條件得出關于a、c的齊次方程或不等式，然后轉化為關于e的方程或不等式求解；已知是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于兩點，若是等腰直角三角形，則這個橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設橢圓方程為，焦點，離心率為e，將代入可得，所以,又是等腰直角三角形，所以，所以即，所以，解得（負值舍去）.設橢圓的左、右焦點分別為，，點M，N在C上（M位于第一象限），且點M，N關于原點O對稱，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：依題意作下圖，由于，并且線段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，設，則，根據勾股定理，，，整理得，由于點M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得.如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，過原點的直線與橢圓交于兩點，橢圓上異于的點滿足，，，則橢圓的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據垂直關系可得，根據數量積可得，進而得在橢圓上，即可化簡求解.【詳解】

連接，依題意可得，所以，所以，所以，所以，則的坐標為，所以，即，可得，化簡得，解得，即．【鞏固練習1】（2024·山東青島·一模）已知O為坐標原點，點F為橢圓的右焦點，點A，B在C上，AB的中點為F，，則C的離心率為．【答案】【分析】先結合圖形求得，代入橢圓方程構造齊次式，然后可解.【詳解】由橢圓的對稱性可知，垂直于x軸，又，所以，所以為等腰直角三角形，故，所以，即，所以，整理得，解得或（舍去），故.故答案為：【鞏固練習2】（廣東湛江·高二統考期末）是橢圓上的一點，為左頂點，為右焦點，軸，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】軸得，在直角中由正切的定義可得的齊次式，從而得出的方程，求得結論．【詳解】解：軸，，而由得，即，解得舍或.【鞏固練習3】已知橢圓：的兩個焦點為，，過的直線與交于A，B兩點.若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設,則,.由橢圓的定義可知,所以,所以,.在△ABF1中,.所以在△AF1F2中,,即整理可得：【題型8】點差法與離心率橢圓垂徑定理：已知A,B是橢圓上任意2點，且弦不平行軸，M為線段AB中點，則有 證明（點差法）：設，，則，，，∵A，B在橢圓上，代入A，B坐標得① ②兩式相減得：，整理得∴【思考】（1）橢圓焦點在軸上時，結論是否仍然成立？（1）設，，則，仍有，，∵A，B在橢圓上，代入A，B坐標得 兩式相減得：，整理得∴若橢圓的弦中點坐標為，則直線的斜率為．【答案】【分析】利用點差法求得正確答案.【詳解】由于，所以點在橢圓內部，設，，由已知，，，兩式相減得，∴．（2024深圳南山區(qū)高二期末）過點作斜率為的直線與橢圓相交于兩點，若為線段的中點，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用點差法計算得出，借助離心率公式計算即可.【詳解】設,因為為線段的中點，所以，則，兩式相減可得：，整理得，即，所以，所以.（杭州學軍中學高二上）焦距為，并且截直線所得弦的中點的橫坐標是的橢圓的標準方程為（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】設橢圓方程為，且，及交點，將兩點代入橢圓方程可得，根據弦中點坐標關系可得，結合直線方程得，再由橢圓的焦距求得的值，即可得橢圓標準方程.【詳解】解：設橢圓方程為，且設直線與橢圓相交的兩點坐標為，由題意可知，即，所以，又在橢圓上，可得：，兩式相減得，整理得：，則，所以，又直線的斜率為，所以，即，所以橢圓的焦距為，所以，則，故可得：解得，故橢圓的標準方程為：.【鞏固練習1】已知橢圓方程為，其右焦點為，過點的直線交橢圓與，兩點．若的中點坐標為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算，設，，代入橢圓方程相減得到，解得答案.【詳解】的中點坐標為，則，設，，則，，相減得到：，即，，又，，解得，，橢圓的方程為.【鞏固練習2】（華中師范大學第一附屬中學高二期末）已知橢圓的左焦點為，如圖，過點作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出點坐標，利用點差法求得，可求橢圓離心率.【詳解】橢圓的左焦點為F-c,0，，過作軸，垂足為，由，得，，有，設，則有，，由，兩式相減得，則有，所以.故選：D【鞏固練習3】已知直線與橢圓相交于兩點.若弦被直線平分，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由點差法解出，再由結合橢圓的性質和離心率的定義解出即可.【詳解】設，因為弦被直線平分，設中點坐標，所以，①因為點在直線上，代入可得，兩式相減可得，②又點在橢圓上，代入可得，兩式相減可得，代入①②可得，又橢圓中，所以離心率，故選：C【鞏固練習4】（23-24高二上·河北邢臺·期末）已知橢圓：的長軸長是短軸長的倍.(1)求的方程；(2)若傾斜角為的直線與交于，兩點，線段的中點坐標為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據條件確定的值，即得橢圓的標準方程；（2）涉及中點弦問題，可以考慮“點差法”解決問題.【詳解】（1）由題意可得，得，所以的方程為.（2）由題意得.設，，依題意可得，且，由得，則，解得.經檢驗，點在橢圓內.所以為所求.【鞏固練習5】不與坐標軸垂直的直線過點，，橢圓上存在兩點關于對稱，線段的中點的坐標為．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據點差法求出，再結合進行計算得出結果.【詳解】設為坐標原點，在橢圓中，設，則，所以，因為關于對稱，所以，所以，由線段的中點的坐標為，得出．所以，又，∴，即，又，∴，所以所求離心率為.【題型9】橢圓的第三定義與離心率那么點差法是不是只能解決同時與中點和斜率有關的問題呢?其實不然．其實點差法的內核還是“設而不求、整體代換”的思想，建立的是曲線上兩點橫縱坐標和差之間的聯系，這其實也是第三定義的體現. 第三定義：平面內與兩個定點，的斜率乘積等于常數的點的軌跡叫做橢圓或雙曲線(不含兩個頂點)．其中兩定點分別為橢圓或雙曲線的頂點．當常數大于－1小于0時為橢圓，此時；當常數大于0時為雙曲線，此時．【第三定義推廣】：平面內與兩個關于原點對稱的點，的斜率乘積等于常數的點的軌跡叫做橢圓或雙曲線．當常數大于－1小于0時為橢圓，此時；當常數大于0時為雙曲線，此時．【證明】是橢圓上的一組對稱點，P為橢圓上任意點，則有 證明（點差法）：設，，，，，∵P，A在橢圓上，代入坐標得① ②兩式相減得：，整理得∴法二：通過橢圓的垂徑定理轉換 中點弦和第三定義本質上是一樣的（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知點，動點P滿足直線與的斜率之積為，則點P的軌跡方程．【答案】【分析】設Px,y，根據斜率的乘積為列式運算可得軌跡方程.【詳解】設Px,y，則，，，所以，即，整理得，所以點的軌跡方程為，.故答案為：，.已知橢圓的左、右焦點分別為，，A為橢圓C的左頂點，以為直徑的圓與橢圓C在第一、二象限的交點分別為M，N，若直線AM，AN的斜率之積為，則橢圓C的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設出兩點的坐標，根據已知條件列方程組，求得，從而求得橢圓的標準方程.【詳解】設，則，依題意，，解得，所以橢圓的標準方程為.

（學軍中學期末）設橢圓的右焦點為，點在橢圓外，P，Q在橢圓上，且P是線段AQ的中點．若直線PQ，PF的斜率之積為，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】法一：記為橢圓左焦點，直線交橢圓于M，PF交橢圓與N，故PF是的中位線，故QM∥PN，由對稱性可知Q、N關于原點對稱，故法二：構造中位線如圖，取的中點為，連接，則由題意可得，，所以相似，所以,因為直線PQ，PF的斜率之積為，所以,設，則有，兩式相減可得，即，即，即，所以橢圓的離心率為【鞏固練習1】（2024·湖北鄂州高二期末）已知橢圓C：的長軸長為4，若點P是橢圓C上任意一點，過原點的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線PM，PN的斜率為，，若，則橢圓的方程為.【答案】【分析】設點坐標后，用點差法即得.【詳解】設，因為關于原點對稱，所以設，則，①—②得：，即，又已知，所以所以橢圓方程為:,故答案為：【鞏固練習2】已知過坐標原點且異于坐標軸的直線交橢圓于兩點，為中點，過作軸垂線，垂足為，直線交橢圓于另一點，直線的斜率分別為，若，則橢圓離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意設出各個點的坐標，注意到，結合，兩式相比結合斜率公式即可求解.【詳解】如圖所示：

設，則，而，又因為，所以，解得，所以橢圓離心率為.【鞏固練習3】（2024重慶南開中學高二期末）若橢圓C：的離心率為，左頂點為A，點P，Q為C上任意兩點且關于y軸對稱，則直線AP和直線AQ的斜率之積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據橢圓離心率求得，設，表示出的表達式，結合橢圓方程化簡，即可得答案.【詳解】由題意知橢圓C：的離心率為，即，設，則，又，故，又，故【鞏固練習4】（2024·廣東湛江·一模）已知，分別為橢圓C：的左、右焦點，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為．【答案】【分析】由題意可得出，設，則，，橢圓的定義可得，再由余弦定理可得，在中，由余弦定理即可求出橢圓C的離心率.【詳解】由，得為線段的中點，且點在橢圓外，所以，則，又，所以為線段的中點，所以，設，則，又，所以，由橢圓的定義可知：，得，如圖，延長交橢圓C于點，連接，則由橢圓的對稱性可知，，又，故，由余弦定理可得：，在中，，由余弦定理可得，即，所以橢圓C的離心率為.【題型10】設點運算求值問題個別選填壓軸需要設點設線聯立韋達化處理，這類題計算量比一般題目大一些，一般是通過坐標轉化向量和幾何性質（2024深圳羅湖區(qū)高二期末）已知橢圓的左，右焦點分別為，點P為E的上頂點，點Q在E上且滿足，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】向量坐標化得Q坐標，代入橢圓方程計算求解離心率.【詳解】由題意,其中.設，由，得，即，代入橢圓得，解得離心率.【鞏固練習1】如圖，橢圓C：的右頂點為A，上頂點為B，直線且在第一象限交橢圓于P點，設OP與AB的交點為M，若，則橢圓的離心率為．【答案】【分析】聯立方程求出點的坐標，再由可得點的坐標，代入橢圓方程，化簡整理，由橢圓的離心率公式可得所求值.【詳解】由題意，，則，且直線的方程為，由可得，所以直線的方程為，聯立，解得，即，因為，所以，將代入橢圓方程化簡得，即，所以或（舍去），所以，即，所以離心率.【鞏固練習2】已知，分別是橢圓C：的左、右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N．若直線MN在y軸上的截距為3，且，則橢圓C的