專題10相似三角形中的基本模型--半角模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了。本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.半角模型（相似模型）【常見(jiàn)模型及結(jié)論】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°結(jié)論：如圖1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；圖1圖2結(jié)論：如圖2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；結(jié)論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4結(jié)論：如圖4，△BME∽△AMN∽△DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型圖1圖2條件：如圖1，已知∠BAC＝90°，；結(jié)論：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③（）（2）含60°半角模型條件：如圖1，已知∠BAC＝120°，；結(jié)論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）例1．（2023·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中）如圖，在正方形中，點(diǎn)E、F分別是、邊上的兩點(diǎn)，且，、分別交于M，N．下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①②例2．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長(zhǎng)為．例3．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考一模）如圖，,,，如果，則的長(zhǎng)是(

)．A． B． C． D．例4．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，，，則的長(zhǎng)為．例5．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考二模）在菱形中，．點(diǎn)，分別在邊，上，且．連接，．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）平分交于點(diǎn)．①如圖2，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．②如圖3，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合）．當(dāng)，時(shí)，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若存在，請(qǐng)直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例6．（2023山東九年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠MAN始終保持45°不變．（1）求證：；（2）求證：AF⊥FM；（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠BAM等于多少度時(shí)，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結(jié)論，并加以證明．例7．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考二模）【教材呈現(xiàn)】（1）如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形和擺放在一起，點(diǎn)為公共頂點(diǎn)，，若固定不動(dòng)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，邊，與邊分別交于點(diǎn)，（點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)不與點(diǎn)重合），則結(jié)論是否成立______（填“成立”或“不成立”）；【類比引申】（2）如圖2，在正方形中，為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)角，兩邊分別與，交于點(diǎn)，，且滿足，求證：；【拓展延伸】（3）如圖3，菱形的邊長(zhǎng)為，，的兩邊分別與，相交于點(diǎn)，，且滿足，若，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·廣東深圳·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，、分別交于點(diǎn)，，連接、，且．下列結(jié)論：①，；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，，連接AE，AF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)M，N，連接MF，EN．給出結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④3．如圖，正方形中，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，、分別交對(duì)角線于點(diǎn)、，若，則的值為（）A．4 B．6 C．8 D．164．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，，，則下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④若，則．其中正確個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．15．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）矩形中，，，連接，E，F(xiàn)分別在邊，上，連接，分別交于點(diǎn)M，N，若，，則的長(zhǎng)為．

6．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論：①△AED≌△AEF；②；③△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；④BE2+DC2＝DE2；⑤BE＝EF﹣DC；其中正確的選項(xiàng)是（填序號(hào)）7．（2023·上海寶山·校考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，∠DAE=∠B=30°，且，那么的值是．8．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）通過(guò)類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．原題：如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，連接，則，試說(shuō)明理由．(1)思路梳理，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合.，點(diǎn)，，共線根據(jù)______從“，，，”中選擇填寫，易證______，得．(2)類比引申如圖，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，若，都不是直角，則當(dāng)與滿足等量關(guān)系______時(shí)，仍有．(3)聯(lián)想拓展如圖，在中，，，點(diǎn)，均在邊上，且猜想，，應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過(guò)程．(4)思維深化如圖，在中，，，點(diǎn)，均在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且，當(dāng)，時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．9．（2023·陜西西安·九年級(jí)校考期中）問(wèn)題研究，如圖，在等腰中，，點(diǎn)、為底邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），且．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一個(gè)與相似的三角形，這個(gè)三角形是__________；（2）若，分別過(guò)點(diǎn)、作、的垂線，垂足分別為、，且、的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，求四邊形的面積；問(wèn)題解決（3）如圖所示，有一個(gè)矩形倉(cāng)庫(kù)，其中米，米，現(xiàn)計(jì)劃在倉(cāng)庫(kù)的內(nèi)部的、兩處分別安裝監(jiān)控?cái)z像頭，其中點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上．設(shè)計(jì)要求且，則的長(zhǎng)應(yīng)為多少米？10．（2023·陜西漢中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)．(1)如圖1，若，．①求證：；②若，求的值．(2)如圖2，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，，，求的長(zhǎng)．11．（2023·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【教材呈現(xiàn)】（1）如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC＝∠G＝90°，BC＝6，若△ABC固定不動(dòng)，將△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，邊AF、AG與邊BC分別交于點(diǎn)D，E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合）①求證：AE2＝DE?BE；②求BE?CD的值；【拓展探究】（2）如圖2，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠B＝∠DAE＝30°，且，請(qǐng)直接寫出的值．12．（2022秋·廣東·九年級(jí)深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)校考期中）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N、M分別在邊BC、CD上，連接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而得DM＋BN＝MN．【實(shí)踐探究】(1)在圖①條件下，若CN＝6，CM＝8，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是______．(2)如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊CD、AB上，且BN＝DM．點(diǎn)E、F分別在BM、DN上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)【拓展應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的長(zhǎng)．13．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題背景：如圖1，在正方形中，點(diǎn)分別在邊上，，求證：．洋洋同學(xué)給出了部分證明過(guò)程，請(qǐng)你接著完成剩余的證明過(guò)程．證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)使，連接，正方形，，在和中，遷移應(yīng)用：如圖2，在正方形中，交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．聯(lián)系拓展：如圖3，在矩形中，點(diǎn)分別在邊上，，若，探究與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．14．（2023·浙江杭州·九年級(jí)期中）已知正方形的邊長(zhǎng)為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F，連接．設(shè)．（1）如圖1，當(dāng)被對(duì)角線平分時(shí)，求a、b的值；（2）當(dāng)是直角三角形時(shí)，求a、b的值；（3）如圖3，探索繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，的面積是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興