第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱三中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（8月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合A={y|y=x2,x∈R},B={x|y=1?xA.? B.R C.[0,1] D.[?∞,1]2.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若B=30°,a=1,c=3，則b=(

)A.1 B.3 C.2 D.3.設(shè)x，y∈R，且x<y<0，則(

)A.yx+xy>2 B.y24.天文學(xué)中天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m1?m2=2.5(lgE2?lgE1).其中星等為mi的星的亮度為Ei(i=1,2).已知“河鼓二”的星等約為0.75，“天津四”的星等約為1.25，“河鼓二”的亮度是“天津四”的A.1.56 B.1.57 C.1.58 D.1.595.已知sinα?cosα=15，0<α<π，則cos2α=(

)A.?725 B.725 C.246.如圖為函數(shù)y=fx在?6,6上的圖像，則fx的解析式只可能是(

)．A.fx=B.fx=lnD.f7.已知23sinα=1+2cosα,α∈(2π3A.7+3516 B.?78 8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x)+f(3?x)=4，f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)，函數(shù)y=g(1+3x)?1為奇函數(shù)，則f(32)+g(2024)=A.?3 B.3 C.?1 D.1二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列運(yùn)算中正確的是(

)A.2log510+log50.25=2 B.sin420°=10.已知函數(shù)f(x)=ax+(1a)A.f(x)是偶函數(shù)

B.f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減

C.f(2x)=[f(x)]2+2

D.不等式11.把一個(gè)三階魔方看成是棱長為1的正方體，若中間層旋轉(zhuǎn)角x(x為銳角)，記表面積增加量為S=f(x)，則下列說法正確的是(

)A.f(π6)=4?233 B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π4對稱

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數(shù)f(x)=ln(x13.已知函數(shù)f(x)=2sinx?sin(x+π6)，則當(dāng)x∈[0,14.已知函數(shù)f(x)=4sinπx,0≤x≤112f(x?1),x>1，若函數(shù)y=f2(x)+2af(x)+4?a在[0,+∞)四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=a?3x+13x+b是定義在R上的奇函數(shù)(a>0,b>0)．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)16.(本小題12分)

如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)圖象的一部分．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)求方程2f(x)?3=0在x∈[0,17.(本小題12分)

哈三中文學(xué)社團(tuán)舉行知識競賽答題活動，比賽分兩輪，具體規(guī)則如下：第一輪，參賽選手從A類6道題中任選3道進(jìn)行答題，都答完后錯題個(gè)數(shù)不超過1道(否則終止比賽)才能進(jìn)行第二輪答題；第二輪答題從B類10道題中任選3道進(jìn)行答題.A類題每答對一道得10分，B類題每答對一道得30分，答錯不扣分，以兩輪總分和決定優(yōu)勝.總分80分或90分為三等獎，110分為二等獎，120分為一等獎.某班參加活動的同學(xué)A類題中只有4道能答對，B類題中，每題答對的概率均為23，且各題答對與否互不影響．

(Ⅰ)求該同學(xué)被終止比賽的概率；

(Ⅱ)現(xiàn)該同學(xué)進(jìn)入第二輪，求他在第二輪答題中得分X的分布列及期望；

(Ⅲ)求該同學(xué)獲得三等獎的概率．18.(本小題12分)

已知a，b，c分別是△ABC三內(nèi)角A，B，C所對的三邊，且acosC+3asinC=b+c．

(1)求A的大??；

(2)若c=5，△ABC的面積為103，求a，b；

19.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x(ex?1)+aex?(a+1)lnx，(a∈R)．

(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)當(dāng)a>0時(shí)，證明：f(x)>2a+1；

(Ⅲ)參考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.A

6.A

7.C

8.B

9.ABD

10.ABD

11.BC

12.(?∞,?7)

13.1+14.(?∞,?5)∪(?2015.解：(Ⅰ)∵f(x)是R上的奇函數(shù)，

∴f(?x)=?f(x)，即a?3?3?x3?x+b=?a?3?3x3x+b，

∴a?3x?3b?3x+1=3?3x?a3x+b，

∴a=3，b=1，

∴f(x)=3?3?3x16.解：(Ⅰ)由圖知：A=3，

且π24ω+φ=π2+2kππ6ω+φ=π+2kπk∈Z|φ|<π2，解得ω=4，φ=π3，

所以f(x)=3sin(4x+π3)，

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：?π2+2kπ≤4x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，

解得?5π24+kπ2≤x≤π24+kπ2，k∈Z，

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[?5π24+kπ2,π24+kπ17.解：(Ⅰ)從A類6道題中任選3道，其中1道會做，2道不會做，則被終止比賽，

所以該同學(xué)被終止比賽的概率為22C41CC63=420=15；

(Ⅱ)由題意可知，X的所有可能取值為90，60，30，0，

X9060300P8421所以E(X)=90×827+60×49+30×29+0×127=60；

(Ⅲ)該同學(xué)獲得三等獎，共有兩種情況，

第一輪得20分(答對2道)，則第二輪得60分(對2道)，

概率為12C42CC63?C32×(23)2×18.解：(1)因?yàn)閍cosC+3asinC=b+c，

由正弦定理：sinAcosC+3sinAsinC?sinB?sinC=0，

因?yàn)閟inB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以sinAcosC+3sinAsinC?sinAcosC?cosAsinC?sinC=0，

即3sinAsinC?cosAsinC?sinC=0，

因?yàn)镃∈(0,π)，所以sinC≠0，

所以3sinA?cosA=1，

所以sin(A?π6)=12，

因?yàn)锳∈(0,π)，所以A?π6∈(?π6,5π6)，

故A?π6=π6，

解得A=π3；

(2)因?yàn)镾△ABC=12bcsinA，

所以12bcsinA=103，

即12×b×5×32=103，

所以b=8，

又因?yàn)閍2=b2+c2?2bccosA=25+64?2×5×8×12=49，

所以a=7；

(3)因?yàn)閍cosC+319.解：(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x(ex?1)?lnx，f(1)=e?1，

所以f′(x)=(x+1)ex?1?1x，所以f′(1)=2e?2，

故曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=(2e?2)x?e+1；

(Ⅱ)證明：要證f(x)>2a+1，即證xex?(x+lnx+1)+a(ex?lnx?2)>0，

即證ex+lnx?(x+lnx+1)+a(ex?lnx?2)>0，

分別令g(x)=ex?x?1，?(x)=ex?lnx?2，

則g′(x)=ex?1，顯然x>0時(shí)g′(x)>0，x<0時(shí)g′(x)<0，

所以g(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以g(x)≥g(0)=0，所以ex≥x+1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取得等號，

即ex+lnx?(x+lnx+1)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x+lnx=0時(shí)取等號，

由ex≥x+1可得elnx=x≥lnx+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得等號，

即有ex≥x+1≥lnx+2，但等號不能同時(shí)取得，

所以ex?lnx?2>0，所以ex+lnx