a

專題四

三角函數(shù)、解三角形與平面向量

第1講三角函數(shù)與解三角形

H高考真題體驗-----------------

1.（2015?江蘇）已知tana=-2,tan（a+夕）=亍則tan/的值為.

答案3

.tana+tanS—2+tanB1一日

斛析：tana=-2,tan（a+^）=1_tanatan^=1+2tan（g=7,解侍tan/=3.

2.（2016?江蘇）定義在區(qū)間［0,3川上的函數(shù)y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點個數(shù)是

答案7

解析在區(qū)間［0,3兀］上分別作出y=sin2x和y=cosx的簡圖如圖所示,

y

v=?in9r

由圖象可得兩圖象有7個交點.

3.（2016?江蘇）在銳角三角形3BC中,若sin3=2sinBsinC,則tanAtanBtan3的最小值是

答案8

解析在△ABC中，A+B+C=TI,

sinA=sin[兀一(3+C)]=sin(B+Q,

由已知sinA=2sinBsinC,

sin(B+Q=2sinBsinC.

sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

A,B,。全為銳角，兩邊同時除以cosBcosC,

得tan8+tanC=2tanBtanC.

tanB+tanCtanB+tanC

又tanA——tan(3?C)——"；"^77^=7D77^7?

1—tan5tanCtanBtanC—1

tanA(tanBtanC—l)=tan5+tanC.

則tanAtanBtanC—tanA=tanB+tanC,

tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+

2tanBtanC22y2tanAtan比anC,

/.yjtanAtanBtanC22\(2,

/.tanAtanBtanC28.

當且僅當tanA=2tanBtanC,

tanB+tanC

即7^7~~7；~~r=2tanBtanC,

tanBtanC~1

2tan比anC

即—2tanBtanC,

tanBtanC~1

即tanBtanC=2時，等號成立.

4.(2017.江蘇)若1211(0—$=，，則tana=.

7

答案5

1-5-

71711--

1—tana16

5.(2015?江蘇)在△ABC中，已知A5=2,AC=3,5=60。.

(1)求的長；

⑵求sin2C的值.

解(1)由余弦定理知，BC2^AB2+AC'-2ABACCOSA=4+9-2X2X3X1=7,所以BC=

幣.

⑵由正弦定理知，黑=黑，

「A??,2sin60°恒

所以sinC=~^smA=--=^~,

因為A8<3C,所以。為銳角，

則cosC=dl-sin2c=N］一'|=^^.

因此sin2c=2sinCeos

471

6.(2016?江蘇)在△ABC中，AC=6,cosB=^,C=^.

⑴求AB的長；

(2)cos,一襲)的值.

4

解⑴由cos8=5，

得sinB=yj1—COS2B=^-.

TT

又C=W，AC=6,

由正弦定理，得蓋=當？

sin7

即專=]643=5也.

52

,34\[2

(2)由(1)得sin3=5,cosB=w，sinC=cosC=勺，

7、歷

則sinA=sin(B+Q=sinBcosC+cosBsinC=^Q-,

(2

cosA=—cos(B+Q=—(cosBcosC-sinBsin。=一].

cos(A-f)=cosAcosf+sinAsinf=^1^

則

r考情考向分析----------------------------------j

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，尤其是三角函數(shù)的周期、最值、單調(diào)性、圖象變換、特征分析(對稱

軸、對稱中心)、三角函數(shù)式的恒等變換等仍是命題熱點.

解答題將三角函數(shù)融入三角形之中，這種題型既能考查解三角形的知識與方法，又能考查運

用三角公式進行恒等變換的技能，故近年來倍受命題者的青睞.主要解法是利用三角形的內(nèi)

角和定理、正(余)弦定理、面積公式等，并結(jié)合三角公式進行三角變換，從而獲解.

n

熱點一三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1(1)若函數(shù)/U)=Asin(ox+0A>0,131cg的圖象如圖所示，這個函數(shù)的解析式為

答案加）=小sin（2x+M）

解析由題意知，周期T=2管一］=兀，°=半=2,

、

設(shè)7（x）=Asin（2x+9）,點（,J71,0）為五點作圖中的第三點，所以2*可jr+夕=兀，即夕=可JT，

設(shè)危）=Asin（2x+5）,因為點（0,在原函數(shù)的圖象上，故Asin1=|,所以A=<§,

綜上可知，/（x）=q5sin（2x+g.

（2）已知函數(shù)於）=2sin（s+9）（G>①苫<9<,的圖象如圖所示，直線尸票尸牛是其兩條

對稱軸.

①求函數(shù)於）的解析式并寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;

②若加）=,,且梟<平，求既+，的值.

解①由題意，,=專一普=3，???T=兀,

ZooZ

又co>0,故①=2,?'?fix）=2sin（2x+甲）,

2sin伶+，=2,

由

IT

解得夕=2左兀一w（止Z）,

由2kli—］W2x—（W2%兀+］（左￡2）知，

兀371

kji—RWxW%兀+金Z）,

TT37r

???函數(shù)段）的單調(diào)增區(qū)間為［E—土配+利（止Z）.

②方法一依題意，得2sin(2a—

即sin^2a—

,,713兀,八-兀兀

cos(2a—?sin戶￡|+3=需

?幕+”=嗜

方法二依題意，得sin(2a—/)='!，

即sin2?—cos2a①

..713兀.717t

?W<Q<~§~，?.O<2oc—^<2，

①+②，得2sin2a

aJ=2sin^2^j+aJ—=2sin2a=~

方法三由sin(^2?—^)=|,得

.。。桀

sin2(x—cos2a=5,

1Q7

兩邊平方，得1—sin4a=w，sin4a=不.

..713兀.兀,3兀

?，??]<4a,

cos4a=-^/1-Sin24a=譚，

.1—cos4?49

??sin92。=-------=77；.

-7K3兀??c/A/2

乂72。<彳，..sin2a=,

.\y^+a)=2sin[2&+a)—E=2sin2a=^~^.

思維升華(1)已知函數(shù)y=Asin(s;+9)(A>0,①>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法,

由圖中的最高點、最低點或特殊點求A;由函數(shù)的周期確定①；確定夕常根據(jù)“五點法”中

的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置.

(2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換.變換只是相對于其中的自變

量工而言的，如果x的系數(shù)不是1,就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向.

跟蹤演練1⑴已知函數(shù)於)=Acos(s+9)的圖象如圖所示，危)=一點則/(0)=.

宏安—2

u木3

解析由圖象可得最小正周期為華，于是八0)=/停

注意到手與冷關(guān)于患對稱，

所以/用=—府)=|，

2

所以10)=5

(2)設(shè)函數(shù)y(x)=2cos2x+sin2x+a(a^R).

①求函數(shù)1x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

JT

②當xd[0,抻寸，段)的最大值為2,求。的值，并求出>=川)(尤GR)的對稱軸方程.

則人x)的最小正周期T=y=7i,

且當2析一5w2x+^W2%7i+^T：￡Z),

即左兀一爭〈工或左兀+1(左￡2)時，?x)單調(diào)遞增.

37r7T

所以[左兀一至，航十衛(wèi)|(左￡2)為70)的單調(diào)增區(qū)間.

②當%)0,<時今2x+*辛普.

當2%+a=今即冗=、時,si

4Zo

所以危）max=V^+l+〃=2今4=1一也.

由2X+與=E+3（%￡Z）,得工=8+融￡2）,

4，Zo

故尸危）的對稱軸方程為x=y+|（^GZ）.

熱點二三角變換求值

例2⑴若a,夕是銳角，且sina—sin￡=-3，cos?—cos則tan（Q—/?）=

宏案一覽

口本3

解析sina—sin￡=一1cosa—cos夕=/,

兩式平方相加，得2—2cosacos4一2sinotsin0=g,

13

即2—2cos（a—/J）=2????cos（a一夕）=不

171

,:a,4是銳角，且sina—sin』=-]<（）,：.0<a<B.

71八

—2<a-6<o.

____________rj

sin（a—=—yj1—cos2（a—=-4.

sin（a一夕）范

.?.tan（a一夕）=

cos（a一份3-

（2）（2017?江蘇南通二模）已知sin（a+"=*,

①cosa的值;

②sin（2a—予的值.

解①方法一因為兀），

所以a+^e（乎,用，

所以cosa=cos^+4)-4

a+1cos^+sin匹

cos|4

=7?6也巾__3

—10x2+10入2—亍

方法二由sin(a+y=

I。，仔

兀71

sinacos4+cosocsin]=,

即sina+cosa=g.①

又siiAx+cos2a=1.②

3、4

由①②解得cosa=—m或cos。=亍

3

因為71,所以cosa=一亍

②因為3

7ij,cosa

所以sina

24

所以2a=2sin(zcos。=2義5義

sin25,

l>T=一套

cos2。=2cos2(x1--2X

所以sin^2?—^J=sin2otcoscos2asin

一I25)X2125；X2-50-

思維升華(1)三角變換的關(guān)鍵在于對兩南和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三

南恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒

等變換公式的聯(lián)系，正確使用公式，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)張

冠李戴的情況.

(2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解.

跟蹤演練2⑴設(shè)a為銳角，若cos[a+**則sin(2a+金)的值為.

較案衛(wèi)應(yīng)

口本50

解析因為a為銳角，cos[a+聿)==

所以sin(a+g=|.

所以sin(2a+g=2sin(a+^jcos(a+§=|^,

(2)(2017?江蘇泰州中學(xué)質(zhì)檢)已知0<1<去在<兀，且sin(a+.)=^,tan

①求cosa的值；

②證明：sin小看.

a

12ctan2

①角星將tan與=5代入tana=-----------,

1—tan,

(sina4

得tana<cosa3'

^sin^+cos2^^!.

又sin(oc+夕)=]3，,,cos(ocp}~~13,

4

由①可得sina=m，sin^=sin[(a+yS)—a]

53<m4635

-T3X5-l-13戶5—布

熱點三正、余弦定理及綜合運用

例3(1)在AABC中，角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c,若△ABC為銳角三角形，且滿

足b2-a2=ac,則七一缶的取值范圍是_______.

tanAianD

答案

解析由b2=a2+ac=a2+c2—2accosB,

得c2=tzc(l+2cosB),

由正弦定理得(sinQ2=sinAsinC(1+2cosB),

所以sinC=sinA(l+2cosB)

=>sin(A+8)=sinA(1+2cosB)

=>sinAcosB+cosAsinB=sinA+2sinAcosB

今sinAcos3=cosAsinB—sinA,

sinB

即cosB=

tanA1,

所以c°sB六=而sin淳B一<1=玄c一1A1

sinB_

111tanA—___1_

所以tanAtantanAsinB-sinB'

因為AA5c為銳角三角形，所以

貝(]2tz2+?c>c2,

所以2+黑介，則一W<2.

UxjW/Cl

因為宗°，所以0<12,

而cos”鑒T)e(0,號,

所以焉鳴,所以康一焉平)

(2)(2017?江蘇南京二模)在△A8C中，。為邊8c上一點，AD=6,BD=3,DC=2.

ADLBC,求NBAC的大?。?/p>

TT

②若NABC=W，求△AOC的面積.

解①如圖所示，設(shè)N8A￡>=a,/DAC=p.

AA

3DC

因為AZ)_L5C,AD=6,BD=3,OC=2,

所以tana=T，tan￡=g,

所以tanZBAC=tan(a+p)

1.1

tana+tan42十3

1—tanatanP_1j_'

1-2X3

IT

又/B4CG(0,7i),所以/5AC=z.

②如圖所示，設(shè)/BA￡)=a.

TV

在△AB。中，ZABC=4，AD=6,80=3.

,丁,、…田,口ADBD

由正弦定理得---=~—,

,7isma

sm4

解得sina:坐.

因為AD>8D,所以a為銳角，從而cosa=W—sin2a=￥^.

因此sinZ.ADC=sin^a=sinacos^+cosasin^

_V2A/2V141+^7

一2(4十4)—4-

SAADC-2義ADXDC-sinAADC

=^X6X2X1-^^=|(l+^7).

思維升華關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三

角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”,即“統(tǒng)一角、統(tǒng)

一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口.

跟蹤演練3(1)在△ABC中，三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,，已知a2~c2=2b,

且sinAcosC=3cosAsinC,則b的值為.

答案4

角翠析,/sinAcosC=3cosAsinC,

,a2+Z?2—c2&2+(?-a2

由正、余弦定理可知，aX----謝---=3cX-----正--,

化簡并整理得2(/—C2)=尻

又由已知可得46=房，解得6=4或6=0(舍).

(2)在△ABC中，三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足彼°'''=2cosC.

①求角C的大小；

②若△ABC的面積為2小，且a+b=6,求c的值.

片+廿一廿廿+.一〃2262

解①由余弦定理知，acosB+bcosA=aX-=一十8義仁代—==^=c,

acosB+bcosA.1

?e?=1??cos。=不

cf2

TT

又C￡(0,7l),C=y

②??&A5C=5加inC=2小，ab=S.

又a+b=6,c2=a2+b2—2abcosC=(a-\~b)2—3ab=12,

：?c=24.

in

1.在正三角形ABC的邊A8,AC上分別取。，E兩點，使沿線段。E折疊三角形時，頂點A

正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使A。最小，貝UAD：A8=.

答案2事一3

解析設(shè)折疊后A點落在邊BC上改稱P點，顯然A,P兩點關(guān)于折線。E對稱，

又設(shè)/區(qū)4尸=氏；./。用=&NBDP=29.

再設(shè)AB=a,AD=x,:.DP=x,

在△ABP中，NAPB=180°—NABP—NBAP=120°—仇

j〒口、…用"BPAB

由正弦理知，~7DAD=?/ADD，

sinZBAPsinZAPB

,BccP=-----“--s-i-n--0-----

sin(12O°-0),

在△P5Z)中,—~/TYDn=~/nno'

sinZDBFsinZBDP

.x-sin20,十-sin8xsin28

?，BP=sin600)從血sin(12()o—e)=sin60。，

.“sin夕sin60°___________yfia______

sin26>-sin(120°—<9)2sin(2<9+60°)+V3,

V0°^6>^60°,,,.60°^26>+60o^180o,

???當2。+60。=90。，即8=15。時，sin(2<9+60°)=l,

此時x取得最小值，^^=(2小一3)〃，即AD最小，

J.AD:AB=2小一3.

2.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知§=呼，A+3c=兀

⑴求cosC的值；

⑵求sinB的值；

⑶若6=3小，求△ABC的面積.

解(1)VA+B+C=7i,A+3C=TI,：.B=2C.

由正弦定理得￡=煞，

???辛=歿瞪，化簡得3。=坐

(2)VC^(0,7i),sinC=>\/l—cos2C=1—3=^-

sin3=sin2C=2sinCeosC=2X坐乂乎=邛

(3)VB=2C,

cosB=cos2C=2COS2C-1=2Xj—1=—

VA+B+C=7i,

/.sinA=sin(B+Q=sinBcosC+cosBsinC

=2^2^3^6=：^6

_3X3+13；X3~9,

IV專題強化練

A組專題通關(guān)

兀

1.已矢口tana=-2,且］＜。＜兀，貝!Jsina+cosQ=.

答案坐

兀

解析因為tana=-2,且/＜好兀，sin2(z+cos2oc=l,

故sin。=3,cosa1

2__L=，=或

所以sina+cosa

小小小5,

2.(2017?江蘇南京學(xué)情檢測)若函數(shù)段)=sinQzx+g

3>0)的最小正周期為兀，則的值是.

答案2

解析VT=77=7L,.*.CO=2,

co

.V(1)=sin^2x|+g=siny=1.

3.在△ABC中，已知BC=2,AC=5B=y,那么△ABC的面積是.

答案坐

解析在△ABC中，由正弦定理，得

AC_BC巾—2

sinB-sinA)且一sinA'

2

解得sinA=當［cosA=^^.

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

_V21<_1\2^7V3_V21

_7I2)十72-14-

：.SAABC^^AC-BC-smC=3X2X巾X喑=坐

4.函數(shù)尸sin(2x—§的圖象上的點尸件，向左平移s(s>0)個單位長度得到點P.若點P

位于函數(shù)丁=5由2x的圖象上，則S的最小值為.

答案f

解析點a},“在函數(shù)、=$皿3—g的圖象上，

則t—sinf2Xj—=sinT=r.

\4Jyo2

r兀

又由題意得y=sin2(x+s)—1=sin2x,

故尸/+E,kRZ,所以s的最小值為%.

oo

5.在△ABC中，若C=3B,貝哈的取值范圍為.

答案(1,3)

解析由正弦定理可知，

c_sin3BsinBcos2B+cosBsin2B

bsinBsinB

cos2B+2cos2B=4cos2B—1.

又A+3+C=180。，C=3B,

0°<B<45°,￥<cosB<1,

.?.1<4COS2B-1<3,故1哈3

即的取值范圍是(1,3).

4

6.已知。為銳角，sin(6>+15°)=p則cos(2。一15。)=

17P

解析由二倍角公式可得cos(2^+30°)=l-2sin2(<9+15。)=1—2X一芯，

4

又。為銳角，sin(6>+15°)=5<2,

.,.6>+15°<60°,即6V45。，

.,.26>+30°<120°,

sin(20+3O°)=yj—叁2=||,

由兩角差的余弦公式可得

cos(26>-150)=cos(26>+30°-45°)

=cos(2<9+30°)cos45°+sin(2<9+30°)sin45°

―252十252-50,

7.(2017?江蘇鎮(zhèn)江一^莫)已知向量m=(cosa,—1)，n=(2fsina),其中a￡(0,習(xí)，且m_L〃.

⑴求cos2a的值；

(2)若sin(a—0=曙，且蚱(0,宮，求角￡的值.

解方法一⑴由m±n9得

2cossina=0,sina=2cosa,

代入cos2a+sin2a=1,得5cos2a=1.

「u*m.i亞.2小

Xoct10,2則cosa=5,sina—5,

則cosla—2COS2OC—1=2X—1——5.

(2)由a￡(0,電,(￡(0,2),得

因為sin(a一夕)=[^,所以cos(a一夕)=今俱.

則sinP=sin[a—(a—)8)]=sinacos(a—^)—cosasin(a-.)

2-j53Vlb^V10A/2

510-510-2,

因為￡￡(0,，所以片

方法二(1)由/n_L〃，得2cosa-sina=0,tana=2,

cos?。一sin2a1—tan2a1-43

故cos2a=cos2a—sin2a=

cos2ot+sin2oc1+tan2oc1+45-

(2)由(1)知，2cosa—sina=0,

工，蚱&

且cos2(z+sin2a=1,oc^l0

所以

sinQ=2^,COSG,~~5

蚱(_71Tl\

由ae(0,方,0,g,付a_pe1_5,2).

因為sin(a—4)=*^,所以cos(a一夕)=3

則sinp=sin[a—(a—)B)]=sinacos(a—￡)-cosasin(a-;￡)

2小3回艮回也

-510510-2-

因為0,另,所以￡=,

4

8.(2017?江蘇蘇北三市三模)如圖，在△ABC中，已知點。在邊A8上，AD=3DB,cosA=§,

cosNAC8=得，8c=13.

(1)求cosB的值;

⑵求CD的長.

4

解(1)在△ABC中，cosA=5,A￡(0,兀),

所以sinACOS2A=AF-W=!

同理可得sinZACB--^.

所以cosB=COS[R—(A+ZACB)]=—cos(A+ZACB)

=sinAsinZACB—cosAcosZACB

=312_45=16

-5XT3_5X13-65,

⑵在△ABC中，由正弦定理，得

BC,1312

~rsinZACB=-7X—=20.

AB=~sinA313

5

又AD=3DB,所以BD=^AB=5.

在△BCD中，由余弦定理，得

CD=yjBU+BC2—2BDBCcosB

=^52+132-2X5X13x1|=9V2.

B組能力提高

31

9.已知a為銳角，cosa=m，tan(a—S)=-g,貝han￡的值為

答案3

、34

解析由。為銳角，cosa=m，得sina=m，

.4..1

??tana=g.?tan(a夕)=Q,

tana—tan(a一4)

tan￡=tan[“一(a—￡)]=

1+tanatan(a-p)

2

10.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，b,c.已知cosA=g,sinB=\5cosC,且

a=巾,則△ABC的面積為

答案坐

2

解析因為0<A<兀，cosA=1,

(_______*

所以sinA=yj1—cos2A=?

又小cosC=sinB=sin(A+C)

小2

sinAcosC+cosAsinC=cosC+^sinC,

A/S1

結(jié)合sin2C+cos2C=1,得sin。=去，cos

貝Isin8=，5cos。=坐

由〃=必及正弦定理焉=c得c=3.

SillZ1

故SZ\ABC=14csin■

11.函數(shù)y=2sin(w—jJ(04W9)的最大值」

答案2+小

An-LL、？c—*--八日—>、)7C7LX7L

解析因為0WxW9,所以一不一

因此當詈w時,

函數(shù)y=2sin管一取得最大值，即ymax=2X1=2.

當言苫=一]時，函數(shù)y=2sin管一§取得最小值，即ymin=2sin(一，)=一小,

12.已知函數(shù)》:)=3sin10x一款0>0)和g(x)=3cos(2x+o)的圖象的對稱中心完全相同，若

7T

xe[o,小，則犬功的取值范圍是

「3

答案一5,3

解析由兩個三角函數(shù)圖象的對稱中心完全相同可知，兩函數(shù)的周期相同，故0=2,

那么當xG0,5時，一太2無一太取

L，」ooo

所以一吳5桁(2尤_/卜1,故八尤)e-1,3

13.如圖，函數(shù)加)=Asin(ox+°)(其中A>0,。>0,|夕|詞與坐標軸的三個交點P,Q,R滿

足尸(2,0),ZPQR=l，M為QR的中點，PM=2小,則A的值為

答案呼

解析由題意設(shè)Q(a,O),R(0,-a)(a>0),

由兩點間距離公式，得

PM=/2一寸+冊=2小,

解得〃1=8,。2=—4(舍去),

TJr

由此得5=8—2=6,即T=12,故①=4.

TT

由尸(2,0)得夕=—不代入Q%)=Asin@r+9),得

/(x)=Asin|

=-8,得4=喏.

從而7(0)=Asin|

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