立體幾何專題專練(一)答案

1、(I)證明：在四棱錐產(chǎn)一中，

因尸/3_底面為88,CDu平面力88,故CZ)_LP力.

由條件CZ>J_ZC,二。。，面4C.又ZEu面尸4C,二4￡，。。.

由尸4=48=8C,AABC=60",可得NC=4.：E是尸。的中點，AELPC,

:.PC^CD^C.綜上得/E_L平面PCD.

(II)解:在四棱錐尸一月6CQ中，因PZ_L底面N8C￡>,Z8u平面ZBCD,故.

又4BJ.4D,PAQAD^A,從而28,平面40.故P8在平面尸4。內(nèi)的射影為總，

從而NAPB為PB和平面PAD所成的角.

在Rt△尸4g中，AB=PA,故NZP8=45°.

所以P8和平面PZ。所成的角的大小為45°.

(III)解：過點E作垂足為"，連結(jié)

由(II)知，ZE，平面PCD,AM在平面PCD內(nèi)的射影

是EM,則

因此NZME是二面角Z-尸。一C的平面角.由已知，得NC4O=3(T.設(shè)ZC=a,得

2A/3V21V2

PA=aAD=^—a,PD=--a,AE=-a.

332

在RtA^Z)P中，?.?ZMJ.尸。，；.AMPD=PAAD,則

273

PAADa丁°25_A.人心AEV14

AM=-------=—修=--------a.在RtNx/EM中，sinAME=-----=----.

PD1AM4

2、(I)證明：連結(jié)4c交8。于。，連結(jié)OM

因為〃為力尸中點，。為ZC中點，

所以FC〃MO,

又因為MOu平面MB。,

所以尸C〃平面MB。；..............4分

(II)因為正方形Z8C。和矩形ABEF所在平面互相垂直，

所以ZEJ.平面Z8CQ

以工為原點，以為x),z軸建立空間直角坐標系，如圖取“8=1

C(1,1,O),"(0Q1),5(0,1,0)./)(1,0,0),N(*l,|)

設(shè)平面3。/的法向量為p=(x,y,z),

p,BD=0-.

—.P=(1,1,1n)-

p-BM-0

設(shè)平面的法向量為%=(x,y,z),

q-BD=O-“I〉

p--q=(1J-2)

qBN=Q

涓制夾角為e............................8分

coso=1q_=0

\p\-\q\

所以二面角V—AD—N的大小為90。。..............12分

3、(1)證明：連結(jié)A°,與AG交于O點，連結(jié)OD.

因為O,D分別為A￡和BC的中點，

所以O(shè)D〃A|Bo

又ODu平面AJD,A|B<Z平面AGD,

所以A》//平面AQD........................................4分

(2)證明：在直三棱柱ABC-ARG中，

BB,1平面ABC,又ADu平面ABC,

所以BB11AD.

因為AB=AC,D為BC中點，

所以ADJ.BC.又BCcBB1=B,

所以AD_L平面B|BCC「

又CEu平面B|BCC”所以AD_LCE

因為四邊形B|BCG為正方形，D,E分別為BC,BB1的中點，

所以RtACBEnRtAGCD,ZCC,D=ZBCE.

所以NBCE+NGDC=901所以CQJ.CE

又ADcCR=D

所以CE1平面ACR

(3)解：如圖，以B,C,的中點G為原點，建立空間直角坐標系,

則A(0,6,4),E(3,3,0),C(-3,6,0),

C,(-3,0,0).

由(II)知CE_L平面AJD,所以麗=(6,-3,0)為

平面AJD的一個法向量。

設(shè)A=(x,y,z)為平面ACC,的一?個法向量，

斤=(-3,0,-4),CG=(0,-6,0).

X

n-AC=0,一3x+4z=0,

由，可得

iicq=0,-6y=0.

3

令x=1,則y=0,z=——.

4

所以5=(1,01).

4

從而cos〈CE,n〉=口=—V5.

|CE|.|n|25

因為二面角C-AC.-D為銳角,

所以二面角C-AJ-D的余弦值為堂.

12分

4、證明：（1）證明：連結(jié)6G,交&C于E,DE.

'：直三棱柱4吐484,〃是相中點，

側(cè)面65GC為矩形，龐為的中位線，

：.DE//AG.............................2分

因為；"u平面MD,陽（Z平面MD,

??"G〃平面笈G9......................................4分

（2）ACVBC,

所以如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz.

則B（3,0,0）,A（0,4,0）,4（0,0,d）,

B、(3,0,4).

設(shè)〃(a,b,0)(.a>0,b>0),5分

BD1―?1―-

?..點〃在線段四上,且——=-,即60=—

AB55

............................7分

—?—124

所以而=（一3,0,-4）,8Z=(-3,4,0),CD=(y,-,0).

平面靦的法向量為.二=（0,0,1）8分

設(shè)平面5成的法向量為胃2=（、//），

-3x-4z=0

由B{C?n2=0,CD-772=0,得<124，

—x+—y=0

155?

4—4

所以x=-§,y=4,n2=(-y,4,l)..............................................10分

a-b3

設(shè)二面角8—CO—4的大小為e,cos611分

B

3

所以二面角8-CO-4的余弦值為一.12分

113

5、(I)

證明：如圖，連接CO,4C,..............一1分

則四邊形力8c。為正方形，..........2分

.?.0。=/8=4可，且...。。///5//4與

故四邊形48co為平行四邊形，......3分

：.A}O//B}C,................4分

又平面/qc,4Cu平面Zgc……..5分

4。//平面/4。..6分

(II)vDyA=D}D,。為/。的中點，D}O±AD,又側(cè)面底面Z8CQ,

故。。，底面為8CQ,..7分

以。為原點，Jjifoc,OD,在直線分

別為x軸，y軸，Z軸建立如圖所示的坐標

系，則。(1,0,0),D(0,l,0),

2(0,0,1)，/0,-1,0),?.8分

.?衣(1,-1,0)，西(0,-1,1),

不1),配=發(fā)=(1,-1,0),.................9分

x-y=0

設(shè)肩=(x,y,z)為平面的一個法向量，由石，皮,mJLDD1,得

-y+z=0

令Z=l,則歹=1,工=1,.=tn=(1,1,1)...........?.10分

又設(shè)3=(X1，M，ZJ為平面NCQ的一個法向量，由［，萬7,3,前，得

一%—4=o

SC，令

玉-乂=0

Z1=l,則必=一1,玉二-1,/.n=(-1,-1,1),............??11分

------1-14-111

則COS<加,〃>=—7=~f=-=一一,故所求銳二面角A—C1D1―C的余弦值為一.......12分

V3-V333

6、解：

(I)平面ABC,BMu平面ABC,，E4_LBM....................................................2分

又BM_LAC,EAcZC=4平面ACFE,

而EMc=平面ACFE,/.BM1EM................................................................................3分

???AC是圓0的直徑,NABC=90".又ZBAC=30°,AC=4,

AB=26BC=2,AM=3,CM=1....................................................................5分

：E4_L平面ABC,EC//EA,；.FC_L平面ABC.

易知AEZAl與AFCM都是等腰直角三角形.

二NEMA=NFMC=45°.ZEMF=90°,即EMJ.2WF.................................7分

MFcBM=M,：.EM_L平面MBF,而BFu平面MBF,

...EM1BF..................................................................................................................8分

(II)由⑴知，8A/_L平面ACFE,:.BMIMF,

又,:BM±AC,

...NCW為二面角C—BM—F的平面角.................................10分

在△CTWF中，由(I)知NCW=450...................................................................11分

二平面BMF與水平面ABC所成的銳二面角的余弦值為—................12分

2

7、（1）證明：因為OE_L平面Z8CD,

所以。E_L4C.

因為Z3CQ是正方形，

所以ZC_L6D,因為DEcBD=D...........4分

從而ZCJ_平面........................................6分

（2）當M是BD的一個四等分點，即4BM=BD時，〃平面BEF.....8分

取8E上的四等分點N,使4BN=BE,連結(jié)MV,NF,貝ijDE〃朋N,且￡>E=4MM

因為“尸〃DE,SLDE=4AF,所以AF//MN,且AF=MN,

故四邊形ZMA廳是平行四邊形..................................10分

所以AM〃FN,

因為AMct平面BEF,FNu平面BEF,..........................11分

所以〃平面8EF.........................12分

8、解：（1）設(shè)DF的中點為N,同MNH=CD,又AOH=CD,則MNIIAO,MNAO

=G=0=

為平行四邊形，,〃/N,又4Nu平面DAF,0平面DAF,

.?.OA/〃平面加/o

(2)過點R作產(chǎn)GL48于G,?.?平面ZBCO_L平面Z8E廠，

17

FG_L平面ABCD，；.VF_ABCD=-SABCD-FG^-FG,

?.?C8,平面,

??〃F-CBE=^C-BFE~\BFE，CB

=--EFFGCB=-FG

326

**,^F-ABCD-/八C6E=4：1

9、解：（D以4為原點，以45,4。，4P為x軸，y軸，z軸建立空間宜角坐標系,

—>

設(shè)48=1,則尸4=4。=2,又設(shè)|AE|=y,貝U：PC=(1,2-2)=(-l,y,0)

——I

由PC^BE=0,可得1x(—1)+2y+(—2)x0=0,解得y=~

TaT1

又：AE=A,AD=>A--

4

f1

(ID由(I)知面尸4C的法向量為8￡=(—1，5,0)

又因為8%=(-1,0,2)

設(shè)PB與面PNC所成的角為a,貝ij：

.\BE?BP\|1+|X0+0X2|

2,aw0二71

sina=七-------廣="f"=------------------------------------------

成ITBPIJ.+；+().+0+452

2

所求P3與面PNC所成的知的正弦值為一

5

10、

解KD以A為原點，建立如圖所示的坐標系6軸〃CB),則A(0,0,0),D(0,0,

2),8(2,2,0),6:(2,0,0),從而七(1,0,1),尸(1,1,0),所以

祀=(2,0,0),即=(0,1,-1),...........................................................3分

所UXC?群=2X0+0Xl+0X(-1)=0,所防為_群，因此AC_LEF.…，6分

(2)因為AC=CB且F為AB的中點，所以CF_LAB,又CFJ_AD,從而CF_L平面

AB。,故元=(1,-1,0)為平面ABD的法向■.又AD^AC,E^CD中點，所以

AE_LCD,又因BC_L平面ACD,所以AE_LBC,從而AEJL平面BCD,

故A5=(l,0,1)為平面BCD的一法向量，...........................附分

^必=18^=；1^=小......................U分

二面角C-DB-A為60。12分

11、

連4C,交5。于N

由40〃5c可福.MNQs耶NC、

AQAN1

"""=----二一

BCNC2................2分

H學存*H內(nèi)工1箕共4頁

?:PM=；PC;.PAUMN.............4分

?：PAHMBQ.........................6分

(2)由PA?PO-AD=2.Q為AD的中點.MPQL

AD..7分

乂平面PAD_L平SiABCD,所以PQL平面ABCD.

連80,

四邊形ABCD為菱形.

VAD-AB.ZBAO-60'ZXABD為正三角形.

Q為AD中點..,.ADXBQ..................8分

以Q為坐標*點,分別以QA、QB.QP所在的直線為

x,y,z?.建立如圖所示的坐標系.則善點坐標為

A(1.0.0).B(0,6,0).Q(0.0.0).P(0.0.5

設(shè)平面MQB的法向量為；可得

n-QB=0n?QB=0

,vPAMMN,：,《

n-MN=0n-PA=0

取2sl.解得"=(10分

取平面ABCD的法向量而,(0,0,設(shè)所求二面角為&，

出皿。?宴里故二面角“一80-C的大小為&T....................12分

311"12

12、（1）證明：因為四邊形ABCD是菱形,

所以AC_L8D.

因為PA_L平面ABCD,

所有PAJ.BD.........................................2分

又因為PACAC=A,

所以3口_1_面PAC................................3分

而BDu面PBD,

所以面PBD1面PAC.............................5分

（2）如圖，設(shè)ACcBD=O.取PC的中點Q,連接0Q.

在AAPC中，AO=OC,CQ=QP,0Q為△APC的中位線，所以O(shè)Q//PA.

因為PA_L平面ABCD,

所以O(shè)QJ.平面ABCD,...................................................................................6分

以O(shè)A、OB、OQ所在直線分別為X軸、z軸，建立空間直角坐標系O-孫z.

則J（V3,0,0}5（0,l,0）,C（-73,0,0）

P（V3,0,2）................................................................................................................7分

因為BO_L面PAC,

所以平面PAC的一個法向量為OB=（0,1,0）.....................................................8分

設(shè)平面PBC的一個法向量為7=(x,y,z),

而就=(-V3,-l,0)麗=(-百,1,-2)

n±BC,-y[3x-y-0,

由〈一一得《「"

n±PB,[-y/3x+y-2x=0.

令x=1,則y=-瓜z--JJ.

所以1為平面PBC的一個法向量........................10分

cos<OB,n>

05x|tt||lxJl+3+3

所以銳二面角A—PC—B的余弦值為——12分

7

13、解：連AC交BQ于N,由AQ〃BC可得,

\ANC\BNC,=—=-....2分

BCNC2

PM=-PC,:.PA//MN...4分

3

:.PA//MBQ...............6分

⑵由PA=PD=AD=2,Q為AD的中點,則PQ_LZ。.......7分

又平面PADJ_平面ABCD,所以PQL平面ABCD,連接BD,

則四邊形ABCD為菱形vAD=AB,ZBAD=60°,A48O為正三角形

0為工。的中點,AD±BQ.......8分

以Q為坐標原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為x,y,z軸，

建立如圖所示的坐標系，則各點坐標為A(1,O,O),B(O,S，0),

Q(0,0,0),P(0,0,而),

設(shè)平面MQB的法向量為n=(x,y,z),nJ得

[nQB=0nQB=0f-\/3y=0

1-PAHtJ

[nMN=0=0bGz=0

取z=l,解得：=(VJ,0,l)……10分

取平面ABCD的法向量

QP=（0,0,百），設(shè)所求的二面角為6,則cos。=/=-

311〃12

故二面角的大小為600.........12分

14、（I）證明：在△49C中，因為/廬5,A（=4,叱3、

所以Ad+B?=AS,所以ACA.BC.

因為直三棱柱/吐464,所以CGVAC.

因為BCCAC=C,所以4CJ_平面684C.

所以ACLB^C.........4分

（II）證明：連結(jié)陽，交6c于E連接施

因為直三棱柱4冊464,〃是4?中點，

所以側(cè)面66KC為矩形，比,為的中位線,

所以DE//AQ.

因為龐u平面AG9,平面55,

所以〃平面80.......8分

(III)解：由(I)ACLBC,如圖，以。為原點建立

空間直角坐標系C-xyz.則8(3,0,0),/(0,4,0),

4(0,4,4),By(3,0,4).

設(shè)〃(a,b,0)(<7>0,6>0),

因為點〃在線段4?上，且些=’,即麗

AB33

4―?4——,而=(2,g,0).

所以。=2,b=~,BD=(-1,-,0),C5,=(3,0,4),

平面加9的法向量為勺=(0,0,1).設(shè)平面〃切的法向量為?=(x/,D，

3x+4=0

由CB1n2=0,CDn2=0,得4

2x+—y=0

4—43

所以x=—,y=2〃2=(—,2,1).所以cos0=,^H__=—j=

3f3kk向

所以二面角B-CD-B,的余弦值為孑叵.

12分

161

15、(I)證明：因為四邊形488是菱形，所以

又因為以上平面N8CZ),所以以_L8Z),

所以8￡>_L平面R1C...................4分

(II)^.AC^BD=O.因為NB/D=60。，PA=AB=2,所以80=1,AO=CO=事.

如圖，以O(shè)為坐標原點，OB、OC所在直線及過點。且與以平行的直線分別為x軸、

y軸、z軸建立空間直角坐標系。一孫z,則

P(0,一小，2),A(0,一5,0),B(1,0,0),C(0,5,0).

所以=(1,小,—2),=(0,2^3,0).

設(shè)PB與ZC所成角為仇則

C6亞。八

。加=藥西............8分

(III)由(II)知=(-1,小，0).

設(shè)尸(0,一小，t)(?>0),則=(一1,一小，/).

設(shè)平面P8C的法向量，〃=(x,y,z),則7n=0,切=0.

f—x+y/3y=0,_g

所以<令丫=5,貝ljx=3,z=~,

1

<—x—yl3y+tz=0f

所以加=(3,市，yj.

同理，可求得平面POC的法向量”=(一3,小，習.

因為平面尸8c，平面PDC,所以“〃=0,即-6+票=0.解得/=,.

所以當平面蹴'與平面R笫垂直時，為=乖.................12分

16、解：(1)找BC中點G點，連接AG,FG

/.F,G分別為DC,BC中點

.,.FG^-DBi'EA

2

：.四邊形EFGA為平行四邊形；.EF//AG

；AE_L平面AE：.DB1平面48c

又：Z)8u平面88

平面ABC_L平面BCD

又；G為BC中點且AC=AB=BC；.AG1BC

.*.AG_L平面BCDAEF1平面BCD

(2)以H為原點建立如圖所示的空間直角坐標系

則,0,0),E(0,——,1),ED(-,1),CF(--^-,—,1)

設(shè)平面CEF的法向量為n=(x,y,z),

與1

_

CE?n=-22

由,旦1

_

CF?n=-44

平面ABC的法向量為u=(0,0,1)

則cos(n,u)=P上=；=—

|n||u|755

...平面角ECD和平面ACB所成的銳二面角的余弦值為乎

17、(1)以C為坐標原點建立空間直角坐標系C—xyz,則

11-----------------11

出(O,I,I)，G(O,O，I)，55,5,O)，則4片=(—U，O)，CQ=(2,5，T)，

則病?章=o,所以漉,標，則4用_LG。............6分

py111

(2)"(l,0，+),E(0，w，0)屈=(-,0,0),ME=(-1,-,-^),

設(shè)3=(xj,z)為平面MDE的一個法向量,

—x=0

=0

則ri.|n__-_E_D_.，即<nrt2

n-ME-01出?

-X+—V----2=0

2.2

令y=百，則x=0,z=1,所以〃=(O,V3,1),........10分

又°GJ■平面0E4CG=(o,o,i),

COS<H,,CCX>-—,

所以M-DE-A的大小為工

3

18、解：(1)取BD的中點P,連結(jié)EP、FP,則PF1工。。，

2

又AEA^PF,................2分

2

.?.四邊形AFPE是平行四邊形，；.AF〃EP,

又EPu面BDE,AF<Z平面BDE,

；.AF〃面BDE..................................4分

(II)以CA、CD所在直線分別作為x軸，z軸，以過C點和AB平行的直線作為y軸，建立

如圖所示坐標系...............5分

由。C=4C=2/E=2可得：A(2,0,0,),B(2,2,0),E(2,0,1),D(0,0,2)

則下=(0,2,0),礪=(0,-2,1),55=(-2,-2,2).............6分

?.?面/CDEJ?面Z8C,面48￡0面/8。=/。,〃臺，/。，，48_1面48七.

.?.方=(0,2,0)是面CDE的一個法向量.....................8分

設(shè)面瓦化的，個法向量n=(x,y,z),則n_L而，nLBD.

=0f-2y+z=00

nB——E即<ccc八整理，得[42y-z=八令y=l,則z=2,x=l,

nBD=0,[_2x_2y+2z=0,[x+y-z=0.

所以2)是面CDE的一個法向量.10分

ABn1x2_8

故cos〈Z8,〃〉=

~~6~

Win2XV12+12+22

/7

圖形可知二面角B-DE-C的平面角0e（0,-）,所以其余弦值為—.12分

26

19、

TT

解：（I）在梯形中，由AB=BC,得NB4C=J

4

TT

：.ZDCA=ZBAC=-.又ZCLZ。，故ADZC為等腰直角三角形.

4

DC=y[2AC=V2（V2^5）=2AB.

連接3。，交AC于點、M,則”=生=2.

MBAB

PD〃平面胡C,又平面E4Cn平面尸。8=ME,：.PDHEM

PE_DM

在ABPD中,=2,

即0E=2E8時，P?！ㄆ矫婕癈6分

（II）方法一：在等腰直角APAB中，取。8中點N,連結(jié)4N,則4N，尸8.；平面PAB

，平面PCS,且平面P48n平面尸C8=P8,4NL平面P8C.

在平面P3C內(nèi)，過N作NH_L直線CE于〃，連結(jié)由4NLCE、NH1CE,

得CE_L平面4M7,故4"V就是二面角Z—點一尸的平面角.

在火/APBC中，設(shè)CB=a,則PB=《PA?+AB）=缶,

1V21V2

BE=-PB=—a,NE=—PB=Ja,

3366

CE=dCB?+BE?=-a,

3

NHCR

由NH1CE,￡8_LC8可知：\NEH\CEB,：.-=—

NECE

a

代入解得：NH

V22'

在RfAAHN中,AN=—a,

2

tanZAHN=里=舊，

NH

/TKJ1A/3

cosZAAHIN=-/=——.

Vll+l6

二面角力一CE—尸的余弦值為立.12分

6......................

方法二：以Z為原點，28,4尸所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標系.

設(shè)PA=AB=BC=a,則N(0,0,0),B(0,a,0),

C(a,a,0),P(0,0,a),中,消).

設(shè)*=(x,y,l)為平面EZC的一個法向量，

則*1?就，。萬，

ax+ay=0,1】

，<laya，解得N=；/=一彳，

--1—=0.n22

I33

，7=4一小).

設(shè)a=(">//)為平面心。的一個法向量,

則n2LBC,n2IBP,

ax1=0,

又8C=(a,0,0),BP=(0,-6f,tz),；.<,，解得x=0,V=l

-ay+Q=0,

一一4?%V3

n=(0,1,1).cos<>=~三一

26

二面角A-CE-P的余弦值為—12分

6

20、證明:⑴取DED中點G,建系如圖,則A(0,m,0)、B(0,-l,0)>C(l,0,0)>

D(-l,0,D,Ed,O,3)>F(0,低2)、G(0,0,2),

DE=(2,02),DF=(l,73,0.

設(shè)平面DEF的一法向量益二(x,y,z),

—>—)

:亭0即x+z=0

則＜x+餡y+z=0,不妨取x=l,則y=°，z=T，

m*DF=0

.??■=(1,0,-1),平面ABC的一法向量能(0,0,1),.=(0,小,0).

0A?n=0,/.otkn.X0A(Z平面DEF,...OA//平面DEF.

⑵顯然,平面BCED的一法向量為7=(0,1,0),7?禧0,?,?平面DEFL平面BCED

⑶由⑴知平面DEF的一法向量1=(1,0,T),平面ABC的一法向量3=(0,0,1),

TT

->、m?n3

cos<m,n>=-----

Im|*|n|2

...求平面。EF與平面28。相交所成銳角二面角的余弦值為乎.

AC

21、解法一：向量法

由ADL面DEFG和直角梯形EFGD可知，AD、DE、DG兩兩垂直，建立如圖的坐標系，

則A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0),F(2,1,0)

(I)5F=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1-2)

CG-(0A0)-(0,l,2)=(0,l,-2)

：.BF=CG,即四邊形BCGF是平行四邊形.

故四點B、C、F、G共面.............4分

(2)FG=(0,2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0),

設(shè)平面BCGF的法向量為*=(x,y,z),

nCG-y-2z-0

則《x

n}FG=-2x+y=0

令y=2,則1=(1,2,1),

而平面ADGC的法向量4=/=(1,0,0)

1x1旦

cos<n,n>=

]2222222

II,I?21Vl+2+1xV1+0+06

故面ADGC與面BCGF所組成的二面角余弦值為巫

8分

6

(3)設(shè)DG的中點為M,連接AM、FM,則%面體ABC-DEFG一展棱柱ADM-BEF+"三核柱ABC-MFG

-DEXS&ADM+4DxS&MFG=2x—x2xl+2x—x2xl=4.12分

22

解法二:(1)設(shè)DG的中點為M,連接AM、FM,則由已知條件易證四邊形DEFM

是平行四邊形，所以MF//DE,且MF=DE

XVAB//DE,且AB=DEAMF/ZAB,且MF=AB

，四邊形ABMF是平行四邊形，即BF//AM,且BF=AM

又；M為DG的中點，DG=2,AC=1,面ABC//面DEFG

/.AC//MG,且AC=MG,即四邊形ACGM是平行四邊形

.?.GC//AM,且GC=AM

故GC//BF,月.GC=BF,

即四點B、C、F、G共面?4分

(2)?四邊形EFGD是直角梯形，ADlffiDEFG

ADEIDG,DEJ_AD,即DE_L面ADGC,

VMF//DE,且MF=DE,；.MF_L面ADGC

在平面ADGC中，過M作MNJ_GC,垂足為N,連接NF,

顯然NMNF是所求二面角的平面角.

?.?在四邊形ADGC中，AD±AC,AD_LDG,AC=DM=MG=1

5+4-5_M

CD=CG=y/s,

2xGCxGD2xV5x25

2/c

/.sinADGC=述???MN=MG?sinZDGC=上

5

DMG

2V5

在直角三角形MNF中，MF=2,MN=

-5-

AtanZMVF=—==75,cosZMVF=—

MN2V56

5

故面ADGC與面BCGF所組成的二面角余弦值為逅................8分

6

（3）%多面體ABC-DEFG一0:棱柱ADM-BEF+':段柱ABC-MFG一DEXS△加+ADXS^MFG

=2x—x2xl+2x—x2xl=4.

22

22、解：依題意可知，441_L平面ABC,ZBAC=90°,

空間向量法如圖建立空間直角坐標系。一町z，因為N8=4C=441=4,

則A(0,0,0),5(4,0,0)￡(0,4,2),0(2,2,0),B,(4,0,4)

(I)~Bp=(-2,2,-4),￡O=(2,-2,-2),而=(2,2,0)

即反:(-2)x2+2x(-2)+(-4)x(-2)=0,：.BpiEO,J.B.OLEO

葩方=(-2)x2+2x2+(-4)x0=0,.?.西1瓦：.B,OLAO

?：AOC\EO^O,NO,EOu平面力EO/.60，平面4EO(4分)

（II）平面人￡0的法向量為用。=（一2,2,-4）,設(shè)平面B|AE的法向量為

n-AE=02y+z=0

n=(x,y,z),_即__V

x+z=0

n'BtA=Q

令x=2,則z=-2,y=L/.z=(2,1,-2)

6_V6

cos＜力而＞="?處L

四18。79x724-6

二面角B,—AE—F的余弦值為逅

(8分)

6

(III)因為花的=2x2—2x2+0=0,：.AOLEd,AO±EO

VAOH~AOHV22+22+0=2V2,EO=|函=26

-^-AOE