第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京師大二附中高三（上）統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷（一）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集U={?2,?1,0,1,2,3}，集合A={x∈Z||x|<2}，則CUA=(

)A.{?1,0,1} B.{?2,2,3} C.{?2,?1,2} D.{?2,0,3}2.若i(1?z)=1，則z+z?=A.?2 B.?1 C.1 D.23.如果a>b>0，那么下列不等式一定成立的是(

)A.|a|<|b| B.1a>1b C.4.從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為(

)A.15 B.13 C.255.“空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)”是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)．當(dāng)AQI大于200時，表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動．某地某天0～24時的空氣質(zhì)量指數(shù)y隨時間t變化的趨勢由函數(shù)y=?10t+290,0≤t≤1256tA.5小時 B.6小時 C.7小時 D.8小時6.已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“SA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為(

)A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.48.有12個砝碼，總質(zhì)量為45g，它們的質(zhì)量從小到大依次構(gòu)成等差數(shù)列，且最重的3個砝碼質(zhì)量之和是最輕的3個砝碼質(zhì)量之和的4倍.用這些砝碼稱一個質(zhì)量為30g的物體，則需要的砝碼個數(shù)至少為(

)A.4 B.5 C.6 D.79.已知函數(shù)f(x)=3log2x?2(x?1)，則不等式f(x)>0的解集是A.(1,4) B.(?∞,1)∪(4,+∞)

C.(0,1)∪(4,+∞) D.(0,4)10.設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}中a??1=a，aA.當(dāng)b=12時，a?10>10 B.當(dāng)b=14時，a?10>10

C.二、填空題：本題共5小題，每小題6分，共30分。11.函數(shù)f(x)=12x?1+12.在等差數(shù)列{an}中，公差d不為0，a1=9，且a1，a4，a5成等比數(shù)列，則d=

；當(dāng)n=

時，數(shù)列13.在一次體育水平測試中，甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加，其中：甲校男生成績的優(yōu)秀率為70%，女生成績的優(yōu)秀率為50%；乙校男生成績的優(yōu)秀率為60%，女生成績的優(yōu)秀率為40%，對于此次測試，給出下列三個結(jié)論：

①甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績的優(yōu)秀率；

②甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率；

③甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定．

其中，所有正確的序號是

．14.設(shè)函數(shù)f(x)=?x,x≥a?x2+x,x<a，當(dāng)a=2時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為______；若?x∈R且x≠0，使得f(15.對于非空實數(shù)集合A，記A?={y|?x∈A,y≤x}，設(shè)非空實數(shù)集合P滿足條件“若x<1，則x?P”且M?P，給出下列命題：

①若全集為實數(shù)集R，對于任意非空實數(shù)集合A，必有?RA=A?；

②對于任意給定符合題設(shè)條件的集合M，P，必有P??M?；

③存在符合題設(shè)條件的集合M，P，使得M?∩P=?；

④存在符合題設(shè)條件的集合三、解答題：本題共2小題，共30分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題15分)

“稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當(dāng)你為未來付出踏踏實實努力的時候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”…當(dāng)讀到這些話時，你會切身體會到讀書破萬卷給予我們的力量.為了解某普通高中學(xué)生的閱讀時間，從該校隨機抽取了800名學(xué)生進行調(diào)查，得到了這800名學(xué)生一周的平均閱讀時間(單位：小時)，并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值；

(2)為進一步了解這800名學(xué)生閱讀時間的分配情況，從周平均閱讀時間在(12,14]，(14,16]，(16,18]三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記周平均閱讀時間在(14,16]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)以樣本的頻率估計概率，從該校所有學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生，用P(k)表示這20名學(xué)生中恰有k名學(xué)生周平均閱讀時間在(8,12]內(nèi)的概率，其中k=0，1，2，…，20.當(dāng)P(k)最大時，寫出k的值．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+sinx．

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值；

(Ⅲ)證明函數(shù)f(x)只有一個零點．

參考答案1.B

2.D

3.D

4.C

5.C

6.C

7.A

8.C

9.A

10.A

11.[?1,0)∪(0,+∞)

12.?25

13.②③

14.(?∞,12]15.②③④

16.解：(1)∵(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)×2=1，

∴a=0.1．

(2)由頻率分布直方圖可得：周平均閱讀時間在(12,14]，(14,16]，(16,18]三組的頻率之比為0.05：0.04：0.01=5：4：1，

∴10人中，周平均閱讀時間在(12,14]的人數(shù)為10×510=5人；

在(14,16]的人數(shù)為10×410=4人；在(16,18]的人數(shù)為10×110=1人；

則X所有可能的取值為0，1，2，3，∴P(X=0)=C63C10X0123P1131∴數(shù)學(xué)期望E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．

(3)用頻率估計概率，從該校所有學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生，周平均閱讀時間在(8,12]內(nèi)的概率p=(0.15+0.1)×2=0.5=12；

17.解：(Ⅰ)f′(x)=1x+cosx，

又f′(1)=1+cos1，f(1)=sin1，

則由點斜式可得，所求切線方程為y?sin1=(1+cos1)(x?1)，

即y=(1+cos1)x+sin1?cos1?1；

(Ⅱ)易知f′(x)=1x+cosx，令g(x)=1x+cosx，g′(x)=?1x2?sinx在[1,e]上恒小于0，故f′(x)在[1,e]上單調(diào)遞減，

且f′(1)=1+cos1>0,f′(e)=1e+cose<1e+cos2