第1課時(shí)單調(diào)性的定義與證明【課程標(biāo)準(zhǔn)】借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義．教

材

要

點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一定義域?yàn)锳的函數(shù)f(x)的單調(diào)性f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函數(shù)減函數(shù)狀元隨筆定義中的x1，x2有以下3個(gè)特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字絕不能去掉，證明時(shí)不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常規(guī)定x1＜x2；(3)屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間．知識(shí)點(diǎn)二單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)________，區(qū)間M叫做y＝f(x)的________．單調(diào)性單調(diào)區(qū)間

狀元隨筆最大(小)值必須是一個(gè)函數(shù)值，是值域中的一個(gè)元素，如函數(shù)y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.

答案：B

答案：A3．若f(x)在R上是增函數(shù)，且f(x1)＞f(x2)，則x1，x2的大小關(guān)系為________．解析：∵f(x)在R上是增函數(shù)，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2

解析：若函數(shù)單調(diào)遞減，則對應(yīng)圖象為下降的，由圖象知，函數(shù)在(－1，0)，(1，＋∞)上分別下降，則對應(yīng)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，0)，(1，＋∞)．答案：D

【答案】

C

狀元隨筆觀察圖象，若圖象呈上升(下降)趨勢時(shí)為增(減)函數(shù)，對應(yīng)的區(qū)間是增(減)區(qū)間．

【解析】

在某個(gè)區(qū)間上，若函數(shù)y＝f(x)的圖象從左到右是上升的，則該區(qū)間為增區(qū)間；若從左到右是下降的，則該區(qū)間為減區(qū)間，故該函數(shù)的減區(qū)間為(－3，－1)，(1，4)．

【答案】

D(3)函數(shù)y＝|x－1|的單調(diào)遞增區(qū)間是________.【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，＋∞)．【答案】

[1，＋∞)跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：①根據(jù)函數(shù)圖象，寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間；②若f(x)在[a－1，a＋1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．狀元隨筆由圖象上升或下降趨勢判斷．

(2)畫出函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

方法歸納利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟注：作差變形是解題關(guān)鍵．

【答案】

C

方法歸納利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大?。诒容^函數(shù)值的大小時(shí)，要注意將對應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上．

答案：D

(2)求該函數(shù)的最大值和最小值．

方法歸納1．利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值的一般步驟(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)利用單調(diào)性求出最大(小)值．2．函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上是減(增)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè)．

狀元隨筆(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)利用單調(diào)性求出最大(小)值．題型5由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

[經(jīng)典例題]例5.(1)已知函數(shù)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.①若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，3]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________；②若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，3]，則實(shí)數(shù)a＝________．(－∞，－4]－4【解析】

(1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－a－1].①由f(x)在(－∞，3]上是增函數(shù)知3≤－a－1，即a≤－4.②由題意得－a－1＝3，a＝－4.(2)已知函數(shù)y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x－6)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x－6)，所以2x－3>5x－6，解得x<1，即實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，1)．(－∞，1)方法歸納“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為I”與“函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)”的區(qū)別單調(diào)區(qū)間是一個(gè)整體概念，說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是I，指的是函數(shù)遞減的最大范圍為區(qū)間I，而函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，則指此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間．所以我們在解決函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一定要仔細(xì)讀題，明確條件含義．跟蹤訓(xùn)練5

(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，在區(qū)間(－∞，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，4]，則a為何值？狀元隨筆首先求出f(x)的單調(diào)減區(qū)間，(1)求出f(x)的對稱軸為x＝1－a，利用對稱軸應(yīng)在直線x＝4的右側(cè)或與其重合求解．(2)求出函數(shù)的減區(qū)間，用端點(diǎn)值相等求出a.解析：(1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的減區(qū)間是(－∞，1－a].∵f(x)在(－∞，4]上是減函數(shù)，∴對稱軸x＝1－a必須在直線x＝4的右側(cè)或與其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范圍為(－∞，－3].∵函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，4]，∴1－a＝4，a＝－3.(2)若f(x)在R上是單調(diào)遞減的，且f(x－2)<f(3)，則x的取值范圍是________．解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽，由條件可知，x－2>3，解得x>5.答案：(5，＋∞)能

力

提

升

練1.(多選)已知函數(shù)f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])，則下列結(jié)論正確的是(

)A．?x∈[－2，2]，f(x)>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3)B．?x∈[－2，2]，f(x)>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3)C．?x∈[0，3]，g(x)＝a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1，3]D．?x∈[－2，2]，?t∈[0，3]，f(x)＝g(t)答案：AC解析：對于A選項(xiàng)，?x∈[－2，2]，f(x)>a恒成立，即f(x)min>a，f(x)為減函數(shù)，所以f(x)min＝f(2)＝－3>a，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，?x∈[－2，2]，f(x)>a恒成立，即f(x)max>a，所以f(－2)＝5>a，B選項(xiàng)不正確；對于C選項(xiàng)，?x∈[0，3]，g(x)＝a，即g(x)max≥a≥g(x)min，g(x)的圖象為開口向上的拋物線，所以在對稱軸x＝1處取最小值，在離對稱軸最遠(yuǎn)處x＝3取最大值，所以g(3)＝3≥a≥g(1)＝－1，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，?x∈[－2，2]，?t∈[0，3]，f(x)＝g(t)，即要求f(x)的值域是g(x)值域的子集，而f(x)的值域?yàn)閇－3，5]，g(x)的值域?yàn)閇－1，3]，不滿足要求，D選項(xiàng)不正確．故選AC.2．設(shè)f(x)＝x2－2ax＋a2，x∈[0，2]，當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)的最小值是________，若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為________．解析：當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x2＋2x＋1在x∈[0，2]上單調(diào)遞增，∴f(x)的最小值是f(0)＝1.若f(0)是f(x)的最小值，則f(x)在x∈[0，2]上單調(diào)遞增，而f(x)＝x2－2ax＋a2的圖象開口向上，對稱軸為x＝a，∴a≤0，即a的取值范圍是(－∞，0].1(－∞，0]一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(5分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a，b)，且對定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x1，x2，均有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，則f(x)在(a，b)上(

)A．單調(diào)遞增B．單調(diào)遞減C．先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增D．先單調(diào)遞增再單調(diào)遞減答案：B

答案：B

解析：根據(jù)函數(shù)圖象，可得單調(diào)遞增區(qū)間為[－2，1].故選B.答案：B

答案：C

5．(5分)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有________________；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間有_________________．解析：由圖可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有(－3，－1]，[3，5]，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間有[－1，1]，(1，3].(－3，－1]，[3，5][－1，1]，(1，3]

7．(5分)[2024·遼寧大連八中月考]函數(shù)f(x)＝|x2－3x＋2|的單調(diào)遞減區(qū)間是________________．

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2)上的值域．解析：由(1)知f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)∈[f(1)，f(2))，其中f(1)＝6，f(2)＝9，所以f(x)的值域?yàn)閇6，9)．

10．(17分)已知函數(shù)f(x)對任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(x＋y)＝f