基本初等函數(shù)

【整體感知】：

第1講指數(shù)函數(shù)

【基礎(chǔ)梳理】

1.根式

(1)根式的概念

假如一種數(shù)的n次方等于a(n>l且nGN*),那么這個數(shù)叫做a的n次方根.也就是，若xn=a,貝ijx叫做_a

的n次方根其中n>l且ndN*.式子叫做—根式—.這里n叫做一根指數(shù)—，a叫做—被開方數(shù)—.

(2)根式的性質(zhì)

①當(dāng)n為奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一種正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一種負(fù)數(shù)，這時，a的n次方根用符號_

表達(dá).②當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù),這時，正數(shù)的正的n次方根用符號—

表達(dá).負(fù)的n次方根用符號_表達(dá).正負(fù)兩個n次方根可以合寫為_(a>0).③.=—a—.

④當(dāng)n為奇數(shù)時..=_a_;當(dāng)n為偶數(shù)時，.=.

⑤負(fù)數(shù)沒有偶次方根.

2.有理數(shù)指數(shù)幕

(1)幕的有關(guān)概念

①正整數(shù)指數(shù)累：(nGN*)；②零指數(shù)嘉：aO=_l_(a#0)；

③負(fù)整數(shù)指數(shù)哥：a-p=____(a=O,pGN*)；

④正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：=(a>0,m>nGN*,且n〉l)；

⑤負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：==(a〉O,m、nGN*,且n>l).

⑥0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)越等于_0—,0時負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉—沒故意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)

①aras.ar+s(a>0,r、sGQ).②(ar)s.ars(a>0,r、seQ).③(ab)r.arbr(a>0,b〉O,rGQ).

3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

y=a(a>0且aWl)

圖a>\0<a<l

象半XL

定義域R

值域(0,+8)

⑴過定點_(0,1)______

(2)當(dāng)x>0時,_y>l_;(2)當(dāng)x>0時,_0<y<l_____;

性質(zhì)

x<0時,—0<y<l_x<0時,_y>l____

(3)在(-8,+8)上是一增函數(shù)_⑶在(-8,+8)上是一減函數(shù)_

【要點解讀】

要點一指數(shù)運算

【例1】(1)(0.027)3+(―p-(2-)05;(2)——(石—1)°—79-475;

1259J5+2

j_4

211115o>3>33I-

(3)(2函加)(_6/獷)+(_3*胡);《)—°aly~---h-(2J--l)x諉.

4(7^+2y[ab+b^'

(5)若*+a5=>1),求^~~2+飛二——近的值.

x-2-Vx2-4x

【原則解析】根式的化簡求值問題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式，然后運用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)求

解，對化簡求值的成果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的形式保留。

【誤區(qū)警示】一般的進(jìn)行指數(shù)塞運算時，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運算，同

步兼顧運算的次序，否則輕易發(fā)生運算的錯誤。

175-9

【答案】⑴原式=(0.3)2+(一/

100

(2)M^=A/5-2-1-7(^-2)2=(A/5-2)-1-(75-2)=-1.

2j__211_5

(3)原式=[2x(-6)+(-3)]。寸57官+37=4ab°=4a.

1111_121121

2涼一涼，；川(2振一涼)(4揖+2涼川+廬)田

b\8a-b)xb)

(4)原式=-......~r+i—=---------------2------—~2----------*—~rx"

4a3+2a3b3+b3b34a3+2a3b3+b32a3-b3

ii_i_i

=田乂田乂田=6Y=b.

ii-iiii

(5)由x?=+〃2,=u~\--F2,x24x=x(x—4)=(a--F2)(〃H---2)

——(；)-2+(2》一(行—1)。;

【變式訓(xùn)練】⑴化簡：(0.027)

4

〃3—8〃3匕--

(2)-----------+3

4獷+2而+滔

(3)已知，求的|值。

?7--9S-If)5

【.原則解析】(1)原式=(------)3-72+(—)2-1=--49+--l=-45.

1000933

111112J

33

⑵原式二戶⑷)-(?)[a3-2b(a-a^y

ii2

a

(屆)2+后《2勿)+(2⑹2(a2-a§)3

5

ii1aa6-2

=a3(a3-2&3)x-------x—=a3xaxa3=a2

-2b^

(3),/

又；，/?。

【技巧點撥】根式運算或根式與指數(shù)式混合運算時,將根式化為指數(shù)式計算較為以便，對于計算的成果，

不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來表達(dá)，假如有特殊規(guī)定，要根據(jù)規(guī)定寫出成果.但成果不能同步具有根號和分?jǐn)?shù)指

數(shù)，也不能既有分母又具有負(fù)指數(shù).

要點二指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)

【例2】已知函數(shù)f(x)=4x+m?2x+l有且僅有一種零點，求m的取值范圍.

【例3】設(shè)函數(shù)=為奇函數(shù).求：(1)實數(shù)a時值；(2)用定義法判斷在其定義域上的單調(diào)性.

【原則解析】處理含指數(shù)式的多種問題，要純熟運用指數(shù)運算法則及運算性質(zhì)，更關(guān)鍵是純熟運用指數(shù)的

性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識。

【誤區(qū)警示】證明函數(shù)的性質(zhì)都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來處理。

【答案】(1)措施一依題意，函數(shù)的定義域為R,V是奇函數(shù)，

,2分.*.2(3-1)(2x+l)=0,，a=l.6分

措施.：f(x)是R上的奇函數(shù)，，f(0)=0,即.；.a=L.6分

(2)由⑴知設(shè)且￡R,8分

在R上是增函數(shù).【變式訓(xùn)練】設(shè)是定義在R上的函數(shù).(1)也許是奇函數(shù)嗎？(2)若

是偶函數(shù)，試研究其單調(diào)性.

【原則解析】⑴措施一假設(shè)是奇函數(shù)，由于定義域為R,；.=一…即整頓得即即+1=0,

顯然無解.

/.不也許是奇函數(shù).

措施二若是R上的奇函數(shù)，則f(0)=0,即/.不也許是奇函數(shù).

(2)由于是偶函數(shù)，因此=，即

整頓得又???對任意XGR都成立，.?.有得2=±1.

當(dāng)a=l時，=，如下討論其單調(diào)性，

任取士,4eR且％］<%,貝"(%)—/(x,)=el'+「百一e*—e-=?-e")(e、"-1)

e*?e2

其中e'e徇>0,e%—e為<0,當(dāng)e^-l>0,于(％)<f(x2),f(x)為增函數(shù)，

此時需要，即增區(qū)間為［0,+8),反之(-8,0］為減區(qū)間.

當(dāng)a=T時，同理可得在(-8,0］上是增函數(shù)，在［0,+8)上是減函數(shù).

【技巧點撥】處理含指數(shù)式的多種問題，關(guān)鍵是純熟運用指數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知

識。

要點三指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用

［例4］若函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)f(x.)=(x—l)2(x〈l)的圖象有關(guān)直線y=x對稱，則g(x)的體現(xiàn)式是

()

【命題立意】函數(shù)的圖象常常和函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)絡(luò)在一起，把握函數(shù)圖象之間的特點和聯(lián)絡(luò)。在解題的過程

中也常常需要結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象。

【原則解析】運用函數(shù)的圖象有關(guān)直線y=x對稱的實質(zhì)是求函數(shù)的反函數(shù)

【誤區(qū)警示】此題還要尤其注意反函數(shù)的定義域,不要忘掉書寫，也不要出現(xiàn)體現(xiàn)錯誤的狀況。

【答案】由于，，因此在xWl時，f(x)的反函數(shù)為(x》0),故答案為g(x)=l—(x>0)

【變式訓(xùn)練】下圖是指數(shù)函數(shù)(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的)圖象，則a、b、c、d與

1的J大小關(guān)系是()

(1)(2)(3)(4

型

A.a<b<l<c<dB.b<a<\<d<c

C.l<a〈b〈c〈dD.a<Z?<1<d<.c

【原則解析】可先分兩類，即(3)(4)的底數(shù)一定不小于1,(1)(2)的底數(shù)不不小于1,然后再從

(3)(4)中比較c、d的大小，從(1)(2)中比較a、b的J大小.

【技巧點撥】x=l稱為指數(shù)函數(shù)特性線。純熟運用特性線比較底數(shù)大小帶來.極大以便。

【答案】解法一：當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)不小于1時，圖象上升，且當(dāng)?shù)讛?shù)越大，圖象向上越靠近于y軸;

當(dāng)?shù)讛?shù)不小于0不不小于1時，圖象下降，底數(shù)越小，圖象向右越靠近于x軸.得b<a<lVd<c.

解法二:令x=l,由圖知cl>dl>al>bl,...bVaCKdCc.答案：B

【例5】已知函數(shù)y=(g)AU.(1)作出圖象；(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；(3)由圖象指出當(dāng)x取什么值

時函數(shù)有最值.

【原則解析】第⑴由/?(-尤)=-/(%)恒成立可解得a時值；第⑵問按定義法判斷單調(diào)性的環(huán)節(jié)進(jìn)行求解

即可.

【誤區(qū)警示】在作函數(shù)圖象時,首先要研究函數(shù)與某一基本函數(shù)的關(guān)系.然后通過平移或伸縮來完畢.

【答案】(1)由已知可得其圖象由兩部分構(gòu)成:

一部分是亦由y=(g)￡(x>0)向左平移1個單位得到y(tǒng)=(1)"+1(x>-1);

另一部分是由向左平移1個單位得到圖象如圖：

(2)由圖象知函數(shù)在(-8,一口上是增函數(shù)，在(-1,+8)上是減函數(shù).

(3)由圖象知當(dāng)x=-l時,函數(shù)有最大值1,無最小值.

【變式訓(xùn)練】若直線y=2a與函數(shù)y=|優(yōu)-1](a>0,且aWl)的圖象有兩

個公共點,則a的取值范圍是.

解析當(dāng)a>l時，如圖①，只有一種公共點，不符合題意.當(dāng)0〈a〈l時，如圖②，由圖象知0〈2a〈l,

圖①圖②

【技巧點撥】在解題的過程中也常常需要結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合.

第2講對數(shù)函數(shù)

【基礎(chǔ)梳理】

1.對數(shù)的概念

(1)對數(shù)的定.假如ax=N(a>0且a#l),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作_，其中_a—叫

做對數(shù)的底數(shù),_N_.叫做真數(shù).

(2)幾種常見對數(shù)

對數(shù)形式特點記法

一般對數(shù)底數(shù)為a（a>0且aWl）一log.N一

常用對數(shù)底數(shù)為」0——IgN—

自然對數(shù)底數(shù)為_e_―InN—

2.對數(shù)的性質(zhì)與運算法則

.(1)對數(shù)的性質(zhì)

..=N;②=N(a>0且aW1).

(2)對數(shù)的重要公式

①換底公式」logbN=-lo^g」N(a,b均不小于零且不等于1)；

log)

②logab=—^—,推廣log”6?log；,c?logfd=_logfld____.

log/,a

(3)對數(shù)的運算法則假如a>0且a=1,M>0,N>0,那么

①log。(MN)=logaM+\ogaN—;②log°N=\ogaM-\ogaN

性(1)定義域：(0,+8)

質(zhì)(2)值域:R

(3)過點(1,0),即x=l時,y=0

(4)當(dāng)x>l時,—y>0當(dāng)0<x<l(4)當(dāng)x>l時,一_y<0_當(dāng)0<x<l

時.y<0_時,一y>0_

5)在(0,+8)上是增函數(shù)(4)在(0,+8)上是減函數(shù)

4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象有關(guān)直線—y=x—對稱.

【要點解讀】

要點一對數(shù)運算

2

【例1】計算(1)(lg2)+lg2-lg50+lg25；(2)(log32+log92).(log43+log83)；

lg5」g8000+(lg26)2

lg6OO-|lgO.O36-|lgO.l

【原則解析】這是一組很基本的對數(shù)運算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運算規(guī)定并不高，不過數(shù)式運算是

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過這樣的運算練習(xí)純熟掌握運算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的多種技巧。

【誤區(qū)警示】公式和法則運用不純熟導(dǎo)致錯誤較多，要注意某些簡樸的技巧和措施。

【答案】(1)原式=Qg2)2+(l+lg5)lg2+lg52=(lg2+lg5+l)lg2+21g5

=(l+l)lg2+21g5=2(lg2+lg5)=2;

31g251g3_5

21g361g2―W

(3)分子=lg5(3+31g2)+3(lg2)2=31g5+31g2(lg5+1g2)=3；

分母=(lg6+2)—lgJ工xL=lg6+2—lg￡=4；.?.原式=2。

V1000101004

【變式訓(xùn)練】設(shè)、、為正數(shù)，且滿足若，，求、、的值。

【原則解析】由得，.?.......①

2-

由log8(a+b-c)=§得a+b—c=83=4…②由①+②得b-a=2.........③

由①得，代入得，：，……④

由③、④解得，，從而。

【技巧點撥】對于含對數(shù)因式的證明和求值問題，還是以對數(shù)運算法則為主，將代數(shù)式化簡到最見形式再

來處理即可。

【答案】，，

要點二對數(shù)方程

【例2】方程log2(x-l)=2-log2(x+1)的解為o

【原則解析】有關(guān)含對數(shù)式等式的形式，解題思緒是轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)因式的一般等式或方程的形式，再來

求解。

【誤區(qū)警示】變形不是等價變形，要注意嚴(yán)重解的合理性。

【答案】原方程變形為，即，得。且有。從而成果為。

【變式訓(xùn)練】方程lgx+lg(x+3)=1時解x=.

【原則解析】由lgx+lg(x+3)=1,得x(x+3)=10,x2+3x-10=0.

x=—5或x=2.x>0,x=2.

【技巧點撥】運用對數(shù)的運算法則進(jìn)行化簡和計算時，在去掉對數(shù)符號時，尤其要注意“真數(shù)必須不小于

零”這個條件。

【答案】2

要點三對.數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)

【例3】若函數(shù)的圖象過兩點(T,0)和(0,1),貝U()

A.a=2,b=2B.a=,b=2C.a=2,b=lD.a=,b=

【原則解析】運用函數(shù)和圖象的性質(zhì)解題。

【誤區(qū)警示】沒有討論對數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的范圍。

【答案】依題意可知且，因此-l+b=l且a=b,解得a=b=2.選擇A

【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f—l（x）,則函數(shù)y=f—l（1—x）歐I圖象是（）

【原則解析】可以運用圖象的特點和函數(shù)的性質(zhì)，如圖象上的特殊點，對應(yīng)函數(shù)的坐標(biāo)。此外也可以直接

求出，畫出圖象進(jìn)行比較。

【技巧點撥】要對的識別函數(shù)圖像，一是熟悉多種基本函數(shù)的圖像，二是把握圖像的性質(zhì)，根據(jù)圖像的性

質(zhì)去判斷，如過定點、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性。

【答案】由y=logzx得廣i（x）=2；因此y=-Yl—x）=2、選擇CC

要點四指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合問題

【例4］已知是奇函數(shù)（其中，（1）求的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）求的反函數(shù)；（4）

當(dāng)定義域區(qū)間為時，時值域為，求的值.

【原則解析】對于這幾種問題都是比較常規(guī)的，如第一問，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到等式即可解出m的值；

第二問可以運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)日勺單調(diào)性，也可以運用單調(diào)性的定義求解；第三問則是單純的求函數(shù)的反函數(shù),

不過尤其要注意反函數(shù)的定義域；第四問則要根據(jù)第二問的某些結(jié)論，結(jié)合著使用。

【誤區(qū)警示】各個小題概括了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的多種常見日勺基本問題，純熟掌握這些基本問題的解答程序

及措施是很重要的能力訓(xùn)練，要認(rèn)真總結(jié)經(jīng)驗.

心,,、.,”、，1+mx,1-mx,l-m2x2八

【答案】（1）???/（-%）+/（%）=log。------+log--------=log--~~—=0

-X-1flX-Lfl1-X

對定義域內(nèi)的任意恒成立，，

當(dāng)不是奇函數(shù)，，

（2）定義域為，求導(dǎo)得，

①當(dāng)時，在上都是減函數(shù);

②當(dāng)時，上都是增函數(shù)；

(另解)設(shè)，任取，

,,結(jié)論同上；

(3),

x

n+i

,.1ay-1^0,:.yw0,.,./-1(x)=-----(x0,a>0且a豐1)

ax-1

(4)上為減函數(shù)，

命題等價于，即，解得.

【變式訓(xùn)練】在xOy平面上有一點列Pl(al,bl),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，對每個自然數(shù)n點Pn位于函數(shù)

y=()x(0<a<l)的圖象上，且點Pn,點(n,0)與點(n+1,0)構(gòu)成一種以Pn為頂點的等腰三角形。⑴求點Pn的縱

坐標(biāo)bn的I體現(xiàn)式；(2)若對于每個自然數(shù)n,以bn,bn+l,bn+2為邊長能構(gòu)成一種三角形，求a的取值范圍；

⑶設(shè)Cn=lg(bn)(nGN*),若a取(2)中確定0tl范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列｛Cn｝前多少項日勺和最大？試闡明理

由。

【原則解析】(1)由題意知：an=n+,.,.bn=()。

⑵：函數(shù)y=()x(0<a〈10)遞減，，對每個自然數(shù)n,有bn>bn+l>bn+2?則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成

一種三角形的充要條件是bn+2+bn+l〉bn,即()2+()-1>0,解得a〈一5(1+)或@〉5(—1)。/.5(

—1)<a<10o

(3)V5(-l)<a<10,.,.a=7.-.bn=()。數(shù)列｛bn｝是一種遞減的正數(shù)數(shù)列，

對每個自然數(shù)n22,Bn=bnBn—1。于是當(dāng)bn》l時,Bn<Bn—1,當(dāng)bn<l時,BnWBn—1,因此數(shù)列｛Bn｝的

最大項改I項數(shù)n滿足不等式bn》l且bn+l<l,由bn=()得：n^20o/.n=20o

【技巧點撥】本題題設(shè)從函數(shù)圖像入手，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，最終還是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合數(shù)列知識，以

及三角形的面積處理了實際問題。

【答案】77=20

第3講募函數(shù)與二次函數(shù)

【基礎(chǔ)梳理】

1.一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

(1)一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)k>0時，在實數(shù)集R上是增函數(shù),當(dāng)k<0時在實數(shù)集R上是減函數(shù).b叫縱截距,

當(dāng)b三時圖象過原點，且此時函數(shù)是奇函數(shù)；當(dāng)b#0時函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

(2)二次函數(shù)的解析式

①二次函數(shù)的I一般式為y=ax?+bx+c(a￥0).

②二次函數(shù)的頂點式為y=a(x-h)2+k(aW。，其中頂點為—(h,k).

③二次函數(shù)的兩根式為y=a(x-xl)(x-x2)(aWO)_,其中xl,x2是方程ax2+bx+c=0的兩根.(也就是

函數(shù)的零點)根據(jù)已知條件,選擇恰當(dāng)?shù)男问?運用待定系數(shù)法可求解析式.

(3)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)

①二次函數(shù)y=ax2+bx+.(a#0)的頂點坐標(biāo)為.；對稱軸方程為..純熟通過配措施求頂點坐標(biāo)及對稱軸，并會

畫示意圖.②在對稱軸的兩側(cè)單調(diào)性相反.③當(dāng)b=0時為偶函數(shù),當(dāng)bWO時為非奇非偶函數(shù).

2.二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的關(guān)系

A=b2-4acA>0A=0△<0

J卜yv

y=ax2+bx+c的1圖象\

x

(a>0)ViJ,

oXoXX

2

方程ax+bx+c=O改|解Xi,X2(X1<X2)Xo無解

ax2+bx+c>0的解集{x|x>X2或X<X1}{x|x￡R且xWxo}R

ax2+bx+c<0Btl解集{xIX1<X<X2)00

3.幕函數(shù)

(1)募函數(shù)的定義：形如—y=x"—(GR)的函數(shù)稱為易

函數(shù)，其中x是—自變量—,々為—常數(shù)

(2)塞函數(shù)的圖象

(3)幕函數(shù)的性質(zhì)

1聯(lián)函數(shù)y=xy=x2y=x3y=%1

定義域RRR[0,+8){x|x￡R且x#0}

值域R[0,+8)R[0,+8){y|yGR且y#0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

xe[0,xe(0,

單調(diào)性增+8)時，增增增+8)時,減

xd(-00,0]時,減XG(-8,0)時,減

(0,0),(1,1)(1,1)

定點

【要點解讀】

要點一事函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

［例1］比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

(1)1.52,1.72(2)(—1.2)3,(—1.25)3

305

(3)5.25:5.26-1,5.26-2(4)O.5,3,log30.5.

【原則解析】運用募函數(shù)的單調(diào)性，注意合理選擇模擬函數(shù)，使問題得到轉(zhuǎn)化。

【誤區(qū)警示】比較幕形式的兩個數(shù)的大小，一般的思緒是：

(1)若能化為同指數(shù)，則用幕函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；

(3)若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一種恰當(dāng)時數(shù)作為橋梁來比較大小

【答案】(1)???在上是增函數(shù)，，???

(2)?/在上是增函數(shù)，，二

(3)在上是減函數(shù)，，,；

：是增函數(shù)，，二；綜上，

(4)

【變式訓(xùn)練】將下列各組數(shù)用不不小于號從小到大排列：

222_3_330-10-5—--

⑴2.5?L4)?3尸⑵-63⑶/(”/,即尸

2223_3_3

【原則解析】⑴(-1.4)3<2.5i<(-3)3(2)6.250<0.5/<0.16々，

2-5--2--3--

⑶(5)2<(3>3<(3)3<(2)3<33°

【技巧點撥】比較幾種數(shù)式的大小，是解題過程中常常碰到的知識考點，往往都要用到函數(shù)的單調(diào)性，我們

應(yīng)當(dāng)純熟掌握規(guī)定的幾種特殊暴函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及圖像特性.

【例2】已知函數(shù)=(pez)在(0,+8)上是增函數(shù)，且在其定義域上是偶函數(shù)。

(1)求p時值，并寫出對應(yīng)的函數(shù)的解析式。(2)對于(1)中求得的函數(shù)，設(shè)函數(shù)g(x)=+(2q-l)+1,

問與否存在實數(shù)q(q<0),使得g(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間(一4,0)上是增函數(shù)。若存在，祈求出來；

若不存在，請闡明理由。

【原則解析】???嘉函數(shù)()的圖象與軸、軸都無交點，；.，；.；

:,/.,又函數(shù)圖象有關(guān)原點對稱，

是奇數(shù)，，或.

【技巧點撥】累函數(shù)圖象與軸、軸都無交點，則指數(shù)不不小于或等于零；圖象有關(guān)原點對稱，則函數(shù)為

奇函數(shù).結(jié)合，便可逐漸確定時值.

要點二二次函數(shù)的解析式

【例3】已知二次函數(shù)為常數(shù)，且.滿足條件：，且方程有等根.(1)求的解析式；(2)與否存在實

數(shù)、，使定義域和值域分別為［m,n］和［4m,4n］,假如存在，求出m、n時值；假如不存在，闡

明理由.

【原則解析】用待定系數(shù)法求f(x)解析式，在解題中要注意條件的運用，并運用對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)處理問題,

同步考察了數(shù)學(xué)分類討論的思想。

【技巧點撥】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一般對對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論，是求值域的基本題型

之一。在已知最值成果的條件下，仍需討論何時獲得最小值，這個也是背面我們要講到的內(nèi)容。

【答案】設(shè)/'(x)=ax?+bx+c(a￥0)貝!J/(x)+g(x)=(a_］)x2+bx+c_3

由已知+為奇函數(shù)，則有/.=x2+bx+3

下面通過確定在［T,2］上何時取最小值來確定b,分類討論。

(1),對稱軸

當(dāng)》2,bW-4時，在［-1,2］上為減函數(shù)

(f(x))mm=f(2)=2b+72b+7=l/.b=3(舍)

當(dāng)(-1,2),-4〈b〈2時

(f(x))min=f(-1)=-^+3.*._9+3=1'b=±2V2(舍負(fù))

當(dāng)W-l,bN2時，￡依)在［-1,2］上為增函數(shù)(f(x)min=f(l)=4-b

/.4-b=lb=3/.,或

要點三二次函數(shù)根的分布

【例4】已知a是實數(shù)，函數(shù)=2ax2+2x—3—a.假如函數(shù)丫=在區(qū)間［―1,1］上有零點，求a的取值范圍.

【原則解析】研究二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，要討論對稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系.

【誤區(qū)警示】在做題的過程中，一要注意計算的精確性，二要注意結(jié)合函數(shù)的圖象，三要注意思維要全面,

進(jìn)行分析時時侯對條件要合理的使用。

【答案】⑴當(dāng)a=0時，=2x—3.

令2x-3=0,得x=生［-1,在［—1,1］上無零點，故aWO.

(2)當(dāng)a>0時，=2ax2+2x—3—aaI對稱軸為x=一

①當(dāng)一W—1,即時，須使即???a的解集為。.

②當(dāng)一1〈一<0,即a>時，須使即

解得a21,「.a的|取值范圍是［1,+°°).

(3)當(dāng)a<0時，

①當(dāng)0〈W1,即aW時，須有,即

解得:aW或WaW5,又aW,「.a的I取值范圍是.

②當(dāng)，即-<a<0時，須有即???a的解集為。.

綜上所述,a的取值范圍是U［1,+8).

【變式訓(xùn)練】已知有關(guān)x的二次方程x2+2mx+2m+l=0.(l)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(一1,0)內(nèi)，另一

根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的范圍.

【原則解析】設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出對應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.用二次函數(shù)的

性質(zhì)對方程的根進(jìn)行限制時，條件不嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點。

【技巧點撥】解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義.運用二次函數(shù)的圖象和性

質(zhì)，討論一元二次方程實根的分布有如下的狀況

設(shè)占,為方程f(x)=0(a>0州兩個實根。

①若X]<m,x2>m,則o/(m)<0；

②當(dāng)在區(qū)間(m,n)內(nèi)有且只有一種實根，時,

o1(2)考慮端點，驗證端點:

③當(dāng)在區(qū)間(m,n)內(nèi)有且只有兩個實根時,

A>0

b

m<----<n

2a

f(m)>0

/(?)>0

于(m),于(n)<0

④若m<x,<n<p<x2<q時o