2025屆福建省莆田九中高二數學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.2．意大利數學家斐波那契的《算經》中記載了一個有趣的數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，這就是著名的斐波那契數列，該數列的前2022項中有（）個奇數A.1012 B.1346C.1348 D.13503．圓與圓的位置關系是（）A.相交 B.相離C.內切 D.外切4．若數列滿足，則（）A.2 B.6C.12 D.205．已知等差數列的公差為，前項和為，等比數列的公比為，前項和為．若，則（）A. B.C. D.6．《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著，全書總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數學成就，其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何?”其意思為：“今有人分錢，各人所得錢數依次為等差數列，其中前人所得之和與后人所得之和相等，問各得多少錢?”，則第人得錢數為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢7．若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，則點P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是()A. B.C. D.8．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．圓關于直線l：對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.10．已知等比數列的公比為，則“是遞增數列”的一個充分條件是（）A. B.C. D.11．隨著城市生活節(jié)奏的加快，網上訂餐成為很多上班族的選擇，下表是某外賣騎手某時間段訂餐數量與送餐里程的統(tǒng)計數據表：訂餐數/份122331送餐里程/里153045現已求得上表數據的回歸方程中的值為1.5，則據此回歸模型可以預測，訂餐100份外賣騎手所行駛的路程約為（）A.155里 B.145里C.147里 D.148里12．已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，點在上，且，則直線的斜率為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是____________.14．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，右焦點到一條漸近線的距離是，則其離心率的值是______；若點P是雙曲線C上一點，滿足，，則雙曲線C的方程為______15．曲線在x=1處的切線方程為__________.16．已知拋物線的焦點F恰好是橢圓的右焦點，且兩條曲線交點的連線過點F，則該橢圓的離心率為____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列的前項和為，且，（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和18．（12分）已知等差數列的前三項依次為，4，，前項和為，且.（1）求的通項公式及的值；（2）設數列的通項，求證是等比數列，并求的前項和.19．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，過點的直線與橢圓相交于、兩點.(1)求橢圓的方程；(2)若以為直徑的圓過坐標原點，求的值.20．（12分）已知拋物線的準線方程是.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設直線與拋物線相交于，兩點，為坐標原點，證明：.21．（12分）已知數列是公差為2的等差數列，且滿足，，成等比數列（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和22．（10分）如圖①，直角梯形中，，，點，分別在，上，，，將四邊形沿折起，使得點，分別到達點，的位置，如圖②，平面平面，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意可知，對任意的恒成立，可得出對任意的恒成立，利用基本不等式可求得實數的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，.故選：A.2、C【解析】由斐波那契數列的前幾項分析該數列的項的奇偶規(guī)律，由此確定該數列的前2022項中的奇數的個數.【詳解】由已知可得為奇數，為奇數，為偶數，因為，所以為奇數，為奇數，為偶數，…………所以為奇數，為奇數，為偶數，又故該數列的前2022項中共有1348個奇數，故選：C.3、A【解析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結論.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，則兩圓圓心距，因為，所以兩圓相交.故選：A.4、D【解析】由已知條件變形可得，然后累乘法可得，即可求出詳解】由得，，.故選：D5、D【解析】用基本量表示可得基本量的關系式，從而可得，故可得正確的選項.【詳解】若，則，而，此時，這與題設不合，故，故，故，而，故，此時不確定，故選：D.6、A【解析】設第所得錢數為錢，設數列、、、、的公差為，根據已知條件可得出關于、的值，即可求得的值.【詳解】設第所得錢數為錢，則數列、、、、為等差數列，設數列、、、、公差為，則，解得，故.故選：A.7、D【解析】利用分布計數原理求出所有的基本事件個數，在求出點落在直線x+y=4上包含的基本事件個數，利用古典概型的概率個數求出.解：連續(xù)拋擲兩次骰子出現的結果共有6×6=36，其中每個結果出現的機會都是等可能的，點P（m，n）在直線x+y=4上包含的結果有（1，3），（2，2），（3，1）共三個，所以點P（m，n）在直線x+y=4上的概率是3:36=1:12,故選D考點：古典概型點評:本題考查先判斷出各個結果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，屬于基礎題8、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當且時，成立，反過來，當時，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點考查基本判斷方法，屬于基礎題型.9、A【解析】首先求出圓的圓心坐標與半徑，再設圓心關于直線對稱的點的坐標為，即可得到方程組，求出、，即可得到圓心坐標，從而求出對稱圓的方程；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，設圓心關于直線對稱的點的坐標為，則，解得，即圓關于直線對稱的圓的圓心為，半徑，所以對稱圓的方程為；故選：A10、D【解析】由等比數列滿足遞增數列，可進行和兩項關系的比較，從而確定和的大小關系.【詳解】由等比數列是遞增數列，若，則，得；若，則，得；所以等比數列是遞增數列，或，；故等比數列是遞增數列是遞增數列的一個充分條件為，.故選：D.11、C【解析】由統(tǒng)計數據求樣本中心，根據樣本中心在回歸直線上求得，即可得回歸方程，進而估計時的y值即可.【詳解】由題意：，，則，可得，故，當時，.故選：C12、B【解析】根據拋物線的定義，求得p的值，即可得拋物線，的標準方程，求得拋物線的焦點坐標后，再根據斜率公式求解.【詳解】因為，所以，解得，所以直線的斜率為．故選B.【點睛】本題考查了拋物線的定義的應用，考查了拋物線的簡單性質，涉及了直線的斜率公式；拋物線上的點到焦點的距離等于其到準線的距離；解題過程中注意焦點的位置.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意建立空間直角坐標系，然后結合點面距離公式即可求得點M到截面ABCD的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，，1），M（0，1，0），∴（0，1，0），（1，1，0），（0，，1），設（x，y，z）為平面ABCD的法向量，則，取y＝﹣2，可得x＝2，z＝1，∴（2，﹣2，1），∴M到截面ABCD的距離d故答案為.【點睛】本題主要考查空間直角坐標系及其應用，點面距離的計算等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.14、①.##1.5②.【解析】求得焦點到漸近線的距離可得，計算即可求得離心率，由雙曲線的定義可求得，計算即可得出結果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，焦點到漸近線的距離為，又，，，，.雙曲線上任意一點到兩焦點距離之差的絕對值為，即，，即，解得：，由，解得：,.雙曲線C的方程為.故答案為：；.15、【解析】根據導數的幾何意義求切線方程的斜率并求出，再由點斜式寫出切線方程即可.【詳解】由題設，，則，而，所以在x=1處的切線方程為，即.故答案為：.16、【解析】設兩條曲線交點為根據橢圓和拋物線對稱性知，不妨點A在第一象限，由A在拋物線上得，A在橢圓上得.則由條件得：.解得（舍去）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設等差數列公差為d，首項為a1，根據已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項公式即可得答案；（2）根據等差、等比數列的前n項和公式，利用分組求和法即可求解【小問1詳解】解：設等差數列公差為d，首項為a1，由題意，有，解得，所以；【小問2詳解】解：，所以18、（1），（2）證明見解析，【解析】(1)直接利用等差中項的應用求出的值，進一步求出數列的通項公式和的值；(2)利用等比數列的定義即可證明數列為等比數列，進一步求出數列的和.【小問1詳解】等差數列的前三項依次為，4，，∴，解得；故首項為2，公差為2，故，前項和為，且，整理得，解得或－11(負值舍去).∴，k＝10.【小問2詳解】由(1)得：，故(常數)，故數列是等比數列；∴.19、(1)；(2)【解析】（1）由離心率得到，由橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，得到，進而可求出結果；（2）先由題意，得直線的斜率存在，設直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，設，根據韋達定理，得到，，再由以為直徑的圓過坐標原點，得到，進而可求出結果.詳解】(1)由題意知，∴，即，又雙曲線的焦點坐標為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，所以，∴，故橢圓的方程為.(2)解：由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為由得：由得：設，則，，∴因為以為直徑的圓過坐標原點，所以，.滿足條件故.【點睛】本題主要考查橢圓的方程，以及橢圓的應用，熟記橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質即可，解決此類問題時，通常需要聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理、判別式等求解，屬于?？碱}型.20、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯立，通過韋達定理求解直線的斜率關系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因為拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點：直線與拋物線的位置關系；拋物線的標準方程21、（1）（2）【解析】（1）由成等比數列得首項，從而得到通項公式；（2）利用裂項相消求和可得答案.【小問1詳解】設數列的公差為，∵成等比數列，∴，即，∴，由題意故，得，即.【小問2詳解】，∴22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據，，，，易證，再根據平面平面，，得到平面，進而得到，再利用線面垂直的判定定理證明平面即可；（2）根據（1）知，，兩兩垂直，以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，分別求得平面