專題01任意角與任意角的三角函數(shù)

知識點(diǎn)1:角的概念的推廣

(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.

來I按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.

(2)分類j按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

(3)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合$={川夕=a+k-360。，kH}.

提醒：終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同.

知識點(diǎn)2：弧度制的定義和公式

1.定義：把長度等于半徑近的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.

2.公式:

|a|=](弧長用1表示)

角a的弧度數(shù)公式

角度與弧度的換算①180.；②1rad—Q)

弧長公式弧長l=\a\r

扇形面積公式

3.特殊角的互化

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

717171712兀3兀5713兀

0712兀

6432T~6~2

提醒：

1.有關(guān)角度與弧度的兩個(gè)注意點(diǎn)

(1)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是兀=180。，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.

(2)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

2.常見結(jié)論

(1)軸線角：

角的終邊的位置集合表示

終邊落在X軸的非負(fù)半軸上{=^,360°,%￡Z}

終邊落在X軸的非正半軸上{ct|ct=^360°+180°,AGZ}

終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{ct|ct=^360°+90°,kGZ}

終邊落在y軸的非正半軸上｛加=左360。+270。，kGZ]

終邊落在了軸上{?|?=^180°+90°,kb}

終邊落在X軸上{a\a=k-180°fJtez}

終邊落在坐標(biāo)軸上{a|a=Z?90。，kGZ}

(2)象限角:

象限角集合表示

第一象限角{a|fc-360°<a<)t-360o+90o,正Z}

第二象限角{皿360。+90。<?<左360。+180°,正Z}

第三象限角｛媒?360。+180。＜。＜左360。+270°，正Z｝

第四象限角{ct|t360o+270o<Gt<^360°+360°,4eZ}

知識點(diǎn)3：任意角的三角函數(shù)

(1)定義

設(shè)角a終邊與單位圓交于P(x,y),貝!|sina=》，cosa=&tana=##0).

拓展：任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)

設(shè)?(尤，y)是角a終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)。的距離為r,

則sina=：,cosa=ptana=；(#0).

(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)符號為正的口訣

一全正，二正弦，三正切，四余弦.

知識點(diǎn)4：單位圓與三角函數(shù)

幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點(diǎn)都在無軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原

點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0).如圖中有向線段MP,OM,AT分別叫做角a的正弦線、余弦線和正切線.

知識點(diǎn)5：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1(a￡R).

(2)商數(shù)關(guān)系：tan兀+$左GZ).

知識點(diǎn)6：誘導(dǎo)公式

公式一：

sin(a+A?2n)=sina,

cos(a+A?2K)=COSa?

ian(a+A?2K)—tana,

其中AWZ.

公式二

sin(雙+(:)——sina,

cos(n4-a)=-cosa,

tan(n+a)=tana.

公式三

sin(—a)=-sina,

cost-a)=cosa9

tan(-a)=-tana.

公式四

sin(K—a)=sina,

cos(n一Q)=—cosa,

tan(?t-a)=-tana.

公式五

sin(—-a)=cosa.

cos(]—a)=sina.

公式六

5in(m+a)=cosa.

cos(y+a)=-sina.

公式七

3TT

cos(~+a)=sina

3TI

sin(-+a)=-cosa

公式八

.371、.

cos(3—a)=-since

,,3兀、

sin(工一a)=-cos。

簡記：

對于角，與土a”/ez)的三角函數(shù)記憶口訣"奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)，正

弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)左為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”.“符號看象限”是指“在a的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)a

為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號”

提醒：

誘導(dǎo)公式較多，易錯(cuò)記錯(cuò)用，關(guān)鍵是注意“兩個(gè)變不變”，即“函數(shù)名變不變”、函數(shù)值的“符號變不變”.

0@@?

，題型歸納

【題型1終邊相同的角】

滿分技法

利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，

然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.

1.（2324高一上.安徽蕪湖.階段練習(xí)）與-20。角終邊相同的角是（）

A.-300°B.-280°C.320°D.340°

【答案】D

【分析】由終邊相同的角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)榕c-20。角終邊相同的角是-20。+h360。，左eZ,

所以當(dāng)％=1時(shí)，與-20。角終邊相同的角是340。，D選項(xiàng)符合，其他選項(xiàng)不滿足上eZ.

故選：D

2.（2324高一下?江西贛州?期中）角a的終邊與65的終邊關(guān)于y軸對稱，則&=（）

A.左-180。-65。（keZ）B.左―360°—65°（無eZ）

C.^-180o+115°（JteZ）D.公360°+115°僅eZ）

【答案】D

【分析】先求與大小為65。的角的終邊關(guān)于y軸對稱的一個(gè)角，再結(jié)合終邊相同的角的集合求a即可.

【詳解】因?yàn)榇笮?15。的角的終邊與大小為65的角的終邊關(guān)于y軸對稱，

所以a=h360°+115°（左eZ）.

故選：D.

7兀

3.（2324高一下?遼寧.階段練習(xí)）下列與下終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（）

4

A.2kK—^{keZ）B.2E-：（keN）

C.2foi+：（左eZ）D.2far+：（左eN）

【答案】A

【分析】由?與-g終邊相同即可得答案.

44

【詳解】對于AB,因?yàn)?7;r=2兀-Jr;，所以77r;與終TT邊相同，

4444

所以與?終邊相同的角為2E-5后eZ）,故A正確，B錯(cuò)誤；

對于CD,當(dāng)左=0時(shí)，2析+；=?,顯然與終邊不相同，故CD錯(cuò)誤.

444

故選：A.

4.（2324高一下?河南駐馬店?階段練習(xí)）若角。的終邊在直線丁二%上，則角。的取值集合為（）

A.{。|。=公360°+45°,左EZ}B.{ala=k?3600+135°,左EZ}

C.{ala=k-18（f-135°,左EZ}D,{alCL=^-180°-45°,左wZ}

【答案】C

【分析】根據(jù)角a的終邊在直線y=x上，利用終邊相同的角的寫法，考慮角的終邊的位置的兩種情況，即

可求出角a的集合.

【詳解】由題意知角a的終邊在直線，=彳上，

故（z=-360°+45°?wZ或（z=A360°+225°,%eZ,

即（z=（2左+1）480°-135°次eZ或a=（2左+2”80°-135°,左wZ,

故角a的取值集合為{3a=k-18O0-135°,k^Z}.

故選：C.

5.（多選）（2223高一上?重慶?階段練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為{刈。=2桁水eZ}

B.終邊在，軸的非負(fù)半軸上的角的集合是[x[x=]+2E#eZ，

C.第三象限角的集合為++

D.在-720。?0。范圍內(nèi)所有與45。角終邊相同的角為-67s和-315。

【答案】ABD

【分析】ABC：通過寫出對應(yīng)的集合來判斷；D：直接按照要求計(jì)算角度即可.

【詳解】終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為{。隆=2E,keZ},A正確；

終邊在,軸的正半軸上的角的集合是x=]+2E,%eZ，，B正確；

第三象限角的集合為[aE+2E<a苫+2配,丘z1,C錯(cuò)誤；

在一720。?0。范圍內(nèi)所有與45。角終邊相同的角為45。一7200=-675°和45。-360。=一315。，D正確.

故選：ABD.

【題型2判斷角所在象限】

滿分技法

象限角的兩種判斷方法

（1）圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角.

（2）轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為^360o+ct（0o<Gt<360°,AGZ）的形式，即找出與已知角終邊相同的角a,再由

角a終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.

6.（2324高一下.遼寧撫順?期中）3888°的終邊落在（~）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)角a與角o+左360°（壯Z）的終邊相同，3888°=288°+10x3600,所以3888°與288°的終邊落在

同一象限，判斷288°所在象限即可.

【詳解】因?yàn)?888°=288°+10x360°,又因?yàn)?88°的終邊落在第四象限，

所以3888°的終邊落在第四象限.

故選：D

7.（2324高一上?山東棗莊?期末）已知集合4=｛鈍角｝,2=｛第二象限角｝,C=｛小于180。的角｝，則（）

A.A=BB.B=C

C.AcBD.BcC

【答案】C

【分析】根據(jù)鈍角的范圍，即可得出選項(xiàng)c正確，再由第二象限角的范圍

｛090。+公360。＜分＜180。+公360。,壯2｝,即可判斷出選項(xiàng)ABD的正誤，從而得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)殁g角大于90。，且小于180。的角，一定是第二象限角，所以A=故選項(xiàng)C正確，

又第二象限角的范圍為｛090。+公360。＜￡＜180。+h360。,k0,

不妨取￡=480。，此時(shí)夕是第二象限角，但480。＞180。，所以選項(xiàng)ABD均錯(cuò)誤，

故選：C.

8.（2223高一上?甘肅天水?期末）若。是第二象限角，則180°+々是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【分析】由象限角的定義即可求解.

【詳解】由題意a是第二象限角，

所以不妨設(shè)360°?左+90°＜。＜180°+360°?左，僅eZ）,

所以360°-k+270°＜a+180°＜360°+360°?憶（keZ）,

由象限角的定義可知180°+a是第四象限角.

故選：D.

【題型3角的范圍及其分布圖】

滿分技法

⑴先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；

（2）按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的一360。到360。范圍內(nèi)的角a和。，寫出最簡區(qū)間｛x[a＜x＜。｝；

（3）起始、終止邊界對應(yīng)角a、S再加上360。的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合.

9.（2324高一下?河南.階段練習(xí)）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角a的集合是（）

A.aI—+2krt<a＜（2左+1）兀，左eZB.5cc|——+^7i<cr<(fc+l)7i,A:eZ

6

a|--^-+2fai<or<(2A:-1)K,Z:GZ>D.

C.a|--+2kji<a<2kn,kGZ

【答案】B

【分析】根據(jù)任意角的概念以及角的終邊所在位置，即可確定角。的集合.

【詳解】終邊落在陰影部分的角為L+EWaWa+D兀，左"，

6

即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角a的集合是卜|葛+版《夕＜優(yōu)+l）；rKez1.

故選：B.

10.（2024高一上?全國?專題練習(xí)）已知集合{。伏SGOo+dSoVaW笈SGOo+gOOKeZ},則圖中表示角。的

終邊所在區(qū)域正確的是（）

【答案】B

【分析】求出臨界位置的終邊，結(jié)合選項(xiàng)即可得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)口=公360。+45。，左eZ時(shí)，角a的終邊落在第一象限的角平分線上,

當(dāng)口=公360。+90。，時(shí)，角a的終邊落在y軸的非負(fù)半軸上，

按照逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的方向確定范圍可得角a的終邊所在區(qū)域如選項(xiàng)B所示.

故選：B.

a

1L（2324高一上.全國?課后作業(yè)）已知角a的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi),則角，的取值范圍是一

【答案】[彳15°+^-90°<1<52.5o+^-90o,A:ez|

【分析】

根據(jù)圖形先求出終邊在30。角的終邊所在直線上的角的集合和終邊在180。-75。=105。角的終邊所在直線上

的角的集合，從而可求出角a的取值范圍，進(jìn)而可求得三的取值范圍

2

【詳解】終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為H={a|a=30°+k?180。,左cZ},

終邊在180。-75。=105。角的終邊所在直線上的角的集合為S2={。W=1。5°+公180。水eZ},

因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)的角a的取值范圍是國30。+公180。4￡<105。+公180。,左〃},

所以角色的取值范圍是盤15°+A:-90o<^<52.5o+^.90o^ezL

2[22J

]-15°+^-90°<-<52.5o+^-90o,^ez[

故答案為：H2J

【題型4扇形弧長、面積、圓心角的計(jì)算】

滿分技法

應(yīng)用弧度制解決問題的方法

⑴利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度；

(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決；

(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

12.(2324高一上.云南曲靖?階段練習(xí))半徑為3cm,圓心角為210。的扇形的弧長為()

A.630cmB.—cmC.—cmD.—cm

662

【答案】D

【分析】先將角度化為弧度，然后利用弧長公式求解即可.

兀兀

【詳解】圓心角210?；癁榛《葹橐?7r，貝IJ弧長為7：x3=；7cm.

662

故選：D

13.(2324高一上?全國?期末)已知一個(gè)扇形的中心角是a,所在圓的半徑是R.

(1)若》=60。，火=10cm,求扇形的面積；

⑵若扇形的周長為20cm,面積為9cm2,求扇形圓心角的弧度數(shù)；

(3)若扇形的周長為定值C,當(dāng)夕為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？并求出最大值.

../50兀

【答案】⑴亍

2

⑵a=3

(3)當(dāng)a=2時(shí)，扇形面積有最大值，為《

16

【分析】(1)利用弧度制轉(zhuǎn)化角度，根據(jù)扇形面積公式，可得答案；

(2)根據(jù)扇形周長以及面積計(jì)算公式，建立方程組，可得答案；

(3)根據(jù)扇形周長的計(jì)算公式表示出半徑與角度之間的關(guān)系，寫出扇形面積的表達(dá)式，利用基本不等式,

可得答案.

【詳解】(1)由a=60°=工，則5=,￡代=4二義102=亞(cm?).

32233v'

Ra+2H=20

22

(2)由＜1n2c，解得a=x或18,因?yàn)?。＜av2?,所以。=大

—aR=999

12

c

(3)由2H+aH=C,得R=-

2+a

2

c1n21CC~1

rrt.lS=-ccR=-a—-----------=-----------------

貝122〃+4a+42a+±+4

a

C2

由0vav2兀，則而，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，等號成立,

當(dāng)a=2時(shí)，扇形面積有最大值

14.(2324高一上?陜西西安?階段練習(xí))如圖1所示的是杭州2022年第19屆亞運(yùn)會會徽，名為“潮涌”，錢

塘江和錢塘江潮頭是會徽的形象核心，綠水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表達(dá)了浙

江兒女勇立潮頭的精神氣質(zhì)，整個(gè)會徽形象象征善新時(shí)代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展.圖2是會徽

的幾何圖形，設(shè)AO的長度是/,BC的長度是廣，幾何圖形ABCD的面積為S,扇形3OC的面積為S',已

知：=2,ZBOC=a.

19thAslanGames

Hangzhou2022

（i）求？；

（2）若幾何圖形ABC。的周長為4,則當(dāng)。為多少時(shí)，S最大？

【答案】⑴3

*

【分析】（1）通過弧長比可以得到與。3的比，再利用扇形面積公式即可求解;

3

（2）由題意得2OB+3r=4,S=^l'OB,然后利用基本不等式求最值即得.

【詳解】（1）由=貝=l'=a-OB,

所以!=￡1^1="=2,即04=203,1=21',

I'a-OBOB

0-IOA--1'-OB--2r-2OB--rOB

S=22=22=3

，11

、-VOB-r-OB

22

(2)由(1)知，AB=CD=OB,

幾何圖形ABC。的周長為AB+/+/'+CD=2O3+3/'=4,

S=-lOA--l,-OB=-2l,2OB--l^OB=~l,-OB=--(3l,Y(2OB)

222224v7v7

出手相管6當(dāng)且僅當(dāng)｛"黑2

即a=§時(shí)，S最大值為1.

【題型5三角函數(shù)定義的應(yīng)用】

滿分技法

（1）已知角a的終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)，求角a的三角函數(shù)值.

方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解.

（2）已知角a的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角a有關(guān)的三角函數(shù)值.

方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù),

從而求解問題.

（3）已知角a的終邊所在的直線方程（y=kx,k/））,求角a的三角函數(shù)值.

方法：先設(shè)出終邊上一點(diǎn)P（a,ka）,a#0,求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離（注意a的符號，對a分類討論），再利用

三角函數(shù)的定義求解.

（4）已知一角的三角函數(shù)值sina,cosa,tana）中任意兩個(gè)的符號，可分別確定出角的終邊所在的可能位置,

二者的交集即為該角終邊的位置，注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況.

15.（2024高一下?上海?專題練習(xí)）若。€（-萬,0）,則點(diǎn)（cosa,tana）在第（）象限.

A.~B.二C.三D.四

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的符號可判斷點(diǎn)的位置.

7T

【詳解】因?yàn)閍?（-萬,。），所以cosa>0,tana<0,

所以點(diǎn)（cosa,tana）在第四象限.

故選：D.

16.（2324高一下?北京海淀?期中）若sina<0且coscr>0,則a的終邊在所在象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】借助三角函數(shù)定義即可得.

【詳解】a的終邊過點(diǎn)（cosa,sine）,又sintz<0且cose>。，

則a的終邊在所在象限為第四象限.

故選：D.

17.（2324高一上?福建福州?階段練習(xí)）已知角a的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與了軸非負(fù)半軸重合，若終邊交

單位圓于點(diǎn)尸則（）

A.a--B.sina=—C.cosar=—D.tana=—

3222

【答案】C

【分析】利用三角函數(shù)的定義計(jì)算并判斷即可.

【詳解】因?yàn)榻莂終邊交單位圓于點(diǎn)

所以［￡|2+q=1，解得y0=土#,所以尸,，土g］，

所以sina=y=±/,cosa=x=^~,tan<z=—=±73,故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤；

22x

1JT

因?yàn)閏osa=-,所以a=2E土一，左￡Z,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

23

故選：C.

00n

18.（2324高一上?甘肅武威?期末）已知角。滿足sin（9<0,tan0<0,且sin^=sin不，則角不屬于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)在各個(gè)象限符號的正負(fù)，即可判斷.

【詳解】由sind<0,tan6<0,得出。為第四象限角，

所以把+2kn<0<1TI+2析^>—+kTt<—<n+kn,keZ,

242

則］為第二象限角或第四象限角，又因?yàn)閟in,Msin,,

所以sin1>0,則］為第二象限角.

故選：B.

19.（2324高一?全國?課堂例題）若角。的終邊上有一點(diǎn)尸（凡。）（。W0）,貝Usin。的值是.

【答案】顯或也.

22

【分析】由已知求得IOP,對〃分類討論即可求得sin。的值.

【詳解】二.尸（〃M）,:.\OP\=y/a2+a2=4i\a\,

當(dāng)a>0時(shí)，I。尸1=叵a,sin6=—；

\j2a2

當(dāng)〃<0時(shí)，|OP|=-0a,sin8=-=.

—A/2472

「.sin。的值是正或一走.

22

故答案為：旦或—呈.

22

20.（2223高一?全國?隨堂練習(xí)）設(shè)。是銳角，利用單位圓證明下列不等式：

⑴sina+cosa>1；

（2）sina<a<tana.

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析.

【分析】(1)(2)利用單位圓，三角函數(shù)定義推理即得.

【詳解】(1)在單位圓中，4L0),ZAOP^a,NAOP的終邊交單位圓于點(diǎn)P,作PMLx軸于點(diǎn)

令P(x,y)(x>0,y>0),由三角函數(shù)定義得sina=y=|PM|,cosa=x=|OM\,

在RSOPM中，|PM|+|OM|>|OP|=1,

所以sina+cos(z>l.

(2)過點(diǎn)A作單位圓的切線交OP于點(diǎn)T,顯然劣弧"長/=(zxl=(z,

顯然sinc=y=|PM|,tane=|,AOP的面積S[=-|OA||PM|=-sintz,

A22

扇形AOP的面積S?=2/1OA\=—a,i-.AOT的面積S3=,|OA||AT|=—tana,

由圖形得E<S2Vs3,即;sina<ga<gtana,

所以sina<c<tana

【題型6同角公式的基本應(yīng)用】

滿分技法

1.知弦求弦：利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系求解；在使用開平方關(guān)系sina=±A〃一cos2a和cosa=i\/l-sin2a時(shí),

一定要注意正負(fù)號的選取，確定正負(fù)號的依據(jù)是角a所在的象限，如果角a所在的象限是已知的，則按三

角函數(shù)在各個(gè)象限的符號來確定正負(fù)號；如果角a所在的象限是未知的，則需要按象限進(jìn)行討論.

2.知弦求切：常通過平方關(guān)系，與對稱式sina土cosa,sincrcosa建立聯(lián)系，注意商數(shù)關(guān)系及

,,,乃的靈活應(yīng)用；

1=sired+cos16={sinO+cosOy-IsinOcosO=tan—

3.知切求弦：先利用商數(shù)關(guān)系變形得出sina或cosa表達(dá)式，然后利用平方關(guān)系求解.

Q1n(7

利用一7=tan?？梢詫?shí)現(xiàn)角a的弦切互化.

cosa

4.三角函數(shù)式化簡的方法和技巧：

(1)方法：三角函數(shù)式化簡的關(guān)鍵是抓住函數(shù)名稱之間的關(guān)系和角之間的關(guān)系，據(jù)此靈活應(yīng)用相關(guān)的公式及

變形，解決問題.

⑵技巧：①異名化同名；②異角化同角；③弦切互化；④1的代換.

5.三角恒等式證明問題：

（1）三角恒等式的證明一般有三種方法：①一端化簡等于另一端；②兩端同時(shí)化簡使之等于同一個(gè)式子；③

作恒等式兩端的差式使之為0.

（2）證明條件恒等式，一般有兩種方法：一是在從被證等式一邊推向另一邊的適當(dāng)時(shí)候?qū)l件代入，推出被

證等式的另一邊，這種方法稱作代入法；二是直接將條件等式變形，變形為被證的等式，這種方法稱作推

出法，證明條件等式時(shí)，不論使用哪一種方法，都要依據(jù)要證的目標(biāo)的特征進(jìn)行變形.

21.（2324高一上?新疆克孜勒蘇?期末）已知tana=5,則、"儂。=_

2sma—cosa

【答案】I

【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,轉(zhuǎn)化為正切表示的式子，即可求解.

sina+cosatana+12

【詳解】tana=5,所以

2sina-cosa2tana-13

7

故答案為：-

22.（多選）（2324高一上?山西呂梁?期末）已知sina-cosa=好，0<a<7r,則下列選項(xiàng)中正確的有（）

5

A-2D.36

A.sma-cosa=-B.sma+cosa=—

55

D.sina=@

C-.tanaH-----1---=—5

tan。35

【答案】AB

【分析】結(jié)合同角三角關(guān)系將sina-cosc=或平方即可求解sinacosa即可判斷A,再利用平方關(guān)系求解

5

sina+cosa判斷B,化切為弦通分即可求解判斷C,解方程即可求解sine判斷D.

【詳解】由sintz-cosa=且，得（sina-cosaf=l-2sinacosa=，,

55

2

所以sinacosa=~故選項(xiàng)A正確;

因?yàn)閟inacoso=—,aG[0,TI],所以sina>0,cosa>0,

94尺

又因?yàn)?sina+cosa)?=l+2sin】cosa=:，所以sina+cosa=-----，故選項(xiàng)B正確;

55

e、，1sinacosa15,小小〒工一…、口

因?yàn)閠ana-I--------=---------H----=---------=—,故選項(xiàng)C車日味;

tanacosasinasinacosa2

由sina-cosa=,sina+cosa=,所以sina=故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

555

故選：AB

23.（2122高一上?甘肅蘭州?期末）求證:

1一2sin尤cos尤1-tanx

⑴----j------=-------------；

cosx—sinx1+tanx

（2）sin4x+cos4x=l—2sin2xcos2x.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）利用平方關(guān)系和商關(guān)系可證結(jié)論;

（2）利用平方關(guān)系可證結(jié)論.

■、*到、、干□口什mcos2x+sin2x-2sinxcosx(cosx-sinx)2

【詳解】(l)證明：左邊=--------；------------------=-------——--------r

cosx-sin"x7(cosx-sinxj(^smx+cosx)

cosx-sinx1-tanx..,

=--------=-------=右邊?

smx+cos%tanx+1

(2)證明：左邊二(cos2x+sin2-2cos2xsin2x=l-2cos2^sin2x=>&ii.

24.（2324高一上.江蘇蘇州.期末）在平面直角坐標(biāo)系xOv中，已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（3〃,Ya）,其中〃w0.

(1)求cos6的值;

（2）若6為第二象限角，求cos“叵運(yùn)+sin”叵叵的值.

Vl-sin6>Vl-cos6>

33

【答案】⑴a>0時(shí),cos6=7；Q<0時(shí)，cos6）=--

7

（2）一二

【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義求解；

（2）由。為第二象限角得cos。，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式得sin。，代入計(jì)算即可.

【詳解】（1）因?yàn)镻（3a,-4a）,"0,所以=?3aY+（4z>=5時(shí),

當(dāng).<0時(shí)，3。=訴=導(dǎo)="

33

綜上，a>0時(shí)，cos~；4<0時(shí)，cos0=

3

(2)因?yàn)?。為第二象限角，所以Q<0,cos6^=--,

貝ljsin。=Jl-cos?9-1-(--)2=—,

1+sin。..1+cos04-，3+"7

所以cos。----------+sm0,+—x

1-sin1-cos。55525

【題型7誘導(dǎo)公式基本應(yīng)用】

滿分技法

1.用誘導(dǎo)公式求值時(shí)，要善于觀察所給角之間的關(guān)系,利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關(guān)系有

京與￡+a§+a與蘇(+a與;a等,常見的互補(bǔ)關(guān)系有濃與興+嶼+0與與0,：+8與與。等.

2.利用誘導(dǎo)公式化簡求值的步驟:⑴負(fù)化正;(2)大化小;(3)小化銳;(4)銳求值.

一+%

25.(2324高二下?黑龍江齊齊哈爾?階段練習(xí))則cos

【答案】￥

【分析】根據(jù)條件，利用誘導(dǎo)公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閟in

11711,5兀、/2兀、/兀兀、./兀、2亞

所以cos+xI=cos(—+x)=-cos(—+x)=-cos(—+—+%)=sin(—+x)=

故答案為:3

tan(a-3兀)

26.(2324高一上?浙江麗水?期末)化簡

cosIa+—

I2

【答案】1

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡求值.

sina

tan(a-3兀)_9戊"_90.

【詳解】cosa_]

兀-sina-sina

a+—

2

故答案為：1.

【題型8同角公式、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】

滿分技法

1.明確三角函數(shù)式化簡的原則和方向

(1)切化弦，統(tǒng)一名.

(2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角.

（3）用因式分解將式子變形，化為最簡.

也就是：“統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了

2.化簡要求：（1）化簡過程是恒等變形；（2）結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可

能簡單,能求值的要求出值.

3.利用誘導(dǎo)公式證明等式問題，主要思路在于如何配角、如何去分析角之間的關(guān)系.

27.（多選）（2324高一上?湖北荊門?期末）己知sin（a-7r）+2sin。+之=。，則下列結(jié)論正確的是（）

A.tana=2B.sin6Z-costz=-

5

一.3-sina+cosa1

C.sinacosa+cos2a=—D.---------------=—

5sina—cosa3

【答案】AC

【分析】根據(jù)條件，逐一求出各選項(xiàng)的值，再進(jìn)行判斷.

【詳解】由sin(0-兀)+2sin[a+引=°n-sina+2cosa=0=tana=2.故A正確;

.2sincrcoscr+cos2atana+12+13,乙一十會

smacosa+cosa=-----------------------=-------2=-----=一，故C止確；

costz+sina1+tana1+45

sina+cosatancr+12+10,,_

----------------=-----------=--=3,故D錯(cuò)誤；

sina-cocatana-12-1

因?yàn)閠ana=2>0,所以。為第一或第三象限角.

.221

sina+cosa-\2A/5

sina=------

sina-5

若a為第一象限角，則《-------=2nr—，所以sina-cosa=

cosa加5

cosa=——

sina>0,cosa>05

sin?a+cos2a=lf.275

sma=--------

sina.5

若a為第三象限角，則W-------=2=^>i—，所以sina-cosa=

cosaV55

cosa=------

sina<0,cosa<05

所以B錯(cuò)誤.

故選：AC

28.（2324高一上?貴州畢節(jié)?期末）已知sina=-冬叵，a是第三象限角，求:

5

（l）tana的值;

.（3兀）

sin-----acos（兀+a）tan（-a—兀）,,一

（2）I2J'''的值.

COS(2K-a)sin(兀-a)tan(-cr)

【答案】(1)2

⑵3

【分析】(1)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解;

(2)利用誘導(dǎo)公式化簡求值.

【詳解】(1)因?yàn)閟inc=-2,a是第三象限角,

5

則cosa=-Vl-sin2a=---,

2-

sina5小

所以tana==T=-=2；

cosaV5

一行

sincos(7t+a)tan(-a-兀)

(2)-cos6r-(-cosa)(-tan(7)cosa11.

COS(2TI-a)sin(7i-a)tan(-cr)cosa?sina?(-tana)sinatana2

3兀

,r,y一心.sin(a+2024兀)-6sin(a----)

29.(2324圖一上?陜西寶雞?期末)已知2，_taJoW

2cos(?-^)-sina4

(1)求tana的值；

(2)求sintz-cosa的值.

【答案】(1)2

⑵冷或-叵

55

【分析】(1)利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡已知等式，即可求得答案；

(2)判斷角所在象限，分類討論，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出sin%cosa的值，即可求得答案.

..3兀

［詳解］(1)由題意得si"、+2°24兀)-6sin(a-5)

2cos(a—兀)-sina

sina-6cosa

-2cosa-sina

=-ta-n-a---6-=1

-2-tancr"

得tan。-6=-2—tan。，即tana=2;

cin(y

(2)由tana=-------=2,知sina=2cosa,則。為第一象限角或第三象限角,

cosa

代入sir^a+cos2a=1,得cos2a=：,

當(dāng)。為第一象限角時(shí)，CGsa=^~，sina=V1-cos2?=,

55

所以sina—cosa=旦

5

當(dāng)。為第三象限角時(shí)，cosa=-^------2^/5

sina=-cosa=

5

所以sina-cosa=——

5

.A/5V5

sina-cosa=——------

綜上所述，5或5

30.（2324高一上?江蘇連云港?期末）求值

_sin（7i-a）cos（7r+a）

⑴已知a是第三象限角，且sm"有,求儂浮一⑶的值;

(2)已知sin夕+cos/=[(()＜￡＜兀),求tan乃的值.

【答案】⑴-半

⑵一。

萼’再利用誘導(dǎo)公式即可求出結(jié)果;

【分析】（1）根據(jù)條件，利用平方關(guān)系得到cose=-

24兀71

（2）根據(jù)條件得到2sin￡cos4=-—<0,從而得到g<,<兀，通過求出sin￡-cos6=士，聯(lián)立sin4+cos尸=士,

43

求出sin4=M，cos￡=—不，即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)閍是第三象限角，且sina=-g,

所以cosa=-Jl-sin2a=-

sin(兀一a)cos(兀+a)_-sinacosa

▽『(a)=