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文檔簡介
2024屆山東實驗中學(xué)高三5月高考模擬數(shù)學(xué)試題+答案
絕密★啟用并使用完畢前
2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(模擬)
數(shù)學(xué)試題
本試卷共4頁,19題,全卷滿分150分??荚囉脮r120分鐘。
注意事項:
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改
動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上處寫在
本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項
是符合題目要求的。
1.已知集合M={#|-|y=>/x—1},則MflN=
A.{x|l<x<2}B.(x|x<-l)
C.{z1《”<2}D.{n|%V1或1>2}
2.若復(fù)數(shù)z滿足(1—2i)z=10—5i,則z=
A.-4+3iB.4+3iC.-4—3iD.4—3i
工2
3.已知直線=入+1,橢圓C:了+/=1,則“%=0”是“Z與C相切曲
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
4.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了“圓柱容球”定理.圓柱形容器里放一個球,該球頂天立地,四
周碰邊(即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切),球的體積是圓柱體積的三分之二,球的表
面積也是圓柱表面積的三分之二.在一個“圓柱容球”模型中,若球的體積為8代冗,則該模
型中圓柱的表面積為
A.127cB.16KC.247rD.367r
高三數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)
6.某班元旦晚會中設(shè)置了抽球游戲,盒子中裝有完全相同的3個白球和3個紅球.游戲規(guī)則如
下:①每次不放回的抽取一個,直至其中一種顏色的球恰好全部取出時,游戲結(jié)束;②抽取3
次完成游戲為一等獎,抽取4次完成游戲為二等獎,則甲同學(xué)獲得二等獎的概率為
A?20B14cU310D-25
7已知cos(a—三)-cosa=—,則sin(2a+-)=
O00
A7R72424
A-25R-25Cp-25D--25
8.已知雙曲線E:與一[=1(Q>0,6>0)的左、右焦點分別為K,F(xiàn)z,過F2的直線與E的
ab
右支交于A,B兩點,且|BFz|=2|AF/,若而?施=0,則雙曲線E的離心率為
A.V3'/C.緝D.半
66J
二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的四個選項中,有多項符
合題目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。
9.已知向量a三(1,痣),b=(-2,0),則下列說法正確的是
A.a?b=2、'B.a與b的夾角為
'1
C.QJ_(a+2b)D.a+b在b上的投影向量為—b
10.已知函數(shù)/(x)=asin2x+cos2x的圖象關(guān)于直線1=y對稱,則下列結(jié)論正確的是
A.”竺)=0
b—nifj
B.為奇函數(shù)
C.若八1)在[一加9m]單調(diào)遞增,則0<m</
1Sir
D./(x)的圖象與直線?=春力一方有5個交點
u乙4
11.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù):1,1,2,3,5,
8,13,21,….該數(shù)列的特點如下:前兩個數(shù)均為1,從第三個數(shù)起,每一個數(shù)都等于它前面
兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列,若用F(〃)(〃£ND表
示斐波那契數(shù)列的第?項,則數(shù)列{F(Q}滿足:F(l)=F(2)=1,F(n+2)=F(〃+D
+F(〃).則下列說法正確的是
A.F(10)=34
B.3F(n)=F(n-2)+F(n+2)(n>3)
C.F(1)+F(2)H-----FF(2023)=F(2025)-l
D.LF(1)]2+[F(2)]2H-----|-[F(2023)]2=F(2023)-FC2O24)
高三數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.已知(ax-2)(1+7)4的展開式中常數(shù)項為一2,則實數(shù)a的值為.
13.使得不等式Vlogw和6a<a6均成立的一組a,6的值分別為.
14.已知函數(shù)/(x)=lnx,若存在實數(shù)對(與,“)滿足0V孫Vw&40=1,2產(chǎn)?,九),且
£f(W)(孫),則使得了i+以+…+V口”成立的正整數(shù)〃的最大值
為.
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.(13分)
某體育學(xué)校為儲備人才,準(zhǔn)備通過測試(按照測試成
績高分優(yōu)先錄取的原則)錄用學(xué)生300人,其中測試成績
前100名的學(xué)生為第一梯隊,剩余的200名學(xué)生為第二
梯隊.實際報名學(xué)生為100。人,測試滿分為100分.測
試后,對學(xué)生的測試成績進行了抽樣分析,得到如圖所示
的頻率分布直方圖.
(1)估計此次測試的平均成績;
(2)試估計該學(xué)校本次測試的錄取分數(shù),并判斷測試成績?yōu)?8分的學(xué)生甲能否被錄???
若能被錄取,能否進入第一梯隊?
16.(15分)
2
從①生=”立薩2,②包骷耳=二,③2asin1=V36sinA這三個條件
bcosBsinB+sinCa2
中任選一個,補充在下面的問題中.
已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且.
(D求角B的大小;
(2)若A的角平分線交邊BC于點。,且AD=V^,c=2,求邊6.
注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.
高三數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)
17.(15分)
如圖,在菱形ABCD中,NBAD=60°,E是AD的中點,將AABE沿直線BE翻折使點
A到達點A1的位置,F(xiàn)為線段A】C的中點.
(1)求證:DF//平面A.BE;)小
(2)若平面A.BE±平面BCDE,求直線A.E與平面A】EC所A
成角的大小.口石的當(dāng)。
18.(17分)
已知拋物線E:/=2p蚊p>0)經(jīng)過點P(l,2).
(D求拋物線E的方程;
(2)設(shè)直線y=忘十6與E的交點為A,B,直線PA與PB傾斜角互補.
(i)求生的值;(ii)若mV3,求△PAB面積的最大值.
1㈤完一目,—布.
19.(17分)
在信息理論中,X和Y是兩個取值相同的離散型隨機變量,分布列分別為:P(X=z.)=
■一
7nn
m,,P(Y=x.)=n,,m,>0,nt>0,£=1,2,…,〃,X:=S?=1?定義隨機變量X的信
i-li?l
nn切
息量H(X)=一之./密叫,X和Y的“距離”KL(XII丫)=2帆/。gz
,^)iVFni
(1)若X?,求H(X);
(2)已知發(fā)報臺發(fā)出信號為0和1,接收臺收到信號只有0和L現(xiàn)發(fā)報臺發(fā)出信號為0的
概率為p(0V/>VI),由于通信信號受到干擾,發(fā)出信號0接收臺收到信號為0的概率為q,發(fā)
出信號1接收臺收到信號為1的概率為q(0VqVD?,
(i)若接收臺收到信號為0,求發(fā)報臺發(fā)出信號為o的概率;(用P,q表示結(jié)果)
(H)記隨機變量X和Y分別為發(fā)出信號和收到信號,證明:KL(X|Y)>0.
高三數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)
2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(模擬)
數(shù)學(xué)試題參考答案
一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只
有一項是符合題目要求的。
題號12345678
答案ADCDCCBB
二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的四個選項中,有
多項符合題目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得。分。
題號91011
答案CDBCDBCD
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.0;13.3,2,答案不唯一;14.4.
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟二
15.【解析】
(1)此次測試的平均成績?yōu)椋?/p>
0.2x65+0.3x75+0.4x85+0.1x95=79;.......................5分
(2)由題意可知,錄取率為0.3,能進入第一梯隊的概率為0.1;.......7分
設(shè)錄取分數(shù)為x,因為分數(shù)落在[90,100]的概率為0.1,
分數(shù)落在[80,90)的概率為0.4,
所以XG[80,90),令0.1+(90—x)x0.04-0.3,解得x=85,......10分
所以錄取分數(shù)大概為85分,進入第一梯隊的分數(shù)大概為90分,
所以學(xué)生甲能被錄取,但不能進入第一梯隊....................13分
16.【解析】
若選擇①
(1)因為£±即=8虱兀-0,
bcos8
由正弦定理得sinB8sC+8sBsinC+2sinAcos8=0,............2分
所以sin(B+Q+2sinAcos8=0,BPsinA(2cosB+1)=0,
-1-
從而cosB=?5分
2
因為8w(0,兀),所以8=與.7分
(2)在△A3O中,
sinBsinZADB
所以sin/A如喏邛,,
10分
所以乙4。8=二,所以N84D=ND4C=E
412
所以ZAC8=N8AC=E,13分
6
所以△A8C是等腰三角形,且。=。,
所以b=2acos¥=25/5.15分
6
若選擇②
/八FEIJU-.sinA+sinCb-c
U)因為浙商二丁
由正弦定理得從=/+。2+比,2分
又由余弦定理b2=a2+(T-2accosB,
從而cosB=—5分
2
8e(O,兀),所以笈=與7分
(2)同①中第二問.
若選擇③
(1)因為24§/3=5/5戾m從,所以。(1一8s8)=Gbsin4,
由正弦定理得sinA(l-cos8)=\/5sin8sinA,2分
整理得gsinB+cos8=l,所以sin(8+%5分
2
因為8?0,兀),所以8+三£但,=],
6\66J
所以B+2=亞,所以3=生..................................7分
663
(2)同①中第二問.
17.【解析】
(1)取線段48的中點為H,連接E","/,
因為尸為線段AC的中點,所以FHBC,且FH=;BC;........2分
又E是AO的中點,所以即BC,且E£)」8C;
2
所以FH,且ED=FH,故四邊形EOF”為平行四邊形;
所以O(shè)F,EH,................................................5分
平面ABER平面8CDE=8E,
所以平面8CDE.........................................8分
以E為原點,£B,ED,E4.分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AB=2,則七(0,0,0),A(°,°J),8(6,0,0),。(6,2,0),
則%=(0,0,1),8A=(-75,0,1),8c=(0,2,0),...........9分
設(shè)平面ABC的法向量為〃=(x,y,z),則卜陰二°,即卜入+z=0,
wBC=O⑵,=o
取x=l,則〃=(1,0,相),.....................................11分
設(shè)直線AE與平面A6C所成角為6,
〃?日二
則sineTcosv%%>|=6.......................13分
|n||£4,1-T
所以直線4七與平面ABC所成角為申15分
18.【解析】
(1)由題意可知,4=2p,所以"=2,............................2分
所以拋物線E的方程為y2=4x.................................4分
(2)(i)設(shè)人(西,乂),35,)’2),將直線A8的方程代入丁=41得:
Ar2%2+(2kni-4)x+m2=0,所以玉十%=土|處,玉%=g,.....6分
因為直線PA與P8傾斜角互補,
所以原八+原8=^^+^^="2+加2+5+&2=0,
/一1再一1七一1%一1
即21+伏+加一2)(—!—+—!—)=2攵+(&+切-2)*+々——=0,
JG-1%-1(電-1)(內(nèi)—1)
4-2km-21cl
所以24+(2+加一2)—土的*——=o,
(k+m-2)(%+m+2)
即2k+‘-2km-2k-=0,所以H=T;.........................10分
k+m+2
(ii)由(i)可知f一(2〃?+4)工+加2=0,所以%+w=4+2〃z,x/2=〃/,
則[48|=J1+1](X[+電了-4中3=4夜,1+?
因為△=(2,〃+4)2-4帆2>0,所以/〃>一1,BP-1</n<3>
又點P到直線AB的距離為坦*,
x/2
所以S=」4&JTT正與型=2拓二^而訪,................13分
2<2
因為(3-m)2{m+1)=g(3-m)(3-m)(2m+2)?
1.3-m+3-m+2tn-232
-(------------------yx3=—,
2327
所以S.巫,當(dāng)且僅當(dāng)3-,〃=2,〃+2,即加=1時,等號成立,
93
所以面積最大值為迥................................17分
9
19.⑴解:因為X~8(24),
2
所以X的分布列為:
X012
\_
P
424
(3分)
所以H(X)=-(—log2—+—log2—+—log2—)=—.(4分)
■,14r/rl"1"4
(2)(i)解:記發(fā)出信號。和1分別為事件4收到信號。和1分別為事件1,
則P(4)=P1,尸(4)=1一〃,(5分)
p(綜14)=尸(414)=夕,尸(414)=?(為14
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