考研數(shù)學(xué)二分類模擬題51解答題1.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：正確答案：[證明]方法一

令

因?yàn)閒(x)在[a，b]上單調(diào)增加，所以

而

故

方法二

令

由得φ(b)≥φ(a)=0，所以

2.

設(shè)f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)減少.證明：

正確答案：[證明]

當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)≤f(1)，兩邊積分得

同理相加得

當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(2)≤f(x)，兩邊積分得

同理

相加得

3.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)減少.證明：當(dāng)0＜k＜1時(shí)，正確答案：[證明]方法一

其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因?yàn)?＜k＜1且f(x)單調(diào)減少，

所以故

方法二

當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，因?yàn)?＜k＜1，所以kx≤x，

又因?yàn)閒(x)單調(diào)減少，所以f(kx)≥f(x)，兩邊積分得

故

4.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且|f'(x)|≤M.證明：正確答案：[證明]

因?yàn)?/p>

同理

于是

5.

設(shè)f(x)在[0，a]上一階連續(xù)可導(dǎo)，證明：正確答案：[證明]由微分中值定理得f(x)-f(0)=f'(ξ)x，其中ξ介于0與x之間，

因?yàn)閒(0)=0，所以|f(x)|="f'(ξ)x|≤Mx，z∈[0，a]，

從而

6.

設(shè)f'(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(1)-f(0)=1.證明：正確答案：[證明]由

得

7.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)=0.證明：

正確答案：[證明]由f(a)=0，得由柯西不等式得

積分得

8.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0.證明：

正確答案：[證明]因?yàn)榍襢(a)=f(b)=0，所以

兩式相加得

9.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，證明：

正確答案：[證明]因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)，所以|f(x)|在[a，b]上連續(xù)，令

根據(jù)積分中值定理，其中ξ∈[a，b]．

由積分基本定理，取絕對(duì)值得

10.

設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f"(x)＜0.證明：正確答案：[證明]由泰勒公式，得，其中ξ介于與t之間，從而積分得

11.

設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)且f"(x)≥0.證明：

正確答案：[證明]由泰勒公式得其中ξ介于x與之間，因?yàn)閒"(x)≥0，所以有兩邊積分得

令

因?yàn)閒"(x)≥0，所以f'(x)單調(diào)不減，于是φ'(x)≥0(a≤x≤b)，

由得φ(b)≥0，于是

故

12.

設(shè)f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0.證明積分不等式：正確答案：[證明]令再令則有

兩邊積分，得

設(shè)直線y=ax與拋物線y=x2所圍成的圖形面積為S1，它們與直線x=1所圍成的圖形面積為S2，且a＜1.13.

確定a，使S1+S2達(dá)到最小，并求出最小值；正確答案：[解]直線y=ax與拋物線y=x2的交點(diǎn)為(0，0)，(a，a2).

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

令得，因?yàn)樗詴r(shí)，S1+S2取到最小值，此時(shí)最小值為

當(dāng)a≤0時(shí)，

因?yàn)樗許(a)單調(diào)減少，故a=0時(shí)S1+S2取最小值，而S(0)=因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，S1+S2最小．

14.

求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.正確答案：旋轉(zhuǎn)體的體積為

15.

求曲線y=3-|x2-1|與x軸圍成的封閉區(qū)域繞直線y=3旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.正確答案：[解]顯然所給的函數(shù)為偶函數(shù)，只研究曲線的右半部分繞y=3旋轉(zhuǎn)所成的體積．

當(dāng)x≥0時(shí)，對(duì)[x，x+dx][0，1]，

dV1=x{32-[3-(x2+2)]2)dx=π(2x2-x4+8)dx，

16.

求橢圓與橢圓所圍成的公共部分的面積.正確答案：[解]根據(jù)對(duì)稱性，所求面積為第一象限圍成面積的4倍，先求第一象限的面積．

令則

的極坐標(biāo)形式為L(zhǎng)1：

的極坐標(biāo)形式為

令

則第一象限圍成的面積為

而

所以所求面積為

17.

計(jì)算正確答案：[解]令-sinx=u，則

18.

計(jì)算正確答案：[解]

19.

計(jì)算定積分正確答案：[解]方法一

令

方法二

令x=tant，則

20.

證明：，其中a＞0為常數(shù).正確答案：[證明]因?yàn)?/p>

所以

21.

證明：當(dāng)x≥0時(shí)，的最大值不超過正確答案：[證明]當(dāng)x＞0時(shí)，令f'(x)=(x-x2)sin2nx=0得x=1，x-kπ(k=1，2，…)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'(x)＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'(x)≤0(除x=kπ(k=1，2，…)外f'(x)＜0)，于是x=1為f(x)的最大值點(diǎn)，f(x)的最大值為f(1)．因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，sinx≤x，所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，(x-x2)sin2nx≤(x-x2)x2n=x2n+1-x2n+2，

于是

22.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且對(duì)任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]滿足：

f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2).

證明：正確答案：[證明]因?yàn)?/p>

所以

又

所以

23.

設(shè)f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f"(x)≥0，φ(x)是區(qū)間[a，b]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且證明：正確答案：[證明]因?yàn)閒"(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x-x0)．

取因?yàn)棣?x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又于是有把中，再由φ(x)≥0，得

f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f'(x0)[xφ(x)-x0φ(x)]，

上述不等式兩邊再在區(qū)間[a，b]上積分，得

24.

令f(x)=x-[x]，求極限正確答案：[解]因?yàn)閇x+m]=[x]+m(其中m為整數(shù))，所以f(x)=x-[x]是以1為周期的函數(shù)，又[x]≤x，故f(x)≥0，且f(x)在[0，1]上的表達(dá)式為對(duì)充分大的x，存在自然數(shù)n，使得n≤x＜n+1，則

而同理

所以得

顯然當(dāng)x→+∞3時(shí)，n→+∞，由夾逼定理得

25.

為清除井底污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥提出井口.設(shè)井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度為3m/s，在提升過程中，污泥以20N/s的速度從抓斗中漏掉.現(xiàn)將抓斗從井底提升到井口，問克服重力做功多少?正確答案：[解]設(shè)拉力對(duì)空斗所做的功為W1，則W1=400×3