浙江省北斗星盟20232024學(xué)年高二下學(xué)期5月階段性聯(lián)考數(shù)學(xué)試題命題人:浦江中學(xué)陳佳佳桐廬中學(xué)聞長偉；審題人:玉環(huán)中學(xué)林文斌徐晨豐考生須知:1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、學(xué)號(hào)和姓名；考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)寫在指定位置；3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一.單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)以及對(duì)數(shù)的單調(diào)性，即可求解指對(duì)數(shù)不等式，化簡(jiǎn)集合，即可根據(jù)并集運(yùn)算.【詳解】由得故，所以，故選：C2.若復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則的虛部是（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)模及除法運(yùn)算求出即可.【詳解】依題意，，則，所以的虛部是.故選：B3.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后對(duì)原式進(jìn)行齊次化，轉(zhuǎn)化為只含有的代數(shù)式，代入計(jì)算可知結(jié)果為選項(xiàng)B.【詳解】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)：已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，可得，且.分子分母同時(shí)除以：.故選：B4.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.1 C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】利用的奇偶性建立方程，求解參數(shù)即可.【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù)，故有，可得，解得，此時(shí)，，顯然成立，故是奇函數(shù)，故A正確.故選：A5.從0，2，4中任取2個(gè)數(shù)，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)，則這4個(gè)數(shù)可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A.126 B.180 C.216 D.300【答案】B【解析】【分析】先分類討論從0，2，4中任取2個(gè)數(shù)時(shí)，①其中含數(shù)字0時(shí)，②其中不含數(shù)字0時(shí)，結(jié)合排列組合即可得解．【詳解】從1，3，5中任取兩個(gè)數(shù)，從0，2，4中任取2個(gè)數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，分兩種情況討論：①當(dāng)從0，2，4中任取2個(gè)數(shù)，其中含數(shù)字0時(shí)，則組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為，②當(dāng)從0，2，4中任取2個(gè)數(shù)，其中不含數(shù)字0時(shí)，則組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為，綜合①②得：組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故選：B．6.某種型號(hào)的發(fā)動(dòng)機(jī)每臺(tái)的使用壽命（單位:年）服從，使用壽命與發(fā)動(dòng)機(jī)是否運(yùn)行無關(guān).一艘輪船安裝了2臺(tái)這種型號(hào)的發(fā)動(dòng)機(jī)，當(dāng)其中一臺(tái)出故障時(shí)，自動(dòng)啟用另一臺(tái)工作，記，則這艘輪船能正常航行10年以上的概率約是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，記這艘輪船能正常航行10年以上為事件，再根據(jù)互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，則，，又，即，所以，即，記這艘輪船能正常航行10年以上為事件，則，即這艘輪船能正常航行年以上的概率約是.故選：D7.已知是半徑為5的圓上的兩條動(dòng)弦，，則最大值是（）A.7 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】【分析】合理利用平面向量的線性運(yùn)算對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用圓的性質(zhì)求出，，求解即可.【詳解】如圖，連接，作，，易知是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，由勾股定理得，，故，故，當(dāng)反向時(shí)等號(hào)成立，故C正確.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓，解題關(guān)鍵是找到對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，然后求出，，最后得到所要求的最值即可．8.已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)則的值為（）A.81 B.36 C.12 D.1【答案】A【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為由4個(gè)不同的實(shí)根即可根據(jù)二次方程跟與系數(shù)的關(guān)系求解，代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時(shí)，而當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由題意可知有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即由4個(gè)不同的實(shí)根，記，故有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，不妨設(shè)則，故選：A二.多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.志愿者是一個(gè)城市的一道靚麗的風(fēng)景，他們以自己的行動(dòng)和熱情，為社會(huì)做出了積極的貢獻(xiàn)，他們是社會(huì)進(jìn)步的推動(dòng)者，是人類文明的傳承者，更是社會(huì)和諧的守護(hù)者.城市為舉辦2024年城市馬拉松比賽招募了一批志愿者，現(xiàn)從中隨機(jī)選出200人，并將他們按年齡（單位:歲）進(jìn)行分組:第1組[15，25），第2組[25，35），第3組，第4組，第5組[55，65]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.則（）A.a=0.035 B.估計(jì)眾數(shù)為:40C.估計(jì)平均數(shù)為:38 D.估計(jì)第80百分位數(shù)為:【答案】ABD【解析】【分析】由，計(jì)算可判斷A；易得眾數(shù)的估計(jì)值判斷B；利用平均數(shù)的估計(jì)值的計(jì)算公式計(jì)算可判斷C；求得百分位數(shù)判斷D.【詳解】對(duì)于A：，解得，故A正確；對(duì)于B：頻率分布直方圖的第三組的頻率最大，故數(shù)據(jù)的眾數(shù)的估計(jì)值為，故B正確；對(duì)于C：平均數(shù)的估計(jì)值為，故C錯(cuò)誤；第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為，第四組的頻率為，前三個(gè)組的頻率和為，所以第百分位數(shù)在第四個(gè)組，所以百分位數(shù)為，故D正確.故選：ABD.10.設(shè)，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式結(jié)合合理變形計(jì)算A，舉反例判斷B，利用基本不等式判斷C，利用‘1’的代換判斷D即可.詳解】對(duì)于A，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，而，故A正確，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故C正確，對(duì)于D，易知，故，而由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，而，解得，，與不符，故等號(hào)無法取得，則應(yīng)為，而，故，可得，故D正確.故選：ACD11.如圖是一個(gè)所有棱長均為4的正八面體，若點(diǎn)在正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），則（）A.異面直線與不可能垂直B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長度是C.該八面體被平面所截得的截面積既有最大值又有最小值D.凡棱長不超過的正方體均可在該八面體內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，當(dāng)M與點(diǎn)重合時(shí)垂直，故A錯(cuò)；對(duì)于B，由探求出M的運(yùn)動(dòng)軌跡即可求解；對(duì)于C，截面為正方形或等腰梯形，將截面等腰梯形的高作為變量將截面等腰梯形面積表達(dá)式求出來即可利用導(dǎo)數(shù)工具研究面積的最值，進(jìn)而即可判斷求解；對(duì)于D，先求出最長棱的正方體的外接球，再求正八面體的內(nèi)切球，當(dāng)正方體最大外接球不超過幾何體的內(nèi)切球時(shí)，正方體可在八面體內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，由此原理即可判斷.【詳解】連接，相交于點(diǎn)O，則由正八面體性質(zhì)可知O為中點(diǎn)，且面，所以是正四面體的高為，對(duì)于A，當(dāng)M與點(diǎn)重合時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)；對(duì)于B，取中點(diǎn)G，因?yàn)椋?，取中點(diǎn)，連接，則，且，故面，所以如圖，M點(diǎn)在高為母線長為2的圓錐底面圓周上，即M點(diǎn)在為以為圓心直徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，所以M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓心直徑為的圓的一部分為圓弧，其中分別為中點(diǎn)，且，所以，即點(diǎn)M的軌跡長度是，故B對(duì)；對(duì)于C，由題意以及正八面體結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知當(dāng)E與O重合時(shí)，八面體被平面所截得的截面是正方形，當(dāng)E與O不重合時(shí)，八面體被平面所截得的截面是等腰梯形，如圖，四邊形為被平面所截得的截面，連接中點(diǎn)、，則為等腰梯形的高，設(shè)為h，取中點(diǎn)V，連接,則由題意可求得，且O在上，過R作交于點(diǎn)K，則由等面積法得，顯然當(dāng)S點(diǎn)由K往V靠近時(shí)等腰梯形的上底邊和高均在增大，當(dāng)截面為正方形截面面積最大為16，當(dāng)S點(diǎn)由K往P靠近（不包含S與K、P重合時(shí)）時(shí)，則，在此過程中設(shè)，則，且由題意，所以，故由正弦定理得：，，因?yàn)?，所以，所以，又，所以截面面積為，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，無最小值，故被平面所截得的截面面積無最小值，故C錯(cuò)；對(duì)于D，過正八面體的兩頂點(diǎn)P，Q和中點(diǎn)去截正八面體以及其內(nèi)切球，則由正八面體性質(zhì)得到正八面體與其內(nèi)切球（半徑為r）截面圖如圖所示，其中四邊形為菱形，棱長為正四面體的斜高，是正四面體的高，所以由等面積法得，當(dāng)一正方體棱長為時(shí)，其外接球半徑為，所以凡棱長不超過的正方體其外接球半徑均小于或等于，故正方體均可在該八面體內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求得被平面所截得的截面等腰梯形面積表達(dá)式的關(guān)鍵是考慮里有邊長和角度有一個(gè)已知的，從而利用結(jié)合正弦定理研究截面等腰梯形的未知量上底邊和高，最后都用等腰梯形的高來表示.三.填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則__________.【答案】【解析】【分析】對(duì)于二項(xiàng)式問題先寫出通項(xiàng)公式，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為得的值，代入得到常數(shù)項(xiàng).【詳解】通項(xiàng)公式，令，解得，得，所以常數(shù)項(xiàng)，故答案為：.13.讓2名男生和2名女生排到如圖的位置中去，每人一格，則性別相同的人不在同一行也不在同一列的排法有____________種（用數(shù)字作答）.【答案】336【解析】【分析】先安排第一行一男一女，安排第二行時(shí)，考慮同列與不同列，即可根據(jù)分步乘法技術(shù)原理求解.【詳解】由題意可知：第一行安排一男一女，第二行也安排一男一女，第一步：從2名男生和2名女生中分別選一男一女安排到第一行，此時(shí)共有種方法，第二步：從第二行中選擇一個(gè)位置安排另一個(gè)男生，若該男生與第一行的女生同列，則另一個(gè)女生有3種安排方法，若該男生與第一行的女生不同列，則有2種方法安排該男生，最后一名女生也有2種方法安排，故共有種方法安排剩余的一男一女，因此總的方法有種安排，故答案為：33614.已知函數(shù)，對(duì)，不等式恒成立，則整數(shù)的最大值是____________.【答案】1【解析】【分析】對(duì)配方后變形，得到，然后求滿足恒成立的整數(shù)即可.【詳解】通過觀察可得恒成立；整數(shù)滿足恒成立則一定滿足恒成立；注意到時(shí)，，取特殊值，得到，可驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，若取大于的整數(shù)，都有使得.下面驗(yàn)證滿足恒成立：令，，，，由零點(diǎn)存在定理得：存在使得.且當(dāng)，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；滿足.，當(dāng)且僅當(dāng)取等，,可得恒成立，即恒成立，恒成立.綜上，可知滿足題意的最大整數(shù)為.故答案為：1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于通過觀察得出與之間的關(guān)系，然后取特殊值求出參數(shù)的范圍，按照恒成立問題的一般思路，求解相關(guān)函數(shù)的最值進(jìn)行驗(yàn)證，本題需要注意參數(shù)的取值范圍為整數(shù).四.解答題:本題共5小題，第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.眾所周知，體育鍛煉能增強(qiáng)人的體質(zhì)，陶冶情操，消除疲勞，恢復(fù)體力.（1）經(jīng)調(diào)查每天鍛煉2拾分鐘，3拾分鐘，4拾分鐘，5拾分鐘，6拾分鐘的學(xué)生的學(xué)習(xí)效率指數(shù)分別為2.5，3，3.5，5，6，用表示每天的鍛煉時(shí)間（單位:拾分鐘），用表示學(xué)習(xí)效率指數(shù)，由資料知與呈線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）某班級(jí)共40人，其中25人參加籃球訓(xùn)練隊(duì)，15人參加羽毛球訓(xùn)練隊(duì)，參加籃球訓(xùn)練隊(duì)的25人中有15人獲得了體能綜合測(cè)試優(yōu)秀，參加羽毛球訓(xùn)練隊(duì)的15人中有10人獲得了體能綜合測(cè)試優(yōu)秀，依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，試問選擇哪種活動(dòng)與體能綜合測(cè)試是否優(yōu)秀有無關(guān)聯(lián)?參考公式:（1）；（2）【答案】（1）（2）無關(guān)聯(lián)【解析】【分析】（1）依據(jù)給定數(shù)據(jù)和公式，求解回歸方程即可.（2）依據(jù)給定數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)即可.【小問1詳解】由題意得，，，回歸方程為【小問2詳解】列聯(lián)表優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)籃球151025羽毛球10515合計(jì)251540:設(shè)選擇什么活動(dòng)與體能測(cè)試是否優(yōu)秀無關(guān)聯(lián)而，故選擇什么活動(dòng)與體能測(cè)試是否優(yōu)秀無關(guān)聯(lián)16.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）中角A.B.C所對(duì)的邊為a，b，c，若，且邊上的高滿足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求單調(diào)遞增區(qū)間即可.（2）利用解出，結(jié)合余弦定理解出，最后結(jié)合平面向量共線定理列出方程，求解參數(shù)即可.【小問1詳解】易知令，可得，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】若，且，解得，由余弦定理得，解得，而是邊上的高，易知點(diǎn)共線，可得，而，故，解得，由勾股定理得，故是邊上靠近的七等分點(diǎn)，故得，故有，17.矩形ABCD中，，將沿BD向上對(duì)折至位置.（1）若點(diǎn)在平面BCD上的射影落在BC上，求證:；（2）在對(duì)折過程中，求平面與平面BCD所成角的正切的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)可得平面，可證，可證平面，可證結(jié)論；（2）法一：過A作于，延長AE交BC于，過作于，過作于，連結(jié)，可得即為平面角，求解即可；以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EF為軸，ED為軸，過E垂直于平面BCD的直線為軸.法二：以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EF為軸，ED為軸，過E垂直于平面BCD的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面BCD的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式可求得，進(jìn)而可得結(jié)論.【小問1詳解】∵平面平面BCD，平面平面且，平面,平面，平面，，又且，平面，平面平面，；【小問2詳解】過A作于，延長AE交BC于，過作于，過作于，連結(jié)，由題意可得，，平面,所以平面，又平面，所以平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，，又，，平面，所以平面，又平面，所以，由定義知即為平面角，設(shè)，則，，，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)闉闇p函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值越大，又當(dāng)時(shí)，，，所以平面A′CD與平面BCD所成角的正切的最大值為.解法二：以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EF為軸，ED為軸，過E垂直于平面BCD的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令,可得，所以平面的一個(gè)法向量為，又平面BCD的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面BCD所成的角為，則，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)闉闇p函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值越大，又當(dāng)時(shí)，，，所以平面A′CD與平面BCD所成角的正切的最大值為.18.水平相當(dāng)?shù)募?、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球擂臺(tái)賽，每輪比賽都采用3局2勝制（即先贏2局者勝），首輪由甲乙兩人開始，丙輪空；第二輪由首輪的勝者與丙之間進(jìn)行，首輪的負(fù)者輪空，依照這樣的規(guī)則無限地繼續(xù)下去.（1）求甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率；（2）求第輪比賽甲輪空的概率；（3）按照以上規(guī)則，求前六輪比賽中甲獲勝局?jǐn)?shù)的期望.【答案】（1）（2）（3）局【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率公式求解；（2）設(shè)事件“第輪甲輪空”，由全概率公式可得的遞推公式，利用構(gòu)造法得的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)一輪比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)為，則，前六輪比賽中甲參與的輪次數(shù)為，則，分別求出和的期望，即可求解.【小問1詳解】甲第三輪獲勝的基本事件有：{第一、二、三輪甲全勝}，{第一輪甲輸，第三輪甲勝}，設(shè)“甲第i輪獲勝”，則；小問2詳解】設(shè)事件“第輪甲輪空”，則，，，；【小問3詳解】設(shè)一輪比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)為，則，，，，，前六輪比賽中甲參與的輪次數(shù)為，則，，，局勝的局?jǐn)?shù)為:（局）.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證:；（3）若在定義域上單調(diào)遞增，求的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性求出極值可