人教A版(2019)必修第二冊(cè)8.4空間點(diǎn)、直線、平面之

間的位置關(guān)系

一、單選題

1.在三棱錐A-BCD中，BCD,BCLBD,AB=BC=BD=2,E,尸分別是

BC,A。的中點(diǎn)，則直線AE與CF所成角的余弦值為()

A2A/30口2730「A/30D.-叵

15151515

2.已知直線/、m、〃與平面a、p,給出下列四個(gè)命題:

①若加/〃，〃///,則相〃“；

②若m_La,rn/1[3,則。_L尸；

③若mlla,nlla,則加〃九；

④若機(jī)_L尸，aL(3,則相//a；

其中假命題是

A.①B.②C.③D.③④

3.設(shè)氏萬是兩個(gè)不同平面，根力是兩條直線，下列命題中正確的是()

A.如果m_L〃，mLa,n///3,那么a_L4

B.如果m_L幾，mLa,n工f3,那么?！ㄊ?/p>

C.如果加〃幾，m-La,〃-L尸，那么?！?7

D.如果。〃尸，加與a所成的角和〃與￡所成的角相等，那么利//〃

4.已知直線機(jī)u平面a,Pim,Q^m,貝!j()

A.Pia,QUaB.PUa,QiaC.Pia,QtaD.QGa

5.如果直線/,根與平面。，尸，/滿足/=分口九/〃a,根ua和機(jī)_L7,那么必有

A.?-L/SZ±m(xù)B,a_L7且mil(3

C.mH。旦11mD.all/3旦a1/

6.若點(diǎn)。在直線b上，b在平面。內(nèi)，則。，b,。之間的關(guān)系可記作()

A.QebeaB.QebuaC.QubuaD.Qubea

7.如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，AECD為正三角形，平面ECD，平面

ABCRM是線段中的中點(diǎn)，則

A.BM=EN,且直線是相交直線

B.BM手EN,且直線9公硒是相交直線

C.BM=EN,且直線硒是異面直線

D.BM于EN,且直線是異面直線

8.已知的〃是不重合的直線，。，B，/是不重合的平面，則下列命題為真命題的是

()

A.a",/〃/,則a///

B.mua,nua,mllB，nll/3,則分

C.alip,yll(3,則///a

D.a1/3,mL/3,則祖〃a

9.已知三條不同的直線/,九九和兩個(gè)不同的平面。，夕，則下列四個(gè)命題正確的是

()

A.若mlla,ntla,則成/〃B.若根///,mua,貝lj///a

C.若///a,1///3,則a〃尸D.若///a,1工。,則。，尸

10.已知直線/，平面。，直線機(jī)u平面￡,給出下列命題：

①)all。=>/_L機(jī)；

②a_L萬=>H/m；

③Ulm=>a_L4；

@1Vm^alip.

其中正確命題的序號(hào)是()

A.①②③B.①③C.②③D.①③④

11.在正方體ABCD-A4GQ中，M是正方形ABCD的中心,則直線4。與直線

與M所成角大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

12.在直三棱柱A3C-A瓦G中，點(diǎn)M是側(cè)棱CG中點(diǎn)，

BC1BA,BC=BA=AA1^2,則異面直線8M與所成角的余弦值為（）

AV10R715「病口如

10151212

二、填空題

13.給出下列命題：

①若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；

②若兩個(gè)不同的平面垂直于一條直線，則這兩個(gè)平面互相平行；

③若一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線互相垂直.

其中所有正確命題的序號(hào)為.

14.不重合的兩個(gè)平面最多有條公共直線

15.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著，書中記載了一種名為“芻薨”的五面體（如

圖），其中四邊形A3CD為矩形，EF//AB.若AB=3EF,AADE和ABCr都是正三角

形，且A￡>=2EF,則異面直線AE與CF所成角的大小為.

16.在棱長(zhǎng)為4的正方體A8CO-A與GR中，E,尸分別是BC和G2的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)

A,瓦尸的平面把正方體截成兩部分，則截面與&CC內(nèi)的交線段長(zhǎng)為

17.如圖，正方體ABCD-A瓦G2的棱長(zhǎng)為1，尸為BC的中點(diǎn)，。為線段CG上的動(dòng)

點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,。的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是

（寫出所有正確命題的編號(hào)）.

①當(dāng)。<CQ<g時(shí)，S為四邊形；

②當(dāng)CQ=g時(shí)，S為等腰梯形；

31

③當(dāng)時(shí)，s與G2的交點(diǎn)R滿足6尺=§；

3

④當(dāng)<CQ<1時(shí)，S為六邊形

4

三、解答題

18.正四棱柱ABC。-A4G，中，AB=4,M=8,E為CG中點(diǎn)，01為下底面正

⑴異面直線AB與E0,所成角的余弦值；

⑵二面角C-AB-。的余弦值；

⑶點(diǎn)。1到平面ME的距離.

19.如圖所示，等腰直角三角形ABC中，NA=90。，BC=①,DALAC,DA±AB,

若D4=l,且E為ZM的中點(diǎn).求異面直線BE與CQ所成角的余弦值.

D

B

C

20.如圖，已知直三棱柱ABC-A4G，ABVAC,45=2,AC=4,相=2,E,

廠是4月和AG上的兩點(diǎn)，且A]E=i,EF=卮

(1)證明：B,C,E,尸四點(diǎn)共面；

⑵求點(diǎn)A到平面BCE的距離.

21.如圖所示，在空間四邊形ABC。中，E,尸分別為AB,的中點(diǎn)，G,X分別在

BC,CD上，且36:呢=。"："。=1:2.求證：

⑴旦￡G、8四點(diǎn)共面；

Q)EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.

參考答案:

1.B

取CE,AF,AC的中點(diǎn)分別為M,N,G,作N0L3O于O,連接MG,GN,MN,MO,

由直線AE與CF所成角即為GM與GN所成角，利用余弦定理求解cos/MGN即可

【詳解】

取CE,AF,AC的中點(diǎn)分別為M,N,G,作于O,

連接MG,GN,MN,M0,如圖，

由中位線性質(zhì)可得GM〃AE,GN//CF,得直線AE與CP所成角即為GM與GN所成角,

根據(jù)題意得:

GN=；CF=.+增一科千=冬

MN=4MO?+NCP^MB1+BO2+NO1

GM-+GN2-MN22屈

/.cosXMGN=

2GMGN15

/.直線AE與CP所成角的余弦值為迥.

15

故選：B

2.D

答案第1頁，共14頁

根據(jù)空間直線和平面平行或垂直的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

①若m//1,n!H,則根據(jù)公理4可知〃z〃“成立；

②若mla,,則C#成立；

③若,rdla,則力篇〃可能平行、相交或異面，故③錯(cuò)誤；

④若"?_1_尸，a1/3,則〃〃/口或mua,故④錯(cuò)誤；

故③④是假命題.

故選：D.

本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)空間直線和平面之間的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

3.C

A.由加_L",m_La,得到M/e或〃ua,再利用平行于同一直線的兩平面的位置關(guān)系判

斷；B.由〃z_La,得到〃〃a或"ua,再利用面面垂直的判定定理判斷；C.由

mlIn,mVa,得到再利用垂直于同一直線的兩平面平行判斷；D.利用空間直線

的位置關(guān)系判斷.

【詳解】

A.因?yàn)閙_L”,所以〃〃a或"ua,又"〃?，則a,夕位置不確定，故錯(cuò)誤；

B.因?yàn)闄C(jī)_1_〃，所以M/a或“ua,又所以tz_L/7,故錯(cuò)誤；

C.因?yàn)榧印ā埃??」口,所以〃_La,又〃_L#,所以a〃6，故正確；

D.如果a〃尸，加與a所成的角和”與"所成的角相等，那么瘋/“，相交或異面，故錯(cuò)誤.

故選：C

4.D

根據(jù)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系直接進(jìn)行判斷.

【詳解】

根據(jù)題意知QGa,點(diǎn)尸可能在平面a內(nèi)也可能在平面a外.

答案第2頁，共14頁

故選：D

本題考查點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

根據(jù)題設(shè)線面關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系.

【詳解】

由南，加y,則a_Ly；由/=4口7,///&,貝1]/_1_加；由上條件，加與夕可能平行、相

交，。與A有可能平行、相交.

綜上，A正確；B,C錯(cuò)誤，相與夕有可能相交；D錯(cuò)誤，a與夕有可能相交.

故選：A

6.B

利用空間中點(diǎn)、線、面之間關(guān)系的符號(hào)表示即可求解.

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)0（元素）在直線儀集合）上，所以Q?b.

又因?yàn)橹本€b（集合）在平面尸（集合）內(nèi)，

所以bua所以QebuQ

故選：B

7.B

利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問題.

【詳解】

如圖所示，作EO_LCD于。，連接ON,過M作于尸.

連8/，???平面CDE_L平面ABCD.

?。，8,片。＜=平面。。￡,，后0，平面/180）,MF±nABCD,

.?.AMFB與AEON均為直角三角形.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,易知

答案第3頁，共14頁

EO=y/3,ON=IEN=2,

MF=—,BF.：.BM^EN,故選B.

22

本題考查空間想象能力和計(jì)算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.

8.C

根據(jù)平面與平面的位置關(guān)系，即可判斷A、C是否正確；根面面平行的判定定理，即可判

斷B是否正確；根據(jù)面面垂直和線面垂直的關(guān)系和線面的位置關(guān)系，即可判斷D是否正

確.

【詳解】

對(duì)于A,aL(3,/3lly,則a_Ly,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若根且加，w相交，mll13,nlll3,則M//，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a//,///￡,則片/c,故C正確；

對(duì)于D,若。_1_尸,相_1_齊，則mlla或根ua,故D錯(cuò)誤.

本題主要考查了線面、面面位置關(guān)系以及面面平行判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.D

根據(jù)線面關(guān)系和面面關(guān)系的性質(zhì)可依次判斷.

【詳解】

對(duì)A,若mlla,nJla,則m和”可能平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤;

答案第4頁，共14頁

對(duì)B,若機(jī)/〃，，wua,則或/ua,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,若///a,1///3,則a和夕可能平行，也可能相交，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,若"/a,則存在滿足//〃，若1工。,則/'，〃，所以CP，故D正確.

故選：D.

10.B

利用面面平行、線面垂直的性質(zhì)可判斷①；直接根據(jù)已知條件判斷線線位置關(guān)系，可判斷

②；利用線面平行、垂直的性質(zhì)可判斷③；根據(jù)已知條件直接判斷面面位置關(guān)系，可判斷

【詳解】

因?yàn)橹本€/_L平面a,直線“zu平面夕.

對(duì)于①，若?！Γ瑒t從而/，祖，①對(duì)；

對(duì)于②，若則〃々或/u。，貝IJ/與加的位置關(guān)系不確定，②錯(cuò)；

對(duì)于③，若〃/m，則機(jī)_La,因?yàn)橄鄒〃，則月,戊，③對(duì)；

對(duì)于④，因?yàn)?_L〃z,/_La,則m〃a或機(jī)ua,則a〃力或a、夕相交、重合，④錯(cuò).

故選：B.

11.A

如圖，連接耳C,MC,MB,利用余弦定理可求NC耳M的值，從而可得直線人。與直線

B.M所成角大小.

【詳解】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2"，連接BQ,MC,MB,

因?yàn)槎鶦〃A。，故或其補(bǔ)角為直線4。與直線與加所成角.

2222

TfffB}C=2yfla,MC=-J2a>BtM=-\JBtB+BM=yl4a+2a=&>a,

故BO?=8幽2+CM）所以MB】_LCM,

答案第5頁，共14頁

所以cosNC4M=W”=且，因?yàn)镹CBjM為銳角，故/8照=30。,

2缶2

故選：A.

可以取AG的中點(diǎn)N,連接MN,將異面直線8M與4C轉(zhuǎn)化為直線8M與所成的角,

在連接BN,通過解三角形劭W即可完成求解.

【詳解】

B

如圖所示，取AG的中點(diǎn)N,連接MN,M.N分別為CG、4G的中點(diǎn)，所以為

△4CC1的中位線，所以腦V〃AC,所以異面直線8M與AC就是直線8M與MN所成的角,

答案第6頁，共14頁

即ZBMV或其補(bǔ)角，因?yàn)?C_LBABC=B4=A4,=2,所以AC=26,BM=布,

BN/BN+BB；=n，在ABACV中，MN=；趾=拒,BN=屈BM=^5,所以

BM°+NM°-BN?715

cos/BMN=

2BM-NMIT

故選：B.

13.②③

由垂直于同一直線的兩直線的位置關(guān)系判斷①；由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷②；由空間

中直線與平面的位置關(guān)系判斷③.

【詳解】

對(duì)于①，若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線有三種位置關(guān)系：平行、相

交或異面，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，若兩個(gè)不同的平面垂直于一條直線，則這兩個(gè)平面互

相平行，故②正確；

對(duì)于③，若一條直線平行于一個(gè)平面，則與該平面垂直的直線與該直線垂直，故③正確.

，其中所有正確命題的序號(hào)為②③.

故答案為：②③.

14.1

由平面的基本性質(zhì)可求解.

【詳解】

根據(jù)平面的位置關(guān)系可知，不重合兩平面平行或相交,

當(dāng)相交時(shí)，有且只有一條公共直線.

故答案為：1

71

15.-##90°

2

答案第7頁，共14頁

在8上取點(diǎn)G,滿足CD=3CG,可得NAEG即為異面直線AE與CF所成角（或補(bǔ)角）,

設(shè)出邊長(zhǎng)，可得A￡2+￡G2=AG2,即可求出.

【詳解】

如圖，在C。上取點(diǎn)G,滿足CD=3CG,

因?yàn)椤闒//AB,AB=3EF,四邊形ABCD為矩形，

所以EF//CD,且所=CG,則四邊形班CG為平行四邊形，則C/〃EG,

所以/AEG即為異面直線AE與CE所成角（或補(bǔ)角），

設(shè)AD=3x,貝！jM=x,AD=2EF=2x,

因?yàn)锳ADE和ABC「都是正三角形，所以AE=2x,EG=2x,

由。G=2x,所以AG=2缶，

JT

滿足A￡2+￡G2=AG2,所以AEJ_EG,即異面直線AE與CF所成角的大小為二.

2

7T

故答案為：—?

2

10

16.

~3

如圖，先作出截面，然后利用三角形相似和勾股定理可求得答案

【詳解】

解：如圖，連接AE并延長(zhǎng)交。C延長(zhǎng)線于〃，連接取交CG于G,連接EG并延長(zhǎng)交

8G延長(zhǎng)線于N,連接NP并延長(zhǎng)交AA于“，連接A"，則五邊形AEGW為經(jīng)過點(diǎn)

4及尸的正方體的截面，

答案第8頁，共14頁

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以CE=ggC=2,

因?yàn)镃E〃AD,所以AMCESVMZM,

所以生=0

所以。0=CD=4,

DMAD2

因?yàn)椤?gt;A/〃G2，所以△MCGS△/GG,

CGCMc28

所以而二節(jié)=2,所以CG=§x4f

所以EG=JM+CG?=10

T

所以截面與BCQ片的交線段長(zhǎng)為y,

故答案為：—

17.①②③

13

分情況。。=彳和。。=二兩種情況作出截面s,并判斷②③，再通過平移交點(diǎn)，即可判斷

24

①④.

【詳解】

如圖1,當(dāng)CQ=:時(shí)，P2=--這時(shí)過A，P，。三點(diǎn)的截面與。2交于點(diǎn)2，

22

AP=D1Q=與,且尸Q//AR,截面s為等腰梯形；

當(dāng)0<CQ<；時(shí)，過A,P,。三點(diǎn)的截面與。2的交點(diǎn)在棱。。上，截面S為四邊形，

故①②正確.

答案第9頁，共14頁

3

如圖2,當(dāng)。。二一時(shí)，設(shè)截面S交。2的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接NQ交GA于點(diǎn)R,連接

AN交AQ于點(diǎn)連接取的中點(diǎn)G,作G"http://PQ交于點(diǎn)”，貝！J

13331

GH//AN,且GHu/ATV,即H為ON的中點(diǎn)，：.DN=2x-=-9NDl=--l=-9

畿=在；,可得GR=：，故③正確?

ND]U{KZ3

3

易知當(dāng)=<CQ<1時(shí)，只需。上移即可，此時(shí)S仍如圖2所示的五邊形APQRM,故④錯(cuò)

4

誤.

故答案為：①②③

⑵*

(3)372

（1）用平移直線法，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；

（2）作二面角的平面角，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題;

答案第10頁，共14頁

（3）用等體積法求解.

(1)

取用G中點(diǎn)/，連接。EF,QG，

因?yàn)锳8CD-A瓦G2是正四棱柱，。1為下底面正方形的中心,

所以。尸〃A耳〃A8,

所以NEO/為異面直線AB與石。所成角,c°sZ￡°iF=^==V6

6'

所以異面直線AB與E0｛所成角的余弦值為漁

6

取A3中點(diǎn)取上底面正方形的中心0,連接。。，01M,MO,

由正四棱錐特性知平面ABCD,OXA=OXB,OMIAB,O.M±AB,

所以"MO為二面角C-AB-。的平面角,

1V17

tanZ01M0=^=|=4,所以cos/OjMO=

{tan?HHO+117

所以二面角0一42一。|的余弦值為千.

⑶

設(shè)點(diǎn)01到平面ABE的距離為h,

答案第11頁，共14頁

由(1)知O］尸〃AB,ABI平面W,所以點(diǎn)尸到平面ABE的距離也為/z,

01111S一3_19

-I1448J'BB'CiC~8'BB|C|C-J

=

因?yàn)閊F-ABE^A-BEF>所以，AB-BE-h=gS-BEF',

所以刃=2?S圈c,c=2^=3后,

BE4V2

所以點(diǎn)。到平面ABE的距離為3亞.

19.叵,

10

取AC的中點(diǎn)R連接ERBF,在△AC￡)中，E,尸分別是A。，AC的中點(diǎn)，所以

EF//CD,

所以/2所或其補(bǔ)角為異面直線3E與。所成的角，利用余弦定理即可求出.

【詳解】

如圖，取AC的中點(diǎn)/，連接EF,BF,

?.?在AACO中，E,尸分別是AD,AC的中點(diǎn)，

..EF//CD,

乙或其補(bǔ)角為異面直線8E與。所成的角,

在用AEAB中，AB=1,AE=^AD=^,

BE=旦,

2

在放中，AC=1,AF=1,AE=g,

.\/2

??EF=——,

2

答案第12頁，共14頁

8F=立，

在RdA8b中，AB=1,AF=y,

2

1顯

EF4M

在等腰三角形功尸中，cosAFEB

2

所以異面直線BE與CD