PAGE22-福建省泉州市2025屆高三數(shù)學(xué)3月適應(yīng)性線上測(cè)試試題（一）文（含解析）本試卷共23題，滿分150分，共5頁.考試時(shí)間120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫在答題卡上.2.選擇題請(qǐng)按本校老師規(guī)定的方式作答.非選擇題及運(yùn)用釘釘平臺(tái)閱卷的多項(xiàng)選擇題，請(qǐng)自行打印答題卡，依據(jù)題號(hào)依次在各題目的答題區(qū)域內(nèi)（黑色線框）作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.沒有條件自行打印的，請(qǐng)?jiān)诳瞻准埳戏抡沾痤}卡自行畫定答題區(qū)域，標(biāo)明題號(hào)，并在相應(yīng)區(qū)域內(nèi)答題，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.3.答題完畢，請(qǐng)按學(xué)校布置的要求，用手機(jī)拍照答案并上傳到指定的地方，要留意照片的清楚，不要多拍、漏拍.一、選擇題1.若復(fù)數(shù)滿意，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先用復(fù)數(shù)除法進(jìn)行化簡(jiǎn)，之后求共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)楣剩汗势涔曹棌?fù)數(shù)為：故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及共軛復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題.2.集合，，則()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交、補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】，，，則，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交、補(bǔ)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件建立關(guān)于和的方程組，求解.【詳解】解析：由，得且，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的求法，屬于簡(jiǎn)潔題型.4.下圖是某地區(qū)年至年污染天數(shù)（單位：天）與年份的折線圖，依據(jù)年至年數(shù)據(jù)，年至年的數(shù)據(jù)，年至年的數(shù)據(jù)分別建立線性回來模型，，，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由圖象可知，回來直線應(yīng)分布在散點(diǎn)圖的旁邊，由和的的幾何意義干脆推斷選項(xiàng).【詳解】由圖象可知，回來直線應(yīng)分布在散點(diǎn)圖的旁邊，2010至2024年，隨的增加，平緩的下降，2024年到2024年隨著的增加，下降快速，依據(jù)回來直線方程中的幾何意義可知，，由點(diǎn)的分布可知，，所以，依據(jù)散點(diǎn)圖可知.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查回來直線方程和散點(diǎn)圖的關(guān)系，重點(diǎn)考查對(duì)圖象的分析實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，兩邊平方后可得，再依據(jù)誘導(dǎo)公式干脆計(jì)算結(jié)果【詳解】解析：由，得，平方得，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變形，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于基礎(chǔ)題型.6.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，且其焦距為，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件建立關(guān)于的方程組，干脆求解雙曲線的方程；或是利用解除法獲得選項(xiàng).【詳解】解析：依題意可得，解得，，故方程為.故選：D.另解：由焦距得，又由快速解除AB選項(xiàng)：點(diǎn)代入選項(xiàng)C，不滿意，解除C，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，重點(diǎn)考查基礎(chǔ)學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題型.7.若實(shí)數(shù)，滿意約束條件，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先畫出可行域，然后畫出初始目標(biāo)函數(shù)，再平移直線，得到函數(shù)的最大值.【詳解】如圖畫出可行域，令，作出初始目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)始目標(biāo)函數(shù)平移至點(diǎn)時(shí)，取得最大值，，解得：，，此時(shí)的最大值.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，重點(diǎn)考查作圖和識(shí)圖實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.8.已知函數(shù)，若在實(shí)數(shù)集上為增函數(shù)，則常數(shù)滿意（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性，考慮各段的狀況，留意在上遞增，則有，解得不等式，即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)樵趯?shí)數(shù)集上為增函數(shù)，所以，故選C.【點(diǎn)睛】在解決分段函數(shù)單調(diào)性時(shí)，首先每一段函數(shù)的單調(diào)性都應(yīng)具備單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減），其次，在函數(shù)分段的分界點(diǎn)處也應(yīng)當(dāng)滿意函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此建立不等式組，求出不等式組的交集，即可求出結(jié)果．9.已知橢圓的焦距為，，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓與的一個(gè)公共點(diǎn).若為直角三角形，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先由條件推斷，再結(jié)合橢圓定義得到橢圓的離心率.【詳解】依題意可得，又因?yàn)闉橹苯侨切?，所以，故，解?所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義和幾何性質(zhì)，重點(diǎn)考查敏捷應(yīng)用幾何性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是推斷，屬于中檔題型.10.已知函數(shù)，若函數(shù)至多有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，轉(zhuǎn)化為與函數(shù)圖象至多有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍.【詳解】解析：由，得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以時(shí)，函數(shù)的最小值，且，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以時(shí)，函數(shù)的最小值，作出函數(shù)與的圖象，視察他們的交點(diǎn)狀況，可知，或時(shí)，至多有兩個(gè)交點(diǎn)滿意題意，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，并能數(shù)形結(jié)合分析問題的實(shí)力，屬于中檔題型.二、多項(xiàng)選擇題：本題共2小題，每小題5分，共10分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.不選或選出的選項(xiàng)中含有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分，只選出部分正確選項(xiàng)的得3分，選出全部正確選項(xiàng)的得5分.11.歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由瑞土聞名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，依據(jù)此公式可知，下面結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)歐拉公式的定義，代入，推斷選項(xiàng)A，依據(jù)模的計(jì)算公式推斷B，令，兩個(gè)式子聯(lián)立解方程組推斷C,令，則表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，推斷D.【詳解】解析：，A對(duì)；，B對(duì)：，C錯(cuò)；依題可知表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，明顯該點(diǎn)位于第四象限；D錯(cuò)；故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查新定義和復(fù)數(shù)的計(jì)算和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，本題的關(guān)鍵是讀懂新定義.12.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.若，角的角平分線交于點(diǎn)，，，以下結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.的面積為【答案】ACD【解析】【分析】首先依據(jù)余弦定理，并結(jié)合條件推斷，并依據(jù)二倍角公式得到，依次計(jì)算的值，依據(jù)面積比值，推斷C和D.【詳解】解析：在中，依據(jù)余弦定理得，，即，所以.由倍角公式得，解得.在中，，故選項(xiàng)A正確在中，，解得.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，解得，故選項(xiàng)C正確；在中，由得，，所以，故選項(xiàng)D正確故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查推斷命題的真假，重點(diǎn)考查正余弦定理解三角形，三角形面積公式的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合分析問題的實(shí)力，屬于中檔題型.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.已知向量，，若，則______________.【答案】2【解析】【分析】?jī)蛇吰椒胶?，得到，依?jù)向量數(shù)量積計(jì)算結(jié)果.【詳解】，兩邊平方可得，故，得.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題型.14.已知，，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則，，的大小關(guān)系為__________.【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)，依據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性和圖象比較大小，再依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)可知，最終比較的大小關(guān)系，【詳解】解析：因?yàn)?，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故，又，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，重點(diǎn)是推斷所屬函數(shù)類型，利用單調(diào)性比較大小，或是和特別值比較，屬于基礎(chǔ)題型.15.已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象向左平移個(gè)單位后所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則：_____________；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)開__________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】首先依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算函數(shù)的解析式，再依據(jù)函數(shù)的定義域計(jì)算的范圍，計(jì)算函數(shù)的值域.【詳解】因?yàn)?，可得，函?shù)向左平移個(gè)單位后得到，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，，因?yàn)椋?，所以；?dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)和解析式，意在考查對(duì)稱性和函數(shù)的值域，屬于中檔題型.16.已知三棱錐中，平面平面，.設(shè)直線與平面所成的角為，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求出是直角三角形，過點(diǎn)作，垂足為，易得，連接，可得平面，進(jìn)而可得，設(shè)，，即，由，利用余弦定理可得：，化簡(jiǎn)配方即可求解.【詳解】由已知易得是直角三角形，過點(diǎn)作，垂足為，易得，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，由面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，所以，，可知當(dāng)取最小值時(shí)，最大.設(shè)，，則.因?yàn)椋?，即，所以，可得?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，即的最小值.所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的求法，同時(shí)考查了余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出線面角，屬于中檔題.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.數(shù)列中，，，為的前項(xiàng)和.（1）若，求；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，依據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求；（2）由（1）可知，代入后，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）由得數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列；由得.得，解得.所以的值為.（2）由（1）知數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.可得.所以，數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】本小題主要考査等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)學(xué)問，考查推理論證實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)綜合性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)壿嬐评?、?shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.18.新冠肺炎疫情期間，為了削減外出聚集，“線上買菜”受追捧.某電商平臺(tái)在地區(qū)隨機(jī)抽取了位居民進(jìn)行調(diào)研，獲得了他們每個(gè)人近七天“線上買菜”消費(fèi)總金額（單位：元），整理得到如圖所示頻率分布直方圖.（1）求的值；（2）從“線上買菜”消費(fèi)總金額不低于元的被調(diào)研居民中，隨機(jī)抽取位賜予獎(jiǎng)品，求這位“線上買菜”消費(fèi)總金額均低于元的概率；（3）若地區(qū)有萬居民，該平臺(tái)為了促進(jìn)消費(fèi)，擬對(duì)消費(fèi)總金額不到平均水平一半的居民投放每人元的電子補(bǔ)貼.假設(shè)每組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試依據(jù)上述頻率分布直方圖，估計(jì)該平臺(tái)在地區(qū)擬投放的電子補(bǔ)貼總金額.【答案】（1）（2）（3）元【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率和為1計(jì)算的值；（2）由頻率分布圖計(jì)算可知消費(fèi)總金額在元的有4人，消費(fèi)總金額在的有1人，采納編號(hào)列舉的方法，計(jì)算這位“線上買菜”消費(fèi)總金額均低于元的概率；（3）首先計(jì)算估計(jì)地區(qū)每位居民“線上買菜”消費(fèi)總金額平均數(shù)，并且計(jì)算小于平均水平一半的頻率，并計(jì)算總金額.【詳解】（1）由，得.（2）設(shè)事務(wù)為“這位‘線上買菜’消費(fèi)總金額均低于元”被抽取的居民“線上買菜”消費(fèi)總金額在元的有人，分別記為，，，被抽取的居民“線上買菜”消費(fèi)總金額在的有人，記為，從被抽取的居民“線上買菜”消費(fèi)總金額不低于元的居民中隨機(jī)抽取人進(jìn)一步調(diào)研，共包含個(gè)基本領(lǐng)件，分別為，，，，，，，，，，事務(wù)包含個(gè)基本領(lǐng)件，分別為，，，，，，則這位線上買菜消費(fèi)總金額均低于元的概率.（3）由題意，可得估計(jì)地區(qū)每位居民“線上買菜”消費(fèi)總金額平均數(shù)為估計(jì)低于平均水平一半的頻率為，所以估計(jì)投放電子補(bǔ)貼總金額為元.【點(diǎn)睛】本題考査頻率分布直方圖、古典概型、用樣本估計(jì)總體等學(xué)問點(diǎn).考察了學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)讀與計(jì)算實(shí)力，考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).19.如圖，正三棱柱的全部棱長(zhǎng)都為，是的中點(diǎn)，在邊上，.（1）證明：平面平面；（2）若是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面.①在答題卡中作出點(diǎn)的軌跡，并說明軌跡的形態(tài)（不須要說明理由）；②求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）①詳見解析②【解析】【分析】（1）要證明面面垂直，需先證明線面垂直，依據(jù)條件可證明以平面；（2）①要總有平面，即作出過點(diǎn)的平面，使其與平面平行；②依據(jù)①面面平行可轉(zhuǎn)化為，再利用等體積轉(zhuǎn)化求解.【詳解】解：（1）在正三棱柱中，因平面，平面，所以在等邊中，是的中點(diǎn)，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）①取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)的軌跡就是線段.②因?yàn)槠矫?，所?……由（1）得平面，又因?yàn)?，所?故三棱錐的體積為.【點(diǎn)睛】本小題考查線面平行、面面垂直的判定與性質(zhì)、三棱錐的體積的求解等基礎(chǔ)學(xué)問，考查空間想象實(shí)力、邏輯推理及運(yùn)算求解實(shí)力，考査化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)的關(guān)注.20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)滿意以為直徑的圓與軸相切.（1）求的軌跡的方程；（2）設(shè)直線與相切于點(diǎn)，過作的垂線交于，證明：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，利用，化簡(jiǎn)求軌跡方程；（2）設(shè)，分別求直線和直線的方程，求交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)表示.【詳解】（1）設(shè)，則的中點(diǎn)為，由題意，得，從而得整理，得，所以的方程為.（2）設(shè)，則的斜率，故直線的方程為，又，故可得的方程為，由解得，又，所以，故為定值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義、方程及直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查推理論證實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力等，考査化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的關(guān)注.21.已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若是唯一極值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）增區(qū)間是，減區(qū)間是（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，轉(zhuǎn)化為函數(shù)沒有變號(hào)零點(diǎn)，求的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意可得當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以所以時(shí)，，時(shí)，所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2），令則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在遞減，在遞增，所以①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，故時(shí)，；時(shí)，故在遞增，在遞減，所以是的唯一極值點(diǎn)，滿意題意.②當(dāng).即時(shí)，在遞減，在遞增，.故時(shí)，，得；時(shí)，，得故在遞增，在遞減所以是的唯一極值點(diǎn)，滿意題意.③當(dāng)，時(shí)，，，令，則，，令，，令，，，故在遞增，故故在遞增，，故所以在存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得，所以在遞減，遞增，所以也是的極值點(diǎn)，所以不符合題意綜上所述，的取值范圍是（注：①②可合并）【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值點(diǎn)等問題，考查抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解實(shí)力，考查應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，綜合考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、有限與無限思想以及特別與一般思想，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.在平面