專題09初等數(shù)論與幾何背景下的新定義【題型歸納目錄】題型一：進(jìn)位制題型二：數(shù)對(duì)序列題型三：群論題型四：平面幾何題型五：置換題型六：余數(shù)、約數(shù)【典型例題】題型一：進(jìn)位制【典例1-1】(湖南省衡水金卷2023-2024學(xué)年高三二調(diào)數(shù)學(xué)試題)國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME)是世界數(shù)學(xué)教育規(guī)模最大、水平最高的學(xué)術(shù)性會(huì)議，第十四屆大會(huì)將在上海召開，其會(huì)標(biāo)如圖，包含若許多數(shù)學(xué)元素，主畫面是非常優(yōu)美的幾何化的中心對(duì)稱圖形，由弦圖、圓和螺線組成，主畫面標(biāo)明的ICME—14下方的“”是用中國古代八進(jìn)制的計(jì)數(shù)符號(hào)寫出的八進(jìn)制數(shù)3744，也可以讀出其二進(jìn)制碼(0)11111100100，換算成十進(jìn)制的數(shù)是n，求及的值．【典例1-2】(安徽省合肥市2024屆高三學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題)通信編碼信號(hào)利用信道傳輸，如圖1，若信道傳輸成功，則接收端收到的信號(hào)與發(fā)來的信號(hào)完全相同；若信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號(hào).傳統(tǒng)通信傳輸技術(shù)采用多個(gè)信道各自獨(dú)立傳輸信號(hào)(以兩個(gè)信道為例，如圖2)．華為公司5G信道編碼采用土耳其通訊技術(shù)專家ErdalArikan教授的極化碼技術(shù)(以兩個(gè)相互獨(dú)立的信道傳輸信號(hào)為例)：如圖3，信號(hào)直接從信道2傳輸；信號(hào)在傳輸前先與“異或”運(yùn)算得到信號(hào)，再從信道1傳輸．接收端對(duì)收到的信號(hào)，運(yùn)用“異或”運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行解碼，從而得到或得不到發(fā)送的信號(hào)或．(注：“異或”是一種2進(jìn)制數(shù)學(xué)邏輯運(yùn)算．兩個(gè)相同數(shù)字“異或”得到0，兩個(gè)不同數(shù)字“異或”得到1，“異或”運(yùn)算用符號(hào)“”表示：，，，．“異或”運(yùn)算性質(zhì)：，則)．假設(shè)每個(gè)信道傳輸成功的概率均為．．(1)在傳統(tǒng)傳輸方案中，設(shè)“信號(hào)和均被成功接收”為事件，求：(2)對(duì)于極化碼技術(shù)：①求信號(hào)被成功解碼(即根據(jù)BEC信道1與2傳輸?shù)男盘?hào)可確定的值)的概率；②若對(duì)輸入信號(hào)賦值(如)作為已知信號(hào)，接收端只解碼信號(hào)，求信號(hào)被成功解碼的概率.【變式1-1】(上海市十校2024屆高三學(xué)期3月聯(lián)考(文理)數(shù)學(xué)試題)規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，若存在數(shù)列和實(shí)數(shù)，使，則稱可以表示成進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：；如：，表示是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且；(1)已知，試將表示成進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式；(2)若數(shù)列滿足，，，，，求證：；(3)若常數(shù)滿足且，，求.題型二：數(shù)對(duì)序列【典例2-1】(北京市西城區(qū)2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)給定正整數(shù)，已知項(xiàng)數(shù)為且無重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列：滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①，且；②；③與不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中.(1)當(dāng)，時(shí)，寫出所有滿足的數(shù)對(duì)序列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記的最大值為，求.【典例2-2】(上海市楊浦高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)對(duì)于四個(gè)正數(shù)，若滿足，則稱有序數(shù)對(duì)是的"下位序列".(1)對(duì)于2、3、7、11，有序數(shù)對(duì)是的"下位序列"嗎?請(qǐng)簡(jiǎn)單說明理由;(2)設(shè)均為正數(shù)，且是的“下位序列”，試判斷之間的大小關(guān)系；(3)設(shè)正整數(shù)滿足條件:對(duì)集合內(nèi)的每個(gè)，總存在正整數(shù)，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整數(shù)的最小值.題型三：群論【典例3-1】(安徽省蕪湖市安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題)對(duì)稱變換在對(duì)稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義．若一個(gè)平面圖形K在m(旋轉(zhuǎn)變換或反射變換)的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對(duì)稱性，并記m為K的一個(gè)對(duì)稱變換．例如，正三角形R在(繞中心O作120°的旋轉(zhuǎn))的作用下仍然與R重合(如圖1圖2所示)，所以是R的一個(gè)對(duì)稱變換，考慮到變換前后R的三個(gè)頂點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，記；又如，R在(關(guān)于對(duì)稱軸所在直線的反射)的作用下仍然與R重合(如圖1圖3所示)，所以也是R的一個(gè)對(duì)稱變換，類似地，記．記正三角形R的所有對(duì)稱變換構(gòu)成集合S．一個(gè)非空集合G對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算.來說作成一個(gè)群，假如同時(shí)滿足：I．，；II．，；Ⅲ．，，；Ⅳ．，，．對(duì)于一個(gè)群G，稱Ⅲ中的e為群G的單位元，稱Ⅳ中的為a在群G中的逆元．一個(gè)群G的一個(gè)非空子集H叫做G的一個(gè)子群，假如H對(duì)于G的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)群．

(1)直接寫出集合S(用符號(hào)語言表示S中的元素)；(2)同一個(gè)對(duì)稱變換的符號(hào)語言表達(dá)形式不唯一，如．對(duì)于集合S中的元素，定義一種新運(yùn)算*，規(guī)則如下：，．①證明集合S對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算*來說作成一個(gè)群；②已知H是群G的一個(gè)子群，e，分別是G，H的單位元，，，分別是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之間的關(guān)系以及，之間的關(guān)系，并給出證明；③寫出群S的所有子群．【典例3-2】(江西省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷)將數(shù)列按照一定的規(guī)則，依順序進(jìn)行分組，得到一個(gè)以組為單位的序列稱為的一個(gè)分群數(shù)列，稱為這個(gè)分群數(shù)列的原數(shù)列．如，，…，是的一個(gè)分群數(shù)列，其中第k個(gè)括號(hào)稱為第k群．已知的通項(xiàng)公式為．(1)若的一個(gè)分群數(shù)列中每個(gè)群都含有3項(xiàng)；該分群數(shù)列第k群的中間一項(xiàng)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若的一個(gè)分群數(shù)列滿足第k群含有k項(xiàng)，為該分群數(shù)列的第k群所有項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)集，設(shè)，求集合M中所有元素的和．【變式3-1】(2024屆高三新高考改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性練習(xí)(九省聯(lián)考題型))對(duì)于非空集合，定義其在某一運(yùn)算(統(tǒng)稱乘法)“×”下的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為“群”，簡(jiǎn)記為．而判斷是否為一個(gè)群，需驗(yàn)證以下三點(diǎn)：(封閉性)對(duì)于規(guī)定的“×”運(yùn)算，對(duì)任意，都須滿足；(結(jié)合律)對(duì)于規(guī)定的“×”運(yùn)算，對(duì)任意，都須滿足；(恒等元)存在，使得對(duì)任意，；(逆的存在性)對(duì)任意，都存在，使得．記群所含的元素個(gè)數(shù)為，則群也稱作“階群”．若群的“×”運(yùn)算滿足交換律，即對(duì)任意，，我們稱為一個(gè)阿貝爾群(或交換群)．(1)證明：所有實(shí)數(shù)在普通加法運(yùn)算下構(gòu)成群；(2)記為所有模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合，請(qǐng)找出一個(gè)合適的“×”運(yùn)算使得在該運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群，并說明理由；(3)所有階數(shù)小于等于四的群是否都是阿貝爾群？請(qǐng)說明理由．題型四：平面幾何【典例4-1】(河南省鄭州市名校教研聯(lián)盟2024屆高三學(xué)期模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試卷)平面幾何中有一個(gè)著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)到其垂心(三角形三條高的交點(diǎn))的距離等于外心(外接圓圓心)到該頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍．若點(diǎn)A，B，C都在圓E上，直線BC方程為，且，△ABC的垂心在△ABC內(nèi)，點(diǎn)E在線段AG上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.【典例4-2】(江西省智慧上進(jìn)2024屆高三學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題)如圖，直線l與的邊BC的延長(zhǎng)線及邊AC，AB分別交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則，該結(jié)論稱為門奈勞斯定理，若點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，在中隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P在內(nèi)的概率為(

)A． B． C． D．【變式4-1】(多選題)(寧夏銀川市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高一學(xué)期月考一數(shù)學(xué)試卷)“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．如圖，已知圓O的半徑為2，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦AC，BD均過點(diǎn)P，則下列說法正確的是(

)A．的最大值為12 B．的取值范圍是C． D．當(dāng)時(shí)，為定值題型五：置換【典例5-1】(浙江省名校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三學(xué)期返?？荚嚁?shù)學(xué)試卷)置換是代數(shù)的基本模型，定義域和值域都是集合的函數(shù)稱為次置換.滿足對(duì)任意的置換稱作恒等置換.所有次置換組成的集合記作.對(duì)于，我們可用列表法表示此置換：，記.(1)若，計(jì)算；(2)證明：對(duì)任意，存在，使得為恒等置換；(3)對(duì)編號(hào)從1到52的撲克牌進(jìn)行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯(cuò)插入，即第1張不動(dòng)，第27張變?yōu)榈?張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，......，依次類推.這樣操作最少重復(fù)幾次就能恢復(fù)原來的牌型？請(qǐng)說明理由.【典例5-2】(山東省青島市2024屆高三學(xué)期第一次適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題)記集合無窮數(shù)列中存在有限項(xiàng)不為零，，對(duì)任意，設(shè)變換，．定義運(yùn)算：若，則，．(1)若，用表示；(2)證明：；(3)若，，，證明：．【變式5-1】(江蘇省淮陰中學(xué)等四校2024屆高三學(xué)期期初測(cè)試聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷)在平面直角坐標(biāo)系中，若在曲線的方程中，以(λ為非零的正實(shí)數(shù))代替得到曲線的方程，則稱曲線、關(guān)于原點(diǎn)“伸縮”，變換稱為“伸縮變換”，λ稱為伸縮比.(1)已知曲線的方程為，伸縮比，求關(guān)于原點(diǎn)“伸縮變換”后所得曲線的方程；(2)射線l的方程，如果橢圓經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓，若射線l與橢圓、分別交于兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程；(3)對(duì)拋物線，作變換，得拋物線；對(duì)作變換，得拋物線；如此進(jìn)行下去，對(duì)拋物線作變換，得拋物線，…．若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【變式5-2】(江蘇省徐州市2024屆高三學(xué)期新高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列P：，定義變換，將數(shù)列P變換成數(shù)列：．對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義，定義變換，將數(shù)列Q各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列．(1)若數(shù)列為2，4，3，7，求的值；(2)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，令，．(i)探究與的關(guān)系；(ii)證明：．題型六：余數(shù)、約數(shù)【典例6-1】約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個(gè)正約數(shù)，即為.(1)當(dāng)時(shí)，若正整數(shù)的個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請(qǐng)寫出一個(gè)的值；(2)當(dāng)時(shí)，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；(3)記，求證：.【典例6-2】(河北省2024屆高三學(xué)期大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研聯(lián)合測(cè)評(píng)(V)數(shù)學(xué)試題)設(shè)a，b為非負(fù)整數(shù)，m為正整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為．(1)求證：；(2)若p是素?cái)?shù)，n為不能被p整除的正整數(shù)，則，這個(gè)定理稱之為費(fèi)馬小定理．應(yīng)用費(fèi)馬小定理解決下列問題：①證明：對(duì)于任意整數(shù)x都有；②求方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)．【變式6-1】(湖北省襄陽市第五中學(xué)2024屆高三學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題)“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二：五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二．問物幾何？”問題的意思是，一個(gè)數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么這個(gè)數(shù)是多少？若一個(gè)數(shù)被除余，我們可以寫作．它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的．大衍求一術(shù)(也稱作“中國剩余定理”)是中國古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，現(xiàn)將滿足上述條件的正整數(shù)從小到大依次排序．中國剩余定理：假設(shè)整數(shù)，，…，兩兩互質(zhì)，則對(duì)任意的整數(shù)：，，…，方程組一定有解，并且通解為，其中為任意整數(shù)，，，為整數(shù)，且滿足．(1)求出滿足條件的最小正整數(shù)，并寫出第個(gè)滿足條件的正整數(shù)；(2)在不超過4200的正整數(shù)中，求所有滿足條件的數(shù)的和．(提示：可以用首尾進(jìn)行相加)．【過關(guān)測(cè)試】1．(多選題)(湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2023-2024學(xué)年高二學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)圓冪定理是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理，經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條弦被這點(diǎn)所分成的兩線段長(zhǎng)的積相等，已知圓的半徑為5，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的一定點(diǎn)，且，過點(diǎn)P引兩條弦AC，BD，則下列說法正確的是(

)A．為定值B．的取值范圍為C．當(dāng)時(shí)，如圖以O(shè)為原點(diǎn)，OP為x軸，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為D．當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD面積的最大值為402．(重慶市南開中學(xué)高2023-2024學(xué)年高一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)測(cè)試題)對(duì)于四個(gè)正數(shù)，若滿足，則稱有序數(shù)對(duì)是的“下位序列”．(1)對(duì)于2、3、7、11，有序數(shù)對(duì)是的“下位序列”嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)單說明理由；(2)設(shè)均為正數(shù)，且是的“下位序列”，試判斷之間的大小關(guān)系．3．(上海市12校2024屆高三學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)A，若存在數(shù)列和實(shí)數(shù)，使得則稱數(shù)A可以表示成進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：.如：.則表示A是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且.(1)已知(其中)，試將m表示成進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式.(2)若數(shù)列滿足是否存在實(shí)常數(shù)和，對(duì)于任意的，總成立？若存在，求出和；若不存在，說明理由.(3)若常數(shù)滿足且.求.4．(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽試題)若、、均為正整數(shù)，且，為一素?cái)?shù)，、、的進(jìn)制表示分別為，其中，.證明：(1)若，且對(duì)整數(shù)均有，則，其中，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù).(2)，其中，表示集合A中元素的個(gè)數(shù).5．(湖南省衡陽市2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用．所有大于1的正整數(shù)都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式：(為的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，為質(zhì)數(shù)，)，例如：，對(duì)應(yīng)．現(xiàn)對(duì)任意，定義莫比烏斯函數(shù)(1)求；(2)若正整數(shù)互質(zhì)，證明：；(3)若且，記的所有真因數(shù)(除了1和以外的因數(shù))依次為，證明：．6．(2024年1月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試(九省聯(lián)考)數(shù)學(xué)試題)離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)是素?cái)?shù)，集合，若，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設(shè)，兩兩不同，若，則稱是以為底的離散對(duì)數(shù)，記為．(1)若，求；(2)對(duì)，記為除以的余數(shù)(當(dāng)能被整除時(shí)，)．證明：，其中；(3)已知．對(duì)，令．證明：．(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形OACB的周長(zhǎng)；(2)克羅狄斯托勒密所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，則當(dāng)線段OC的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求(3)問：B在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值.如圖，在凸四邊形ABCD中，

(1)若圖，求線段BD長(zhǎng)度的最大值；(2)若圖，求四邊形ABCD面積取得最大值時(shí)角A的大小，并求出四邊形ABCD面積的最大值．7．(江蘇省南通市如東縣等2地2023-2024學(xué)年高一學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)如圖，半圓的直徑為，為直徑延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，，為半圓上任意一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角形．設(shè)．

(1)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最大，并求出面積的最大值；(2)克羅狄斯托勒密所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，則當(dāng)線段的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求．8．(上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)如果一個(gè)正多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這個(gè)多面體叫做正多面體.有趣的是只有正四面體、正方體、正八面體、正十二面體和正二十面體五種正多面體，現(xiàn)將它們的體積依次記為，.

(1)利用金屬板分別制作正多面體模型各一個(gè)，假設(shè)制作每個(gè)模型的外殼用料(即表面積)均等于，分別求出和的值；并猜想與的大小關(guān)系(猜想不需證明)(2)多面體的歐拉定理：簡(jiǎn)單多面體的面數(shù)、棱數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)滿足：.已知正多面體都是簡(jiǎn)單多面體，設(shè)某個(gè)正多面體每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)為，每個(gè)面的邊數(shù)為，求滿足的關(guān)系式；并嘗試據(jù)此說明正多面體僅有五種.9．(2022年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)近些年來，三維掃描技術(shù)得到空前發(fā)展，從而催生了數(shù)字幾何這一新興學(xué)科.數(shù)字幾何是傳統(tǒng)幾何和計(jì)算機(jī)科學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物.數(shù)字幾何中的一個(gè)重要概念是曲率，用曲率來刻畫幾何體的彎曲程度.規(guī)定：多面體在頂點(diǎn)處的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的所有面角之和的差(多面體的面角是指多面體的面上的多邊形的內(nèi)角的大小，用弧度制表示)，多面體在面上非頂點(diǎn)處的曲率均為零.由此可知，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正方體在每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正方體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.(1)求四棱錐的總曲率；(2)表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡(jiǎn)單多面體.關(guān)于簡(jiǎn)單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，則有：.利用此定理試證明：簡(jiǎn)單多面體的總曲率是常數(shù).10．(北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)2024屆高三學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題)設(shè)數(shù)陣，其中．設(shè)，其中且．定義變換為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數(shù)均保持不變”表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到以此類推，最后將經(jīng)過變換得到．記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為．(1)若，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣，并求的值；(2)若，求的所有可能取值的和；(3)對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過．11．(北京市人大附中2024屆高三10月質(zhì)量檢測(cè)練習(xí)數(shù)學(xué)試題)如圖，T是3行3列的數(shù)表，用表示位于第i行第j列的數(shù)，且滿足．?dāng)?shù)表中有公共邊的兩項(xiàng)稱為相鄰項(xiàng)，例如上表中的相鄰項(xiàng)僅有和．對(duì)于數(shù)表T，定義操作為將該數(shù)表中的以及的相鄰項(xiàng)從x變?yōu)?，其他?xiàng)不變，并將操作的結(jié)果記為．已知數(shù)表滿足．記變換為n個(gè)連續(xù)的上述操作，即，使得，并記(1)給定變換，直接寫出．(2)若滿足，其他項(xiàng)均為0．是含n次操作的變換且有，求n