課時作業(yè)提升(六十九)離散型隨機變量的均值與方差A組夯實基礎1．(2018·崇明模擬)隨機變量ξ的分布列如下，其中a、b、c為等差數(shù)列，若Eξ＝eq\f(1,3)，則Dξ的值為()ξ－101PabcA．eq\f(4,9) B．eq\f(5,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)解析：選B由分布列得a＋b＋c＝1，①由期望Eξ＝eq\f(1,3)得－a＋c＝eq\f(1,3)，②由a、b、c為等差數(shù)列得2b＝a＋c，③由①②③得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，∴Dξ＝eq\f(1,6)×eq\f(16,9)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,9)＋eq\f(1,2)×eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).2．某運動員投籃命中率為0.6，他重復投籃5次，若他命中一次得10分，沒命中不得分；命中次數(shù)為X，得分為Y，則EX、DY分別為()A．0.6,60 B．3,12C．3,120 D．3,1.2解析：選CX～B(5,0.6)，Y＝10X，∴EX＝5×0.6＝3，DX＝5×0.6×0.4＝1.2，DY＝100DX＝120.3．已知隨機變量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則EY、DY分別是()A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6解析：選B由已知隨機變量X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求得EY＝8－EX＝8－10×0.6＝2，DY＝(－1)2DX＝10×0.6×0.4＝2.4.4．如果X～B(20，p)，當p＝eq\f(1,2)且P(X＝k)取得最大值時，k的值為()A．8 B．9C．10 D．11解析：選C當p＝eq\f(1,2)時，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))20－k＝Ceq\o\al(k,20)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))20，顯然當k＝10時，P(X＝k)取得最大值．5．(2017·全國卷Ⅱ)一批產品的二等品率為0.02，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX＝________.解析：由題意得X～B(100,0.02)，∴DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.答案：1.966．(2018·溫州十校聯(lián)考)一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設每一個球被摸到的可能性是相等的．從袋中摸出2個球，其中白球的個數(shù)為X，則X的數(shù)學期望是________．解析：根據(jù)題意知X＝0,1,2，而P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3)；P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(8,15)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(2,15).∴EX＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(2,15)＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)7．已知100件產品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產品中次品數(shù)的均值為________．解析：次品數(shù)服從二項分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,10)))，所以EX＝3×eq\f(1,10)＝0.3.答案：0.38．一射擊測試每人射擊三次，每擊中目標一次記10分，沒有擊中記0分．某人每次擊中目標的概率為eq\f(2,3)，則此人得分的數(shù)學期望與方差分別為________．解析：記此人三次射擊擊中目標X次，得分為Y分，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，Y＝10X，∴EY＝10EX＝10×3×eq\f(2,3)＝20，DY＝100DX＝100×3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(200,3).答案：20，eq\f(200,3)9．(2015·山東卷)若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等)．在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次．得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；(2)若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學期望EX.解：(1)個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345.(2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為Ceq\o\al(3,9)＝84，隨機變量X的取值為0，－1,1，因此P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(X＝－1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝1－eq\f(1,14)－eq\f(2,3)＝eq\f(11,42).所以X的分布列為X0－11Peq\f(2,3)eq\f(1,14)eq\f(11,42)則EX＝0×eq\f(2,3)＋(－1)×eq\f(1,14)＋1×eq\f(11,42)＝eq\f(4,21).B組能力提升1．(2017·浙江卷)已知隨機變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，則()A．Eξ1＜Eξ2，Dξ1＜Dξ2B．Eξ1＜Eξ2，Dξ1＞Dξ2C．Eξ1＞Eξ2，Dξ1＜Dξ2D．Eξ1＞Eξ2，Dξ1＞Dξ2解析：選A由題意可知ξi(i＝1,2)服從兩點分布，∴Eξ1＝p1，Eξ2＝p2，Dξ1＝p1(1－p1)，Dξ2＝p2(1－p2)．又∵0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，∴Eξ1＜Eξ2.把方差看作函數(shù)y＝x(1－x)，根據(jù)0＜ξ1＜ξ2＜eq\f(1,2)知，Dξ1＜Dξ2.故選A．2．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為()A．eq\f(32,3) B．eq\f(28,3)C．eq\f(14,3) D．eq\f(16,3)解析：選D由已知得，3a＋2b＋0×c即3a＋2b＝2，其中0＜a＜eq\f(2,3)，0＜b＜1.又eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\f(3a＋2b,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,3b)))＝3＋eq\f(1,3)＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(10,3)＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,2b))＝eq\f(16,3)，當且僅當eq\f(2b,a)＝eq\f(a,2b)，即a＝2b時取“等號”，又3a＋2b＝2，即當a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)時，eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為eq\f(16,3)，故選D．3．設隨機變量X服從正態(tài)分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，σ2))，集合A＝{x|x＞X}，集合B＝xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,2)))，則A?B的概率為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：選C由A?B得X≥eq\f(1,2).又∵μ＝eq\f(1,2)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(1,2)))＝eq\f(1,2).4．馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的分布列如下表：x123P(ξ＝x)？??？請小牛同學計算ξ的均值．盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案Eξ＝________.解析：設“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為1－2x，則Eξ＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.答案：25．(2018·崇文模擬)某研究機構準備舉行一次數(shù)學新課程研討會，共邀請50名一線教師參加，使用不同版本教材的教師人數(shù)如下表所示：版本人教A版人教B版蘇教版北師版人數(shù)2015510(1)從這50名教師中隨機選出2名，求2人所使用版本相同的概率；(2)若隨機選出2名使用人教版的教師發(fā)言，設使用人教A版的教師人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．解：(1)從50名教師中隨機選出2名的方法數(shù)為Ceq\o\al(2,50)＝1225，選出2人使用版本相同的方法數(shù)為Ceq\o\al(2,20)＋Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,10)＝350，故2人使用版本相同的概率為P＝eq\f(350,1225)＝eq\f(2,7).(2)X的所有可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(3,17)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(60,119).P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20),C\o\al(2,35))＝eq\f(38,119).∴X的分布列為X012Peq\f(3,17)eq\f(60,119)eq\f(38,119)∴EX＝0×eq\f(3,17)＋1×eq\f(60,119)＋2×eq\f(38,119)＝eq\f(136,119)＝eq\f(8,7).6．(2018·昆明模擬)氣象部門提供了某地區(qū)今年六月份(30天)的日最高氣溫的統(tǒng)計表如下：日最高氣溫t(單位：℃)t≤2222＜t≤2828＜t≤32t＞32天數(shù)612YZ由于工作疏忽，統(tǒng)計表被墨水污染，Y和Z數(shù)據(jù)不清楚，但氣象部門提供的資料顯示，六月份的日最高氣溫不高于32℃某水果商根據(jù)多年的銷售經驗，六月份的日最高氣溫t(單位：℃)對西瓜的銷售影響如下表：日最高氣溫t(單位：℃)t≤2222＜t≤2828＜t≤32t＞32日銷售額X(單位：千元)2568(1)求Y，Z的值；(2)若視頻率為概率，求六月份西瓜日銷售額的期望和方差；(3)在日最高氣溫不高于32℃時，求日銷售額不低于5千元的概率解：(1)由已知得：P(t≤32)＝0.9，∴P(t＞32)＝1－P(t≤32)＝0.1，∴Z＝30×0.1＝3，Y＝30－(6＋12＋3)＝9.(2)P(t≤22)＝eq\f(6,30)＝0.2，P(22＜t≤28)＝eq\f(12,30)＝0.4，P(28＜t≤32)＝eq\f(9,30)＝0.3，P(t＞32