專題07曲線運動及其實例分析

目錄

題型一曲線運動的條件及軌跡分析................................................................1

類型1基本概念的辨析與理解................................................................1

類型2曲線運動的動力學解釋...............................................................3

題型二運動的合成與分解........................................................................8

類型I合運動與分運動的關系...............................................................8

類型2兩互成角度運動合運動性質的判斷......................................................9

類型3運動合成與分解思想的遷移應用.......................................................12

題型三小船渡河問題............................................................................18

題型四實際運動中的兩類關聯速度模型...........................................................22

類型1繩端關聯速度的分解問題............................................................23

類型2桿端關聯速度的分解問題............................................................27

題型一曲線運動的條件及軌跡分析

【解題指導】L條件

物體受到的合力方向與速度方向始終不共線。

2.特征

(1)運動學特征：做曲線運動的物體的速度方向時刻發(fā)生變化，即曲線運動一定為變速運動。

(2)動力學特征：做曲線運動的物體所受合力一定不為零且和速度方向始終不在同一條直線上。合力在垂直

r?速度方向上的分力改變物體速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改變物體速度的大小。

(3)凱跡特征：曲線運動的軌跡始終夾在合力的方向與速度的方向之間，而且向合力的一側彎曲。

(4)能量特征：如果物體所受的合力始終和物體的速度垂直，則合力對物體不做功，物體的動能不變；若合

力不與物體的速度方向垂直，則合力對物體做功，物體的動能發(fā)生變化。

類型1基本概念的辨析與理解

【例1】(2023?海南?？??？寄M預測)曲線運動是生活中一種常見的運動，下列關于曲線運動的說法中正

確的是()

A.可能存在加速度為0的曲線運動

B.平拋運動是加速度隨時間均勻變化的曲線運動

C.勻速圓周運動一定是加速度變化的曲線運動

D.圓周運動不可以分解為兩個柞互垂直的直線運動

【答案】C

【詳解】A.根據曲線運動的特點可知，曲線運動的物體加速度不為0,故A錯誤；

B.平拋運動是加速度為重力加速度的勻變速曲線運動，故B錯誤;

C.勻速圓周運動的加速度方向不斷變化，故c正確；

D.圓周運動可以分解為兩個相互垂直的簡諧運動，故D錯誤；

故選C。

【例2】.（2023春?云南?高三統(tǒng)考階段練習）關于質點做曲線運動，下列說法正確的是（）

A.曲線運動一定是變速運動，變速運動也一定是曲線運動

B.質點做曲線運動，其加速度有可能不變

C.質點做曲線運動的過程中，某個時刻所受合力方向與速度方向可能相同

D.有些曲線運動也可能是勻速運動

【答案】B

【詳解】A.曲線運動一定是變速運動，但變速運動不一定是曲線運動，也可以是直線運動，放A錯誤；

B.質點做曲線運動，其加速度有可能不變，比如平拋運動的加速度為重力加速度，保持不變，故B止確;

C.質點做曲線運動的過程中，每個時刻所受合力方向與速度方向都小在同一直線上，故C錯誤；

D.曲線運動的速度方向時刻發(fā)生變化，不可能是勻速運動，故D錯誤。

故選Bo

【例3】（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模報預測）下列幾種關于運動情況的描述，說法正確的是（）

A.一物體受到變力作用不可能做直線運動

B.一物體受到恒力作用可能做圓周運動

C.在等量異種電荷的電場中，一帶電粒子只在電場力作用下可能做勻速圓周運動

D.在勻強磁場中，一帶電小球在重力和洛倫茲力作用下不可能做平拋運動

【答案】CD

【洋解】A.力與運動的方向共線物體就做直線運動，A錯誤；

B.做圓周運動的物體需要指向圓心的向心力，是個變力，故物體受到恒力作用不可能做圓周運動，B錯誤；

c.等量異種電荷連線的兩側特定區(qū)域，帶電粒子可做勻速圓周運動，如卜.圖，C正確：

一-哀

5

O二二二----------------0—1—；—

D.做平拋運動需要一個與初速度方向垂直的恒力作用在物體上，洛倫茲力始線與運動方向垂直，重力方向

始終沿豎直方向，若物體做曲線運動，洛倫茲力為變力，重力為恒力，兩者的合力為變力，故帶電小球在

重力和洛倫茲力作用下不可能做平拋運動，D正確。

故選CDo

類型2曲線運動的動力學解釋

曲線運動的合力、軌跡、速度之間的關系

（1）軌跡特點：軌跡在速度方向和合力方向之間，且向合力方向一側彎曲.

（2）合力的效果：合力沿切線方向的分力F2改變速度的大小，沿徑向的分力Fi改變速度的方向。

①當合力方向與速度方向的夾角為銳角時，物體的速率將增大。

②當合力方向與速度方向的夾角為鈍角時，物體的速率將減小。

③當合力方向與速度方向垂直時，物體的速率不變‘，（舉例：勻速圓周運動）

【例1】（2023秋?湖北?高三校聯考階段練習）在珠海舉行的第13屆中國航展吸引了全世界的軍事愛好者。

如圖，曲線而是一架飛機在豎直面內進行飛行表演時的軌跡。假設從。到〃的飛行過程中，飛機的速率保

持不變。則沿曲線向運動時（）

A.飛機的合力方向與速度方向夾角可能為銳角也可能為鈍角

B.飛機的豎直分速度逐漸變大

C.飛機的合外力做功為0

D.飛機的機械能保持不變

【答案】BC

【詳解】A.飛機做曲線運動，速率保持不變，說明合外力不做功，合外力方向始終與速度方向垂直，故A

錯誤;

C.飛機的速率保持不變，動能不變，由動能定理知合外力做功為零，故C正確；

B.飛機的速率保持不變，則向下運動時豎直分速度變大，故B正確；

D.飛機速率不變對應動能不變，高度降低對應重力勢能減少，所以機械能減少，故D錯誤。

故選BCo

【例2】.（2023?全國?高三專題練習）-質量為，〃=2kg的滑塊在水平方向恒力r=4N的作用下，在光滑的水

平面上運動，如圖所示為滑塊在水平面上運動的一段軌跡，滑塊過P、Q兩點時速度大小均為v=0.5m/s,

滑塊在P點的速度方向與PQ連線夾角。=37°,sin37°=0.6,cos37°=0.80則下列說法正確的是（）

p

A.水平恒力廠的方向與PQ連線成53。夾角

B.滑塊從P點運動到。點的過程中速度變化量為Om/s

C.滑塊從P點運動到Q點的時間為0.3s

D.滑塊從P點運動到Q點的過程中動能最小值為0.16J

【答案】CD

【洋解】A.滑塊在水平恒力作用下由。到。，滑塊過R。兩點時速度大小均為0.5m/s,即水平恒力做功

為零，所以力應該和位移的方向垂直，且根據滑塊運動軌跡可判斷出其指向軌跡凹處，A錯誤；

B.由于滑塊在P、Q兩點的速度方向不同，則滑塊從P點運動到Q點的過程中速度變化量不為零，B錯誤；

C.把滑塊速度分解到垂直于尸。方向上，有

v2=vsina=0.3m/s

在這個方向上滑塊先減速后反向加速，其運動的加速度為

a=—=2nVs2

m

運動具有對稱性，則有

/=2x-^-=0.3s

CF確;

D.把速度分解到PQ方向，有

V)=vcosa=0.4m/s

滑塊在這個方向上的運動為勻速運動，所以當滑塊在垂直于PQ方向上的速度等于零時，此時運動的動能最

小，有

—mv：=0.16J

21

D正確。

故選CD。

【例3】(2023秋?河南鄭州?高三河南省實驗中學階段練習)如圖所示，質量為〃?的物塊受水平恒力作用在

光滑的水平面上做曲線運動，經過時間,從M點運動到N點，速度大小由了變?yōu)榍宜俣确较蚯『酶淖?/p>

了90。。則()

N

A.從M點運動到N點的過程中，恒力先做正功后做負功

B.從M點運動到N點的過程中物塊的機械能增加了〃id

C.恒力戶的方向與MN的連線垂直

D.從M點運動到N點的過程中，速率的最小值為且y

2

【答案】BD

【詳解】從"點到N點的運動過程中物塊的速度變化量△口,恒力F與小，方向相同，如圖所示

Av=+(x/5v)=2v

設恒力廠與武成。角，則

sin吟上」

Av2

所以

9=30。

A.恒力尸與速度方向夾角光大于90。，后小于90。，故恒力尸先做負功，再做正功，故A錯誤;

B.從M點到N點的運動過程中物塊機械能的增加等于物塊動能的增加，所以有

AE=；〃?（6丫）-gwv2=mv2

故B正確；

C.曲線運動在相互垂直的兩個方向的分運動均為勻變速直線運動，如圖所示

Av

則在初速度方向的位移為

V

V=2Z

與初速度垂直方向的位移為

x怎

2

則有

lana』在

x3

解得

a=30。

則有

夕=180°-〃一，=120°

可知恒力產的方向與MN的連線不垂直，故C錯誤；

D.將初速度u分解到廠方向和垂直于E方向，當沿廠方向分速度減小到。時，物體速度最小，故最小速度

為

?￡AO&

v-=vsin60。=——v

min2

故D正確。

故選BD。

【例4】（2022?安徽蚌埠市第二次教學質檢）如圖所示，一質點在恒力作用下經過時間/從a點運動到b點,

速度大小由2w變?yōu)槲铮俣确较蚱D60。角，則質點的加速度大小為（）

2ro

A?R包

A，3/?

C中D.平

【答案】C

【解析】根據矢量運算規(guī)則，利用三角形定則如圖，可得速度的變化量為加，=小%,則質點的加速度大

小為。=巖=中，故選項C正確。

【例5】.（多選）（2022?湖南師大附中模擬）如圖所示，在光滑水平桌面上有一個質量為機的質點，在沿平行于

桌面方向的恒定外力尸作用下，以初速度KO從人點開始做曲線運動，圖中曲線是質點的運動軌跡.已知在/s

末質點的速度達到最小值%到達8點時的速度方向與初速度點的方向垂直，則（）

A.恒定外力P的方向與初速度的反方向成。角指向曲線內側，則sin。弋

B.質點所受合外力的大小為空呼二正

C.質點到達B點時的速度大小為,拳、

\vo一?廣

DJS內恒力/做功為沙〃（后一，）

【答案】ABC

【解析】分析可知，恒力尸的方向應與速度方向成鈍角，將速度按沿力的方向與垂直于力的方向分解,

如圖所示.

在/方向上由運動學知識得v=vosin仇在），彷.向上由運動學知識得vocosG=ayt,由牛頓第二定律有F=may,

r75

解得尸=竺史尸2,即恒力產的方向與初速度的反方向成。角指向曲線內側，且sin9=W，故A、B正確；

設質點從A點運動到8點歷時人，在即方向上的加速度大小為由，在垂直w方向上的加速度大小為生，由

vpy

牛頓第二定律有Feos0=mci\,Fsin0=mai，由運動學知識可得vo=aih，VB=3h，解得V/J=故C

正確；根據動能定理得，/s內恒力/做功為一沙乂后一的，故D錯誤.

題型二運動的合成與分解

【解題指導】1.基本思路

分析運動的合成與分解問題時，一般情況下按運動效果進行分解。

2.解題關鍵

兩個方向上的分運動具有等時性，這常是處理運動分解問題的關鍵點。

3.注意問題

要注意分析物體在兩個方向上的受力及運動情況，分別在這兩個方向上列式求解。

類型1合運動與分運動的關系

1.合運動和分運動的關系

等時性各分運動經歷的時間與合運動經歷的時間相等

獨立性一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行，不受其他分運動的影響

等效性各分運動的規(guī)律疊加起來與合運動的規(guī)律有完全相同的效果

2.運動的合成與分解的運算法則

運動的合成與分解是指描述運動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解，由于它們均是矢量，故

合成與分解都遵循平行四邊形定則.

【例1】跳傘表演是人們普遍喜歡的觀賞性體育項目，如圖所示，當運動員從直升機上由靜止跳下后，在下

落過程中將會受到水平風力的影響，下列說法中正確的是（）

A.風力越大，運動員下落時間越長，運動員可完成更多的動作

B.風力越大，運動員著地時的豎直速度越大，有可能對運動員造成傷害

C.運動員下落時間與風力無關

D.運動員著地速度與風力無關

【答案】C

【脩析】運動員同時參與了兩個分運動，豎直方向向下落的運動和水平方向隨風飄的運動，兩個分運動

同時發(fā)生，相互獨立，水平方向的風力大小不影響豎直方向的運動，即落地時間不變，故A錯俁，C正確；

不論風速大小，運動員豎直方向的分運動不變，則下落時間和豎直方向下落的速度不變，但水平風速越大，

水平方向的速度越大，則落地的合速度越大，故B、D錯誤.

【例2】（2022?山東省實驗中學高三期末）如圖所示，戰(zhàn)斗機離艦執(zhí)行任務，若戰(zhàn)斗機離開甲板時的水平分速

度為40m/s,豎直分速度為20m/s,之后飛機在水平方向做加速度大小等于2m*的勻加速直線運動，在豎

直方向做加速度大小等于1mg的勻加速直線運動。則離艦后（）

/lAC^,:\

A.飛機的運動軌跡為曲線

B.10s內飛機水平方向的分位移是豎直方向的分位移大小的2倍

C.10s末飛機的速度方向與水平方向夾角為30°

D.飛機在20s內水平方向的平均速度為50m/s

【答案】B

【解析】飛機離艦后的合速度與合加速度方向一致，所以飛機運動軌跡為直線，A錯誤；10s內水平方向

位移x=W.』+%/=50°m,豎直方向位移y=i，oN+&/=25°n］，B正確：飛機速度方向與水平方向夾角的

正切tan0=0.5,C錯誤；飛機在20s內水平方向的位移.f=40x20m+1x2x202m=1200m,則平均速度為

Yf

=7=60m/s,D錯誤。

類型2兩互成角度運動合運動性質的判斷

1.運動性質的判斷

［不變：勻變速運動

加速度（或合外力）加入t卜八加、出一小

【變化：非勻變速運動

共線：直線運動

加速度（或合外力）方向與速度方向丁什五冊妞、

不共線：曲線運動

2.判斷兩個直線運動的合運動性質，關鍵看合初速度方向與合加速度方向是否共線.

兩個互成角度的分運動合運動的性質

兩個勻速直線運動勻速直線運動

一個勻速直線運動、一個勻變速直線運動勻變速曲線運動

兩個初速度為零的勻加速直線運動勻加速直線運動

如果叱與。合共線，為勻變速直線運動

兩個初速度不為零的勻變速直線運動

如果V合與。自不共線，為勻變速曲線運動

【例11（2023秋?內蒙古呼和浩特?高三統(tǒng)考期末）關于運動的合成與分解以及受力，下列判斷正確的是（）

A.做曲線運動的物體，合外力與速度不共線，大小一定不變

B.二個直線運動的合運動，可能是直線運動，也可能是曲線運動

C.二個初速度為零的勻加速直線運動，其合運動一定是勻加速直線運動

D.二個直線運動的合運動，合運動速度大小可能大于、可能等于、也可能小于一個分運動速度的大小

【答案】BD

【詳解】A.做曲線運動的物體，合外力與速度不共線，但大小可以變化，故A錯誤；

B.二個直線運動的合運動，可能是更線運動，也可能是曲線運動，比如二個勻速直線運動的合運動是勻速

直線運動，一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運動是曲線運動，故B正確；

C.二個初速度為零的勻加速直線運動，如果兩個分運動共線，且加速度大小相等，方向相反，則合加速度

為零，合運動處于靜止狀態(tài)，故C錯誤；

D.二個直線運動的合運動，根據平行四邊形定則可知，合運動速度大小可能大于、可能等于、也可能小于

一個分運動速度的人小，故D正確。

故選BDo

【例2】（2023?全國?模擬預測）如圖所示，在一端封閉的光滑細玻璃管中注滿清水，水中放一紅蠟塊R（R

視為質點）。將玻璃管的開口端用膠塞塞緊后豎直倒置且與），軸重合，R從坐標原點開始運動的軌跡如圖所

示，則紅蠟塊R在x、y方向的運動情況可能是（）

A.x方向上做勻速直線運動，），方向上做勻速直線運動

B.文方向上做勻速直線運動，），方向上做勻加速直線運動

C.x方向上做勻減速直線運動，y方向上做勻加速直線運動

D.x方向上做勻加速直線運動，y方向上做勻速直線運動

【答案】D

【詳解】AB.由題圖圖像趨勢可知，若x方向做勻速直線運動，則），方向應做減速直線運動，故AB錯誤；

C.若在x方向做勻減速直線運動，y方向做勻加速直線運動，則合力方向向左上方，圖像應該向左.上凹，故

C錯誤；

D.由圖像趨勢可知，若在），方向做勻速直線運動，則在x方向應做加速運動，故D正確。

故選D。

【例3】（2023?遼寧?校聯考模擬預測）在一次施工中，塔吊將重物從。點吊起，從起吊開始計時，以。為

原點，設水平為x方向、豎直為）方向，重物相方向的運動規(guī)律分別如圖甲、乙所示，則重物（）

_|

vv/(ms)

A.在水平方向做勻變速直線運動

B.運動軌跡為拋物線

C.0?8$內的位移大小為40m

D.在相等時間內的速度變化量不相等

【答案】B

【詳解】A.由圖甲可知重物在水平方向做勻速直線運動，故A不符合題意；

B.重物在水平方向做勻速直線運動，在豎直方向做勻加速直線運動，所以重物的運動軌跡為拋物線，故B

符合題意：

C.0?8s內水平方向位移為24m,豎直方向位移為

A=Ax8x4m=16m

2

位移大小為

x=x/242+162m=8x/i3m

故C不符合題意：

D.重物加速度為

△v4「…，

a=-=—m/s~=0.5m/s-

\t8

重物在相等時間內的速度變化量相等，故D不符合題意。

故選B。

【例4】（2023?河北?高三學業(yè)考試）一質量為m=0.5kg的物體（視為質點）在坐標系文3,中，從坐標原點0

處計時開始沿/軸方向的匕―圖像如圖甲所示，沿）'軸方向做初速度為。的%圖像如圖乙所示，下列說

法正確的是（）

q/(m，2)

2-----------------------

o'-------------------------＞正

乙

A.物體受到的合力為2N

B.2s時物體沿>方向的分速度為4m/s

C.2s時物體的速度為12m/s

D.前2s內物體的位移為46m

【答案】BD

【詳解】A.由甲圖可得

4—2.->_.■>

a,=------m/s-=2m/s

*1

則物體的加速度為

a=Ja：+a；=26m/s?

由牛頓第二定律可得

F=ma=V2N

A錯誤；

BC.，=2s時，物體分速度分別為

匕=%+aJ=6m/s,vv=ayt=4m/s

物體的速度為

v=Jv：+yJ=2x/l3m/s

BE確，C錯誤；

D.前1=2s內，物體的分位移分別為

2

x=v07+—axt=8m,y=Ja，=4m

2-

物體的位移為

s=y1x2+y2=45/5m

D正確。

故選BDo

類型3運動合成與分解思想的遷移應用

【例1】(2023?全國?二模)如圖所示，一豎直桿固定在小車上，阡與小車總質量為“。桿上套有一質量為〃?

的物塊，桿與物塊間動摩擦因數為〃=。?5。對小車施加一水平力，同時釋放物塊，使小車和物塊均由靜止

開始加速運動，測得，時刻小車的速度為1'二町，g為重力加速度，不計地面摩擦。則?時刻物塊的速度為

()

A.垃glB.5/C.2glD.國

【答案】B

【詳解】由于/時刻小車的速度為

v=gf

可知小車的加速度為g,方向水平向右，對物塊在水平方向有

N=mg

在豎直方向有

mg-卜iN=nui

vy=at

則i時刻物塊的速度

匕

解得

故選B。

【例2】（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，一內壁光滑、上端開口下端封閉的絕緣玻璃管豎直放置，高

為爪管底有質量為〃h電荷量為+q的小球，玻璃管以速度n沿垂直于磁場方向進入磁感應強度為仄方向

垂直紙面向里的勻強磁場中。在外力作用下，玻璃管在磁場中運動速度保持不變，小球最終從上端管口飛

出，在此過程中，下列說法正確的是（）

A.洛倫茲力對小球做正功

B.小球做勻加速直線運動

C.小球機械能的增加量小于qvBh

D.若玻璃管運動速度越大，則小球在玻璃管中的運動時間越小

【答案】D

【詳解】A.洛倫茲力的方向與速度方向垂直，永不做功，選項A錯誤；

B.玻璃管在水平方向做勻速運動，小球受到的洛倫茲力在豎直方向的分力保持不變，即在豎直方向做勻加

速運動，合運動為勻加速曲線運動，選項B錯誤；

C.由于管對球的支持力對小球做了功，小球的機械能是增加的，在豎直方向上，由牛頓第二定律

qvB-“ig=nm

由勻變速位移公式

h=-at-

2

小球離開管口的速度

vv=at

合速度

動能增量

重力勢能增量

△綜=mgh

聯立解得

AE=△4+AEp=qvBh

選項C錯誤；

D.小球的實際運動速度可分解為水平方向的速度v和豎直方向的速度吵，豎直方向的洛倫茲力不變，在豎

直方向上，由牛頓第二定律

qvB-mg=ma

由勻變速位移公式

h=-ar

2

聯立解得

即玻璃管運動速度越大，則小球在玻璃管中的運動時間越小，選項D正確。

故選D。

【例3】（2023?天津?高三專題練習）殲-20是我國自主研制的一款具備高隱身性、高態(tài)勢感知、高機動性

等能力的重型殲擊機，該機將擔負中國空軍未來對空、海的主權維護任務。假設某次起飛時，飛機以水平

速度如飛離跑道后逐漸上升，此過程中飛機水平速度保持不變，同時受到重力和豎直向上的恒定升力（該

升力由其它力的合力提供，不含重力）的作用。已知飛機質量為〃?，在水平方向上的位移為/時，上升高度

為九重力加速度為?上述過程中求:

（i）飛機受到的升力人小；

（ii）在高度〃處飛機的動能。

【答案】（i）mg（1+1*）;（ii）

【詳解】（i）飛機水平速度不變

/=VOt

y方向加速度恒定

,1

h=—at~2

2

在豎直方向上，由牛頓第二定律

F~mg=ma

解得

廠/I2h八

尸二/〃g(l+

（ii）在處有

v,2=2ah

1，2二浮+02

解得

萬1214/?2

線

=5,9+-)

【例4】.（2024秋?江西?高三校聯考階段練習）風洞是研究空氣動力學的實驗設備。如圖，兩水平面（虛線）

之間的距離為，，其間為風洞的區(qū)域，物體進入該區(qū)間會受到水平方向的恒力，自該區(qū)域下邊界的。點將

質量為機的小球以一定的初速度豎直上拋，從M點離開風洞區(qū)域，小球再次從N

點返回風洞區(qū)域后做直線運動，落在風洞M域的下邊界P處，NP與水平方向的夾角為45。，不計空氣阻力，

重力加速度大小為g，求：

（1）風洞區(qū)域小球受到水平方向恒力的大?。?/p>

（2）小球運動過程中離風洞下邊界0P的最大高度；

（3）0P的距離。

三/M/7\_____________7

風三XH

—?45人

OP

1Q

【答案】（1）mg；（2）-W；（3）-H

JJ

【洋解】（1）因為小球做直線運動，合力方向與速度方向在同一條直線上，有

駕=345。

r

可得

F=mg

（2）在最高點，小球的速度沿水平方向，設該速度為口則小球在M、N點的水平方向速度也為y,設小球

在M、N點豎直方向的速度為所，在。點的初速度為%,由0到例的時間為/,水平方向有

v=g/

在P點，水平方向有

vtl=v+?r=2v

在豎直方向上，小球在從。點到P點做上拋運動，豎直方向上速度相等，此時速度方向與水平方向夾角為

45°,可得

%=2v

由N到P小球做直線運動，設在N點豎直方向速度為沙2,則有

Vy2_V

%%

可得

「%

設最高點為Q點，則在豎直方向上，由Q到N,有

A

山N到P，有

vo-y=^

可得

在豎直方向上，有

為2=/?

2

可得

h=-H

3

(3)水平方向，由。到M,有

x.=~1

12

由M到乂有

占=2”

由N到P,有

v+2v

七二丁

由(2)可知

，4口

%=2叭vQt=-H

聯立可得

8〃

x=x,+x-,+x,=-H

【例5】.(2023?高三課時練習)如圖所示，豎直面內虛線所示的兩水平面之間存在大小恒定的水平風力，

在該區(qū)域上方距離卜邊界為/的0點將質量為機的小球以一定初速度水平拋出，小球從風力區(qū)域上邊界的

A點進入，風力區(qū)域下邊界的8點位于A點正下方。若風力沿水平向左方向，小球在重力和風力的共同作

用下，從。點離開時的速度方向恰好豎直向下，若風力沿水平向右方向，小球在重力和風力的共同作用下，

恰好做直線運動，并從0點離開。豎直方向只受重力作用，且重力加速度大小為g。求：

(1)小球運動到Q點時速度的大小V；

(2)小球在風力區(qū)域中沿水平方向的位移x與x之比。

?工?--?------■

BQP

【答案】(1)向;(2)I：3

【詳解】(1)小球從。到A做平摘運動，豎直方向做加速度為3的加速運動，進入虛線區(qū)域后，豎直方向

的加速度仍為g不變，則運動到。點時速度

v向

(2)無論風力向左還是向右，小球在豎直方向的運動不變，則運動時間相等，設為設小球在水平風力

作用下的加速度大小為。，進入虛線區(qū)域時的水平速度為口，則

亭F

由小球從Q點離開時的速度方向恰好豎直向下，得

解得

題型三小船渡河問題

【解題指導】1.船的實際運動：是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動.

2.三種速度：船在靜水中的速度u船、水的流速u水、船的實際速度上

3.兩種渡河方式

方式圖示說明

1/?

*

渡河時間當船頭垂直河岸時，渡河時間最短，最短時間向「=包

\

。合./C

最短%

7777777777777777777777.7

〃〃“〃〃〃〃〃/?〃//

訃、

卜」

1

渡河位移論當y水Vy船時，如果滿足u水一UfinCOS0=。，渡河位移最

1

最短短，-Vmin=d

〃〃力〃〃〃〃〃//

當V水＞丫船時，如果船頭方向（即U船方1可山合速度方向

渡河位Xmin

e融/TcI

,沙式）““1垂直，渡河位移最短，最短渡河位移為汨.一如

移最短

。水

【例1】（多選）小明、小美、園園和小紅去劃船，碰到一條寬90m的小河，他們在靜水中劃船的速度為3m/s,

現在他們觀察到河水的流速為5m/s,關于渡河的運動，他們有與自的看法，其中正確的是（）

A.小紅說：要想到達正對岸就得船頭正對河岸劃船

B.小美說：不論怎樣調整船頭方向都不能垂直到達止對岸

C.小明說：渡過這條河的最短距離是150m

D.園園說：以最短位移渡河時，需要用時30s

【思維建構】

【動態(tài)圖解法】

類比于只有?個力方向發(fā)生變化的動態(tài)平衡問題，可應用動態(tài)矢量三角形解決問題。

1.固定水速矢量箭頭不動，將船速矢量箭頭繞水速矢量箭頭的末端轉動，如圖所示，則船速矢量箭頭的末端

在一個圓周上移動，根據三角形定則，合速度矢量的末端也就在這個圓周上移動。

2.當合速度n_Li，船時，合速度v與河岸夾角最大，位移最小。

【答案】BC

【規(guī)范分析】

如圖⑴所示，船頭正對對岸劃船，合速度方向傾斜，無法到達正對岸，選項A錯誤；如圖⑵若要垂直到達

正對岸，需要滿足水，該題中u水＞丫船，所以不論怎樣調整船頭方向都不能垂直到達正對岸，選項B

正確；如圖（3）所示，當丫，、，加時，合速度u與河岸夾角最大，位移最小。根據三角形相似烏=受，解得

3I水

5=150in,選項CIE確;以最短位移渡河時，所需時間/=37.5s.選項D錯誤。

〈謙一施

圖（1）圖（2）圖（3）

【方法感悟】

所有矢量運算都滿足平行四邊形定則和三角形定則。當碰到一個矢量大小方向不變，另一個矢量要么大小

不變，要么方向不變，求解第二個矢量時，我們就可以大膽嘗試用這種動態(tài)圖解法畫圖，往往垂直"出”最小。

【例2】（2023秋?遼寧沈陽?高三校聯考期中）如圖，有一條寬為100m的河道，一小船從岸邊的某點渡河,

渡河過程中保持船頭指向與河岸始終垂直。已知小船在靜水中的速度大小為4m/s,水流速度大小為3nVso

下列說法正確的是（）

」丞二

河岸

A.小船在河水中航行的軌跡是曲線B.小船渡河過程中的位移大小為100m

C.小船在河水中的速度是7m/sD.小船渡河的時間是25s

【答案】D

【詳解】A.小船垂直于河岸方向做勻速直線運動，沿河岸方向也做勻速直線運動，所以小船的實際運動為

勻速直線運動，A錯誤；

D.由于渡河過程中保持船頭指向與河岸始終垂直，故

解得

r=—=25s

船

D正確；

B.小船到達河對岸時，垂直于河岸的位移為KX）m,沿河岸方向的位移為

x2=u水［=75m

合位移為

x=71OO2+752m=125m

B錯誤;

C.小船在河水中的速度為

v=yj4~+32nVs=5m/s

C錯誤。

故選Do

【例3】（2023春?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？茧A段練習）有?條兩岸平直、河水均勻流動的大河，?艘

船行駛時船頭始終垂直于河岸且其相對靜水的速率不變，現由于上游水電站開閘放水，船運行到河中央位

置時水速突然變?yōu)樵瓉淼?倍，則下列說法正確的是（）

A.過河的路程不變B.過河的路程變長

C.過河的時間變?yōu)樵瓉淼膅D.過河的時間變?yōu)樵瓉淼?倍

【答案】B

【洋解】小船同時參與兩個運動，一個是垂直河岸方向的勻速運動，二是沿河水方向向下漂移，垂直河岸

方向的位移不變.過河的時間不變,沿河水方向的位移與水的流速有關，船運行到河中央位置時水速突然

變?yōu)樵瓉淼?倍，沿河水方向的位移變大，合位移將變大，過河的路程變長。

故選B。

【例4】?（2023秋?海南?高三統(tǒng)考期末）小船沿垂直于河岸方向，勻速渡河到達正對岸，已知水流的速度大

小為3m/s,小船相對河岸速度為4m/s,河岸寬為100m,sin37°=0.6,則（）

A.船在靜水中的速度為4m/s

B.開始運動時船頭與河岸的夾角為53。

C.小船渡河的時間為20s

D.若水流速度略微變大，小船渡河到正對岸的時間變短

【答案】B

【詳解】AB.根據題意分析可知，合速度與船速及水流速度之間的關系如下圖所示。設船頭與垂直河岸的

夾角為則由圖可得

n船cos0-v

tan0=—=—

v4

解得

<9=37°

%=5m/s

故船頭與河岸的夾角為53。，故A錯誤，B正確;

C.小船做勻速直線運動，故渡河時間為

故C錯誤：

D.若水流速度略微變大，若船的靜水速度不變，船仍然沿垂直河岸方向渡河，則船頭與河岸的夾角減小，

船速在垂直河岸方向的分速度減小，而河寬不變，故小船渡河到正對岸的時間變大。故D錯誤。

故選B。

題型四實際運動中的兩類關聯速度模型

【解題指導】關聯速度問題一般是指物拉繩（或桿）和繩（或桿）拉物問題。高中階段研究的繩都是不可伸長的，

桿都是不可伸長且不可壓縮的，印繩或桿的長度不會改變。繩、桿等連接的兩個物體在運動過程中，其速

度通常是不一樣的，但兩個物體沿繩或桿方向的速度大小相等，我們稱之為關聯速度。

I.解決關聯速度問題的一般步驟

第一步：先確定合運動，即物體的實際運動。

第二步：確定合運動的兩個實際作用效果，一是沿繩（或桿）方向的平動效果，改變速度的大?。欢茄卮怪?/p>

于繩（或桿）方向的轉動效果，改變速度的方向。即將實際速度正交分解為垂直于繩（或桿）和平行于繩（或桿）

方向的兩個分量并作出運動矢量圖。

第三步：根據沿繩（或桿）方向的速度相等列方程求解。

2.常見的兩種模型分析

（I）繩牽聯模型

單個物體的繩子末端速度分解：如圖甲所示，以一定要正交分解在垂直于繩子方向，這樣玄的大小就是拉

繩的速率，注意切勿將繩子速度分解

甲乙

兩個物體的繩子末端速度分解：如圖乙所示兩個物體的速度都需要正交分解，其中兩個物體的速度沿著繩

子方向的分速度是相等的，即％〃=町〃。

如圖丙所示，將圓環(huán)的速度分解成沿繩方向和垂直于繩方向的分速度，B的速度與A沿繩方向的分速度相

等，即l,4/Z=Vfi//o

(2)肝牽聯模型

如圖丁所示，將桿連接的兩個物體的速度沿桿和垂直于桿的方向正交分解，則兩個物體沿桿方向的分速度

大小相等，即1/〃=妙8〃。

3.繩(桿)端關聯速度分解問題的?？寄Ｐ?/p>

類型1繩端關聯速度的分解問題

【例1】(2023春?江蘇?高三校聯考階段練習)如圖所示，一輕繩通過無摩擦的小定滑輪。與拖車相連，另

一端與河中的小船連接，定滑輪與拖車之間的連繩保持水平，小船與拖車的運動在同一豎直平面內，拖車

沿平直路面水平向右運動帶動小船，使小船以速度y沿水面向右勻速運動，若船在水面上運動受到的阻力

保持不變.則在上述運動過程中()

A.當拉船的輕繩與水平面的夾角為例時，拖車運動的速度為psin。

B.小船受到繩的拉力不斷減小

C.小船受到繩的拉力的功率不斷增大

D.拖車的動能不斷減小

【答案】D

【詳解】AD.船的速度沿繩方向的分數與拖車速度相等，拖車運動的速度為

v'=vcos^

0增大時，拖車速度減小，拖車動能減小，A錯誤，D正確；

B.由平衡條件

可知，。增大時，繩拉力增大，B錯誤；

C.小船做勻速運動，受到繩的拉力的功率等于克服阻力做功的功率，保持不變，C錯誤。

故選D。