第頁(yè)第03講二次根式的加減【題型1同類二次根式的相關(guān)概念】【題型2二次根式的加減】【題型3二次根式的混合運(yùn)算】【題型4二次根式的化簡(jiǎn)求值】【題型5二次根式的實(shí)際應(yīng)用】【題型6分母有理化】考點(diǎn)1：同類二次根式同類二次根式概念：化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如【題型1同類二次根式的相關(guān)概念】【典例1】（2023春?南寧期中）下列二次根式中，能與合并的是（）A． B． C． D．【變式1-1】（2022秋?正定縣期末）下列各式中，化簡(jiǎn)后能與合并的二次根式是（）A． B． C． D．【變式1-2】（2023秋?南山區(qū)校級(jí)期中）已知最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則a的值為（）A．16 B．0 C．2 D．不確定【變式1-3】（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）下列各式中，能與合并的是（）A． B． C． D．考點(diǎn)2：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式加減運(yùn)算的步驟：①化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；②找：找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)保持不變?！绢}型2二次根式的加減運(yùn)算】【典例2】（2023秋?九臺(tái)區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：．【變式2-1】（2023秋?南安市期中）計(jì)算：．【變式2-2】（2023秋?朝陽(yáng)區(qū)期中）計(jì)算：．【變式2-3】（2023春?武平縣期末）計(jì)算：．考點(diǎn)3：二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）【題型3二次根式的混合運(yùn)算】【典例3】（2022秋?玉門(mén)市期末）計(jì)算：（1）（2）．【變式3-1】（2022秋?賀蘭縣校級(jí)期末）化簡(jiǎn)：（1）；（2）．【變式3-2】（2023春?宣化區(qū)期中）計(jì)算：（1）；（2）．【變式3-3】（2023秋?南召縣期中）計(jì)算：（1）；（2）．【題型4二次根式的化簡(jiǎn)求值】【典例4】（2022秋?新田縣期末）已知，，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+3xy+y2．【變式4-1】（2023春?惠陽(yáng)區(qū)期末）已知，，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+xy+y2．【變式4-2】（2023秋?仁壽縣期中）已知：，．求值：（1）x+y；（2）x2y+xy2．【變式4-3】（2022秋?祁陽(yáng)縣期末）已知，，分別求下列代數(shù)式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣2ab+b2．【題型5二次根式的實(shí)際應(yīng)用】【典例5】（2023秋?興文縣期中）有一塊矩形木板，木工師傅采用如圖所示的方式，在木板上截出面積分別為18dm2和32dm2的兩塊正方形木板．（1）截出的兩塊正方形木板的邊長(zhǎng)分別為dm，dm；（2）求剩余木板的面積；（3）如果木工師傅想從剩余的木板中截出長(zhǎng)為1.5dm、寬為1dm的矩形木條，最多能截出個(gè)這樣的木條．【變式5-1】（2023秋?陳倉(cāng)區(qū)期中）閱讀材料：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，那么這個(gè)三角形的面積為S＝．這個(gè)公式叫“海倫公式”，它是利用三角形的三條邊的邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式，中國(guó)秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個(gè)公式又被稱為“海倫一秦九韶公式”．完成下列問(wèn)題：如圖，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7．（1）求△ABC的面積；（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，求線段AD的長(zhǎng)．【變式5-2】（2023春?瑤海區(qū)期末）小明同學(xué)每次回家進(jìn)入電梯間時(shí)，總能看見(jiàn)如圖所示的提示“高空拋物害人害己”．為進(jìn)一步研究高空拋物的危害，小明請(qǐng)教了物理老師，得知高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式（不考慮風(fēng)速的影響，g≈10m/s2，）（1）已知小明家住20層，每層的高度近似為3m，假如從小明家墜落一個(gè)物品，求該物品落地的時(shí)間；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）小明查閱資料得知，傷害無(wú)防護(hù)人體只需要64焦的動(dòng)能，高空拋物動(dòng)能（焦）＝10×物體質(zhì)量（千克）×高度（米），某質(zhì)量為0.1千克的玩具在高空被拋出后，最少經(jīng)過(guò)幾秒落地就可能會(huì)傷害到樓下的行人？【變式5-3】（2023春?巴彥縣期中）如圖，張大伯家有一塊長(zhǎng)方形空地ABCD，長(zhǎng)方形空地的長(zhǎng)BC為，寬AB為，現(xiàn)要在空地中劃出一塊長(zhǎng)方形地養(yǎng)雞（即圖中陰影部分），其余部分種植蔬菜，長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為，寬為．（1）長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）（2）若市場(chǎng)上蔬菜8元/千克，張大伯種植該種蔬菜，每平方米可以產(chǎn)15千克的蔬菜，張大伯如果將所種蔬菜全部銷售完，銷售收入為多少元？考點(diǎn)5：分母有理化分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào)?！绢}型6分母有理化】【典例6】（2023秋?南山區(qū)校級(jí)期中）閱讀下面問(wèn)題：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）計(jì)算：+++…++．【變式6-1】（2023春?張店區(qū)期中）觀察下列等式：①＝＝﹣1；②＝＝﹣；③＝＝﹣；…回答下列問(wèn)題：（1）仿照上列等式，寫(xiě)出第n個(gè)等式：＝﹣；（2）利用你觀察到的規(guī)律，化簡(jiǎn)：；（3）計(jì)算：．【變式6-2】（2023春?瀏陽(yáng)市期中）像?＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，則稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，愛(ài)動(dòng)腦筋的小明同學(xué)在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式化去分母中的根號(hào)．（1）＝＝；（2）＝＝＝3+2．勤奮好學(xué)的小明發(fā)現(xiàn)：可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)．（3）化簡(jiǎn)：﹣．解：設(shè)x＝﹣，易知＞，∴x＞0．由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝．即﹣＝．請(qǐng)你解決下列問(wèn)題：（1）2﹣3的有理化因式是；（2）化簡(jiǎn)：++；（3）化簡(jiǎn)：﹣．一．選擇題（共10小題）1．下列各式，能與合并的是（）A． B． C． D．2．下列計(jì)算正確的是（）A．＝﹣2 B．3＝1 C． D．3＝3．高空拋物極其危險(xiǎn)，是我們必須杜絕的行為．據(jù)研究，高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t＝（不考慮風(fēng)速的影響），則從100m高空拋物到落地所需時(shí)間為（）A．2s B．s C．s D．2s4．計(jì)算的結(jié)果為（）A． B． C． D．15．與計(jì)算結(jié)果相同的是（）A． B．2÷ C． D．6．已知﹣，則的解為（）A． B． C． D．．7．已知a＝，b＝1﹣，則a2+ab+b2的值為（）A．5 B．6 C．7 D．88．若，則代數(shù)式x2﹣4x+4的值為（）A．﹣2019 B．2019 C．﹣2023 D．20239．若，則的值為（）A． B．5 C． D．210．若a+b＝﹣4，ab＝1，則的值為（）A．4 B．﹣4 C．16 D．4或﹣4二．填空題（共5小題）11．將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式．12．已知最簡(jiǎn)二次根式和是同類二次根式，則m的值是．13．計(jì)算：＝．14．計(jì)算（﹣）×﹣3＝．15．已知x＝，y＝，+﹣4＝．三．解答題（共5小題）16．計(jì)算題：（1）3+2（2）2﹣計(jì)算：（）2﹣﹣4×+|1﹣|．18．已知x＝，y＝﹣1，求下列各式的值：（1）x2+2xy+y2；（2）x2y+xy2．19．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a＝+1．20．小明在解決問(wèn)題：已知，求2a2﹣8a